专题10：立体几何中的体积问题(原卷版)

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯文科立体几何体积专题1、如图 5 所示，在三棱锥P ABC 中，AB BC 6 ，平面PAC 平面 ABC ，PD AC 于点 D ， AD 1 ，CD 3 ， PD 2 ．（ 1）求三棱锥P ABC 的体积；（2）证明△ PBC 为直角三角形．PAD CB2、如图， E 为矩形 ABCD所在平面外一点，AD平面ABE，图5AE=EB=BC=2， F 为 CE是的点，且BF平面ACE，AC BD G（1 ）求证：AE平面BCE；（2）求三棱锥C— BGF的体积。

3、如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD AC DE 2 AB =1，且EF 是 CD 的中点．AF 3 B（Ⅰ）求证： AF ∥平面 BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE； A(III)求此多面体的体积．C DF(18 题图 )4、在如图 4 所示的几何体中，平行四边形ABCD的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a，AP CP 2a ，DP // AM，且 AM 1DP ， E, F 分别为 BP, CP 的中点. 2(I)证明：EF //平面ADP ;(II)求三棱锥M ABP 的体积.5、在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1 D1中,E是线段 A1C1的中点, 底面 ABCD的中心是 F.(1)求证 : CE BD；(2) 求证 : CE∥平面A1BD；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新 料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6、矩形 ABCD 中， 2AB AD ，E 是 AD 中点，沿 BE 将 ABE 折起到 A ' BE的位置，使 ''D ， F 、 G 分别是 BE 、 CD 中点 .AC A （ 1）求证： A F ⊥ CD ；（ 2）设 AB2，求四棱锥 A BCDE 的体积 .7 、 如 图 ， 在 四 棱 锥P ABCD 中 ， 底 面 是 边 长 为2 的 正 方 形 ， 侧 面 PAD 底面 ABCD ， 且A B C DP A P D2A ，D 若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点 .2（ 1）求证： EF ∥平面 PAD ；（ 2）求证：平面 PDC 平面 PAD .（ 3）求四棱锥 P ABCD 的体积 V P ABCD .8、如图 , 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1 中， AC 3 ， BC 4， AB 5 , AA 1 4 ，点 D 是 AB 的中点，（ 1）求证： AC BC 1 ；（ 2）求证： AC 1 // 平面 CDB 1 ；（ 3）求三棱锥 C 1 CDB 1 的体积。

专题10 几何问题例1．（2023·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ） A ．4812C -B ．488-C C ．486-CD ．484-C例2．（2023·高二课时练习）一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B ，第4秒后又回到A 点的不同爬行路线有（ ）A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条A ．40B ．60C ．80D ．120例4．（1997·全国·高考真题）四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法共有（ ）A ．30种B ．33种C ．36种D ．39种例5．（2023·全国·高二专题练习）凸八边形的对角线有（ ）条A ．20B ．28C ．48D ．56例6．（2023·全国·高三专题练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则（ ）A．至多能剪成19块“L”形骨牌B．至多能剪成20块“L”形骨牌C．最多能剪成21块“L”形骨牌D．前三个答案都不对C分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名例7．（2023·全国·高三专题练习）已知60C是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边足球烯，60形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（）个.A．10B．12C．16D．20例8．（2023·高二课时练习）设凸n (n≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)＝() A．n－1B．nC．n＋1D．n＋2例9．（2023秋·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）在正方体的8个顶点中，任意两点可连成直线，其中异面直线有______对．例10．（2023·高二课时练习）已知两条异面直线,a b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定______个平面．例11．（2023·全国·高三专题练习）从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的取法总数为___________种.例12．（2023·高二课时练习）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面点，不同取法有________种.例13．（2023·全国·高三专题练习）一只蚂蚁从一个正四面体ABCD 的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A 的爬行方法种数是__________．例14．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若平面上有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有______个交点（用数字作答）.例15．（2023·高二课时练习）设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一，若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共____种．例16．（2023·江苏·高三开学考试）格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：(2,1)P -，则点P 到原点的格点距离为213+=）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）.例17．（2023·高二课时练习）已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多少个不同的平面？例18．（2023·全国·高三专题练习）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？例19．（2023·高二课时练习）空间有10个点，其中任意4点不共面．(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？例20．（2023·高二课时练习）四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？例21．（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？例22．（2023·高二课时练习）（1）已知圆上有10个点，过任意3个点都可画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？（2）已知空间中10个点，且任意4个点都不共面，即以任意4个点为顶点都可构造一个四面体，则一共可以构造多少个四面体？例23．（2023·高二课时练习）（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？例24．（2023·全国·高三专题练习）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线？（2）以每三点为顶点作三角形可作几个？；（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？例25．（2023·江西·高二期中）如图1111ABCD A B C D 为正方体，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意跳到相邻三顶点之一，若在五次内跳到1C 点，则停止跳动；若5次内不能跳到1C 点，跳完五次也停止跳动，求：（1）5次以内能到1C点的跳法有多少种？（2）从开始到停止，可能出现的跳法有多少种？例26．（2023·高二课时练习）平面内有9个数，有4 点在同一直线上，其余则无三点或三点以上的点共线，则可连成___________条线段，___________________条射线(用数字作答)．。

