直线与圆专题

直线与圆(小题)热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0).例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A.1B.－2C.1或－2D.－32答案 A解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得⎩⎪⎨⎪⎧－11＋m ＝－m 2，21＋m ≠－2解得m ＝1.综上可得m ＝1.(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 如图所示可知A(2，0)，B(1,1)，C(0，2)，D(－1,1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝1－01－2(x－2)，y＝(1－2)x＋2，y＝(2－1)x＋ 2.整理为一般式即x＋()2－1y－2＝0，()1－2x－y＋2＝0，()2－1x－y＋2＝0.故选C.跟踪演练1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( )A.23B.±35C.－35D.35答案 D解析因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α＝35.(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－23，则直线l的方程是( )A.－3x ＋2y ＋1＝0B.3x －2y ＋1＝0C.2x ＋3y －5＝0D.2x －3y ＋1＝0答案 C解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1). 因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.3.解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________. 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±4332＋(y －1)2＝163 解析 由抛物线方程x 2＝4y ，可知 准线方程为y ＝－1，F (0,1)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x 24， ∵|PM |＝|PF |，由抛物线定义，可知PM 垂直于准线，可得M (x ，－1)， 又|PM |＝|MF |，可得x 24＋1＝x 2＋4，解得x 1＝23，x 2＝－23，当x ＝－23时，P (－23，3)，M (－23，－1)， △FPM 为等边三角形⇒△FPM 外接圆圆心与重心重合，∴外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＋03，3－1＋13，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，1，外接圆半径为r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433＋232＋1＋12＝433， 同理可得当x ＝23时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫433，1，半径为433， ∴外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±4332＋(y －1)2＝163. 跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A.－1B.1C.±1 D .0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3， 设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________. 答案7225解析 根据题意作出如下图形：AB 为两圆的公切线，切点分别为A ，B .当公切线AB 与直线C 1C 2平行时，公切线AB 斜率不为7， 即r 1≠r 2，不妨设r 1<r 2， 过C 1作EC 1∥AB ，交AC 2于点E ， 则|EC 2|＝r 2－r 1，|AB |＝|EC 1|， |C 1C 2|＝2＋12＋2＋12＝32＝r 1＋r 2，直线C 1C 2的斜率为k ＝2＋12＋1＝1，又k AB ＝7，所以直线AB 与直线C 1C 2的夹角的正切值为tan α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－71＋7＝34.在直角三角形EC 1C 2中，|EC 2||EC 1|＝34，所以|EC 1|＝43(r 2－r 1)，又|EC 1|2＋|EC 2|2＝|C 1C 2|2，整理得⎣⎢⎡⎦⎥⎤43r 2－r 12＋(r 2－r 1)2＝(r 1＋r 2)2，解得4r 1＝r 2， 又32＝r 1＋r 2， 解得r 1＝325，r 2＝1225， 所以r 1r 2＝325×1225＝7225. (2)(2019·淄博模拟)已知直线l ：y ＝－2x －m (m >0)与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，直线l 与圆C 相交于不同两点M ，N .若|MN →|≤2|CM →＋CN →|，则m 的取值范围是( ) A.[5，5) B.[2,55－3) C.(5,55) D.(3，2)答案 B解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝25， ∴C (1,1)，圆C 半径r ＝5， 若|MN →|≤2|CM →＋CN →|， 则|MN →|2≤4|CM →＋CN →|2，即|MN →|2≤4|CM →|2＋4|CN →|2＋8CM →·CN →， ∴|MN →|2≤100＋100＋8|CM →|·|CN →|cos∠MCN ， ∴|MN →|2≤100＋100＋200×25＋25－|MN →|250，∴|MN →|≤45，设圆心C 到直线y ＝－2x －m 的距离为d ， 则2r 2－d 2＝225－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋m |52≤45，解得m ≥2(舍负)，又直线y ＝－2x －m 与圆C 相交，可得d <r ， 即|3＋m |5<5⇒m <55－3，综上所述m 的取值范围是[2,55－3).跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A.10 B.4 3 C.8 D.215 答案 D解 设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822，∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 222＋(y －a )2＝a 44＋16，当y ＝0时，得x 2－a 2x ＋a 2－16＝0， 设圆与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2－16， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 D解析 公共弦的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， 所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确； 又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.故有x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，③正确.真题体验1.(2018·全国Ⅲ，理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2，32] D.[22，32]答案 A解析 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6].2.(2016·全国Ⅱ，理，4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A.－43B.－34 C. 3 D.2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 3.(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得y ＝－2，∴m ＝－2，则r ＝－2－02＋－1＋22＝ 5.