江苏2013届高三数学(理)模拟试卷5

江苏省灌南高级中学2012-2013学年第二学期期末考试高二数学模拟试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题,共70分） 1．已知ni i+=-112，其中R n ∈，i 是虚数单位，则n = ▲ ． 2. 曲线)(sin 2cos 为参数t t y tx ⎩⎨⎧-==的普通方程是 ▲ ．3．用0,1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 ▲ 个.(用数字作答)4．在6)2(xx -的展开式中，常数项是 ▲ ．（用数字作答）5．甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8,0.7.若两人同时独立射击一次，他们都击中靶的概率为 .6.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为5(4,),(2,)63ππ，则OMN ∆的面积为 .7、马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如右表：请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小王给出了正确答案E ξ= .8．设随机变量ξ的分布列为1()(),1,2,3,42i P i m i ξ===,则m 的值为 ▲ ．9．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|1z -=，则||z 的最大值是 ▲ ．10.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则123a a a ++的值为__________.11．一袋子中装着标有数字1,2,3的小球各2个，共6个球，现从袋子中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球的数字之和，则随机变量ξ数学期望E ξ= .12．已知x x x f cos sin )(1+=,且'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=,…*(,2)n n ∈N ≥,则122011()()()444f f f πππ+++= ▲ .13．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,,m n m n <≤)N *∈，共有1m n C +种取法。

2013届高三模拟试卷（01）理科综合试卷参考答案1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 9．D 10．D 11．D 12．B13．B 14．A 15．BD 16．D 17．C 18．C 19．AC 20．BC 21．A22．(5分)(1) = (1分)(2) 滑块质量，两光电传感器间距离 （每空2分）23．（10分）(1)R B (2分)(2)②滑动变阻器R 1 ③电阻箱R 0，电流表的读数仍为I ④R 0 (每空1分，共4分)(3)①较小(2分) ②500 (2分)24．（14分）(1)由运动学公式2a 0s 0＝20v 得20002v s a =………………………………………………………（3分） 代入数据可得s 0＝1102.5m……………………………………（3分）(2)飞机受力分析如图所示。

由牛顿定律有2F T cos(2θ)+f -F =ma ………………………………（3分） 其中F T 为阻拦索的张力，f 为空气和甲板对飞机的阻力飞机仅受空气阻力和甲板阻力时f =ma 0…………………………（2分）联立上式可香F T ＝5×105N ………………………………………（3分）25．（18分）(1)设能够进入磁场区域的粒子的速度大小为n v ，由题意，粒子由D 1到D 2经历的时间为：1nL t nT v ∆==（n =1、2……） ………………………… （2分） 粒子由D 2到D 3经历的时间为 222n L nT t v ∆== （1分） t =5T 时刻，挡板D 3关闭，粒子无法进入磁场，故有 125t t t T ∆=∆+∆≤，联立以上三式解得 n =1、2、3 （2分） 所以，能够进入磁场区域的粒子的速度为 n L v nT= （n =1、2、3） （1分） (2)进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为(0 cm ，2 cm)的P 点，所以R 1=1 cm （2分） 粒子在磁场中匀速圆周运动的半径 mv R Bq= 由前可知，进入磁场中粒子的最大速度是最小速度的3倍，故 R′= 3R=3 cm （2分）过Q 点作圆轨迹的切线，设切点F 的坐标为（x 0，y 0）。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

江苏省盐城市2013届高三考前突击精选模拟数学卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．集合A ＝{ x |1＜x ≤3，x ∈R }，B ＝{ x |－1≤x ≤2，x ∈R }，则A B ＝ ． 2．已知||a ＝3，||b ＝2．若⋅a b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为 ． 3．设x ，y 为实数，且1i x -＋12i y -＝513i-，则x ＋y ＝ ． 4．椭圆2x ＋2my ＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ．5．若θ∈42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是 ．6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ＜6，x ＞0，y ＞0}，A ＝{(x ，y )|x ＜4，y ＞0，x －2y ＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ．7．已知a ，b 为异面直线，直线c ∥a ，则直线c 与b 的位置关系是 ．8．一个算法的流程图如右图所示 则输出S 的值为 ．9．将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ．10．某同学在借助题设给出的数据求方程lg x ＝2－x 的近似数(精确到0.1)时，设()f x ＝lg x ＋x －2，得出(1)f ＜0，且(2)f ＞0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 ．11．设OM ＝112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，ON＝(0，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP OM ⋅ ≤1，0≤OP ON ⋅≤1，则z ＝y －x 的最小值是 ．12．设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m －3m，则m 的取值范围是 ． 13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．14．方程2x ＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标．若4x ＋ax －9＝0的各个实根1x ，2x ，…，k x (k ≤4)所对应的点9()i ix x ，(i ＝1，2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数()f x ＝sin()A x ωϕ+，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(2)3M π-，． （1）求()f x 的解析式；（2）当x ∈[]122ππ，时，求()f x 的值域．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）有一气球以v (m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30︒方向T 处，其仰角为60︒(如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影)．求风向和风速(风速用v 表示)．18．（本小题满分16分）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋2(2)y +＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．20．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立． （1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ；（2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ．（附加题）21．【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，已知AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线， 已知6,25AB CD ==，求线段AC 的长度．B ．选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）. （1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．22．［必做题］（本小题满分10分）在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）。

