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§2-5 牛顿第二定律积分形式一：动量定理

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牛顿第二定律与动量定理的专题详解

牛顿第二定律与动量定理的专题详解

牛顿第二定律与动量定理刍议广东省佛冈中学周长春在高中《物理》教材中，动量定理F·t＝mv2－mv1，是由牛顿第二定律F＝ma推导出来的，那么应如何准确地理解动量定理与牛顿第二定律呢？本文做一初浅的探讨。

一、动量定理是牛顿第二定律原来采用的形式在牛顿提出运动第二定律之前，伽利略在批判亚里士多德的力与速度的依赖关系的基础上，提出了力与加速度的依赖关系，但是他没有也不可能在当时的条件下发现作用力与加速度之间的定量关系。

在1684年8月之后，牛顿用几何法和极限概念论证了引力平方反比律，在为解决万有引力是否跟质量成正比的问题时，他发现了运动第二定律，具体的记载有两处，一处是在“论物体的运动”一文手稿中写道：“…动力与加速度的力之比等于运动与速度之比。

因为运动的量是由速度乘以物质的量导出的…”。

另一处是在《自然哲学的数学原理》的定义Ⅷ中给出的：“因为运动的量是由速度乘以物质的量求出来的，并且动力是由加速度的力乘以同一物质之量求出来的，物体的几个粒子上的加速的力的作用总和就是整个物体的动力”。

上面两段话中，“加速的力”指的是加速度，“运动”“运动的量”指的是动量，“动力”指的是与加速度对应的作用力，“物体”“物质的量”就是质量。

由此可知，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，“并把动量的变化率称之为力”，“他又用动量来表述运动第二定律”。

综上所述，牛顿其实已经提出了运动第二定律的文字表述：作用力与加速度成正比。

但当时牛顿并没有明确地用公式（F＝ma）表述出来，牛顿第二定律原来采用的形式是力F、质量m、速度v和时间t这四个物理量，选择适当的单位，可使比例系数k＝1，这时，牛顿第二定律可表示为①因此，牛顿第二运动定律的真实表述应该是物体所受外力等于其动量对时间的变化率。

①式也叫做牛顿第二定律的微分形式。

《自然哲学的数学原理》已经提出了作用力与加速度成正比，但当时牛顿并没有将公式①直接用F＝ma表述出来，这是为什么呢？我国研究牛顿的资深学者阎康年先生在他的专著《牛顿的科学发现与科学思想》中专门研究了牛顿的质量观：“牛顿对质量概念的认识分静质量和动质量两个方面。

物理学第二章牛顿运动定律

物理学第二章牛顿运动定律


l m
l
l
a2
m
a1

m

解：(1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向作匀加速运
动时，分析受力：

在竖直方向小球加速度为零，水平方向的
T1
加速度为a。建立图示坐标系：
利用牛顿第二定律，列方程：
m
x方向： T1sinm1a
y方向： T 1co m s 0 g
解方程组，得到：
mg
直角坐标系中的分量形式
Fx mddvtx mdd2t2x
Fy mddvty
d2y mdt2
Fz mddvtz mdd2t2z
自然坐标系中的分量形式
Ft mat mddvt
Fn

man

mv2

2、牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的动力成正 比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
§2-1 牛顿第一定律和第三定律
1、牛顿第一定律
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其它物 体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。
几点说明和注意
1、第一定律说明任何物体都具有惯性,牛顿第一定律又叫惯性 定律。
2、当物体受到其他物体作用时才会改变其运动状态,即其他物 体的作用是物体改变运动状态的原因。
大小：取决于绳的收紧程度。

T
方向：沿着绳指向绳收紧的方向。
(3)弹簧的弹力；
弹性限度内，弹性 力满足胡克定律：
Fkx
方向：指向要恢复 弹簧原长的方向。
O
x
F
F
3、 摩擦力
摩擦力：两个相互接触的物体在沿接触面相对运动
时，或者有相对运动趋势时，在它们的接触面间所 产生的一对阻碍相对运动或相对运动趋势的力。
2015高考物理：牛顿第二定律与动量定理应用

