九年级数学专题复习之创新作图

专题二 创新作图的复习方法考向分析一、近五年中考数学中此部分内容如何考查创新画图题是在一定情境下，以无刻度直尺作为唯一的画图工具，结合图形的几何性质、 基本定理、图形变换等进行分析、推理、归纳、寻找画图依据，主要画图步骤是找点，连线，此专题为江西近5年必考题，涉及的知识点有:（1）三角形三条高线，中线，角平分线交于一点；（2）三角形一条边上的中线平分三角形的面积；（3）等腰三角形底边上三线合一；（4）垂径定理及其推论；（5）圆周角定理及其推论；（6）正多边形的基本性质；（7）特殊四边形的性质；（8）网格的运用.（一）以三角形为背景画图1．（2018江西中考，15，6分）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为AB 的中点．请仅用无刻度的直尺．．．．．．分别按下列要求画图(保留画图痕迹)． (1)在图1中，画出ABD 的BD 边上的中线；(2)在图2中，若BA BD =，画出ABD 的AD 边上的高．图1 图2（二）以特殊四边形为背景画图2．（2016江西中考，17，6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB 是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45︒角，使点A 或点B 是这个角的顶点，且AB 为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB 的垂直平分线．3.(2021江西，16，6分)已知正方形ABCD 的边长为4个单位长度，点E 是CD 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).（1）在图1中，将直线AC 绕着正方形ABCD 的中心顺时针旋转45︒;（2）在图2中，将直线AC 向上平移1个单位长度.（三）以圆、半圆为背景画图4. （2019江西中考，15，6分）在ABC 中，AB AC =，点A 在以BC 为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺．．．．．．分别按下列要求画图（保留作图痕迹）. （1）在图1中作弦EF ，使//EF BC ；（2）在图2中以BC 为边作一个45︒的圆周角.5.(2015江西中考，17，6分)O 为ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法).(1)如图1，AC BC =；(2)如图2，直线l 与O 相切于点P ，且l BC .图1 图2（四）以正多边形为背景画图6.（2017江西中考，16，6分）如图，已知正七边形ABCDEFG ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB 为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF 为边的菱形.l（五）以网格为背景画图 7.（2014江西，17，6分）已知梯形ABCD ，请使用无刻度直尺画图.（1）在图1中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以CD 为边的三角形；（2）在图2中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以AB 为边的平行四边形.8.（2020江西，16，6分）如图,在正方形网格中，ABC 的顶点在格点上。

中考数学云南专版总复专项打破汇编（ 3）创新画图型问题专题三 :创新画图型问题【方法指导】创新作〔画〕图题中的〝创新〞，不完整部是指传统的尺规作图题,它既保留了尺规作图的严实的逻辑推理的要求，同时还需要联合几何推理，对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探究.创新画图主要涉及到的知识点有：线段的垂直均分线定理；三线合一的性质；垂径定理；圆周角定理。