同安一中2013届高三理科数学冲刺模拟试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知集合{12log 1,A x x B y y ⎧⎫⎪⎪=>-==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()R AC B =（ ）A ．(],1-∞B ．(]0,1C ．()0,1D ．Φ2．设,m n 是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ） A ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件 3．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图所示.设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为. （ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．24．设函数na x x f )()(+=，其中⎰+=πππ2)sin(3dx x n ，)0()0(-='f f 则)(x f 的展开式中2x 的系数为（ ）A ．240-B ．60-C ．240D ．605．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半 部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（ ） A．3π+B．23π+ C ．3π+D ．23π+6．函数cos xxy e =的图像大致是（ ）7．在区间[]1,1-上随机地取两个数,a b ，则使得关于x 的方程20x ax b ++=在()1,1-和()1,2内各有一个根的概率为（ ） A ．18B ．14 C ．12 D ．788．在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若20142012220142012S S-=，则2013S 的值等于（ ） A ．2013- B ．2012- C ．2012 D ．20139．过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为,P l 与另一条渐近线交于Q 点，若222QF F P =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2BC ．43D10．设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗= 已知1(,2)2m =，11(,sin )n x x =．点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（ ）A ．1,2πB ．1,42π C ．2,π D ．2,4π 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．若复数iia 312+-为实数，则实数=a ． 12． 如图，在平面直角坐标系中，锐角αβ、的终边分别与单位圆交于A B 、两点．如果3sin 5α=，点B 的横坐标为513，则=+)cos(βα ．13．x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是_________．14．如图，在ABC ∆中，3,4,5AB AC BC ===，线段DE 的中点 固定在点A 处，将线段DE 在ABC ∆所在的平面内绕着点A 任意旋转， 若2DE =，则BD CE ⋅的取值范围是 ．]4,6[-15．把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数24的不同等差分拆的个数是 ．A 第18题图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,33ππ上单调递减．ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A B C 、、所对的边，且满足ACB A CB cos cos cos 34sin sin sin --=+ω． （Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）如图，点O 是ABC ∆外一点，设θ=∠AOB (0)θπ<<，22OA OB ==，当c b =时，求平面四边形OACB 面积的最大值．17．（本小题满分13分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：根据上表信息解答以下问题： （Ⅰ）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间(4,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率1P ；（Ⅱ）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．18．（本小题满分13分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，060DAB ∠=．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与点C D 、不重合，EF AC ⊥，EF AC O =．沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面POA ； （Ⅱ）当PB 取得最小值时，若点Q 满足AQ QP λ=(0λ>)，试探究： 直线OQ 与平面PBD 所成的角是否一定大于4π？并说明理由．B CθoA第16题图19．（本小题满分13分）如图，设F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，P 是抛物线上一动点，Q 为线段OF 的垂直平分线上一点，且点Q 到抛物线的准线l 的距离为23．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点M 的坐标为)0,3(，是否存在 垂直于x 轴的直线'l 被以PM 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在， 求直线'l 的方程；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++y x 垂直．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ) 若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围．（Ⅲ）求证：*21.().41ni in N i=∈-∑21．（本小题满分14分） 选修4-2：矩阵及其变换（1）如图，向量OA OB 和被矩阵M 作用后分别变成//OA OB 和， （Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）并求y sin()3x π=+在M 作用后的函数解析式．选修4-4：坐标系与参数方程（2）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点,A B ．若点P 的坐标为（3），求||||PA PB +． 选修4－5：不等式选讲 （3）已知,,x y z 为正实数，且1111x y z++=，求49x y z ++的最小值及取得最小值时,,x y z 的值．普通高等学校招生全国统一考试（同安一中模拟）数学（理工农医类）答题卡同安一中2013届高三理科数学冲刺模拟试卷答案一、选择题： BADCA AAAD C二、填空题： 11．32- 12．6516- 13．（－4，2） 14．]4,6[- 15．14 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分13分）解：（1）由题意知：243ππω=，解得32ω=，……2分 AC B A C B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴A A C A C AB A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分 a c b A BC 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（2）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………………………8分22sin -2cos )4OA OB OA OB θθ=++⋅435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)， 当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为2………………13分 17．解:(１) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间45)（，上有且只有一个零点，则必有(4)<0(5)>0f f ⎧⎨⎩即：16-4-1<025-5-1>0ηη⎧⎨⎩，解得：1524<<45η，所以，4η=…………3分 当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，…………6分 (２) 从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3， …………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+=== ，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分从而ξ的分布列： ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………13分 18.（1）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥，∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED , ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥ ∵ AO PO O=，∴ BD ⊥平面POA . ………………………5分（2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -.设.AO BD H = 因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形，故4BD =，2,HB HC ==又设PO x =，则23OH x =-，OA x =.所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x ，,2,0)B x ，故(2,2,)PBOB OP x x =-=-，所以(2PB=当x =min PB此时PO =OH =………………………7分设点Q 的坐标为(),0,ac ，由前知，OP =，则(3A，B ，2,0)D -，P .所以()AQ a c =-，()QP a c =-，∵AQ=QPλ，∴,a a c c λλ⎧--⎪⎨=-⎪⎩⇒a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴Q ， ∴3(OQ=．………………………10分 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PB n BD ⋅=⋅=． ∵(3,2,PB =，()0,4,0BD =-，∴20,40y y +-=-=⎪⎩，取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n =. ………………………10分 设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ， ∴sin cos ,OQ nOQ n OQ n θ⋅=<>===⋅=0λ>∴sin θ． ∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>． 因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于π，即结论成立．………………………13分20．解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x a x x f -----------------------2分 由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a 11=+∴a ，0=∴a . -------------------4分 (2) 1ln )(+=x x x x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1l n ()x mx x ≤-设1()ln ()g x x m x x =-- ，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x m g x m x x x -+-'=-+=---6分 ①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.-----------------8分②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立．----9分；当102m <<时，方程20mx x m -+-=，其根10x =>，11x =>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥ ---10分；(3) 由(2)知,当1>x 时, 21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立. 不妨令*21,21k x k N k +=∈- 所以221121214ln 212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭，()()*21[ln 21ln 21],441k k k k N k +--<∈- ()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ ---------------------12分 累加可得*211ln(21).().441n i i n n N i =+<∈-∑*21ln .().41n i i n N i =<∈-∑-----------14分 21．(1)待定系数设M=a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭求得//202022x x M y y ⎧=⎛⎫=⇒⎨ ⎪=⎝⎭⎩，-----------4分 再坐标转移法得/2sin()23x y π=+-----------7分 （2）解：（Ⅰ）22(5x y +-=-----------3分（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得240t -+=由24420∆=-⨯=>，故可设12,t t是上述方程的两根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，又直线l过点，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||t t t t +=+=分（3）解：由柯西不等式得222222249]]36x y z ++=++⋅++≥++=………4分当且仅当23x y z ==时等号成立，………5分，此时6,3,2x y z ===…6分 所以当6,3,2x y z ===时，49x y z ++取得最小值36………… 7分。