2015高考物理：牛顿第二定律与动量定理应用


总结求动量变化或冲量的方法
、两个定理
1、动量定理：
2、动能定理：
I合=Δp 或F合t=mv2-mv1 W合=ΔEK或F合S=mv22/2-mv12/2
动量定理：F合t=Δp ，描述的是“力在时间上的积累 效果”——改变物体的动量；该式是矢量式，即动量的变 化方向与合冲量的方向相同。动能定理： F 合S=ΔEK ，描 述的是“力在空间上积累效果”——改变物体的动能；该 式是标量式。 用动量定理、动能定理解题关键：（1）正确地分析 研究对象的受力（2）准确地分析物体的运动。 对系统用动量定理分析受力只分析系统外力；对系统 用动能定理分析受力不仅分析系统外力，还要考试系统内 力做功，一般指系统内滑动摩擦力做功。




解法二 (全过程应用动量定理) 取竖直向上为正方向，取从开始下落到第 一次反弹到最高点的过程用动量定理得 F(t－t1－t2)－mgt＝0 得：F＝ ＝26 N 再由牛顿第三定律得排球对地面的平均作 用力大小为26 N.
全过程应用动量定理的方法视学生接受 情况而定.
一粒钢珠从静止状态开始自由下落,然后 陷人泥潭中。若把在空中下落的过程称 为过程Ⅰ，进人泥潭直到停止的过程称 AC 为过程Ⅱ, 则( ) A、过程I中钢珠的动量的改变量等于 重力的冲量 B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于 过程I中重力的冲量的大小 C、I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量 等于零 D、过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量阻 力冲量
动量定理的适用范围
1、动量定理不但适用于恒力，也适用于随时间变 化的变力，对于变力，动量定理中的F应理解为变 力在作用时间内的平均值； 2、动量定理不仅可以解决匀变速直线运动的问题， 还可以解决曲线运动中的有关问题，将较难的计算 问题转化为体，也适用于 微观现象和变速运动问题。
动量定理及动量守恒定律

动量定理及动量守恒定律


20
动量定理及动量守恒定律
oy N1 − m1g = 0 又f1max = N1μ1
以 m2 为隔离体，m2 受重力W = m2 g ;桌面的支持力 N2 ; m1 的压力 N1′ （大小与 N1 相等）; m1 作用在 m2 上的最大静摩擦力 f1max′（大小与 f1max 相等） ;桌面作用在 m2 上的
oA y A W3 − TA′ − TB′ = m3a3
(7)
因为不计滑轮及绳的质量，不计轴承摩擦. 且已知绳不可伸长.
∴ TA = TB = TA′ = TB′ = T
f A ,绳的拉力 TA , A 的动力学方程为

动量定理及动量守恒定律
W1 + N A + f A + TA = m1a1 建立如图 3.5.7（1）所示的坐标系 oA − xA y A .
oA xA TA − f A = m1a1
(1)
oA y A W1 − N A = 0
(2)
且 fA = NAμ
动量定理及动量守恒定律
第三章 动量定理及动量守恒定律
(Momentum and Conservation Law of Momentum)
一、内容简介（Abstract） 1．牛顿第一定律（Newton’s first law)
孤立质点静止或作等速直线运动，即质点在不受力或所受力的合力为零时，将保持静 止或匀速直线运动状态不变.（惯性定律） 2．牛顿第三定律（Newton’s third law）
g
y
x o
N
2
α m2
a2
W2
N1′
图3.5.（5 3）
y′
N1 f∗
m1
牛顿定律积分形式(精)

牛顿定律积分形式(精)

0 a
单位：J/s W(瓦)

a , dA 0; 2 a , dA 0
2
②、功是过程量，只有物体的位置发生变化的过程 中才存在功。 ③、功的计算与参考系选择有关：同一个力对同一 质点在同一过程中作的功因参考系的不同而异。
2
, dA 0;
b dv A m d r m v d v a dt a a 1 1 1 2 v dv (v dv dv v ) d (v v ) d (v ) 2 2 2 b1 1 1 2 2 2 A md (v ) mv b mv a a 2 2 2 b
§2－1
牛顿第二定律积分形式一：动量定理
一、动量和冲量
1. 动量 2. 冲量 （1）恒力的冲量
p mv
单位(kg · m· s-1)
I F (t2－t1 )
（2）变力的冲量
F
F
t2 I dI Fdt
t1
dI Fdt
0
t1
dt
t2
t
二、 质点动量定理 由牛顿第二定 律微分形式
l l 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 (2 l l ) v g
即：
s
v f v0
2 2
2
2
4 g sin
4g 4.1(m)
h s sin
v f vo
练习1、利用动能定理重做例题2-4。 解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为
应用动能定理，因初速 度为0，末速度v可求得如下
2
1 2 A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
§2-5角动量定理 角动量守恒定律

