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第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作,其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如:11{}:1,,,,2n a n ,通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大,无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列,a 为定数.若对任给的正数}{n a ε,总存在正整数,使得当时,有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于,定数称为数列的极限,并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ,或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时,{}n a 的极限等于或趋于”. a n a a 若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列. }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设(常数),证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>,因为0n a c c c ε-=-=<恒成立,因此,只要取,当n 时,便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>,要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则当时,便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>,取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则当时,便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”,作以下几点说明: 【1】定义中不一定取正整数,可换成某个正实数。
第2章 晶体管放大电路教学提示:放大电路的种类很多,根据用途以及采用的有源放大器件不同,它们的电路形式及性能指标不完全相同,但基本工作原理相同。
电子线路中的“放大”是指在输入信号作用下,利用有源器件的控制作用,将直流电源提供的部分能量转化为与输入信号成比例的输出信号,其实质是能量的控制。
单管放大电路是组成各种复杂放大电路的基础。
教学要求:了解晶体管放大电路的三种基本组态;掌握放大电路的电路构成和分析方法,能利用图解法和微变等效电路法熟练分析共射和共集放大电路的工作原理,计算各项动态指标;理解多级放大电路和功率放大电路的工作原理和分析方法;了解场效应管放大电路的工作原理和分析方法。
2.1 共发射极放大电路放大电路的作用是将微弱的信号放大,便于人们测量和利用。
例如,收音机和电视机就是将天线收到的微弱信号,经过各种不同过程的处理和放大,最终使音频信号和视频信号的幅度达到足以推动扬声器和显像管的程度。
后面章节中涉及到的模拟信号运算电路、波形发生器电路等,它们的工作原理也都与放大电路有关。
因此,放大电路是电子设备中最普遍的一种单元,也是最基本的模拟电路。
由晶体三极管构成的基本放大电路有共发射极、共集电极、共基极三种组态,与此相对应的由场效应管组成的放大电路有共源、共漏、共栅三种组态,下面首先分析应用最广泛的晶体管共发射极放大电路。
2.1.1 共发射极放大电路的组成与工作原理1. 放大电路的组成图2.1是一个由NPN 型三极管构成的共射极放大电路的原理图,该电路以双极型三极管作为放大器件,电路中待放大的输入信号i u ,通过耦合电容1C 从三极管的基极输入;放大后的信号通过电容2C 的耦合输送到负载L R ,输出电压为o u 。
由于三极管的发射极作为输入和输出的公共端,因此该电路被称为单管共射放大电路。
放大电路中各元件的作用分析如下。