专题10：立体几何中的体积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥；（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.（2）计算∆BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵1CC ⊂平面11CC B B ，CB ⊂平面11CC B B ，1CC CB C =，∴AC ⊥平面11CC B B ，∵1BC ⊂平面11CC B B ，∴1AC BC ⊥.（2）∵D 是AB 中点， ∴111343222BCD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， ∵1BB ⊥平面ABC ，114BB AA ==，∴111134433B BCD BCD V S BB -∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.2．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；（2）求三棱锥V ABC -的体积.【答案】（1）详见解答；（23. 【分析】（1）由已知可得OC AB ⊥，再由面面垂直定理可得OC ⊥平面VAB ，即可证明结论； （2）OC ⊥平面VAB ，用等体积法求三棱锥V ABC -的体积.【详解】（1）,AC BC O =为AB 中点，OC AB ∴⊥，平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面,VAB OC ∴⊂平面MOC ，平面MOC ⊥平面VAB ；（2）AC BC ⊥且2AC BC ==，O 分别为AB 的中点，11,2,2332VAB OC AB S ∆∴===⨯⨯=， OC ⊥平面VAB ，133V ABC C VAB VAB V V OC S --∆==⨯⨯=， 3V ABC V -∴=. 【点睛】本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.3．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.【答案】35(cm )3. 【分析】在Rt VMC ∆中求出3(cm),MC =在Rt ABC ∆中求出25(cm)BC =，再根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】 VM 是棱锥的高，VM MC ∴⊥.在Rt VMC ∆中，2222543(cm),MC VC VM =-=-=.26cm AC MC ∴==，在Rt ABC ∆中，22226425(cm)BC AC AB =-=-=.242585(cm )S AB BC ∴=⨯=⨯=底，3 11325854(cm )333V S VM ∴=⋅=⨯⨯=四棱锥底. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题.4．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（243 【分析】 （1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD ︒=⋅⋅=，故四棱锥P - ABCD 的体积1433V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.5．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出.（2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥（2）由（1）知AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面，且在边长为的菱形中，，所以，3 ，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3=⋅ =11233sin sin 32POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，P ABC V -的最大值为1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据等腰三角形证明PE AD ⊥，得到答案. （2）计算得到2AD =，22PE =，再利用体积公式计算得到答案. 【详解】（1）1PA PD ==，E 为AD 的中点，故PE AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =，故PE ⊥平面ABCD .（2）PA PD ⊥，1PA PD ==，故2AD =，22PE =. 故122223P ABCD V -=⨯⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.【答案】1:6【解析】【分析】棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可.【详解】解：已知的长方体可以看成直四棱柱ADD A BCC B '''-，设它的底面ADD A ''面积为S ，高为h ，则长方体的体积为ADD A BCC B V Sh '''-=.因为棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，且A DD ''的面积为12S ，棱锥C A DD ''-的高是h ，所以111326D A CD C A DD V V Sh Sh ''''--==⨯=. 因此所求体积之比为1:6.【点睛】本题考查了棱锥及棱柱的体积公式，重点考查了转换顶点求棱锥的体积，属基础题 8．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，11190AO B ︒∠=，求此圆柱的体积.【答案】22S l π. 【分析】 根据已知易得AOB 是等腰直角三角形，根据截面11A ABB 的面积为S 求出AB 长，进而求得底面圆面积再求体积即可。