§2-5角动量定理 角动量守恒定律


太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
动量定理

动量定理

动量定理动量定理是力对时间的积累效应，使物体的动量发生改变，是高中物理学科学习的重点。

下面就为大家介绍动量定理，希望对大家有所帮助。

【动量定理知识点】1、动量定理:物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化.Ft=mv/一mv或Ft=p/-p;该定理由牛顿第二定律推导出来:(质点m在短时间Δt内受合力为F合，合力的冲量是F合Δt;质点的初、未动量是mv0、mvt，动量的变化量是ΔP=Δ(mv)=mvt-mv0.根据动量定理得:F合=Δ(mv)/Δt)2.单位:牛·秒与千克米/秒统一:l千克米/秒=1千克米/秒2·秒=牛·秒;3.理解:(1)上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。

(2)动量定理中的冲量和动量都是矢量。

定理的表达式为一矢量式，等号的两边不但大小相同，而且方向相同，在高中阶段，动量定理的应用只限于一维的情况。

这时可规定一个正方向，注意力和速度的正负，这样就把大量运算转化为代数运算。

(3)动量定理的研究对象一般是单个质点。

求变力的冲量时，可借助动量定理求，不可直接用冲量定义式。

4.应用动量定理的思路:(1)明确研究对象和受力的时间(明确质量m和时间t);(2)分析对象受力和对象初、末速度(明确冲量I合，和初、未动量P0，Pt);(3)规定正方向，目的是将矢量运算转化为代数运算;(4)根据动量定理列方程(5)解方程。

【动量定理的内容】动量定理反应的是力在时间维度上的积累效果。

(1)基本概念描述:物体所受合外力的冲量，等于物体的动量变化量。

即F合t=I=Δp;(2)我们还可以这样来表述:对作用在物体上的各个力的冲量的代数和，等于动量的改变量。

在外力不恒定，或者各个力作用时间不同时，优先选择后者。

提醒:动量与冲量都是矢量，是有方向的，因此在解题时首先要规定好正方向。

【动量定理的表达式】基本表达式:F合t=I=Δp;当存在多个力做冲量时，还可以写成分力冲量代数和的形式: F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp【动量定理的表达式推广】当存在多个力做冲量时，动量定理的表达式还可以写成分力冲量代数和的形式:F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp这与动能定理的非常类似的。

动量动量定理课件

动量动量定理课件


实验结论
实验结果表明，一个物体所受合外力的冲量等于物体 动量的变化量，验证了动量定理的正确性。通过实验， 学生可以更加深入地理解动量定理，掌握其应用方法， 提高物理实验能力和科学素养。
06
动量定理的扩展与深化
动量定理的推广
推广到多维空间
动量定理不仅适用于一维空间，还可以推广 到多维空间，描述物体在任意方向上的动量 变化。
2. 在滑块上加砝码，使滑块具有一定质量。
实验器材与步骤
3. 用橡皮筋拉动滑块 加速，使滑块受到合 外力的作用。
5. 记录实验数据并分 析。
4. 测量滑块加速过程 中的合外力和作用时 间。
实验结果与结论
实验结果
通过实验测量和计算，得到合外力、作用时间和动量 变化量的数值关系，验证了动量定理的正确性。
动量的计算
总结词
动量的计算公式是 $p = mv$。
详细描述
动量的计算公式是 $p = mv$，其中 $m$ 是物体的质量，$v$ 是物体的速度。 这个公式适用于任何惯性参考系中的质点。
动量的单位
总结词
在国际单位制中，动量的单位是千克· 米/秒（kg·m/s）。
详细描述
根据国际单位制的规定，动量的单位 是千克·米/秒（kg·m/s）。这个单位 是由质量单位千克（kg）和速度单位 米/秒（m/s）相乘得来的。
定义
物体的质量m、速度v和动量p之间的关系为 p=mv。
推导过程
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于 其质量与加速度的乘积，即F=ma。对时间 进行积分，得到冲量I=∫Fdt。根据定义， 动量的变化量等于冲量，即Δp=I。将F=ma 代入积分式，得到Δp=∫ma dt=m∫adt=mat=mv2-v1。
动量定理