创新作图的解题策略是选定工具、循假求真、数形论证、变虚为实.【典例分析】种类一：找点问题【例 1】〔2019 广西南宁〕〔8.00 分〕如图，在平面直角坐标系中，△ A BC 的三个极点坐标分别是 A〔1，1〕，B〔4，1〕，C〔3，3〕．〔1〕将△ ABC 向下平移 5 个单位后获得△ A1B1C1，请画出△ A1B1C 1；〔2〕将△ ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后获得△ A2B2C2，请画出△A2B2C2 ；〔3〕判断以 O，A1，B 为极点的三角形的形状．〔不必说明原由〕【分析】〔1〕利用点平移的坐标特色写出 A1 、B1、C1 的坐标，而后描点即可获得△ A1B1C1 为所作；〔2〕利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C 的对应点 A2、B2、C 2，从而获得△ A2B2C2，〔3〕依据勾股定理逆定理解答即可．【解答】解：〔1〕以以下图，△ A1B1C1 即为所求：〔2〕以以下图，△ A2B2C2 即为所求：〔3〕三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B=，即，因此三角形的形状为等腰直角三角形．【评论】此题观察了作图﹣旋转变换：依据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以经过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，按序连接得出旋转后的图形．种类二：画线问题【例 2】〔2019 贵阳〕〔12.00 分〕如图，在矩形 ABCD 中， AB ═2，A D= ，P 是 BC 边上的一点，且 BP=2CP．〔1〕用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E，连接 AE、BE〔保留作图印迹，不写作法〕；〔2〕如图②，在〔 1〕的条体下，判断 EB 能否均分∠ AEC，并说明理由；〔3〕如图③，在〔 2〕的条件下，连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点F，连接 AP，不增添辅助线，△ PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与△ PA E 构成一个等腰三角形？假如能，说明原由，并写出两种方法〔指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离〕【分析】〔1〕依据作线段的垂直均分线的方法作图即可得出结论；〔2〕先求出 DE=CE=1，从而判断出△ ADE ≌△ BCE，得出∠ AED= ∠〔3〕先判断出△ AEP≌△ FBP，即可得出结论．【解答】解：〔1〕依题意作出图形如图①所示，〔2〕EB 是均分∠ AEC，原由：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ C=∠D=90°， CD=AB=2 ， BC=AD=，∵点 E 是 CD 的中点，∴DE=CE= CD=1，在△ ADE 和△ BCE 中，，∴△ ADE ≌△ BCE，∴∠ AED= ∠BEC，在 Rt△ADE 中， AD=，DE=1，∴t an∠AED= = ，∴∠ AED=60 °，∴∠ BCE=∠AED=60 °，∴∠ AEB=180 °﹣∠ AED﹣∠ BEC=60°=∠BEC，∴B E 均分∠ AEC；〔3〕∵ BP=2CP，BC= ，∴CP=，BP=，在 Rt△CEP 中， tan∠ CEP= =，∴∠ CEP=30°，∴∠ BEP=30°，∴∠ AEP=90°，∵CD∥AB ，∴∠ F=∠ CEP=30°，在 Rt△ABP 中， tan∠BAP= = ，∴∠PAB=30°，∴∠ EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴A P=FP，∴△ AEP≌△ FBP，∴△ PFB 能由都经过 P 点的两次变换与△ PAE 构成一个等腰三角形，变换的方法为：将△ BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和△ EPA 重合，①沿 PF 折叠，②沿 AE 折叠．【评论】此题是四边形综合题，主要观察了矩形的性质，全等三角形的判断和性质，锐角三角函数，图形的变换，判断出△AEP≌△△ FBP 是解此题的要点．种类三：构造图形【例 3】〔2019 东营〕〔10.00 分〕〔1〕某学校〝智慧方园〞数学社团遇到这样一个题目：如图 1，在△ ABC 中，点 O 在线段 BC 上，∠BAO=30 °，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求 AB 的长．经过社团成员谈论发现，过点 B 作 BD ∥AC，交 AO 的延长线于点D，经过构造△ ABD 就可以解决问题〔如图2〕．请回答：∠ ADB= 75 °， AB=4．〔2〕请参照以上解决思路，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O，AC⊥AD ，AO=，∠ ABC= ∠ACB=75 °， BO：OD=1：3，求 DC 的长．【分析】〔1〕依据平行线的性质可得出∠ADB= ∠OAC=75°，联合∠BOD= ∠COA可得出△BOD∽△ COA，利用相似三角形的性质可求出OD 的值，从而可得出AD 的值，由三角形内角和定理可得出∠ADB ，由等角同等边可得出AB=AD=4，此题得解；〔2〕过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，同〔1〕可得出ABD=75 °=∠AE=4 ，在 Rt△AEB 中，利用勾股定理可求出 BE 的长度，再在 Rt△CAD 中，利用勾股定理可求出 DC 的长，此题得解．