2013年江苏省盐城市中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（下列各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）（2013•盐城模拟）2012年元月的某一天，我市的最低气温为﹣3℃，最高气温为4℃，那么这一天我市的日3．（3分）（2013•盐城模拟）图中圆与圆之间不同的位置关系有（）4．（3分）（2013•盐城模拟）如图，BC∥DE，∠1=105°，∠AED=65°，则∠A的大小是（）5．（3分）（2013•盐城模拟）四名运动员参加了射击预选赛，他们成绩的平均环数及其方差s2如表所示．如果选）6．（3分）（2013•盐城模拟）如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的侧面积（单位：mm2）是（）7．（3分）（2005•徐州）如果反比例函数y=的图象如图所示，那么二次函数y=kx 2﹣k 2x ﹣1的图象大致为（ ）．BC ．D8．（3分）（2013•盐城模拟）下列说法正确的个数是（ ） ①“对顶角相等”的逆命题是真命题 ②所有的黄金三角形都相似 ③若数据1、﹣2、3、x 的极差为6，则x=4 ④方程x 2﹣mx ﹣3=0有两个不相等的实数根 ⑤已知关于x 的方程的解是正数，那么m 的取值范围为m ＞﹣6．二、填空题（每小题3分，共30分） 9．（3分）（2013•盐城模拟）函数中，自变量x 的取值范围是 _________ ．10．（3分）（2013•盐城模拟）我市今年初中毕业生为12870人，将12870用科学记数法表示为_________ （保留两个有效数字）． 11．（3分）（2011•宁德）如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 _________ °．12．（3分）（2013•盐城模拟）如图，直线l 1：y 1=x+1与直线l 2：y 2=mx+n 相交于点P （1，b ）．当y 1＞y 2时，x 的取值范围为 _________ ．13．（3分）（2013•盐城模拟）六•一儿童节前，苗苗来到大润发超市发现某种玩具原价为100元，经过两次降价，现售价为81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_________．14．（3分）（2013•盐城模拟）如图所示，在建立平面直角坐标系后，△ABC顶点A的坐标为（1，﹣4），若以原点O为位似中心，在第二象限内画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比等于，则点A′的坐标为_________．15．（3分）（2013•盐城模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（0，2），如果将线段AB绕点B 顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是_________．16．（3分）（2013•盐城模拟）定义：如图，若双曲线（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线（k＞0）的对径．若某双曲线（k＞0）的对径是，则k的值为_________．17．（3分）（2013•盐城模拟）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3=_________度．18．（3分）（2013•盐城模拟）在矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=20，F为BC的中点，沿过点F的直线翻折，使点B落在边AD上，折痕交矩形的一边于G，则折痕FG=_________．三、简答题（共96分）19．（8分）（2013•盐城模拟）（1）计算：﹣sin30°（2）解方程：．20．（6分）（2013•盐城模拟）先化简（），再选取一个你喜欢的a的值代入求值．21．（8分）（2008•黄石）在一个口袋中有n个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，从袋中随机地取出一个球，它是红球的概率是．（1）求n的值；（2）把这n个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…x=5，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，求第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率．22．（10分）（2013•盐城模拟）典典同学学完统计知识后，随机调查了她家所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中a=_________，b=_________；并补全条形统计图；（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．（3）一天，典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分不低于乙组得分的1.5倍，甲组得分最少为多少？23．（10分）（2013•盐城模拟）如图，自来水公司的主管道从A小区向北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装自来水的M小区在A小区北偏东30°方向，测绘员沿主管道测量出AC=200米，小区M位于C的北偏西60°方向，（1）请你找出支管道连接点N，使得N到该小区铺设的管道最短．（在图中标出点N的位置）（2）求出AN的长．24．（10分）（2013•盐城模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，将A、D重合折叠，折痕交AB 于E，交AC于F，连接DE、DF，（1）判断四边形AEDF的形状并说明理由；（2）若AB=6，AC=8，求DF的长．25．（10分）（2013•盐城模拟）已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE•AC，BD=8，（1）判断△ABD的形状并说明理由；（2）求△ABD的面积．26．（10分）（2013•盐城模拟）某种商品在30天内每件销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t是整数）．（1）求该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）27．（12分）（2013•盐城模拟）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点E沿A→D方向在线段AD上运动，点F 沿D→A方向在线段DA上运动，点E、F速度都是每秒2个长度单位，E、F两点同时出发，且当E点运动到D点时两点都停止运动，设运动时间是t（秒）．（1）当0＜t＜2时，判断四边形BCFE的形状，并说明理由；（2）当0＜t＜2时，射线BF、CE相交于点O，设S△FEO=y，求y与t之间的函数关系式；（3）问射线BF与射线CE所成的锐角是否能等于60°？若有可能，请求出t的值；若不能，请说明理由．28．（12分）（2013•盐城模拟）如图（1），分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上）交y轴于另一点Q，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，B点坐标为（2，2）．（1）求抛物线的函数解析式和点E的坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）如图（2），点R从正方形CDEF的顶点E出发以1个单位/秒的速度向点F运动，同时点S从点Q出发沿y轴以5个单位/秒的速度向上运动，连接RS，设运动时间为t秒（0＜t＜1），在运动过程中，正方形CDEF在直线RS下方部分的面积是否变化？若不变，说明理由并求出其值；若变化，请说明理由；2013年江苏省盐城市中考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（下列各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）（2013•盐城模拟）2012年元月的某一天，我市的最低气温为﹣3℃，最高气温为4℃，那么这一天我市的日3．（3分）（2013•盐城模拟）图中圆与圆之间不同的位置关系有（）4．（3分）（2013•盐城模拟）如图，BC∥DE，∠1=105°，∠AED=65°，则∠A的大小是（）5．（3分）（2013•盐城模拟）四名运动员参加了射击预选赛，他们成绩的平均环数及其方差s2如表所示．如果选）甲6．（3分）（2013•盐城模拟）如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的侧面积（单位：mm2）是（）圆锥的母线长是：×7．（3分）（2005•徐州）如果反比例函数y=的图象如图所示，那么二次函数y=kx 2﹣k 2x ﹣1的图象大致为（ ）．BC ．D）＞8．（3分）（2013•盐城模拟）下列说法正确的个数是（ ） ①“对顶角相等”的逆命题是真命题 ②所有的黄金三角形都相似 ③若数据1、﹣2、3、x 的极差为6，则x=4④方程x 2﹣mx ﹣3=0有两个不相等的实数根 ⑤已知关于x 的方程的解是正数，那么m 的取值范围为m ＞﹣6．二、填空题（每小题3分，共30分）9．（3分）（2013•盐城模拟）函数中，自变量x的取值范围是．．．10．（3分）（2013•盐城模拟）我市今年初中毕业生为12870人，将12870用科学记数法表示为 1.3×104（保留两个有效数字）．11．（3分）（2011•宁德）如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是140°．12．（3分）（2013•盐城模拟）如图，直线l1：y1=x+1与直线l2：y2=mx+n相交于点P（1，b）．当y1＞y2时，x的取值范围为x＞1．13．（3分）（2013•盐城模拟）六•一儿童节前，苗苗来到大润发超市发现某种玩具原价为100元，经过两次降价，现售价为81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为10%．14．（3分）（2013•盐城模拟）如图所示，在建立平面直角坐标系后，△ABC顶点A的坐标为（1，﹣4），若以原点O为位似中心，在第二象限内画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比等于，则点A′的坐标为（﹣，2）．，的位似比等于（﹣，﹣），即（﹣，15．（3分）（2013•盐城模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（0，2），如果将线段AB绕点B 顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是（﹣2，1）．16．（3分）（2013•盐城模拟）定义：如图，若双曲线（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线（k＞0）的对径．若某双曲线（k＞0）的对径是，则k的值为9．AB=6OA=OB=3，）3=17．（3分）（2013•盐城模拟）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3=90度．18．（3分）（2013•盐城模拟）在矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=20，F为BC的中点，沿过点F的直线翻折，使点B落在边AD上，折痕交矩形的一边于G，则折痕FG=5或4．F=BF=E==5F=BF=E==4或三、简答题（共96分）19．（8分）（2013•盐城模拟）（1）计算：﹣sin30°（2）解方程：．进行计算即可得解；﹣（﹣﹣×，，，x=时，+1×）≠x=20．（6分）（2013•盐城模拟）先化简（），再选取一个你喜欢的a的值代入求值．）﹣21．（8分）（2008•黄石）在一个口袋中有n个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，从袋中随机地取出一个球，它是红球的概率是．（1）求n的值；（2）把这n个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…x=5，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，求第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率．）依题意由上表知所求概率为=22．（10分）（2013•盐城模拟）典典同学学完统计知识后，随机调查了她家所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中a=20%，b=12%；并补全条形统计图；（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．（3）一天，典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分不低于乙组得分的1.5倍，甲组得分最少为多少？23．（10分）（2013•盐城模拟）如图，自来水公司的主管道从A小区向北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装自来水的M小区在A小区北偏东30°方向，测绘员沿主管道测量出AC=200米，小区M位于C的北偏西60°方向，（1）请你找出支管道连接点N，使得N到该小区铺设的管道最短．（在图中标出点N的位置）（2）求出AN的长．MC=AC=×NC=MC=5024．（10分）（2013•盐城模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，将A、D重合折叠，折痕交AB 于E，交AC于F，连接DE、DF，（1）判断四边形AEDF的形状并说明理由；（2）若AB=6，AC=8，求DF的长．∴x=DF=25．（10分）（2013•盐城模拟）已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE•AC，BD=8，（1）判断△ABD的形状并说明理由；（2）求△ABD的面积．∴，BD=4=3的面积是BD=BG=的面积是：×26．（10分）（2013•盐城模拟）某种商品在30天内每件销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t是整数）．（1）求该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量），27．（12分）（2013•盐城模拟）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点E沿A→D方向在线段AD上运动，点F 沿D→A方向在线段DA上运动，点E、F速度都是每秒2个长度单位，E、F两点同时出发，且当E点运动到D点时两点都停止运动，设运动时间是t（秒）．（1）当0＜t＜2时，判断四边形BCFE的形状，并说明理由；（2）当0＜t＜2时，射线BF、CE相交于点O，设S△FEO=y，求y与t之间的函数关系式；（3）问射线BF与射线CE所成的锐角是否能等于60°？若有可能，请求出t的值；若不能，请说明理由．则= =OM=EH=42=t=﹣∴，即，解得OM=y=OM EF=×；CH=EH=4，，t=）ED=t=）﹣28．（12分）（2013•盐城模拟）如图（1），分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上）交y轴于另一点Q，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，B点坐标为（2，2）．（1）求抛物线的函数解析式和点E的坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）如图（2），点R从正方形CDEF的顶点E出发以1个单位/秒的速度向点F运动，同时点S从点Q出发沿y轴以5个单位/秒的速度向上运动，连接RS，设运动时间为t秒（0＜t＜1），在运动过程中，正方形CDEF在直线RS下方部分的面积是否变化？若不变，说明理由并求出其值；若变化，请说明理由；y=∴y=﹣x x+2=0，=，．，=，与下方部分的面积不变，为。

