二重积分复习教案资料

第九章 重积分第一节 二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。

图9—1 图9—2 图9—3解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。

在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。

这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。

(2)近似在每一个小闭区域iσ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，iσ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。

i i i f V σηξ∆≈∆),((3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值∑=∆≈∆=ni i i i f V V 1),(σηξ(4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。

即∑=→∆=ni i i i f V 10),(lim σηξλ其中λ表示这n 个小闭区域iσ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。

引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。

解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。

第9 章重积分9.1 二重积分1学习指导1. 基本要求⑴理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。

⑵掌握二重积分的计算方法，能够熟练地计算各种类型的二重积分。

⑶会利用二重积分解决几何、物理中的主要应用。

2. 重点与难点重点二重积分的概念、计算和在几何、物理中的主要应用。

难点计算二重积分时选择合适的坐标系、积分顺序并恰当地配置累次积分的积分限，二重积分在物理上的应用。

3. 学习方法⑴二重积分是定积分的推广，因此研究方法、定义、性质都是类似的，学习时应与定积分类比，温故知新，并注意有些性质的几何意义，以便理解和记忆。

⑵计算二重积分的关键是在直角坐标系或极坐标系下将其化为累次积分，选择坐标系和累次积分顺序的目的是使计算简便，它包含两点：一是对被积函数易于寻求原函数；二是对积分区域分块要少且定限容易，当二者不能兼顾时，一般以简化积分区域为主。

通常，当区域是圆形域、扇形域、环形域或它们的一部分，被积函数含有因子n（X2+y2F或I等形式时，利用极坐标计算较简便，其余情况多采用直X角坐标系，有时需利用变量代换去计算二重积分。

⑶化二重积分为累次积分的一般方法是“画图定限法”，即画出积分区域D的草图，将它分割成几个简单区域（X -型区域，Y-型区域或9 一型区域），在直角坐标系下是先对哪个变量积分，就在区域 D上画哪个坐标轴的平行线，而在极坐标系下，则是从原点出发画射线, 以此确定累次积分的上下限，此法可形象地叙述为“域中一线插，内限定上下，域边两线夹，外限利用它”。

当区域D的草图不易画出时, 可以采用“代数定限法”，即联立区域边界曲线组成的不等式组来分别确定各积分变量的变化范围，从而得到累次积分的各个积分限，有时也兼顾应用两种方法综合定限，注意将二重积分化为累次积分时先积分的上下限是常数或后积分的积分变量的函数，而后积分的积分上下限都为常数；同时，两次积分的下限都小于上限，切不可弄错。

⑷计算二重积分时，还须考虑积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，尽可能地简化积分计算，在审题过程中注意以下几个原则: 是图形的对称性及被积函数的奇偶性；二是坐标系的选择；三是积分次序的先后顺序；四是计算定积分的准确性，从而更好掌握这一单元的学习。

二重积分的计算教案教案标题：二重积分的计算教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 学会利用直角坐标系下的二重积分及其性质计算二重积分；3. 掌握变量替换法计算二重积分。

教学准备：1. 幻灯片及投影仪；2. 教学板及白板笔；3. 直角坐标纸；4. 计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 讲师介绍二重积分的概念和意义：二重积分是对二元函数在一个有界区域上的积分运算，可以用来计算平面区域的面积、质量等物理量。

2. 引导学生思考：如何计算函数在某个区域的面积？二、直角坐标系下的二重积分（20分钟）1. 讲解二重积分的概念和符号表示；2. 利用直角坐标系下的二重积分性质，分别介绍极坐标系和直角坐标系下的二重积分计算方法；3. 通过示例，详细讲解直角坐标系下二重积分的计算步骤。

三、变量替换法计算二重积分（25分钟）1. 介绍变量替换法的基本思想和要点；2. 通过示例，引导学生掌握变量替换法计算二重积分的步骤和技巧；3. 鼓励学生积极思考、探索新的变量替换方法，提升解题能力。

四、练习与巩固（15分钟）1. 提供一些典型的计算二重积分的练习题，让学生自主完成并讨论解法；2. 教师逐个讲解练习题的解题思路和方法。

五、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考并讨论：二重积分在实际问题中的应用；2. 讲解几个具体实例，让学生理解二重积分在不同领域中的应用。