动量定理


（1）由动量定理可知，动量对时间的一阶变化率 等于作用于质点系上的外力，与内力无关，所以，
当已知质点系动量的变化情况时，应用动量定理
就可以求出质点系所受的外力。 （2） 当质点系的动量守恒时，则质点系所受的外 力和为0，质点系内部动量可以发生变化，即
质点内部的各质点之间有相对运动的传递，利用
动量守恒定理，就可求出质点系中内部各质点运动
管道对流体的约束反力FN；两横截面AB和CD
的外侧部分的流体对它的压力F1、F2。
3 流体动量的改变：
当经过时间间隔Δt以后，位于ABCD内的那 部分流体流至A’B’C’D’位置了。其动量的改变量 等于A’B’C’D’内的流体动量与ABCD内的流体动 量之差。 v
F 1
1
A , A
B, B
FN
G
D
d mv F d mv Fdt dt
mv 2 v1 Fdt I
t2 t1
——质点动量的改变等于力在t1到t2时间内对质点 的作用冲量
（2）质点系的情况：
设有由n个质点所组成的质点系，其中第i个
质点的动量为 m v ，且作用于质点上的外力的
合力为
Fi
e
，内力为 F i ，根据质点动量定理有：
的那部分机械运动的度量。
例2 设有一不可压缩的理想流体在等曲管道内 作定常流动（ 即管道各点处流速的大小和方向 均不随时间而改变 ），流体的密度为ρ，体积 流量（ 即单位时间内流经管内任一横截面的流 体的体积）为qV，试计算流体对管壁的压力。
F 1
A , A

C C D
, v2 F2
之间的关系。
动量定理是动力学普遍定理之一。它描述 了整个质点系的动量与外力对该质点系的作用 之间的关系，揭露了机械运动在进行传递时所 遵守的规律，它不仅为人们提供了解决某些动 力学问题的途经，也是学习流体力学的基础
动量及动量守恒定律

动量及动量守恒定律

解：以竖直悬挂的链条和桌面上 的链条为一系统,建立如图坐标： 则 F
ex
m2
O
m 1 g yg
由质点系动量定理得：
F
ex
m1
y
dt dp
p vy
y
d p d( y v )
m2
O
yg d t d( y v )
则
dt 两边同乘以 y d y 则
y gdy ydy
牛顿运动定律: F合
dP
ma
dt 意义:已知质点在任意时刻的力，可解出质点在各个时刻的 加速度。若知道初始条件，可确定质点在任一时刻的速度、 位置和质点的运动轨迹。 困难：
(1)牛顿定律需要知道力随时间变化的细节；
在碰撞打击(宏观)、基本粒子的产生和湮灭(微观)一类问题中，力的作用时间 很短，力随时间变化很快，无法知道其中的细节；
二、质点系的动量定理
1、基本概念： （1）质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象 （2）内力 系统内部各质点间的相互作用力
质点系
特点：成对出现、大小相等、方向相反。 结论：质点系的内力之和为零 i （3）外力 系统外部对质点系内部质点的作用力
Fi 0
质点系 F
2、由两个质点所组成的质点系的动量定理 质点系 t
F1
F12
m1
F 21
F2
m2
物理意义：作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量。
质点系的总动量的变化只与质点系所受的外力的矢量和有 关，与内力的冲量无关。 质点系内力的冲量不能影响质点系的总动量，而只能改变 质点系总动量在质点系内各质点间的分配
初始速度 v g 0 v b 0 0 m b 2 m g 则 p 0 0 推开后速度 v g 2 v b 且方向相反，则 p 0
大学物理第二章-质点动力学