方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－－2×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝－2－02＋－1＋22＝ 5.押题预测1.已知直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切，则实数a 等于( ) A.377 B.－377 C.±377 D.97答案 C解析 直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切， 即圆心(0，－4)到直线的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，得|4a |1＋a2＝3，化简得a ＝±377.2.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0).故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 3.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817解析 由题意知，甲的平均数b 为20＋22＋23＋314＝24，乙的众数a 是40，∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|52＋32＝334，∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°， ∴r ＝634，∴圆A 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817.A 组 专题通关1.(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A.45° B .135° C .30° D .150° 答案 B解析 由题意得k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1， 故倾斜角为135°.2.(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A.y －x ＝1B.y ＋x ＝3C.2x －y ＝0或x ＋y ＝3D.2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0， 当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1，代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为y ＝2x 或y －x ＝1.3.(2019·东北三省三校模拟)设直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则圆O 的面积为( ) A.π B .2π C .4π D .8π 答案 C解析 圆O ：x 2＋y 2＝a 2的圆心坐标为(0,0)，半径为|a |， ∵直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点， 且|AB |＝23，又圆心(0,0)到直线y ＝x －2的距离d ＝|2|2＝1，∴1＋3＝a 2，解得a 2＝4，圆的半径r ＝|a |＝2， ∴圆的面积S ＝4π.4.(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 答案 A解析 如图，圆的圆心为(－2,3)，半径为3，圆心到直线的距离d ＝|－2＋3|2＝22， 可知2－22<3,2＋22<3， 由图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个.5.(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 令x ＝0代入2x －y －3＝0可得P (0，－3)， 又圆心坐标为(－1,0)，半径为6， 则P 与圆心的距离为1＋3＝2，可知较长一段的长度为8，较短一段的长度为4，则较长一段与较短一段长度的比值等于2.6.若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B.5C.2 5D.10 答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ，知直线ax ＋by ＋1＝0必过圆M 的圆心， 由圆的方程可得圆心为M (－2，－1)， 代入ax ＋by ＋1＝0中，可得2a ＋b －1＝0.(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的点(a ，b )的距离的平方. 点(2,2)到直线2a ＋b －1＝0的距离d ＝|2×2＋2×1－1|5＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0， －6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4 D.226＋2答案 C解析 取AB 中点D (2，－3)， 则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|， 又由题意知，圆C 的圆心C (1,2)，半径为2，|PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4， 即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.8.(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A.4B.3C.2D.1 答案 D解析 结合题意，绘制图象如图，可知当∠MPN 取到最大值时， 则∠MPC 也取到最大值， 而sin∠MPC ＝MC PC ＝r PC， 当PC 取到最小值时，∠MPC 取到最大值， 故PC 的最小值为点C (－1,0)到直线l 的距离d ， 故d ＝|3×－1＋0－7|32＋42＝2，故r PC ＝r 2＝sin π6＝12，解得r ＝1. 9.(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2＋(y －2)2＝20 B.x 2＋(y －2)2＝5 C.x 2＋(y ＋2)2＝20 D.x 2＋(y ＋2)2＝5答案 C解析 由题意，得|PA |＝|PD |＋|DA |＝|DB |＋|DA |， 又点D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，且A (0，－2)，B (0,2)为椭圆的两个焦点， ∴|DB |＋|DA |＝25， ∴|PA |＝25，∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.10.(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A.2 B.32 C.1 D.12答案 D解析 因为动直线方程为m (x －1)＋n (y －3)＝0， 所以该直线过定点Q (1,3)， 所以动点M 在以PQ 为直径的圆上， 所以圆的半径为121＋32＋32＝52，圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 所以点N 到圆心的距离为2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－322＝3， 所以|MN |的最小值为3－52＝12.11.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 答案 B解析 设P (4－2m ，m ).∵PA ，PB 是圆C 的切线，A ，B 为切点， ∴CA ⊥PA ，CB ⊥PB ，∴AB 是圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦.易知以PC 为直径的圆的方程为[x －(2－m )]2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(2－m )2＋m 24，①圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，②①－②得直线AB 的方程为2×(2－m )x ＋my ＝1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋m (y －2x )＝0，∴直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 12.