2012-2013年南京市江宁高级中学迎市统测高三模拟试卷2012-12-16姓名 班级 成绩 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知ni i+=-112，其中R n ∈，i 是虚数单位，则n = 1 ． ２．命题p ：∀x ∈R ，2x 2+1>0的否定是____∃x ∈R ，2x 2+1≤0 __________.3．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 36 个.(用数字作答)4．若根据5名儿童的年龄x （岁）和体重y (kg)的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是ˆ27yx =+，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是 17 kg ．5．定义n x M =x(x+1)(x+2)…(x+n-1)，其中x ∈R ，n ∈N *，例如 4-4M =(-4)(-3)(-2)(-1)=24，则函数f(x)= 2007x-1003M 的奇偶性为____奇函数__________.6．曲线y=x x 62+-,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为 x y 6= ．7．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|z -=，则yx8．用反证法证明命题：“如果,a b N ∈，ab 可被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为 假设,a b 都不能被3整除 ． 9．给出下面类比推理命题（其中R 为实数集，C 为复数集）：①“若,,a b R ∈则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,a b R ∈则0ab =0a ⇒=或0b =”类比推出“若,,a b C ∈则0ab =0a ⇒= 或0b =”；③“若,,a b R ∈则0a b a b ->⇒>” 类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b ->⇒>”； ④“若,,a b R ∈则220a b +≥”类比推出“若,,a b C ∈则220a b +≥”所有命题中类比结论正确的序号是 ①② ．10．对于R 上的可导函数()f x ，若满足(2)'()0x f x -≥，则(0)(3)f f +与2(2)f 的大小关系为 不小于 ．（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）11．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,,m n m n <≤)N *∈，共有1m n C +种取法。