立体几何体积问题未命名一、解答题1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．2．如图，多面体中，为正方形，，,且.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积.3．在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求线段的长.4．如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面.（1）证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的表面积.5．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积6．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.（1）求证：平面;（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.7．如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.（1）证明：；（2）若，求几何体的体积.8．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.9．已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．10．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.（1）求证：平面⊥平面PAC.（2）求三棱锥的体积.11．在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.12．如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.（1）证明：平面；（2）求多面体的表面积.13．如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求到平面的距离．14．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.15．如图,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.(1) 求证:平面；(2) 若,求三棱柱的体积.参考答案1．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.2．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证A平面即可，（2）由已知，连接交于，作于，由等体积法：，进而可得出结论.（1）证明：∵，由勾股定理得：又正方形中，且∴平面，又∵面，∴平面平面（2）由已知，连接交于作于，则又由（1）知平面平面，平面平面，面，得面由，知四边形为平行四边形，即，而，进而又由，所以，三棱锥的体积.点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.3．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，分别计算出四棱锥的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG 中求出CF的值。

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（立体几何基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定2．（2021·江苏高一课时练习）已知平面与平面平行，且直线，则下列说法正确的是（）A．与内所有直线平行B．与内的无数条直线平行C．与内的任何一条直线都不平行D．与内的任何一条直线平行3．（2021·江苏高一课时练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（）A．18＋6B．6＋C．24D．184．（2021·江苏高一课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（）A．B．C．D．5．（2021·江苏高一课时练习）已知一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补6．（2021·江苏高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A．a2B．a2C．a2D．a27．（2021·江苏高一课时练习）已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是（）A．cm B．4 cm C．cm D．cm8．（2021·江苏高一课时练习）已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条9．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P∥α，PB∥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC∥AC ，则∥ABC 为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定10．（2021·江苏高一课时练习）过球面上任意两点A ，B 作大圆，可能的个数是 ( )A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确11．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，∥A′B′C′是水平放置的∥ABC 的直观图，则在∥ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是 ( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC12．（2021·江苏高一课时练习）将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2021·江苏高一课时练习）如图的正方体ABCD - A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB -D 的大小是A ．300B ．450C ．600D ．90014．（2021·江苏高一课时练习）已知S 为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则A ．//GH SAB ．//GH SDC ．//GH SCD ．以上均有可能15．（2021·江苏高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C 中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是A ．B ．C ．D ．16．（2021·江苏高一课时练习）下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）已知三个球的表面积之比是，则这三个球的体积之比为________. 18．（2021·江苏高一课时练习）已知和是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是________.19．（2021·江苏高一课时练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.20．（2021·江苏高一课时练习）有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________.21．（2021·江苏高一课时练习）如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________.22．（2021·江苏高一课时练习）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.23．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.24．（2021·江苏高一课时练习）从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．25．（2021·江苏高一课时练习）水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.26．（2021·江苏高一课时练习）如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_______.27．（2021·江苏高一课时练习）已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.28．（2021·江苏高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．29．（2021·江苏高一课时练习）在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.30．（2021·江苏高一课时练习）已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是_______四边形.31．（2021·江苏高一课时练习）如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．32．（2021·江苏高一课时练习）三棱锥S-ABC中，G为∥ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.。

高中数学立体几何体积复习题集附答案高中数学立体几何体积复习题集附答案一、填空题1. 已知四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形，且侧棱长为8cm，求四棱锥的体积。

解答：四棱锥的体积公式为V = (1/3)×底面积×高。

底面积为6^2 = 36cm^2，高为8cm。

所以四棱锥的体积为V = (1/3)×36cm^2×8cm = 96cm^3。

2. 圆柱的底面半径为5cm，高为12cm，求圆柱的体积。

解答：圆柱的体积公式为V = 底面积×高。

底面积为π×5^2 = 25πcm^2，高为12cm。

所以圆柱的体积为V = 25πcm^2×12cm = 300πcm^3。

3. 正方体的体积为64cm^3，求正方体的边长。

解答：正方体的体积公式为V = 边长^3。

已知V = 64cm^3，代入公式可得：64 = 边长^3。

求解得边长 = 4cm。

4. 球的半径为10cm，求球的体积。

解答：球的体积公式为V = (4/3)π×半径^3。

已知半径为10cm，代入公式可得：V = (4/3)π×10^3。

所以球的体积为V = (4/3)π×1000 = 4000πcm^3。

二、选择题1. 下列几何体中，体积最大的是：A. 正方体的棱长为10cmB. 长方体的长、宽、高分别为6cm、8cm、10cmC. 圆柱的底面半径为5cm，高为14cmD. 球的半径为7cm解答：选项C。