大学物理第二章-质点动力学


3）忽略绳或线质量时，绳内部各处的张力都相等
4）弹（性）力：由胡克定律 f ，kkx为决定于弹簧本身结构的常数；负
号表示弹力的方向总是指向要恢复它原长的方向
3、摩擦力 相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触
面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力（滑动摩擦力、 滚动摩擦力等））
m m
车 u上
mv1
mv2
v1 v2
t2
Fdt
t1
mv2
mv1
地上
t
2
Fdt
t1
m(v1
m(v2
u)
u)
m (v2
m(v1
u) u) mv2
mv1
[例2]一质点受合外力作用，外力为
F 10ti 2(2 t ) j 3t 2k (SI)
求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在
I z P2z P1z mv2z mv1z
说明：
1）一维问题、力作用时间很短时，
F
常引入平均冲力
F
F
t2 Fdt
t1
p2 p1
t2 t1 t2 t1
t1 t2 t
2）I的方向一般不是
F的(t方) 向，而
I
是微分冲量 的矢F量d和t 的方向。
Fdt
3）物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不 变。
物体在竖直方向运动，建立坐标系oy
y
T
ar
ar
a1 m1 a2
m2
m1
o
m1g
T
m2
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：

动量定理 动量守恒定律


I
Fdt
p
p1
p2
(2)应用动量定理求解问题 用作图法由几何关系计算
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
mv2
mv1
I mv2 mv1
I
在直角坐标系中将矢量方程化为标量方程
I x t1 Fx d t mv2 x mv1x I y t1 Fy d t mv2 y mv1 y
f12 f21 0
f21
F2

m2

t2
t1
( Fi )dt P P0
i
三、动量守恒定律
质点系动量定理
当 Fi 0 时

t2
t1
( Fi )dt P P0
i
则有 P P 0 恒矢量
如果系统所受合外力为零，则系统的总动量保 持为恒量，称为动量守恒定律
动量守恒条件的讨论：
1、当外力<<内力时，可略去外力的作用, 近似地认为 系统动量守恒.
例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.忽略重力作用。
2、若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 . 质点系动量定理
z
y

t2
t1
( Fi )dt P P0
i
x
当 当
F
i
ix
0 0
时，有 时，有
t 冲量 I F d t t
2
动量
p mv
1
过程量 状态量
动量定理是过程量和状态量增量的关系！
讨论：
(1)冲量的方向
冲量 而是所有元冲量
t2 I Fdt mv2 mv1

牛顿第二定律与动量定理的专题详解

牛顿第二定律与动量定理刍议广东省佛冈中学周长春在高中《物理》教材中，动量定理F·t＝mv2－mv1，是由牛顿第二定律F＝ma推导出来的，那么应如何准确地理解动量定理与牛顿第二定律呢本文做一初浅的探讨。

一、动量定理是牛顿第二定律原来采用的形式在牛顿提出运动第二定律之前，伽利略在批判亚里士多德的力与速度的依赖关系的基础上，提出了力与加速度的依赖关系，但是他没有也不可能在当时的条件下发现作用力与加速度之间的定量关系。

在1684年8月之后，牛顿用几何法和极限概念论证了引力平方反比律，在为解决万有引力是否跟质量成正比的问题时，他发现了运动第二定律，具体的记载有两处，一处是在“论物体的运动”一文手稿中写道：“…动力与加速度的力之比等于运动与速度之比。

因为运动的量是由速度乘以物质的量导出的…”。

另一处是在《自然哲学的数学原理》的定义Ⅷ中给出的：“因为运动的量是由速度乘以物质的量求出来的，并且动力是由加速度的力乘以同一物质之量求出来的，物体的几个粒子上的加速的力的作用总和就是整个物体的动力”。

上面两段话中，“加速的力”指的是加速度，“运动”“运动的量”指的是动量，“动力”指的是与加速度对应的作用力，“物体”“物质的量”就是质量。

由此可知，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，“并把动量的变化率称之为力”，“他又用动量来表述运动第二定律”。

综上所述，牛顿其实已经提出了运动第二定律的文字表述：作用力与加速度成正比。

但当时牛顿并没有明确地用公式（F＝ma）表述出来，牛顿第二定律原来采用的形式是力F、质量m、速度v和时间t这四个物理量，选择适当的单位，可使比例系数k＝1，这时，牛顿第二定律可表示为①因此，牛顿第二运动定律的真实表述应该是物体所受外力等于其动量对时间的变化率。

①式也叫做牛顿第二定律的微分形式。

《自然哲学的数学原理》已经提出了作用力与加速度成正比，但当时牛顿并没有将公式①直接用F＝ma表述出来，这是为什么呢我国研究牛顿的资深学者阎康年先生在他的专着《牛顿的科学发现与科学思想》中专门研究了牛顿的质量观：“牛顿对质量概念的认识分静质量和动质量两个方面。

