运筹学概论 第6章 动态规划

运筹学之动态规划摘要：动态规划是运筹学的一个分支, 是一种解决多阶段决策过程最优化的数学方法, 它把复杂的多阶段决策问题分解成一系列相互联系的较容易解决的单阶段决策问题,通过解决一系列单阶段决策问题来解决多阶段决策问题。

以寻求最优决策序列的方法。

动态规划研究多阶段决策过程的总体优化, 即从系统总体出发, 要求各阶段决策所构成的决策序列使目标函数值达到最优。

在经济管理方面, 动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等, 所以它是现代经济管理中的一种重要的决策方法。

关键字：运筹学、动态规划、最优化原理运筹学作为一门新兴科学, 其应用范围是十分广泛的。

对于不同类型问题, 运筹学都有着不同的解决方法,因而形成了许分支学科。

它们虽然各有特性, 但在运用系统观念分析问题,并对问题建立模型求解这两点上都是共同的。

以下主要介绍运筹学在经济管理和物流方面的应用。

一、运筹学在经济管理中的应用在经济管理中, 常用的运筹学方法有线性规划和动态规划。

1.动态规划：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，也是现代企业管理中的一种重要决策方法，可用于最优路径问题、资源分配问题、资源分配的问题、生产计划和库存问题、投资问题、装载问题、排序问题及生产过程的最优控制等，用动态规划方法比用其他方法求解更为方便。

应用动态规划方法可以很好的简化一些较复杂的最优化问题的求解，特别是在解决无法用解析数学表达的离散性问题时具有明显的优点。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

二、动态规划的基本原理1．动态规划的最优化原理及其应用20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究一类多阶段决策过程（multistep decision process）的优化问题时，提出了解决动态规划问题的核心，著名的最优化原理（principle of optimality），把多阶段过程化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法，从而建立了数学规划的另一分支——动态规划（Dynamic Programming）。

第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。

它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。

在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。

动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。

因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。

动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。

在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。

许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。

特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。

动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。

本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。

6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。

任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。

运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。

2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。

3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。

二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。

3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。

四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。

2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。

3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。

五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。

2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。

3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。

4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。

2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。

3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。

4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。

七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。

2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。

3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。

八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。

2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。

3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。

动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。

它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。

动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。

这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。

其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。

首先，我们需要确定问题的状态。

状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。

在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。

接着，我们需要设计状态转移方程。

状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。

它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。

通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。

最后，我们需要确定边界条件。

边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。

边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。

通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。

因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。

运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。

1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。

二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。

三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。

3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。

3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。

3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。

四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。

4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。

4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。

5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。

教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。

六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。

6.1试用动态规划方法，求解图6-2 从Q 到T 的最短路。

解：由上图可知，从Q 到T 的最短路是8用逆序解法，由题意，递推方程为()(){}()1,2,3,4,min )(11=+=++k x f u x w x f k k k k k k k终端条件为()05=T f当k=4时，()30314=+=C f()10124=+=C f()50534=+=C f当 k=3时， ()()()()()()113342414135352min C B u C f C f C f B f ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=()()()()()()123342414234241min C B u C f C f C f B f ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=当k=2时，()()()()()212231312734min B A u B f B f A f ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=()()()()()122231322731min B A u B f B f A f ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=()()()()()132231332853min B A u B f B f A f ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=当k=1 时，()()()()()()2132221218123min A Q u A f A f A f Q f ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=最优解策略为()2*1A Q u = ()12*2B A u = ()11*3C B u = ()T C u =1*4最短路长为86.2用动态规划方法求解 （1）3221max x x x F ⋅⋅=⎩⎨⎧=≥=++3,2,1,04..321i x x x x t s i解：3211x x x S ++=322x x S += 33x S = 121x S S +=232x S S += 33x S =()(){}3max 22022222f x s f sx ⋅=≤≤=(){}2220222max x s x sx -⋅≤≤由导数法求得，当3222s S =时，()22x f 有最大值27432s ()(){}22140111max x f x s f x ⋅=≤≤=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅=≤≤274max 32140111s x s f x =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅=≤≤2744max 31140111x x s f x解得：11=x 时，()4max 11=x f∴ ()⎪⎩⎪⎨⎧+==++322323241x x x x x∴⎩⎨⎧==1232x x ∴1,2,1321===x x x （2）321232223222124222min x x x x x x x x F ---+-++=⎩⎨⎧=≥=++3,2,1,03..321i x x x x t s i解： 31=S 112x S S -= 223x S S -=()(){}41min 23333--==x s f x s =(){}4123--s()()(){}4112min 2322222--+-=≤s x s f x x=()(){}411222222---+-x s x=1422224222222222222+-+-+-++-x s x x s s x x()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=≤222221413423221min 1s s x s f x =()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-≤1342632321min 21212141x x x x=()()112194219212221211121--+-++-++-x x x x x x =96930915121+-x x =30301-x =011=x6.3 有四台设备分给甲，乙，丙，丁四厂，各厂盈利如表6-6所示。