高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．设全集{1, 2, 3, 4, 5}U =，集合{1, 2}A =，{2, 3}B =，则 U A B = ð ▲ ． 2．若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．已知数列{}n a 是等差数列，若31124a a +=，43a =，则数列{}n a 的公差等于 ▲ ． 4．直线240x y -+=与两坐标轴交点为A 、B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ▲ ． 5．如图1，已知一个班的语文成绩的茎叶图，则优秀率（不小于85分）是 ▲ ． 6．若一个正三棱柱的三视图如图2所示，则这个正三棱柱的体积是 ▲ ．图1 图27．一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ▲ ．8．已知实数a 满足3log 182a =+，则函数3ax y =()[0,1]x ∈的值域是 ▲ ． 9．已知关于某设备的使用年限与所支出的维修费用y (万元),有如下统计资料:设y 对x 具有线性相关关系,且线性回归方程为^0.08y bx =+,则回归系数b =__▲ _________ 10．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着．．．排在乙的前面值班的概率是▲ ．11．设函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->的导函数()f x '的最大值为3，则图象()y f x =的对称轴的方程是 ▲ ．12．如图3所示的流程图，输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是 ▲ ．主视图俯视图左视图5 1586 0344678897 35556798 023346679 01113．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理有：.222b ac +=设想正方形换成正方体，把截线换成如图的 截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ▲ ．14．已知函数()f x 的定义域为(2,)-+∞，部分对应值如下表，'()f x 为()f x 的导函数，函数'()y f x =的图象如图5所示，若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则22b a ++的取值范围是 ▲ ．图3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，若1-=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++的值．如图6，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1D 在棱A 1C 1上． （1）若11A D DC =，求证：直线BC 1∥平面AB 1D ；（2）是否存在点D ，使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1？若存在，请确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．图617．(本小题满分14分) ，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，411=a ，且*),2(122211N n n a S S n n n ∈≥++=--.数列{}nb 满足431=b , 且*),2(31N n n n b b n n ∈≥=--.(1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)求证：数列{}n n a b -为等比数列； (3)求数列}{n b 的通项公式以及前n 项和n T .C 1B 1DA 1CBA某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与()a x -和2x 的乘积成正比；②当2ax =时，3y a =，且技术改造投入比率：(0,]2()xt a x ∈-，其中t 为常数，且(0,2]t ∈．（1）求()y f x =的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值．19．（本小题满分16分，第一小问满分3分，第二小问满分6分，第三小问满分7分）在图7所示的平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于该斜坐标系的坐标00(,)x y 是这样定义的：过P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox 于A 、Oy 于B ，则A 在Ox 轴上表示的数为0x ，B 在Oy 轴上表示的数为0y ．（1）若点P 在斜坐标系xOy 中的坐标为(2,3)-，求P 到O 的距离； （2）求以O 为圆心、1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程，并求直线12x =截该圆所得的弦长；（3）在斜坐标系xOy 中，直线 (01)x t t =<<交（2）中的圆于M 、N 两点，问：当t 为何值时，△MON 的面积取得最大值？并求此最大值．图720．（本小题满分16分，第一小问满分5分，第二小问满分3分，第三小问满分8分）设函数()f x 的定义域为R ，若()f x x ≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为Ω函数．（1）试判断函数1()sin f x x x =、()2e e 1x x f x -=+和()2321x f x x =+中哪些是Ω函数，并说明理由；（2）若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2，均有()()1212f x f x x x --≤，求证：函数()f x 一定是Ω函数；（3） 求证：若1a >，则函数2()ln()ln f x x a a =+-是Ω函数.参考答案1．{1} 2．6- 3．3 4． 22(2)(1)5x y ++-=（或22420x y x y ++-=） 5．20％ 6． 7．19π-8．[1,2] 9．1.23 10．1311．39k x ππ=+()k Z ∈12． 9[,3)413．24232221S S S S =++14． 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭图5图3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．15． 解：由1-=⋅，得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα………3分32cos sin =+∴αα…………………………………………………………………5分 95cos sin 2-=⋅∴αα ……………………………………………………………7分又αααtan 12sin sin 22++==++αααααcos sin 1cos sin 2sin 2295cos sin 2-=⋅αα 。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换 填空题 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设矩阵的逆矩阵为,a+b+c+d=_________________. 【答案】0 解答题 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已知,求.【答案】 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）B 选修4 - 2:矩阵与变换若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵. 【答案】选修4 - 2:矩阵与变换解.设,由 得,即,, 所以 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）B.选修4-2:(矩阵与变换)已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M. 【答案】B.选修4-2:(矩阵与变换)设,则,故 ,故 联立以上两方程组解得,故=．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求.【答案】对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点,则,因为,所以, 所以解得所以, 所以 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵.【答案】【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以,化简可得 依题意可得,或而由可得 故, ．（2010年高考（江苏））矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 【答案】，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（学生版）填空题1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素,所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.4 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.5 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.7 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________.10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___.12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.14．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.15．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.18．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.20．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x ym n+=1表示双曲线的概率为________.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数nm,分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线4x y+=上的概率为______.22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.24．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____25．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.26．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.27．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.28．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组[1.5,3.5)[3.5,5.5)[5.5,7.5)[7.5,9.5)[9.5,11.5)频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是________.29．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则x y 2=的概率为_____.30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.32．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______.33．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ．34．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.36．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________37．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.解答题38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望;(2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B,C,D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X （三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ≥；（2）求E （X ）42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2CB件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;E X.(2)求X的概率分布和数学期望()43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P(X≥7);(2)求X的概率分布列,并求其数学期望E(X).2013届高三学情调研卷44．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220xax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。

江苏省盐城市2013届高三考前突击精选模拟数学卷（二）一. 填空题 (每题5分,计70分) 1. 已知集合{}R x x y y A ∈==,sin ，集合{}R x x y y B ∈==,，则=B A . 2. “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的 条件 3. 将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移3π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为_______________4. 若抛物线)0(22>-=p px y 的焦点与双曲线2213x y -=的左焦点重合,则p 的值 .5. 函数()2f x x lnx =--在定义域内零点的个数为6. 已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1, 3），则b 的值为7. 若规定a bad bc c d =-，则不等式311log 01x<的解集是8. 若平面向量a ,b 满足1a b += ,a b + 平行于x 轴，(2,1)b =-，则a =9．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = . 10. 直线323y x =+与圆心为D 的圆22(3)(1)3x y -+-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 11.如果函数()2sin (0)f x x ωω=>在22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为 12. 等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =-，20072005220072005S S -=，则2008S =_____． 13 .△ABC 满足23AB AC ⋅=，︒=∠30BAC ，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义),,()(z y x M f =，其中z y x ,,分别表示△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若)21,,()(y x M f =，则14x y+的最小值为14. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2010f =，且对任意的x R ∈，满足(2)()32,(6)()632x x f x f x f x f x +-≤⋅+-≥⋅，则(2010)f =二. 解答题 (解答应给出完整的推理过程,否则不得分)15. （14分）已知全集,U R =集合{}062<--=x x x A ，{}0822>-+=x x x B ，{}03422<+-=a ax x x C ，若()U C A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.16. （14分）如图，在直角坐标系xOy 中，锐角△ABC 内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，记角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c 。

某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得 r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值X围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。