动量定理

动力学的普遍定理之一。

动量定理的内容为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为FΔt=mΔv。

公式中的冲量为所有外力的冲量的矢量和。

动量定理是一个由实验观测总结的规律，也可由牛顿第二定律和运动学公式推导出来，其物理实质也与牛顿第二定律相同，这也意味着它仅能在经典力学范围内适用。

而与动量定理相关的定律——动量守恒定律，大到接近光速的高速，小到分子原子的尺度，它依然成立。

动量守恒定律的定义为：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。

由此可见，动量定理和动量守恒定律是两个不同的概念，不能混为一谈。

中文名动量定理外文名theorem of momentum表达式Ft=mv'－mv=p'－p=I应用学科物理学适用领域范围经典力学目录1 常见表达式2 含义3 适用条件4 推导过程5 说明6 推广形式7 同相关定律定理含义区别8 应用9 微分形式的动量定理10 积分形式的动量定理11 参考文献常见表达式编辑（1）（2）(注：冲量，动量)含义编辑动量定理的含义为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。

[1](高中阶段此公式亦可写作)F指合外力，如果为变力，可以使用平均值；=既表示数值一致，又表示方向一致；矢量求和，可以使用正交分解法；适用条件编辑（1）在牛顿力学适用的条件下才可适用动量定理，即动量定理仅适用于宏观低速的研究对象。

对于微观粒子和以光速运动的物体，动量定理不再适用；（2）只适用于惯性参考系，若对于非惯性参考系，必须加上惯性力的冲量。

且v1，v2必须相对于同一惯性系。

[2]推导过程编辑将F = ma （动力学方程牛顿第二运动定律）——代入v = v₀+ at （运动学方程）得化简得mv- mv₀= Ft注：把mv做为描述物体运动状态的量，叫动量。

大学物理--动量定理

m(v1
u)
u)
mv2

mv1
二.质点系动量定理 质点系：由有相互作用的若干个质点组成
的系统。 内 力：系统内各物体间的相互作用力。
外 力：系统外物体对系统内物体的作用 力。
1.两个质点的质点系
F1
F根相1据加牛fF1顿21 定Fd律d2pt1 f1F22f2f121ddpdtd1pt2
人相对于车的速度为
v'

v

V
M

m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t vdt M m x
0
M0
x M l
v M m
pB mvB 2 kg m

方向如图

It1t2 mvB mvA
s
mvA I t1t2
mvB
It1t2 mvA2 mvB2
6 N s 方向 tg mvB 2
mvA 2
54o44'

mv
It1 t2
A
mvB
dp p1

fij

0
或 F
dp总动量
p2

p1
dt
合外力
即系统所受合外力的冲量等于质点系总动量
的增量。
----质点系的动量定理
三.系统动量守恒

当合p外i 力mFivii
0 时：
=常矢量
d dt pi 0
即质点系所受合外力为零时，质点系的总动
量保持不变。 ----系统的动量守恒定律
2

2(2 t)dtj

动量守恒专题知识讲座


2.积分形式：
t
t0 F外dt i mivi i mivi0
或： Ii p p0
3.分量式：
i
Iix px p0x
i
Iiy py p0 y i
Iiz pz p0z i
质点系动量定理 ：作用于系统旳合外力旳冲量
等于系统总动量旳增量。
讨论：
(1)系统旳内力不能变化系统旳总动量。定理中不出现系 统旳内力，所以研究某些力学问题甚为以便。
物体旳质心一定在物体上吗？
质心与重心是不同旳概念,它们 一定在同一点上吗?
二、质心运动定理
质心旳速度 （ rc 对t 求导）
vc
i
mivi
mi
mivi
i
m
i
质点系旳总动量 p mivi mvc
i
质点系旳总动量旳变化率
dp dt
m d vc
dt
mac
dp dt
m d vc
X
dm v sin dmr v dml v 又：dmr dml dm
联立解得：dmr
1（1 2
sin
）dm，dml
1（1 sin）dm
2
qr
dmr dt
1 2
（q 1
sin
），ql
1 （q 1 sin）
2
3-3 质点系动量守恒定律
对质点系统而言，外力旳矢量和为零时，该系统旳
总动量守恒。
因质点系旳总动量为p 对质心参照系来说 P
mivi mvc
mivi mvC 0
所以，质心参照系是 零动量参照系。
m1v1
m2v20
例. 两质点系统，
在其质心参照系中，m1v10