(1) 三极管T :三极管T 是放大电路的关键元件,主要利用其基极电流对集电极电流的控制作用,使输入端信号一个小的变化量能在输出端引起一个较大的变化量。
值得注意的是,放大的本质是实现能量的控制。
能量较小的输入信号通过放大电路以后,在负载上得到能量比较大的信号且变化规律由输入信号决定。
该过程中负载上获得的较大能量是由电源C E 提供的,三极管T 只是一个能量控制元件,整个电路保持能量守恒。
(2) 电源B E 和C E :电源B E 是基极电源,又称偏置电源,它的作用是使发射结处于正电工与电子技术(下册)·32··32·向偏置。
电源C E 保证集电结处于反向偏置,并为输出信号提供能量。
若三极管是PNP 型的,则两电源的极性都应反过来。
(3) 电阻B R 和C R :串接到输入回路的电阻B R 称为基极偏流电阻,它和偏置电源B E 共同提供大小适当的基极电流B I ,以使放大电路获得合适的静态工作点,B R 的值一般为几十千欧到几百千欧。
B R 、B E 和三极管的基极、发射极组成输入回路。
C R 称为集电极负载电阻,它为集电结提供合适的偏置电压,并将集电极电流的变化变换为电压的变化,以实现电压放大,C R 的大小一般为几千欧到几十千欧。
C E 、C R 和三极管的集电极、发射极组成输出回路。
(4) 电容1C 和2C :1C 和2C 分别接在输入端和输出端,一方面利用它们来隔断直流,1C 用来隔断放大电路与信号源之间的直流通路,而2C 则用来隔断放大电路与负载之间的直流通路。
另一方面又起到交流耦合作用,由于电容对交流信号呈现的阻抗很小,保证交流信号顺利通过,构成信号源、放大电路和负载三者之间的交流通路。
一般要求容抗近似为零,因此要求电容值取得较大,一般1C 和2C 可取几微法到几十微法,且应为极性电容,使用时应注意使其正端对应电位较高的一侧。
图2.1 共发射极基本交流放大电路的原理图2. 放大电路的工作原理放大电路的工作状态分静态和动态两种情况,静态是当放大电路没有输入信号时的状态,而动态则是有输入信号时的状态。
由于电路中在静态和动态时电压和电流的名称较多,所用的符号也不同,现将部分电压和电流符号列于表2-1中,以便使用时查阅。
表2-1 放大电路中电压和电流的符号动态值名 称 静态值 交流瞬时值交直流叠加的瞬时值基极电流 集电极电流 发射极电流 B I C I E I b ic i e i B i C i E i 集-射极电压 基-射极电压CE U BE Uce u be uCE u BE u在图2.1所示的电路中,为简单起见,设负载开路(L R =∞),并通过静态工作点的设置使电路处于放大状态。
此时若在放大电路的输入端加上交流信号I i u u Δ=,则在三极管的发第2章 晶体管放大电路·33··33·射结上产生一个微小的输入电压变化量BE u Δ,引起基极电流变化B i Δ。
在放大区内,基极电流的变化将引起集电极电流C i Δ的变化,且有C B i i βΔ=Δ。
而集电极电流的变化量C i Δ流过负载电阻C L //R R 后,考虑电压和电流的参考方向,在负载端得到一个放大了的交流信号o CE C C L //u u i R R =Δ=−Δ。
可见,微小的输入电压的变化量I u Δ叠加在输入端,在输出端将获得一个比较大的变化量CE u Δ,从而实现了放大作用。
通过对放大电路工作原理的分析,放大电路应满足三点要求:(1) 为了保证三极管工作在放大区,直流电源的极性必须使三极管的发射结正向偏置,集电结反向偏置,此时才能由基极电流微小的变化量B i Δ得到集电极电流一个大的变化量C i Δ,实现基极电流对集电极电流的控制。
(2) 输入回路的接法应使输入电压的变化量I u Δ能够传送到三极管的基极回路,并产生相应的基极电流变化量B i Δ。
即I B u i Δ→Δ。
(3) 在输出回路中应使集电极电流的变化能够引起集电极电压的变化,即C CE i u Δ→Δ,并传送到放大电路的输出端。
3. 实用的单管共射放大电路实际应用中,往往对图2.1所示的原理性电路加以简化改进,形成实用性的单管共射放大电路,如图2.2所示。
该电路中省去基极电源B E ,通过合理选择基极偏置电阻B R 并将它接到电源C E 的正端,可保证发射结处于正偏。
另外,一般不画出电源C E 的符号,只标出它对地的电压值CC U 和对地的极性(“+”或“-”),并忽略其内阻。