六、总结与反思（5分钟）1. 客观回顾本节课所学内容；2. 鼓励学生提出问题、分享心得；3. 解答学生提出的问题，澄清疑惑。

教学延伸：1. 建议学生参考相关教材，复习和巩固本节课所学内容；2. 鼓励学生应用二重积分解决实际问题，提升实际运用能力；3. 教师可布置相关的作业，以检查学生对本节课内容的掌握情况。

教学评价：1. 通过课堂教学中的互动讨论，观察学生的参与度和理解程度；2. 教师根据学生作业的完成情况和答案的正确性评价学生对知识点的掌握程度；3. 反馈学生的问题和困惑，及时给予指导和解答。

课时：2课时教学目标：1. 理解二重积分的概念及其与定积分的联系。

2. 掌握二重积分的计算方法，包括直角坐标系和极坐标系下的计算。

3. 能够运用二重积分解决实际问题。

教学重点：1. 二重积分的概念和性质。

2. 二重积分的计算方法。

教学难点：1. 二重积分的实际应用。

2. 在不同坐标系下进行二重积分计算。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 练习题。

3. 黑板或白板。

教学过程：第一课时一、导入1. 复习定积分的概念，引出二重积分的概念。

2. 提问：什么是定积分？定积分在几何和物理上有什么应用？二、新课讲解1. 二重积分的定义：- 利用二重积分的定义，讲解在直角坐标系和极坐标系下的二重积分。

- 举例说明如何将二重积分转化为两次定积分。

2. 二重积分的性质：- 讲解二重积分的基本性质，如线性性质、保号性质、可积性等。

- 通过实例说明这些性质的应用。

三、例题讲解1. 直角坐标系下的二重积分计算：- 举例说明如何计算直角坐标系下的二重积分。

- 讲解计算过程中的注意事项。

2. 极坐标系下的二重积分计算：- 举例说明如何计算极坐标系下的二重积分。

- 强调极坐标系在计算二重积分时的优势。

四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

第二课时一、复习1. 复习上一节课所学内容，重点强调二重积分的定义、性质和计算方法。

二、新课讲解1. 二重积分的实际应用：- 举例说明二重积分在几何、物理和工程中的应用。

- 讲解如何将实际问题转化为二重积分问题。

2. 不同坐标系下的二重积分计算：- 举例说明在不同坐标系下进行二重积分计算的技巧。

三、例题讲解1. 复习直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算例题。

2. 讲解如何根据实际问题选择合适的坐标系进行计算。

四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

五、总结1. 总结二重积分的概念、性质和计算方法。

2. 强调二重积分在实际应用中的重要性。

二重积分的计算教案(一)二重积分的计算教案一、知识概述•二重积分的定义及含义。

•二重积分的计算方法：累次积分法、极坐标法。

•二重积分的性质和应用。

二、教学目标1.理解二重积分的定义及其意义。

2.掌握累次积分法计算二重积分的基本步骤。

3.掌握极坐标法计算二重积分的基本步骤。

4.能够应用二重积分解决实际问题。

三、教学内容1. 二重积分的定义及含义•介绍二重积分的概念和符号表示。

•解释二重积分的几何意义和物理意义。

2. 累次积分法计算二重积分•讲解累次积分法的基本思想。

•详细解释累次积分法计算二重积分的步骤。

•提供一些具体例子进行演示计算。

3. 极坐标法计算二重积分•介绍极坐标法的基本原理。

•讲解极坐标法计算二重积分的步骤。

•演示使用极坐标法计算一些例题。

4. 二重积分的性质•介绍二重积分的线性性质和可加性质。

•解释累次积分法和极坐标法计算二重积分的等价性。

5. 二重积分的应用•探讨二重积分在几何学中的应用，如计算平面区域面积。

•掌握二重积分在物理学中的应用，如计算质量、重心、转动惯量等。

四、教学过程1.引入问题：通过一个具体的例子引发学生对二重积分的思考。

2.知识讲解：分块进行知识点的讲解，让学生逐步理解二重积分的概念和计算方法。

3.演示计算：通过一些实例演示如何使用累次积分法和极坐标法计算二重积分。