江苏省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设集合204x A x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭∣和{2,3,4,5}B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3,4 D ．{}2,3,42．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（ ） A ．21B ．25C ．29D ．333．1sin cos ,sin25ααα+=-=（ ）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-4．下列不等式成立的是（ ）A 1>B ．若0m >，则1122m m +>+ C ．若a b >，c d >则a c b d ->- D ．若0m >，0n >且1m n +=，则2818m n+≥ 5．已知直线l ：3470x y -+=圆C ：()()22210x y r r -+=>若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则r =（ ） A ．1B ．3C ．125D ．46．已知向量,a b 的夹角的余弦值为23，(3)(3)a b a b -⊥+和1b =，则()?a b b -=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．47．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知60,1A b =︒=sin sin sin a b cA B C++++的值为( )A B C D8．已知()f x 为定义在R 上的周期函数，其周期为2，且当[1,1]x ∈-时，则πcos ,012(),101x f x x a x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪-≤<⎪-⎩则7(2)2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．52B ．0C ．12D ．239．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20f x f x x'+>，则不等式()()()202320233332023x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}2020x x >-B ．{}2020x x <-C ．{}20230x x -<<D ．{}20232020x x -<<-二、多选题10．已知双曲线221916y x -=的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为34y x C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为9D ．点P 到两渐近线的距离乘积为1442511．对于ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰三角形C ．若10a =，9b =与60B =︒，则符合条件的ABC 有两个D ．若222sin sin sin A B C +>，则ABC 是锐角三角形12．已知函数()()2e xf x x a =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥B ．当1a =时，则函数()f x 的极值点为－1C ．当8a <-时，则函数()f x 有一个大于2的极值点D ．当0a =时，则若函数()y f x m =-有三个零点123,,x x x ，则1233x x x ++<-三、填空题13．某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．14．已知抛物线C ：26x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若AB 的中点的纵坐标为5，则AF BF +=______．15．已知0a >和0b >，且1ab =，则111822a b a b+++的最小值为___________.四、双空题16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．五、解答题(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列(){}1nn n a b -⋅的前n 项和为n T ，求()1962n n T n ++⨯-的表达式.18．若△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ．若sin a B =，sin b C =且()c a λλ+=∈R ． (1)若2λ=，求cos B ； (2)证明：3B π≤(3)求λ的范围．19．如果，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 与侧面ABB 1A 1都是菱形，AB =4，60BAD ∠=︒平面11CDD C ⊥平面ABCD ，E ､F ､M ､G 分别是1111C D BC AD BB ,,,的中点，N 是AC 上的点且AC =4AN(1)求证：//MN 平面EFG ；(2)若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为48，求二面角A EC G --的余弦值.20．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++和n a b c d =+++.21．已知抛物线()2:20C x py p =>上的点(),4t 到焦点F 的距离等于圆2224310x y x y +-+-=的半径．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，直线1l 交C 于M ，N 两点，直线2l 交C 于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的最小值．22．若对实数0x ，函数()f x ，()g x 满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称()()()00,,f x x x F x g x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩为“平滑函数”，0x 为该函数的“平滑点”.已知()323122f x ax x x =-+和()ln g x bx x =.(1)若1是平滑函数()F x 的“平滑点” （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点()2,P t 可作三条不同的直线与函数()y F x =的图象相切，求实数t 的取值范围； (2)对任意0b >，判断是否存在1a ≥，使得函数()F x 存在正的“平滑点”，并说明理由．参考答案与解析1．B【分析】先解不等式204x x +≤- ，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意204x x +≤- ，解得2x -≤＜4 {}2,3A B ∴= 故选：B. 2．A【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立 ∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()1121212242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+= ⎪+--+⎝⎭ 当且仅当21x y +=-时，则即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21． 故选：A 3．A【分析】把已知等式平方化简即得解. 【详解】1sin cos 5αα+=-两边平方得()21sin cos 25αα∴+= 221sin 2sin cos cos ,25αααα∴++= 112sin cos 25αα∴+=24sin225α∴=-故选：A 4．D【分析】利用作差法可判断A ，B ，利用特值法可判断C ，利用乘1法，结合基本不等式的性质可判断D ．【详解】由)(()221484220-=+-==<1<A 选项错误；由1102224m m m m +-=>++，可知1122m m +>+，故B 选项错误；若故C 选项错误；由()281442252518m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13m =，23n =时取等号，故D 选项正确. 故选：D. 5．B【分析】由数形结合结合点线距离即可求【详解】由题意得()1,0C ，则点C 到直线l 的距离为372916d圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则如图所示，直线l 交圆于A 、B 垂直半径CP 于B ，BP=1. 故12BC d r ，故3r =.故选：B6．C【分析】可由题意设出(),a x y =，()1,0b =由(3)(3)a b a b -⊥+，根据向量垂直的性质得22(3)?(3)90a b a b x y -+=+-=，再由向量,a b 的夹角的余弦值为23，可解得2x =，再代入求解即可.【详解】由题意不妨设(),a x y = ()1,0b = 则()33,a b x y +=+ ()33,a b x y -=-由(3)(3)a b a b -⊥+，可得22(3)?(3)90a b a b x y -+=+-=，即229x y += 又由233x==，解得2x =所以()2··211a b b a b b -=-=-=. 故选：C. 7．A【分析】根据面积可求得4c =，然后根据余弦定理得到a = 【详解】∵ABC ∆60,1A b =︒=∴11sin 1sin 6022bc A c =⨯⨯⨯︒==∴4c =．由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=∴a =．由正弦定理得sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A ．【点睛】正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式都能反应三角形中的边角关系，因此这些内容常综合在一起考查，成为命题的热点．在解题是要注意公式的灵活应用，特别是在应用正弦定理时要注意公式的常用变形，如本题中所涉及的式子等． 8．D【分析】先根据周期性得到()()11f f -=，由此计算出a 的值，然后利用周期性将7(2)2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转变为()102f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据解析式可求得结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为2的周期函数，所以()()11f f -= 所以1cos 022a π-==-，所以1a = 所以[]1,1x ∈-时，则πcos ,012()1,101x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪-≤<⎪-⎩所以()()()1171122222200cos01222312f f f f f f -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- 故选：D. 9．D【分析】设()()2,0g x x f x x =>，已知()()20f x f x x'+>，得出()0g x '>，则可求出函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数，不等式()()()202320233332023x f x f x ++<+可转化为()()20233g x g +<，再根据函数()g x 的单调性即可求解.【详解】解：根据题意，设()()2,0g x x f x x =>，则导函数()()()22g x x f x xf x ''=+函数()f x 在区间()0,∞+上，满足()()20f x f x x'+>，则有()()220x f x xf x '+> 所以()0g x '>，即函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数()()()()()()222023202333202320233332023x f x f x f x f x ++<⇒++<+所以()()20233g x g +< 则有020233x <+< 解得20232020x -<<-即此不等式的解集为{}20232020x x -<<-10．