第六章 动态规划主要内容：1、动态规划的基本概念2、动态规划的最优性原理和基本方程3、动态规划的模型及其应用重点与难点：动态规划的状态转移方程、基本方程；动态规划的建模思路与方法；运用递推原理确定最优解的方法与技巧。

要 求：理解动态规划的基本概念，掌握动态规划的建模步骤和求解方法，能够创造性地建立数学模型，并能运用动态规划方法解决实际问题。

§1 动态规划的基本概念例1 最短线路问题。

给定一个运输网络（如图），两点之间的数字表示两点间的距离，试求一条从A 0到A 4的运输线路，使总距离为最短?1、阶段对于一给定的多阶段过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。

描述阶段的变量称为阶段变量，常用K 表示。

1）阶段数固定的问题称为定期多阶段决策问题；如例1，可分为四个阶段。

2）阶段数不固定的问题称为不定期多阶段决策问题。

如2、状态状态表示某阶段的出发位置。

它既是某阶段过程演变的起点，又是前一阶段决策的结果。

例1中，第一阶段有一种状态即A 0点，第二阶段有三个状态，即点集合{A 1，B 1，C 1}，一般第K 阶段的状态就是第K 阶段所有始点的集合。

描述过程状态的变量称为状态变量。

第K 阶段的状态变量，记为k x 。

3、决策决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决A 0A 1B 1C 1A 2B 2C 2B 3A 3A 420 40 3070 5030 2040 40 1050 10 4060 3030 3030 40B ACDE4 724 2621 1定称为决策。

描述决策的变量称为决策变量，常用)(k k x u 表示处于状态k x 时的决策变量，它是状态变量的函数。

如： 21A B → ， 记为()212A B U =决策变量可取值的全体，称为允许决策集合。

常用()k k x D 表示状态k x 的允许决策集合。

运筹学动态规划运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。

动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。

下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。

动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。

为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。

动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。

动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。

例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。

动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。

此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。

然而，动态规划方法也存在一些局限性。

首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。

其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。

综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。

动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。

运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。

让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。

1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。

案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。

教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。

让学生学会将问题转化为动态规划问题。

2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。

练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。

教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。

让学生学会使用动态规划算法解决问题。

3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。

练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。

教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。

让学生学会使用动态规划解决实际问题。

4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。

案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。

教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。

让学生展望动态规划在未来的发展。

5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。

动态规划在未来的发展趋势和挑战。

5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。

讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。

教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。

运筹学动态规划的概念运筹学中的动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。

它适用于需要做出一系列决策才能获得最优解的情况。

在这种情况下，每个决策都会对接下来的决策产生影响，因此需要考虑整个过程的影响。

动态规划的实质是将多阶段决策过程拆解成一系列子问题，每个子问题都可以用一个状态来描述。

通过求解每个子问题的最优解，就可以逐步得到整个过程的最优解。

动态规划的基本思想是以最优子结构为基础，避免重复计算已经求解过的子问题的过程。

也就是说，如果我们已经知道了子问题的最优解，那么整个问题的最优解就可以通过这些子问题的最优解推导出来。

通常情况下，动态规划问题需要满足以下几个条件：1.具有最优子结构特征：问题的最优解是由子问题的最优解组合而成的。

2.无后效性：子问题的解一旦确定，就不会被改变。

3.子问题重复性：不同的子问题可能会对应相同的状态。

4.边界性：即为问题的较小的子问题需要单独处理。

通过以上条件，我们就可以将动态规划问题分解为一个个子问题，并求解每个子问题所对应的最优值。

动态规划的基本流程分为三个步骤：1.定义状态：构建状态转移方程需要定义状态，状态通常用一个或多个变量来表示，变量的取值代表状态。

2.写出状态转移方程：根据定义好的状态，写出各个状态之间的转移方程。

3.确定边界条件：对较小的子问题需要单独处理，因此当状态变量为边界值时，需要特殊处理。

动态规划的应用广泛，它可以用于解决大量的问题。

例如，求解最长公共子序列问题、背包问题、最短路问题、字符串编辑距离问题等等。

它在图像处理、自然语言处理、生物信息学等领域中也有广泛的应用，如图像去噪、序列比对、DNA 序列匹配等。

总之，动态规划是运筹学中一种解决多阶段决策问题的重要方法，它通过将问题分解成子问题，并求解每个子问题的最优解，得出整个问题的最优解。

在实际应用中，我们需要根据具体问题特点，定义好状态，写出好的状态转移方程，才能有效地解决问题。