计算各几何体的体积，可得：A. 正方体的体积为V = 10^3 = 1000cm^3B. 长方体的体积为V = 6cm×8cm×10cm = 480cm^3C. 圆柱的体积为V = π×5^2×14cm = 350πcm^3D. 球的体积为V = (4/3)π×7^3 = 1434πcm^3可见，C选项的体积最大。

立体几何体积计算练习题1. 正方体计算(1) 已知一个正方体的边长为5cm，计算其体积。

解答：正方体的体积计算公式为V = a³，其中a为正方体的边长。

代入已知数据可得，V = 5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。

(2) 若正方体的体积为64cm³，求其边长。

解答：将正方体的体积计算公式改写为a³ = V。

代入已知数据可得，a³ = 64cm³。

对等式两边开立方根可得，a = ∛(64cm³) = ∛(4 × 4 × 4cm³) = 4cm。

因此，正方体的边长为4cm。

2. 长方体计算(1) 已知一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm和4cm，计算其体积。

解答：长方体的体积计算公式为V = lwh，其中l、w和h分别为长方体的长、宽和高。

代入已知数据可得，V = 8cm × 6cm × 4cm = 192cm³。

(2) 若长方体的体积为360cm³，已知长和宽的比为2:3，求长方体的长、宽和高。

解答：设长和宽分别为2x和3x（其中x为比例系数），代入长方体的体积计算公式可得，(2x) × (3x) × h = 360cm³。

化简该方程可得，6x²h = 360cm³。

解方程可得，h = 360cm³ / (6x²)。

同时，已知长和宽的比为2:3，即有 (2x) / (3x) = 2/3。

解方程可得，x = 3。

代入h的表达式可得，h = 360cm³ / (6 × 3²) = 10cm。

因此，长方体的长为2x = 2 × 3 = 6cm，宽为3x = 3 × 3 = 9cm，高为10cm。

3. 圆柱体计算(1) 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高为10cm，计算其体积。

数学一轮总复习中的立体几何体积题解析立体几何是数学重要的分支之一，其中计算体积问题是练习和理解立体几何的关键。

在数学一轮总复习中，我们需要掌握解决立体几何体积问题的方法和技巧。

本文将对立体几何中的体积问题进行解析，帮助读者深入理解和掌握相关知识。

一、基本概念回顾在解决立体几何体积问题之前，我们首先需要回顾一些基本概念。

在立体几何中，体积是描述一个物体占据的空间大小的概念。

对于不规则的几何体，我们可以通过计算其体积来得知其大小。

在计算体积时，我们通常用立方单位来表示，如立方厘米、立方米等。

常见几何体的体积公式如下：1. 立方体的体积公式：V = a^3，其中 a 为边长。

2. 正方体的体积公式：V = a^3，其中 a 为边长。

3. 圆柱体的体积公式：V = πr^2h，其中 r 为底面半径，h 为高。

4. 圆锥体的体积公式：V = (1/3)πr^2h，其中 r 为底面半径，h 为高。

5. 球体的体积公式：V = (4/3)πr^3，其中 r 为半径。

二、实例分析为了更好地理解和应用上述体积公式，我们来看几个实例。

实例1：小明想要购买一个储存东西的木制盒子，这个盒子的尺寸为长10厘米、宽8厘米、高6厘米。

请问这个盒子的体积是多少？解析：根据立方体的体积公式V = a^3，我们可以计算出这个盒子的体积：V = 10厘米 × 8厘米 × 6厘米 = 480立方厘米。

因此，这个盒子的体积为480立方厘米。

实例2：一个圆柱体的底面半径为4米，高为6米。

求该圆柱体的体积。

解析：根据圆柱体的体积公式V = πr^2h，我们可以计算出该圆柱体的体积：V = π × 4米 × 4米 × 6米= 96π立方米。

因此，该圆柱体的体积为96π立方米。

实例3：一个立方体的体积为64立方厘米，求其边长。

解析：根据立方体的体积公式V = a^3，我们可以得到这个立方体的边长：a^3 = 64立方厘米，则 a = 4厘米。