BD【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A 选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B 选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C 选项；利用点到直线的距离公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，该双曲线的离心率为53c e a ==，A 错； 对于B 选项，该双曲线的渐近线方程为34a y x xb =±=±，B 对； 对于C 选项，若12PF PF ⊥，则()1222212262100PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩ 所以()()222121212264PF PF PF PF PF PF ⋅=+--=，可得1232PF PF ⋅=故12121162PF F S PF PF =⋅=△，C 错； 对于D 选项，设点()00,P x y ，则2200169144y x -=双曲线的两渐近线方程分别为340x y += 340x y -= 所以，点P 到两渐近线的距离乘积为22000000229163434144342525x y x y x y --⋅+==+，D 对.故选：BD. 11．AC【分析】根据三角函数的单调性可判断A 选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B 选项，利用正弦定理可判断C 选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D 选项.【详解】对于A ：由A B >，则当0,2A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，则sin sin A B >，当,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则由A B π+<可知2B A ππ<-<，所以()sin sin sin B A A π<-=，故A 选项正确；对于B ：由()0,A B π+∈得：22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 选项错误；对于C ：由根据正弦定理sin sin a b A B =得：sin 533sin 92a B Ab ==> 233A B πππ∴<<=- 且2A π≠，所以满足条件的三角形有两个，C 选项正确；对于D ：由正弦定理可将222sin sin sin A B C +>转化为222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以2C π<，但无法判断,A B 的范围，D 选项错误.12．ACD【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A ；利用导数与函数的极值点之间的关系判断B ，C ；对于D ，作出函数大致图象，判断123,,x x x 的范围，进而根据122212e e x x x x =，可得到21212lnx x x x -=，由此采用换元法并构造函数(),(02)n 1(1l )1t t t th t =<+<-+，从而证明1233x x x ++<-，判断D. 【详解】对于A ，由()()2e xf x x a =+可得()()2e 2x f x x x a '=++若函数()f x 在R 上单调递增，则()0f x '≥恒成立，即220x x a ++≥恒成立 故440a ∆=-≤，故1a ≥经验证1a =时，则()2e (1)0xf x x '=+≥，仅在=1x -时取等号，适合题意故函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥，A 正确；对于B ，当1a =时，则()()2e 1xf x x =+()2e (1)0x f x x '=+≥，仅在=1x -时取等号，()f x 在R 上单调递增 函数无极值点，B 错误；对于C ，由于()()2e 2xf x x x a '=++当8a <-时，则222(1)10x x a x a ++=++-=，则不妨取1211x x =-=-且1x x <或2x x >时，则函数220y x x a =++> 0fx当12x x x <<时，则函数220y x x a =++< ()0f x '<故21x =-()f x 的极小值点，且由于8a <-，则19a ->，则22x >，C 正确；对于D ，当0a =时，则 ()()22e ,e (2)x xf x x f x x x '=∴=+当<2x -或0x >时，则0f x，当20x -<<时，则函数()0f x '<则()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，且()0f x ≥ 故可作出其大致图像如图：函数()y f x m =-有三个零点123,,x x x ，即函数()f x 的图象与直线y m =有三个交点不妨设123x x x <<，由于()224e f --=，而()21e 4e f -=>，且234(e )f x m -=<，故301x <<由图象可知122,20x x <--<<考虑到当m 趋近于0时，则1x 会趋近于无限小，2x 趋近于0，故猜测124x x +<-下面给以证明：由题意可知122212e e x x x x =，故1222212211e ,2ln x x x x x x x x -=∴-= 设21,01x t t x =<<，则21x tx =，故1122ln 2ln (1)2ln ,,11t t t x t t x x t t-=∴==-- 则122ln 2ln 2(1)ln 111t t t t t x x t t t++=+=--- 要证明124x x +<-，即证2(1)ln 41t t t +<--，即2(1)ln 01t t t -+<+ 设(),(02)n 1(1l )1t t t th t =<+<-+，故22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t --'=+=>++ 故()h t 在(0,1)上单调递增故()(1)0h t h <=，即2(1)ln 41t t t+<--成立，故124x x +<- 而301x <<，故1233x x x ++<-成立，D 正确故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识，同时注意数形结合以及构造函数等方法，难点在于判断1233x x x ++<-时，则要首先判断出三者的范围，进而数形结合，合理猜测，进而利用构造函数的方法加以证明.13．4200【详解】先按顺序依次选三人共有111423020C C C再去掉顺序数：111423020334200.C C C A = 故答案为：4200.14．13【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.【详解】抛物线C ：26x y =的准线方程为32y =-，设()11,A x y 和()22,B x y 由抛物线定义得：132AF y =+，232BF y =+因AB 的中点的纵坐标为5，则有1210y y += 所以121233()()31322AF BF y y y y +=+++=++=． 故答案为：1315．6 【分析】将111822a b a b+++化简，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+> 1ab =111818222a b a b a b ab a b +∴++=+++1862a b a b +=+≥=+当且仅当6a b +=时取等号，结合1ab =，解得33a b =-=+或33a b =+=-.故答案为：6.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，则要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，则必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N 的轨迹，然后代入公式即可求出长度.【详解】根据题意该正四面体的棱长为3=12AB ，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin602︒⨯⨯⨯⨯=该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体每个角上小正四面体的侧面积为1344sin 602︒⨯⨯⨯⨯=每个角上小正四面体的底面积为144sin602︒⨯⨯⨯=所以该多面体的表面积为44⨯⨯=如图，设点H 为该多面体的一个顶点则8HF MF == 4BF =.在HBF 中 22212cos606416248482HB HF BF HF BF ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=则HB =222HB BF HF +=HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥又MB HB B =，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足MN AB ⊥∴点N 的轨迹是HBM △的外接圆.BH BM ==21283MH =⨯= 在HBM △中，由余弦定理得2221cos23HB MB HM HBM HB MB +-∠===⋅sin HBM ∴∠== 设HBM △的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sinMHrHBM===∠r∴=∴点N的轨迹长度为2πr=.故答案为：【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N的轨迹.17．(1)21na n=-2nnb=(2)n为偶数时，则1196(2)22n nnT n+++⋅-=-；n为奇数时，则1196(2)22n nnT n+++⋅-=+．【分析】(1)设{}n a公差为d，设{}n b公比为q，根据已知条件列出方程求出d、1a和q即可得到两个数列的通项公式；(2)分n为偶数和奇数时，则利用错位相减法求出数列(){}1nn na b-⋅的前n项和为nT，从而求出()1962nnT n++⨯-的表达式．【详解】（1）设{}n a公差为d424S S=()()11144144222a d a d d a-⇒+=+⇒=()()2111212121110n na a a n d a n d a d⎡⎤=+⇒+-=+-+⇒-+=⎣⎦（2）令()(1)(1)212n n nn n na b n c-=--⋅=，则()21221412nn nc c n--+=+⋅当n为偶数时12n n T c c c =+++()1315292212n n T n -=⋅+⋅+++⋅，① ()()311452232212n n n T n n -+=⋅++-⋅++⋅，②①－②得：()3511352424242212n n n T n -+-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅ ()()121181461223104212149n n n n n n T n T -++⎛⎫⋅- ⎪-⋅+⎝⎭-=+⋅-+⋅⇒=- 当n 为奇数时，则()()167222129n n n n n n T T c n --⋅+=+=--⋅ n ∴为偶数时()111196(2)61226222n n n n n T n n n +++++⋅-=-⋅+-⋅=-n 为奇数时()()11196(2)672292126222n n n n n n T n n n n ++++⋅-=-⋅+-⋅-⋅+⋅=+．18．(1)3cos 4B = (2)证明见解析(3)λ∈⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求解即可；（2）由余弦定理及均值不等式，利于余弦函数的单调性即可证明；（3）由B 的范围求出λ范围，再结合a b c +>，a b c -<确定λ的范围.【详解】（1）由题，可得sin sin a B b C=，由正弦定理得a b b c =，即2b ac =． 由于2c a =，且由余弦定理2222cos b a c ac B ac =+-=化简可得34cos B =，解得3cos 4B =． （2）由（1）得222cos a c ac B ac +-=，代入c a λ=，则有()222212cos a a B a λλλ+-=化简可得()212cos B λλλ+-=即211111cos 222222B λλλλλ-+==+-=≥当且仅当122λλ=即1λ=时，则等号可以取到． 因此，π3B ≤．（3）由（2），可得21111cos ,122222B λλλλλ-+⎡⎫==+-∈⎪⎢⎣⎭及0λ>，解得λ∈⎝⎭．又因为a b c +>，a b c -<><及0b ≠解得λ∈⎝⎭．综上，λ∈⎝⎭． 19．