4.知识总结：概括总结二重积分的定义、计算方法和应用领域。

5.练习与讨论：进行一些练习题，鼓励学生积极参与讨论与思考。

6.实践应用：提供一些实际问题，让学生能够应用二重积分解决问题。

7.拓展延伸：介绍更高维度积分的概念，激发学生对数学的进一步兴趣。

五、教学评估•在课堂上进行小测验，检查学生对二重积分的理解程度。

•提供一些综合性的练习题评估学生的掌握情况。

•监督学生在实际问题中是否能够正确应用二重积分。

六、教学反思•检查学生的学习效果，对掌握情况良好的学生进行表扬和鼓励。

•分析学生容易出错的地方，针对性地进行强化巩固。

二重积分的概念与性质教案教案：二重积分的概念与性质一、教学目标1.理解二重积分的概念和性质；2.掌握计算二重积分的方法。

二、教学内容1.二重积分的概念；2.二重积分的性质；3.计算二重积分的方法。

三、教学步骤Step 1 导入 (5分钟)通过问题引入二重积分的概念：有一个区域D，如何计算这个区域上的一些函数f(x,y)的平均值？Step 2 二重积分的概念 (15分钟)1.定义：二重积分是对二元函数f(x,y)在一个有限闭区域D上的数值进行求和的方法。

2.计算公式：二重积分的计算可以通过将区域D划分成无限多的小矩形，然后求和每个小矩形内函数f(x,y)的取值，最后对所有小矩形的和取极限来进行计算。

3.表示方法：二重积分可以用符号∬来表示，其中D是区域，f(x,y)是被积函数。

Step 3 二重积分的性质 (20分钟)1. 线性性质：∬[af(x, y) + bg(x, y)]dσ = a∬f(x, y)dσ + b∬g(x, y)dσ，其中a、b为常数。

2.积分区域的可加性:如果D可以分割成两个不相交的区域D1和D2,那么∬f(x,y)dσ=∬f(x,y)dσ1+∬f(x,y)dσ23. 积分次序可交换：若f(x, y)在区域D上连续，那么∬f(x,y)dσ = ∫[c, d]∫[a, b]f(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx.4.区域的划分不变性：若D1和D2为同一区域D的两个划分方案，则∬f(x,y)dσ1=∬f(x,y)dσ2Step 4 计算二重积分的方法 (30分钟)1. 矩形区域上的二重积分：如果区域D是一个矩形[a, b] × [c,d]，那么∬f(x, y)dσ = ∫[c, d]∫[a, b]f(x, y)dxdy。

2.直角坐标变换：对于区域D在直角坐标下很难表示的情况，可以通过使用适当的直角坐标变换来简化计算。

3.极坐标变换：对于具有对称性或旋转性质的区域D，可以使用极坐标变换来简化计算。

二重积分的概念与性质教案一、教学目标1. 理解二重积分的概念，掌握二重积分的几何意义。

2. 掌握二重积分的性质，包括对称性、周期性和线性性质。

3. 学会计算简单的二重积分，并能应用于实际问题。

二、教学重点与难点1. 二重积分的概念与几何意义。

2. 二重积分的性质及其应用。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解二重积分的概念、性质及计算方法。

2. 利用图形和实例，帮助学生直观地理解二重积分的几何意义。

3. 引导学生通过小组讨论和思考，发现二重积分的性质。

四、教学准备1. 教学PPT。

2. 相关图形和实例。

3. 练习题。

五、教学过程1. 引入：回顾一重积分的概念和性质，引导学生思考二重积分的可能性。

2. 讲解二重积分的概念：通过图形和实例，引导学生理解二重积分的几何意义。

3. 讲解二重积分的性质：（1）对称性：以对称区域为例，说明二重积分在对称区域上的特点。

（2）周期性：以周期函数为例，说明二重积分在周期区域上的特点。

（3）线性性质：结合线性代数知识，讲解二重积分的线性性质。

4. 例题讲解：选取典型的二重积分题目，讲解计算方法和应用。

5. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 引入高维空间中的二重积分：讲解在更高维空间中的二重积分概念和性质，引导学生理解多变量函数的积分。

