第1章绪论√有限元

泰勒展开式 对于任意场函数 f，其泰勒展开式为
f f0 ( f x ) 0 ( x x 0 ) 2 1 ! ( 2 x f 2 ) 0 ( x x 0 ) 2 3 1 ! ( 3 x f 3 ) 0 ( x x 0 ) 3
考虑在1，3 点展开，略去三阶以上的高阶小量
f3
1947年，电子计算机问世，为有限元法提供了强大的计算 工具．
1960年，克拉夫(Clough)最先提出“有限元”(Finite Element Method）这一术语，把杆件结构力学的位移法推广到求 解连续介质力学问题．
1960’年代开始，有限元理论的研究与应用快速发展： 单元研究：协调元、非协调元，不同形状单元；
有三条有效的解决途径：
一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的 问题，从而得到它在简化状态下的解答。这种方法只在有限的 情况下可行，因为过多的简化将可能导致不正确的甚至错误的 解答。
二是数值解法，如有限差分法、边界元法、有限元法、离 散元法和加权余量法等。对于非线性问题，其中以有限元法更 为有效，且已经出现了许多通用程序。
2 有限元的发展史
1909年，里兹(Ritz)提出求解连续介质力学近似解的方法， 利用未知量的试探函数将势能泛函近似化，然后由求泛函极小 值条件，导出求解未知量的代数方程组．
1943年，科朗（Courant）将里兹法作了重要推广，将 ( 平 面）求解区域进行三角形剖分，在每个三角形的区域上引入分 片线性函数．
应用领域：三维问题、板壳问题、材料非线性和几何非线 性、动力分析、流体力学、渗流、热传导、电磁场分析；
ij ij i
状态二相应的体力、面力、应力、应变、位移分别是由 Nhomakorabea的互等定理得
fi(2),F i(2),
, ,u (2) (2) (2)
ij ij i
f i ( 1 ) u i ( 2 ) d Ω s F i ( 1 ) u i ( 2 ) d s f i ( 2 ) u i ( 1 ) d Ω s F i ( 2 ) u i ( 1 ) d s
三是利用现代科学知识，提出新的求解方法。
有限差分法 是从方程本身的角度出发，将问题的基本微 分方程和边界条件化为差分方程，从而将求解微分方程问题转 化为求解代数方程组问题．
比如，我们要求解下面的问题
2f 2f f f
x2
y2
f x y
F,
(x,y)
f f, (x,ys)
在求解域Ω上画上差分网 格，将每个结点的 1,2阶 导数通过有限差分方式， 变换成函数 f 的结点值。
有限元法是从结构本身出发，将连续问题离散化为一个个 单元，以插值函数表示单元内场函数的分布规律，建立平衡方 程（或通过变分原理建立有限元方程），从而将求解微分方程 问题转化为求解代数方程组问题。
有限单元法处理弹性力学问题的基本思路是：
① 离散化：将受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有 限小的单元集合体。单元之间只在结点上互相联系，亦即只有 结点才能传递力；
第1章 绪 论
1. 有限元法发展概况 2. 有限元法在工程中的应用 3. 有限元法的解题过程 4. 有限元软件简介
1.1 有限元法发展概况
1 什么是有限元
在工程中有许多力学问题和场问题，尽管人们已建立了求 解这些力学问题和场问题的基本方程和边界方程，但是只有少 数简单的问题才能求出解析解。对于数学物理方程较复杂，物 体边界又不规则的问题，采用解析法求解在数学上会遇到难以 克服的困难，因此会寻求各种行之有效的分析方法。
当状态一取实际状态，状态二为单位集中力时，功的互等 定理为
u i ( 1 ) s F i( 1 ) u i ( 2 ) d s f i( 2 ) u i ( 1 ) d Ω s F i( 2 ) u i ( 1 ) d s
有限单元法 的理论基础是变分原理。常用的变分原理有
最小势能原理、最小余能原理和混合变分原理。采用不同的变 分原理，将得到不同的未知场变量。当采用最小势能原理时， 必须假设单元内位移场函数的形式。这种以位移作为基本未知 量的分析方法称作位移法。当采用最小余能原理时，须假设应 力场的形式，这种方法称为应力法。当采用混合变分原理，例 如基于 Hellinger-Reissner 变分原理的混合板单元，就必须同时 假设某些位移和某些应力，因而这种方法称为混合法。当用有 限元法处理瞬态问题时，常用的变分原理是 Hamilton原理。进 行静力分析时，对大多数问题，应用位移法较简单。因此，这 种方法得到了广泛的应用。
边界元法基于边界积分方程，而建立边界积分方程的基础 有两个，一是基本解，二是功的互等定理（贝蒂互换定理）。
基本解 一单位力作用于无限大域中产生的应力和位移
互换定理 （功的互等定理）。设弹性体受到两种力系作
用，产生两种状态。状态一相应的体力、面力、应力、应变、
位移分别是
fi(1),Fi(1),
, ,u (1) (1) (1)
f0
f h(x)0
h2 2
2 f ( x2
)0
f1
f0
h(fx)0
h2 2
(2xf2
)0
从上式解出一、二次偏导数在0点的值
( fx)0f1 2 h f3； ( 2 xf2)0f1fh 3 2 2f0
这样就把二阶偏微分方程转化为仅包含函数值的代数方程。
边界单元法 依据边界积分方程，将物体的边界离散化， 建立边界未知量的代数方程组，求出边界未知量后，进而求解 域内的未知量．
② 单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元 结点力和结点位移之间的关系；
③ 整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程、引入 边界条件、解线性方程组求出位移以及计算单元应力。
有限元法主要优点是：概念清楚，易于掌握，既可以从直 观的物理模型来理解，也可以按严格的数学逻辑来研究；适应 性强，府用范围广，不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非 线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到求解数 学方程中的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问 题；已经出现了许多大型结构分析通用程序，如ASKA、SAP、 NASTRAN、ADINA、ANSYS、ABAQUS等。这些优点, 使有 限单元法得到了广泛的应用和发展。