(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则M的横坐标的取值范围是( ) A.|x|≥1 B.|x|>1C.|x|≥2D.|x|≥2 2答案 A解析设P(x0，y0)，则Q(2x0＋3，2y0)，当y0≠0时，k AP＝y0x0＋3，k PM＝－x0＋3y0，k QB＝2y02x0＋3－3＝y0 x0，直线PM：y－y0＝－x0＋3y0(x－x0)，①直线QB：y－0＝y0x0(x－3)，②又P在圆上，∴x20＋y20＝1，③联立①②③消去y得x＝3＋x01＋3x0，∴x0＝x－31－3x，由|x0|<1，解得|x|>1，当y0＝0时，点P，M重合，易求得|x|＝1.综上，|x|≥1.13.(2019·福建四校联考)已知直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________.答案 2解析因为直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，所以3m－4×6＝0，解得m＝8，所以6x＋my＋14＝0即是3x＋4y＋7＝0，由两条平行线间的距离公式可得d＝|7＋3|32＋42＝2.14.(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线3x ＋4y＋4＝0均与圆C相切，则圆C的标准方程为________.答案(x－2)2＋y2＝4解析设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0，故由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b ＝0，|a |＝r ，|3a ＋4b ＋4|5＝r ，解得a ＝2，b ＝0，r ＝2，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.15.(2019·湖北省部分重点中学联考)已知O 为原点，过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2，则直线l 的方程为________.答案 x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0解析 ①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝1， 则圆心O (0,0)到直线l 的距离为1， 所以|AB |＝252－1＝4，故S △AOB ＝12×4×1＝2，所以直线x ＝1满足题意. ②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＋32＝k (x －1)，即2kx －2y －2k －3＝0，所以圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|2k ＋3|2k 2＋1， 故|AB |＝252－d 2＝25－d 2，因为S △AOB ＝12|AB |d ＝2，所以5－d 2·d ＝2，整理得d 4－5d 2＋4＝0，解得d ＝1或d ＝2. 当d ＝1时，|2k ＋3|2k 2＋1＝1， 解得k ＝－512；当d ＝2时，|2k ＋3|2k 2＋1＝2，此方程无解. 故直线方程为y ＋32＝－512(x －1)，即5x ＋12y ＋13＝0.综上可得所求直线方程为x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0.16.(2019·辽宁省六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析 ∵圆心为(0,0)，半径r ＝1， 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2， 即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.B 组 能力提高17.若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________. 答案 [6，＋∞) 解析||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，因为||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2的距离和与圆上点的位置无关，又易知直线l 1与圆相离，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，如图所示，所以圆心(1,1)到l 2的距离d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6.18.已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③解析 如图，根据题意，利用圆中的特殊三角形，可求得圆心及半径，即得圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，并且可以求得A (0，2－1)，B (0，2＋1)，因为M ，N 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，所以可设M (cos α，sin α)， N (cos β，sin β)，所以|NA |＝cos β－02＋[sin β－2－1]2＝22－12－sin β， |NB |＝cos β－02＋[sin β－2＋1]2 ＝22＋12－sin β， 所以|NA ||NB |＝2－1， 同理可得|MA ||MB |＝2－1， 所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |， |NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22， 故①②③都正确.。

专题9.2直线与圆的位置关系练基础1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A．1B．2C．3D．43．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．75.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（）A ．3B ．C ．1D ．-6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．练提升1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +122.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O :x 2+y 2=4，以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ，E 两点，则 AED 面积的最大值为_______.7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．练真题1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．±1B ．C ．D ．2±3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A．210x y --=B．210x y +-=C．210x y -+=D．210x y ++=4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．。

1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明．2.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．(1)求证：DE与⊙O相切；1（2）求证：OF=CD23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE=2，DE=1cm，求BD的长．4.如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．5.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，∠A=∠D=30°．（1）判断DC 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）证明：△AOC ≌△DBC ．6.如图，在△ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D（1）试判断直线AC 与⊙D 的位置关系，并说明理由；（2）若点E 在AB 上，且DE=DC ，当AB=3，AC=5时，求线段AE 长．7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP ∥BC ，∠P=∠BAC ．（1）求证：PA 为⊙O 的切线；（2）若OB=5，OP=325，求AC 的长．8.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若BC=52，sin ∠BCP=55，求⊙O 的半径及△ACP 的周长。