牛顿第二定律

牛顿第二定律即牛顿第二运动定律物体加速度的大小跟物体受到的作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

而以物理学的观点来看，牛顿运动第二定律亦可以表述为“物体随时间变化之动量变化率和所受外力之和成正比”，即动量对时间的一阶导数等于外力之和。

牛顿第二定律说明了在宏观低速下，比例式表达：a∝F/m，F∝ma；用数学表达式可以写成F=kma，其中的k为比例系数，是一个常数。

但由于当时没有规定多大的力作为力的单位，比例系数k的选取就有一定的任意性，如果取k=1，就有F=ma，这就是今天我们熟知的牛顿第二定律的数学表达式。

1英文名称Newton's Second Law of Motion-Force and Acceleration2内容物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比。

加速度的方向跟作用力的方向相同.在国际单位中，力的单位是牛顿，符号N，它是根据牛顿第二定律定义的：使质量为1kg 的物体产生1m/s²加速度的力，叫做1N。

即1N=1kgm/s²。

3公式F合=ma注：单位为N（牛）或者kgm/s²（千克米每二次方秒）动量为p的物体，在合外力为F的作用下，其动量随时间的变化率等于作用于物体的合外力。

用通俗一点的话来说，就是以t为自变量，p为因变量的函数的导数，就是该点所受的合外力。

即：而当物体低速运动，速度远低于光速时，物体的质量为不依赖于速度的常量，所以有这也叫动量定理。

在相对论中F=ma是不成立的，因为质量随速度改变，而依然适用。

由实验可得在加速度一定的情况下，在质量一定的情况下。

（只有当F以N，m以kg，a以为单位时，F合=ma成立）牛顿第二定律可以用比例式来表示，这就是：a∝F/m 或F∝ma这个比例式也可以写成等式：其中k是比例系数。

[1]（详见高中物理人教版教材必修一p74页）简介1、牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。

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3. 牛顿第二定律的又一积分形式 (1)变力的功
物体在变力的作用下从a运动到b。 怎样计算这个力的功呢？ 采用微元分割法
b
第1段近似功： A F r 1 1 1
第2段近似功： A F r 2 2 2
第i 段近似功：Δ Ai Fi ri
总功近似： Aab
t2
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
持不变，曲线与t轴所包围的面积 就是t1到t2这段时间内力 F 的冲量 F 的大小，根据改变动量的等效性， 得到平均力。
打击或碰撞，力 F 的方向保 F
t1
t2 t
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。
(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其 使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
例2-8 质量为m的匀质链条，全长为L，
L O
f
手持其上端，使下端离地面的高度为h。 y 然后放手让它自由下落到地上，如图所示。 h 求链条落到地上的长度为l 时，地面所受 G 链条作用力的大小。 解：以链条为系统，向下为y正向，建立如图所示的坐标系。 落到地面上链条段ml 的速度为零，即u=0；未落地部分受到重 力G=(m-ml)g和地面给它的向上的冲力f 的作用。由题意可得 d (m ml )v (m ml ) g f dt
变质量物 体运动微 分方程
d dm (mv ) uF dt dt dm u dt
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 为尾气推力。
变质量问题的处理方法: (1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力 (5)应用动量定理求解
2
t 而是所有元冲量 F d t 的合矢量 t
F d t 的方向。
i
1
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
I x t1 Fx d t mv2 x mv1x
t2
I y t1 Fy d t mv2 y mv1 y
t2
I z t1 Fz d t mv2 z mv1z
d dv v (m ml ) (m ml ) (m ml ) g f dt dt
dv 在自由下落中， g ，所以上式可简化为 dt d v (m ml ) f dt m dl ml l , 又 v ,即得 L dt m 2 2m(l h) f v g L L 其中v为即将落地部分的速度 ，即v 2 g (l h) .
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为
M 2 gh ,末状态动量为0
得到( N Mg ) M 2 gh 解得 N Mg M 2gh / 代入M、h、的值，求得： (1) N 3 10 (9.8
3
1.92 10 N
5
2 9.8 1.5 / 0.1)
mv d mu
(m d m)(v d v )
末时刻
初始时刻
m
F
dm
u
m+dm
v
v dv
t
t dt
对系统利用动量定理
mdv dmdv dmv dmu Fdt
略去二阶小量，两端除dt
(m d m)(v d v ) mv d mu F d t
地面受到链条作用力的 大小为 2m(l h) ml m F g g (3l 2h) g L L L
§2-6 牛顿第二定律积分形式一： 动能定理
1. 功的概念
(元位移)时,此 物体在力 F 的作用下发生一无限小的位移 d r 力对它做的功定义为:力在力的位移上的投影和此元位移大小的 乘积。
T2
B
T1
A
v 2 gh
取竖直向上为正方向。
M B
h
mg Mg
绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速 率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：
(T1 mg )t mV ( mv ) (T2 Mg )t mV 0 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有 T1 T2
F N F 100 300 fr G
总功精确值：Aab lim
从a到b的线积分。
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径L
积分形式： Aa b
r 0