【解答】解：〔1〕∵ BD∥AC，∴∠ ADB= ∠OAC=75°．∵∠ BOD= ∠COA ，∴△ BOD ∽△ COA ，又∵ AO=，∴O D= AO= ，∴A D=AO+OD=4 ．∵∠ BAD=30 °，∠ ADB=75 °，∴∠ ABD=180 °﹣∠ BAD ﹣∠ ADB=75 °=∠ADB ，∴AB=AD=4．〔2〕过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，以以下图．∵AC⊥AD ，BE∥AD ，∴∠ DAC=∠BEA=90 °．∵∠AOD= ∠EOB，∴△ AOD ∽△ EOB，∵B O：OD=1：3，∵A O=3 ，∴EO=，∴AE=4．∵∠ ABC= ∠ACB=75 °，∴∠ BAC=30 °， AB=AC ，∴AB=2BE 、在 Rt△AEB 中， BE2+AE2=AB2 ，即〔 4〕2+BE2=〔2BE〕2，解得： BE=4，∴AB=AC=8 ，AD=12 ．在 Rt△CAD 中， AC2+AD2=CD2 ，即 82+122=CD2，解得： CD=4．【评论】此题观察了相似三角形的性质、等腰三角形的判断与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的要点是：〔 1〕利用相似三角形的性质求出 OD 的值；〔 2〕利用勾股定理求出 BE、CD 的长度．【真题热身】1.〔2019 湖南怀化〕〔12.00 分〕：如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥BC、点 E 为 CD 边上一点， AE 与 BE 分别为∠ DAB 和∠ CBA 的均分线．〔1〕请你增添一个合适的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；〔2〕作线段 AB 的垂直均分线交 AB 于点 O，并以 AB 为直径作⊙ O〔要求：尺规作图，保留作图印迹，不写作法〕；〔3〕在〔2〕的条件下，⊙ O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，假设 AE=4， sin∠AGF= ，求⊙ O 的半径．2.〔2019 吉林〕〔7.00 分〕如图是由边长为 1 的小正方形构成的 8×4 网格，每个小正方形的极点叫做格点，点 A，B，C， D 均在格点上，在网格中将点 D 按以下步骤挪动：第二步：点 D1 绕点 B 顺时针旋转 90°获得点 D2；第三步：点 D2 绕点 C 顺时针旋转 90°回到点 D、〔1〕请用圆规画出点 D→D1→D2→ D 经过的路径；〔2〕所画图形是对称图形；〔3〕求所画图形的周长〔结果保留π〕．3.〔2019 哈尔滨〕〔7.00 分〕如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正方形的极点上．〔1〕在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD 〔不是正方形〕，且点C 和点 D 均在小正方形的极点上；〔2〕在图中画出以线段 AB 为一腰，底边长为 2 的等腰三角形 ABE ，点E 在小正方形的极点上，连接 CE，请直接写出线段 CE 的长．4.〔2019 吉林〕〔7.00 分〕数学活动小组的同学为丈量旗杆高度，先拟定了以下丈量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含 a， b，α 的代数式表示旗杆 AB 的高度．数学活动方案活动时间：2019 年4 月2 日活动地点：学校操场填表人：林平课题活动目的方案表示图丈量学校旗杆的高度运用所学数学知识及方法解决实质问题丈量步〔1〕用测角仪测得∠ ADE=α；骤〔2〕用皮尺测得BC=a米， CD=b米．计算过程5.〔2019 云南昆明〕〔4.00 分〕如图，点 A 在双曲线 y═〔x＞0〕上，过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 B，分别以点 O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧订交于 D，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C，交 y轴于点F〔0，2〕，连接AC、假设AC=1 ，那么k 的值为〔〕A、2B、C、D、1.〔2019 湖南怀化〕〔12.00 分〕：如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥BC、点 E 为 CD 边上一点， AE 与 BE 分别为∠ DAB 和∠ CBA 的均分线．〔1〕请你增添一个合适的条件 AD=BC ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；〔2〕作线段 AB 的垂直均分线交 AB 于点 O，并以 AB 为直径作⊙ O〔要求：尺规作图，保留作图印迹，不写作法〕；〔3〕在〔2〕的条件下，⊙ O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，假设 AE=4， sin∠AGF= ，求⊙ O 的半径．