2. 讲解二重积分的计算方法：（1）极坐标变换：讲解如何利用极坐标变换计算二重积分。

（2）柱坐标变换：讲解如何利用柱坐标变换计算二重积分。

（3）球坐标变换：讲解如何利用球坐标变换计算二重积分。

七、实践与应用1. 利用二重积分解决实际问题：举例讲解如何将实际问题转化为二重积分问题，并求解。

2. 利用二重积分求解物理问题：讲解如何利用二重积分求解物理中的场强、热量等问题。

八、课堂讨论与思考1. 组织学生进行小组讨论：让学生探讨二重积分在实际应用中的局限性和改进方法。

2. 引导学生思考：鼓励学生思考二重积分在多变量函数分析中的应用，以及如何拓展二重积分的性质。

二重积分的计算法教案一、教材分析本节课的内容是二重积分的计算法。

在高中阶段的数学教学中，二重积分的计算是重要的内容之一、根据高中数学课程标准要求，学生需要掌握二重积分定义、二重积分的计算法以及应用等内容。

本节课的教学目标是使学生能够掌握二重积分的计算方法，提高学生的综合运算能力和解题能力。

二、教学目标1.知识与能力目标(1)掌握二重积分的计算方法；(2)熟练掌握二重积分的定义；(3)能够运用二重积分的计算方法解决实际问题。

2.过程与方法目标(1)通过示例引入，让学生理解二重积分的概念；(2)结合图形进行讲解，培养学生的几何直观；(3)通过分析具体题目，培养学生的计算能力与解题思路。

3.情感、态度与价值观目标(1)培养学生的数学兴趣，提高学生对数学的认知和理解；(2)培养学生解决问题的能力，让学生能够将数学知识应用到实际中。

三、教学重难点1.教学重点(1)二重积分的计算方法；(2)几何图形与二重积分的关系。

2.教学难点(1)解决实际问题时的二重积分的计算；(2)综合运用二重积分的知识与解题能力。

四、教学过程与方法1.模块一：复习导入（10分钟）复习上节课的内容，引入本节课的主题。

2.模块二：二重积分的定义（20分钟）(1)通过几何图形解释二重积分的含义；(2)介绍二重积分的定义，并进行示例讲解；(3)引导学生进行练习题。

3.模块三：二重积分的计算方法（40分钟）(1)对可分离变量的函数进行计算；(2)对相对简单的函数进行计算；(3)利用换元法进行计算；(4)利用极坐标进行计算；(5)引导学生进行练习题。

4.模块四：实际问题的应用（20分钟）(1)提供一些实际问题，并引导学生用二重积分来求解；(2)引导学生进行练习题。

5.模块五：课堂小结（10分钟）总结本节课的重点内容，强调二重积分的计算方法和应用。

五、教学手段与学具设备1.教学手段：讲授、示范、练习、提问等；2.学具设备：黑板、多媒体设备、教材、练习册等。

二重积分优秀教学设计(一)二重积分优秀的教学设计教学目标•了解二重积分的概念和意义•学会计算二重积分的基本方法和技巧•能够应用二重积分解决实际问题教学重难点•了解二重积分的概念和意义•学会应用二重积分解决实际问题教学准备•教材：相关数学教材•笔记本电脑或投影仪：用于演示相关数学公式和例题解答•练习题：辅助学生巩固知识点和技巧教学步骤1.概念解释•介绍二重积分的概念和意义，引导学生理解二重积分的几何意义。

•示意图：通过绘制简单的二维图形，说明二重积分表示函数在某个面积上的加权平均值。

2.计算方法讲解•推导二重积分的计算公式，解释其基本性质。

•通过多个例题，演示计算二重积分的具体步骤，重点讲解积分区域的确定方法。

3.技巧总结•总结计算二重积分的常用技巧，如变量替换法、极坐标法等。

•提示学生注意积分顺序的选择，避免积分困难。

4.应用实例•给出一些实际问题，如计算质量、质心、面积等，引导学生将问题转化为二重积分，并进行求解。

5.练习与巩固•分发练习题，让学生自主完成。

•针对学生容易出错的地方，进行必要的解释和指导。

6.作业布置•设计一些综合性的应用题让学生回家完成。

教学延伸•引导学生进一步了解三重积分的概念和计算方法，拓宽数学知识面。

课堂互动•利用课堂练习和讨论，鼓励学生积极参与，提出问题和观点。

•设计小组活动，让学生合作解决二重积分问题，加强合作与交流能力。

教学评估•教师观察学生在课堂上的参与度、理解程度和解题能力。

•通过布置的练习和作业，评估学生对二重积分知识的掌握程度。

参考资料•数学教材及相关参考书籍。

教学反思与改进•教师可以根据学生的反馈和表现，及时调整教学策略和方法，确保教学效果。

•在讲解计算方法时，要注意减少步骤，重点讲解关键步骤和常见错误。

•引导学生进行实际问题的应用时，可以提供更多的实例和案例，以增加学生的兴趣和参与度。

•教师还可以提供一些拓展性资料和题目，以满足对数学知识有更深入学习的学生需求。

二重积分教案一、教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 掌握计算二重积分的方法；3. 能够运用二重积分解决实际问题。