i
Fi ri

b
a
F dr

b
a
F dr
(2)质点动能定理
根据功的积分形式
b b Aab a F d r a Fτ d s a maτ d s
得到解法一相同的结果
N Mg M 2gh /
例题2-7 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及 的M物体A和B， M大于m。B静止在地面上，当A自由下 落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体 的速度，以及能上升的最大高度。
解：以物体A和B为系统作为 研究对象，采用隔离法分析受 力，作出绳拉紧时的受力图： 绳子刚好拉紧前的瞬间， 物体A的速度为： A m
m 2 gh 解得： V M m
当物体B上升速度为零时，达到最大高度
2aH V 0
2
M m a g M m
m2h H 2 2 M m
2. 变质量物体的运动方程
物体m与质元dm在 t 时刻的速度以及在 t+dt时 刻合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时 刻的动量分别为：
作为系统考虑时，得到：
b2 b1 f ×d r b1 f ×d r a1 F1×d r1 a2 F2×d r2 a1 12 1 a1 21 2
b1
1 1 1 1 2 2 2 2 ( m1v1b m2 v2 b ) ( m1v1a m2 v2 a ) 2 2 2 2
(2)
N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01) 6 1.9 10 N
3
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。 重力作用时间为
2h / g
支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即
N Mg ( 2h / g ) 0
f1 2
F2
f21
m21 F 1 ×d r1 a 1 f 12× d r1
b1
F1
m1
f1 2
F2
f21
1 1 2 m 1 v 1 b m 1 v 12a 2 2
对m2运用质点动能定理：
m2
b2 b2 a 2 F 2 ×d r 2 a 2 f 21 ×d r2 1 1 2 2 m 2v2b m 2v2a 2 2
c.动能定理只适用于惯性系。
d.功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
(3)质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又 要考虑质点间的相互作用力（内力）。 二质点组成 的系统 推 广 多 个 质点 组 成的系统 两个质点在外力及 内力作用下如图所示：
F1
m1
考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分

t2
t1
p2 F d t d p p2 p1 p1
航天飞机
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
t2 I F dt
t1
于是得到积分形式
I P2 P 1
这就是 动量定理 ：物体在运动过程中所受到 的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 动量定理的几点说明： (1)冲量的方向： 冲量 I 的方向一般不是某一瞬时力 F 的方向，
§2-5 牛顿第二定律积分形式一：动量定理
微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的 瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情 况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求 解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更 有效。这就是动量定理与动能定理。
1. 动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
F dt d p
例 题 2-6 质 量 M=3t 的 重 锤 ， 从 高 度 h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工 件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
N
h
解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图：
Mg
解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用 平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
功率：力在单位时间内做的功，用P 表示
d A F dr P F v dt dt
功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样 的功花费的时间就越少。 在国际单位制中，功的单位是Nm，叫做焦(J)，功率 的单位是J/s ，叫做W(瓦)。
2. 能量
能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形 式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循 能量的转换和守恒定律。 到十九世纪，能量概念才逐步由力的概念中分离出来。 实际上，只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才认 识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱因斯坦建立 了狭义相对论，得到了“质能关系”，进一步揭示能量和质 量的相当性，对于能量的认识才更深入了一步。 与机械运动直接相关的能量是机械能。


Δ r4 Δ r3 Δ r2 F 4 F3 Δ r1
a
Fi ri
a
Δ ri