【分析】〔1〕增添条件 AD=BC ，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形考据即可；〔2〕作出相应的图形，以以下图；〔3〕由平行四边形的对边平行获得AD 与BC 平行，可得同旁内角互补，再由 AE 与 BE 为角均分线，可得出 AE 与 BE 垂直，利用直径所对的圆周角为直角，获得 AF 与 FB 垂直，可得出两锐角互余，依据角均分线性质及等量代换获得∠ AGF= ∠AEB ，依据 sin∠AGF 的值，确立出 sin∠AE B 的值，求出 AB 的长，即可确立出圆的半径．【解答】解：〔1〕当 AD=BC 时，四边形 ABCD 是平行四边形，原由为：证明：∵ AD ∥BC， AD=BC ，∴四边形 ABCD 为平行四边形；〔2〕作出相应的图形，以以下图；〔3〕∵ AD ∥BC，∴∠ DAB+ ∠CBA=180 °，∵A E 与 BE 分别为∠ DAB 与∠ CBA 的均分线，∴∠ EAB+ ∠EBA=90 °，∴∠ AEB=90 °，∵A B 为圆 O 的直径，点 F 在圆 O 上，∴∠ AFB=90 °，∴∠ FAG+∠FGA=90°，∵AE 均分∠ DAB ，∴∠FAG=∠EAB ，∴∠ AGF= ∠ABE ，∴sin∠ABE=sin ∠AGF= = ，∵A E=4，∴A B=5 ，那么圆 O 的半径为 2.5．2.〔2019 吉林〕〔7.00 分〕如图是由边长为 1 的小正方形构成的 8×4 网格，每个小正方形的极点叫做格点，点 A，B，C， D 均在格点上，在网格中将点 D 按以下步骤挪动：第二步：点 D1 绕点 B 顺时针旋转 90°获得点 D2；第三步：点 D2 绕点 C 顺时针旋转 90°回到点 D、〔1〕请用圆规画出点 D→D1→D2→ D 经过的路径；〔2〕所画图形是轴对称对称图形；〔3〕求所画图形的周长〔结果保留π〕．【分析】〔1〕利用旋转变换的性质画出图象即可；〔2〕依据轴对称图形的定义即可判断；〔3〕利用弧长公式计算即可；【解答】解：〔1〕点 D→D1→D2→D 经过的路径以以下图：〔2〕观察图象可知图象是轴对称图形，〔3〕周长 =4×=8π．【评论】此题观察作图﹣旋转变换，弧长公式、轴对称图形等知识，解题的要点是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型．3.〔2019 哈尔滨〕〔7.00 分〕如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正方形的极点上．〔1〕在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD 〔不是正方形〕，且点C 和点 D 均在小正方形的极点上；〔2〕在图中画出以线段 AB 为一腰，底边长为 2 的等腰三角形 ABE ，点E 在小正方形的极点上，连接 CE，请直接写出线段 CE 的长．【分析】〔1〕利用数形联合的思想解决问题即可；〔2〕利用数形联合的思想解决问题即可；【解答】解：〔1〕以以下图，矩形 ABCD 即为所求；〔2〕如图△ ABE 即为所求；【评论】此题观察作图﹣应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判断和性质等知识，解题的要点是学会利用思想联合的思想解决问题，属于中考常考题型．4.〔2019 吉林〕〔7.00 分〕数学活动小组的同学为丈量旗杆高度，先拟定了以下丈量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含 a， b，α 的代数式表示旗杆 AB 的高度．数学活动方案活动时间：2019 年4 月2 日活动地点：学校操场填表人：林平课题活动目的方案表示图丈量学校旗杆的高度运用所学数学知识及方法解决实质问题丈量步〔1〕用测角仪测得∠ ADE=α；骤〔2〕用皮尺测得BC=a米， CD=b米．计算过程【分析】在 Rt△ADE 中，求出 AE，再利用 AB=AE+BE 计算即可；【解答】解：〔1〕用测角仪测得∠ ADE= α；〔2〕用皮尺测得 BC=a 米， CD=b 米．〔3〕计算过程：∵四边形 BCDE 是矩形，∴DE=BC=a，BE=CD=b，在 Rt△ADE 中， AE=ED? tanα=a? tanα，∴A B=AE+EB=a ? tanα+B、【评论】此题观察解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的要点是学会增添常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5.〔2019 云南昆明〕〔4.00 分〕如图，点 A 在双曲线 y═〔x＞0〕上，过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 B，分别以点 O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧订交于 D，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C，交 y轴于点 F〔0，2〕，连接 AC、假设 AC=1 ，那么 k 的值为〔〕A、2B、C、D、【分析】如图，设 OA 交 CF 于 K．利用面积法求出 OA 的长，再利用相似三角形的性质求出 AB 、 OB 即可解决问题；【解答】解：如图，设OA 交 CF 于 K．由作图可知， CF 垂直均分线段 OA，∴O C=CA=1 ，OK=AK ，在 Rt△OFC 中， CF=∴AK=OK==，∴OA=，由△ FOC∽△ OBA ，可得=，= =，∴O B= ，AB= ，∴A〔，〕，∴k= ．应选： B、【评论】此题观察作图﹣复杂作图，反比率函数图象上的点的坐标特色，线段的垂直均分线的性质等知识，解题的要点是灵巧运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