二、教学重点：1. 二重积分的定义和性质；2. 二重积分的计算方法。

三、教学难点：1. 运用二重积分解决实际问题的能力。

四、教学准备：1. 教科书和课件；2. 黑板和粉笔；3. 计算工具。

五、教学过程：步骤一：导入（5分钟）引入二重积分的概念和意义，通过举例说明二重积分的应用领域，如物理学、经济学等。

步骤二：二重积分的定义和性质（15分钟）1. 介绍二重积分的定义，即将给定区域的函数值乘以微小区域的面积，并对整个区域进行累加；2. 讲解二重积分的性质，如线性性、区域可加性和中值定理等。

步骤三：二重积分的计算方法（40分钟）1. 直角坐标系下的计算方法：a. 利用累加求和的思想，将区域分割成微小矩形，并逐一计算每个矩形的面积和函数值，最后将结果累加；b. 讲解二重积分的计算顺序，先对 x 进行积分，再对 y 进行积分；c. 求解二重积分时，可通过换序积分法简化计算；d. 引入二重积分的求面积公式，通过对区域边界的积分计算出区域的面积。

2. 极坐标系下的计算方法：a. 介绍极坐标系的转换关系，并讲解如何在极坐标系下计算二重积分；b. 给出极坐标系下的二重积分计算公式。

步骤四：实际问题的求解（30分钟）结合实际问题，如质心、质量、概率等问题，引导学生运用二重积分的计算方法进行求解。

步骤五：课堂练习（20分钟）布置一些练习题，提供学生自主练习和思考时间，并在课堂上共同讨论解题思路和方法。

六、课堂总结与作业布置（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并布置相关的课后作业，要求学生进行二重积分的计算和实际问题的应用练习。

七、教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步理解和掌握二重积分的概念、性质和计算方法，并能够初步运用二重积分解决实际问题。

在教学过程中，通过举例和实际问题的引入，增加了学生的兴趣和参与度。

二重积分的教案教案名称：二重积分的教学设计教学目标：1.了解二重积分的概念和基本性质；2.掌握二重积分的计算方法和应用；3.培养学生的数学思维和问题解决能力。

教学准备：1.教师准备教学课件和教学实例；2.学生需要具备微积分基础知识。

教学过程：一、导入（5分钟）1.教师可以通过引入实际问题，让学生思考如何计算某个区域的面积或者质量等问题，引出二重积分的概念；2.提问：如何计算某个区域的面积？如何计算某个平面薄片的质量？3.引导学生思考，引出二重积分的概念。

二、概念讲解（15分钟）1.教师通过演示或者动态图像，讲解二重积分的概念和几何意义；2.解释二重积分的定义：将被积函数在所给曲边梯形上的积分作为极限形式加以定义。

三、性质讲解（15分钟）1.教师讲解二重积分的可加性、线性性、保号性等基本性质；2.指出二重积分与偏导数的关系，引导学生思考。

四、计算方法（20分钟）1.教师分别讲解二重积分的直角坐标和极坐标下的计算方法；2.通过教学实例，演示如何计算不规则区域的面积和质量。

五、应用举例（20分钟）1.教师提供实际问题，引导学生应用二重积分求解；2.根据教师给出的问题，学生利用二重积分的概念和计算方法，进行解答。

六、拓展与归纳（10分钟）1.教师要求学生总结二重积分的基本概念、性质和计算方法；2.学生再次回顾课程内容，提出疑问和问题。

七、提问与讨论（10分钟）1.教师提问学生关于二重积分的问题；2.学生提出疑问和思考，讨论与交流。

八、课堂练习（15分钟）1.教师出示练习题，让学生在课堂上进行解答；2.教师引导学生思考解题方法和思路。

九、作业布置（5分钟）1.教师布置课后作业，巩固学生对二重积分的理解和应用；2.教师提醒学生按时完成作业，并预告下一节课的内容。

教学反思：本节课通过概念讲解、性质讲解、计算方法、应用举例和拓展归纳等教学环节，全面系统地介绍了二重积分的概念和基本性质，培养了学生的数学思维和问题解决能力。