直线与圆的位置关系一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】A．30 B．45 C．60 D．67.5第2题第3题3．如图，AB是弦，BC与⊙O相切于点B，若∠ABC=70°，则∠A等于【】A．15°B．20°C．30°D．70°4．⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【】A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交5．如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=600，则阴影面积是【】A16π-B13πC16πD13π-6．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，则【】A．EF>AE+BF B．EF<AE+BFC．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF第5题第6题7．如图，线段AB为直径，直线CD与圆相切于点D，交BA的延长线于C，AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB 的度数最大时，则∠ABP等于【】A．15°B．30°C．60°D．90°8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y x=与⊙O的位置关系是【】A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能第7题第8题9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，如果∠ABC=120°，OC=3，则弧BC的长为【】A．πB．2πC．3πD．5π10．如图，PA、PB与⊙O相切于A、B，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】A．80°B．110°C．120°D．140°第9题第10题11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O半径为【】A．8 B．6 C．5 D．412．如图，AD切⊙O于点A，弧EC=CB，则下列结论不一定正确的是【】A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC二、填空题1．如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为cm．2．如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝．3．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，若∠ACB＝70°，那么∠P的度数是．4．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=．5．把如图所示的长方体切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是．6．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧 BC的长为cm．第5题第6题7．如图所示，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点．若∠A=50°，则∠EPH= ．8．如图，PA，PB且⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，∠P=46°，则∠BAC= ．9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则S阴影= ．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．11．如图所示，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是．12．如图，⊙O 与Rt△ABC两边AB、BC 分别相切与点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任意一点P作⊙O的切线MN，若⊙O的半径为r，那么△MBN的周长为．三、解答题：1．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（1）如图①，若∠BAC=250，求∠AMB；（2）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于D，若BD=MA，求∠AMB．2．如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN ⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O半径为3，PA=9，求OM的长．3．如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB=8cm ．求圆O的直径．4．如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．5．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF，交⊙O于点C，连接BD．(1) 求证：BD平分∠ABH；(2) 如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．6．如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=12，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC 上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO．求BD的长．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D 在圆上，点E在圆外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．10．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G．设AD=a，BC =b．（1）求CD的长度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）判断EG与FG的关系，并说明理由．11．如图，AB是直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝CD＝2，求⊙O的直径．12．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D，∠D＝30º．(1) 求∠A的度数；(2) 过点C作CF⊥AB于点E，交⊙O于点F，CF＝43，求弧BC的长度．13．如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O 的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°．（1）求证:AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弧BD的长．14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．(1) 求证：AC平分∠DAB；(2) 若∠B＝60º，CD＝23，求AE长．15．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=52，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使得△QAC 是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．。