2024九年级春季数学下册听课笔记：专题复习——创新作图1. 教师行为1.1 导入•创意展示：教师首先通过多媒体展示一系列富有创意的图形设计，如利用几何图形构成的艺术图案、数学与建筑结合的标志性建筑等，引发学生对图形美的欣赏和创造欲望。

•情境设定：设定一个情境，如“假设你是一名图形设计师，需要为学校的文化节设计一个既美观又富有深意的图案”，以此激发学生的想象力和创造力。

•明确目标：阐述本节课的复习目标，即掌握创新作图的基本思路和方法，能够运用所学数学知识创作出具有创新性的图形作品。

1.2 教学过程•创新思路启发：•教师引导学生分析创意图形的构成元素，如基本几何形状、对称、旋转、平移等变换的应用。

•通过案例分析，展示如何将简单的几何图形通过巧妙的组合和变换形成复杂而富有创意的图案。

•鼓励学生大胆想象，提出自己的创新作图想法。

•技能回顾与提升：•回顾尺规作图、图形变换等基本技能，确保学生掌握这些基础工具。

•引入新的作图工具或软件（如几何画板、图形设计软件等），介绍其基本操作和使用方法，为学生创新作图提供技术支持。

•实践创作：•组织学生进行实践创作，要求学生根据自己的创新想法，利用所学知识和工具绘制出图形作品。

•教师巡视课堂，为学生提供必要的指导和帮助，鼓励学生尝试不同的创作方法和风格。

•设立作品展示环节，让学生展示自己的作品并阐述创作思路和灵感来源。

板书设计（提纲式）1.导入•创意图形展示•情境设定与目标明确2.创新思路启发•构成元素分析•案例分析•学生创新想法提出3.技能回顾与提升•尺规作图等基本技能回顾•新工具/软件介绍与操作4.实践创作•学生创作过程•教师指导与帮助•作品展示与阐述作业布置•要求学生课后继续完善自己的创新作图作品，并尝试使用不同的工具或方法进行创作。

•鼓励学生收集生活中的创意图形素材，为未来的创作积累灵感。

•提交一份创作报告，包括创作思路、过程、遇到的困难及解决方案等。

课堂小结•总结本节课复习的主要内容，强调创新作图的重要性和乐趣。