(1)证明见解析【分析】（1）根据平行四边形得线线平行即可求证（2）根据面面垂直以及体积公式可得1C H =进而建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于O ,连接1,D O FO ，故O 是AC 中点因为F 是BC 中点，所以1//,,2=OF AB OF AB 又1111111//,2=D E A B D E A B ,故11,//=OF D E OF D E 因此四边形1OFED 为平行四边形，故1//OD FE又AC =4AN ，所以N 为AO 中点，又M 为1AD 中点所以1////,⊄MN OD EF MN 平面EFG ,EF ⊂ 平面EFG ,所以//MN 平面EFG（2）则平面11CC D D内过点1C作1C H DC⊥，垂足为H，连接HB因为平面11CC D D⊥平面ABCD，且平面ABCD平面11CC D D CD=所以1C H⊥平面ABCD易得,ABD BCD是等边三角形因此四棱柱的体积为11144sin6048ABCDV S C H C H C H=⋅=⨯⨯⋅=⇒=所以2DH CH==，即H为DC的中点BH=1,,C H BH CH两两垂直故建立如图所示的空间直角坐标系；则()(()(()14,0,0,,0,2,0,,,--A E C C B因为112=BG CC，则(-G故()()(0,4,23,23,6,0,23,,CE AC GE=-=-=--设平面ACE的法向量为(),,m x y z=则060040m AC ym CE y⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，取y=()3,3,2m=设平面GCE的法向量为()111,,xn y z=则11111040ym GEm CE y⎧⎧--=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，取1y=122m⎛⎫= ⎪⎝⎭设二面角A EC G--的平面角为θ，由图可知二面角A EC G--的平面角为锐角，故172cos cos,4m nm nm nθ⋅====⨯故二面角A EC G --20．(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；(2)分布列见解析()1E X = 2()3D X =.【分析】（1）求出2χ，比较临界值可得；（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率得分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．【详解】（1）2290(2525355) 5.625 3.84160303060χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P == X 的所有可能取值为0，1，2，3和1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭328(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()2131241C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()2231222C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ 311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∴X 的分布列如下：()1313E X ⨯== 112()31333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 21．(1)28x y =(2)128【分析】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段MN 与PQ 长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.【详解】（1）由题设知抛物线的准线方程为2p y =-由点(),4t 到焦点F 的距离等于圆2224310x y x y +-+-=的半径而2224310x y x y +-+-=可化为()()221236x y -++=，即该圆的半径为6 所以462p +=，解得4p = 所以抛物线C 的标准方程为28x y =；（2）由题意可知直线1l 与直线2l 的斜率都存在，且焦点F 坐标为()0,2因为12l l ⊥，不妨设直线1l 的方程为2y kx =+，直线2l 的方程为12y x k=-+ 联立282x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得28160x kx --=，2Δ64640k =+>恒成立． 设()11,M x y ()22,N x y则128x x k += 1216x x =- 所以()2121248822p p MN y y k x x p k =+++=+++=+ 同理，得2218888PQ k k ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以四边形MPNQ 的面积()222211816488812864222S MN PQ k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11281282⎛≥+= ⎝，（当且仅当1k =±时等号成立） 所以四边形MPNQ 的面积的最小值是128．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．22．(1)（ⅰ）1a = 12b =（ⅱ）3,ln 28⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)存在，理由见解析【分析】（1）（ⅰ）求导列出a.b 的方程求解即可, （ⅱ）转化为方程：()()()2t F x F x x '=--有3个不同根，构造函数结合图像求解即可；（2）消参得()23ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立，转化为()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立，构造函数证明即可 【详解】（1）（ⅰ）由()323122f x ax x x =-+ ()lng x bx x = 则()21332f x ax x '=-+ ()()1lng x b x '=+ 由题意，1是平滑函数()F x 的“平滑点”可知10a -=，且532a b -=，解得 1a = 12b =. （ⅱ）由题意，()3231,0122ln ,12x x x x F x x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，过点()2,P t 作()F x 的切线 切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x '-=-故题意等价于方程：()()()2t F x F x x '=--有3个不同根设()()()()2p x F x F x x '=--则()()()632,012,12x x x p x x x x ⎧---<<-≥'⎪=⎨⎪⎩令()0p x '>，即122x <<；令()0p x '<，即102x <<或2x > 所以函数()p x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递减 且11113222228p F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()()()()22222ln 2p F F =--='如图所示第 21 页 共 21 页所以3,ln 28t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （2）题意等价于0b ∀>，是否1a ∃≥，使得()32231ln 221331ln 2ax x x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消去a 有()312ln 12x b x -=-，3122ln 1x b x -=-其中由0b >，可得23x ⎛∈ ⎝ 故题意进一步化简23x ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()23ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立 23x ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+- ()()83ln q x x x -'= 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则单调递减；(x ∈，()q x 单调递增 故()()10q x q ≥=得证即0b ∀>，31a ≥使得()F x 存在的“平滑点”．【点睛】方法点睛：定义函数问题，主要根据定义理解函数性质特征，结合函数求导求解即可.。

滨海县八滩中学2012-2013年度秋学期高三摸底考试模拟试卷数学试题一．填空题1．已知全集}5,4,3,2,1{=U ，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合=⋃)(B A C U __________________。

2．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人。

若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为人。

3．若1524z z z i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z =__________4．右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s =______。

5．函数2()lg(31)f x x ++的定义域是______________。

6．袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标 有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数，现从中随机选取三个球,则 所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是_____。

7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若31=a ，前三项的和为21 ， 则=++654a a a 。

8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为_______________cm 3。

9．已知F 是双曲线C ：)0,(12222>=-b a by a x 的左焦点，B 1B 2是双曲线的虚轴，M 是OB 1的中点，过F 、M 的直线交双曲线C 于A ，且FM →＝2MA →，则双曲线C 离心率是_______。

10．直线2y x m =+和圆221x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若AB =那么)cos(βα-的值是_____。

2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12802．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e3．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -5．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．3B ．32C ．53D ．26．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<7．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．128．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．129．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．15210．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1311．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江苏省高三冲刺模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若0,0x y >>，则“2x y +=的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =2．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.95443．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆4．正三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D ．16．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,47．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．88．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–2010．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．011．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±12．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。