图2.2 单管共射放大电路4. 放大电路的主要技术指标为了定量地描述放大电路的有关性能,通常规定若干项性能指标作为衡量标准。
测试指标时,一般在放大电路的输入端加上一个正弦测试电压,测试电路如图2.3所示。
图中放大电路等效为一个有源线性四端网络,输入端用等效电阻i R 表示,输出端用电压源和输出电阻oo(,)ER 表示,电路的主要技术指标如下。
1) 电压放大倍数电压放大倍数是描述一个放大电路放大能力的指标,其定义为输出电压变化量与输入电压变化量之比。
在测试电压放大倍数指标时,一般在放大电路的输入端加上一个正弦波电压信号,此时,电压放大倍数可用输出电压与输入电压的正弦相量之比来表示,即电工与电子技术(下册)·34··34·o iu U A U =(2-1) 2) 电流放大倍数电流放大倍数定义为输出电流的变化量与输入电流变化量之比。
对输入正弦波信号的情况,同样可用输入电流与输出电流的正弦相量之比来表示,即o i iI A I =(2-2) 3) 输入电阻输入电阻是从放大电路输入端看进去的等效电阻,它衡量一个放大电路向信号源索取电流的大小,输入电阻越大,则放大电路对信号源索取的电流越小,也就说明放大电路输入端从信号源得到的输入电压i U 与信号源电压s U 的数值越接近,消耗在信号源内阻上能量越小。
当外加正弦信号时,它可用输入电压与输入电流的相量之比表示,即i i iUR I = (2-3)4) 输出电阻输出电阻是从输出端往放大电路看进去的等效电阻,输出电阻是用来衡量放大电路带负载能力的重要指标,输出电阻越小,则放大电路的带载能力越强。
在放大电路中将输入信号短路(保留信号源内阻S R ),输出端开路(即负载开路,L R =∞),若在输出端外加一个正弦测试电压tU时,产生相应电流tI ,输出电阻oR 定义为两者的比值,即 s L to 0tE R UR I ==∞= (2-4)定义了输出电阻后,可将放大电路的输出端用一电压源(o o,E R )表示。
图2.3 放大电路技术指标测试电路本章所讨论的电路工作在中频段,可不考虑放大电路的相移,那么上述各种定义式中的各项相量也可以直接用交流瞬时值表示,即o i u u A u = ,o i i i A i = ,i i iu R i =,s L oe 0t t R u R i ===∞。
应当注意的是,只有在放大电路无失真时,上述参数都才有意义。
2.1.2 静态工作点的分析与估算放大电路的分析包括静态分析和动态分析。
静态分析的对象是直流成分,用来确定没有加入交流信号时,电路中各处的直流电压和直流电流值。
静态时对应的工作点称为静态第2章 晶体管放大电路·35··35·工作点,简称Q 点。
动态分析的对象是交流成分,用来估算放大电路加入交流信号时的各项动态技术指标,如电压放大倍数,输入电阻和输出电阻等。
由于放大电路的电抗性元件的存在,所以直流成分的通路和交流成分的通路是不一样的。
图2.2电路的直流通路与交流通路分别如图2.4(a)和(b)所示。
静态值的分析通常有两种方法,即近似估算法和图解法。
图2.4 单管共射放大电路的直、交流通路(a) 直流通路;(b) 交流通路1. 近似估算法求静态工作点在图2.4(a)所示的直流通路中,静态时的基极电流为CC BE CCB B BU U U I R R −=≈ (2-5) 由于正常导通时,硅管的BE U 约在0.6V ~0.7V 左右,而锗管的BE U 在0.3V 左右,均比CC U 小得多,近似分析中可忽略BE U 。
静态时的集电极电流为C B I I β≈ (2-6)静态时的集-射极间的电压为CE CC C C U U R I =− (2-7)【例2.1】 在图2.2所示放大电路中,已知NPN 型硅三极管的电流放大倍数50β=,CC 20V U =,B 240k R =Ω,C 2.5k R =Ω,试求放大电路的静态工作点。
解:因为放大器件为硅三极管,取三极管BE 0.7V U =,则根据式(2-5)、式(2-6)、式(2-7)可得CC BE B B 200.70.08mA 80µA 240U U I R −−==≈= C B 500.084mA I I β≈=×=CE CC C C 204 2.510V U U R I =−=−×=2. 用图解法求静态工作点用图解法求静态工作点是求放大电路静态值的另一种方法,它的优点是能直观地分析静态值的变化对放大电路工作的影响。