三垂直模型与全等综合之欧阳学文创编之欧阳家百创编

DPFEBC AF E CB A K 模型图与全等知识点 基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H B CFFEDC BAHFEDCBA【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。

AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。

连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.10ABOMPQx y24．（12分）如图，CODV等腰直角三角形，CA⊥x轴。

欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10常见的几何模型时间 2021.03.10创作：欧阳治一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半 角。

这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、 正方形的分类。

1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：例题讲解：1. 如图所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个点， PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC 的边长。

2. 如图，O 是等边三角形 ABC 内一点，已知： ∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段 OA、 OB、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.103.如图，P 是正方形 ABCD 内一点，且满足 PA： PD：PC=1：2：3，则∠APD=.4.如图（2-1）：P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到 正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为 PA=1， PB=2，PC=3。

求此正方形 ABCD 面积。

（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形：例题讲解：1. 已知△ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的 一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱 形 ADEF( 按 A,D,E,F 逆 时 针 排 列 ） ， 使 ∠DAF=60°,连接 CF.(1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证： ① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.(2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件 不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成 立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关 系，并说明理由；欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10(3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件 不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系。

K模型图与全等知识点基本图形本题 8 分）如图，在等腰Rt △ABC中，∠ACB=90 °，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，求证：AF＝CF．22 ．边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 中点，连CE，过 B 作 BF⊥ CE 交 AC 于 F，求AF.D CFHA EB 【例 8】CFEA D B【例 9 】等腰 Rt △ABC 中∠ACB ＝ 90 °，AC=BC ； F 是 BC 上的中点，连AF ，作 CD ⊥ AF 于 E，交 AB 于 D；连 FD. 求证： AD ＝2BD ；【例 3 】已知△ABC 中 ,∠C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点,EP⊥ CB,PF⊥ AC,E、F为垂足 ,CFE求证 :△DEF 是等腰直角三角形.A D P B【例 4 】如图， D 为线段 AB 的中点，在AB 上取异于 D 的点 C，分别以 AC、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与 BCF，连结 DE、 DF、 EF，求证：△ DEF 为等腰直角三角形。

DFEHEAA C D BBFC【例 5 】如图，分别以△ ABC 的边 AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰 Rt △ACE；连接 DE。

AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点 H ，求证： DE＝ 2AF【例 6 】如图，在正方形ABCD 中，点 N 是 BC 边上的点。

连接AN ，MN ⊥ AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。

求证： AN ＝ MN9、如图，直线AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点B（0， b），且 a 、b 满足 a 4+ |4 －b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于 E，求证∠BDO=∠EDA；yBEFO D A x（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt△PBM ，其中 PB= PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x轴上运动时，线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.yM BO A PxQ 1024 ．（ 12分）如图， VCOD 等腰直角三角形， CA ⊥ x 轴。

摘要：离职模型的构建是许多雇员离职研究学者研究的重点，主要从个体层面来研究雇员离职的决定因素，进而试图揭示雇员作出离职决策的过程。

雇员离职研究史上有三大主流离职模型，他们是Mobley(1979)扩展的中介链模型、Steers Mowday(1981)模型和Price-Mueller （2000）模型。

对三大主流离职模型进行了介绍和归纳，并总结了这些模型对我国雇员离职研究的启示。

关键词：雇员离职；主流模型；Price-Mueller模型1 三大主流离职模型简介1.1 扩展的Mobley中介链（1979）模型Mobley和他的同事在1979年构造出一个较为复杂和全面的雇员离职过程模型——扩展的莫布雷中介链模型（见图1），它将March和Simon模型、Price模型和Mobley中介链模型进行了结合，以尽可能地捕捉影响雇员离职的各种复杂因素。

该模型认为，雇员打算辞职继而从组织中真正流出，主要取决于四个因素:（1)工作满意与否。

企业雇员对其工作的满足感既是一个绝对概念又是一个相对概念。

前者是指一个工作由于符合某个员工的价值观，而给他的带来的满足程度。

如，一个热爱书籍、但不善交际的雇员可能对资料管理员的工作比较满意，而对公关部经理的工作却十分恐惧和厌恶;后者是指雇员在综合评价各种工作带给他的满足程度之后，所得到的感觉。

（2)对在组织内部改变工作角色及收益的预期。

雇员在对现有的工作感到绝对不满，或觉得其它企业具备更合适的工作而感到相对不满时，仍然有可能会从原有企业流失。

因为他会考虑自己将来在本企业的发展，是否还有比外界更大的空间，或者说是否会更加满足。

如果是，而且实现内部流动或晋升的机会比较大，那么他就不会从原企业流失。

而相反，如果一个雇员对现有的工作感到满意，但对企业内部未来的预期却不甚理想，则他也会积极在外界寻找新的机会,或者在本企业暂时停留，消极怠工，形成雇员的隐性流失。

（3)对在组织外部改变工作角色及收益的预期。

D P FE BCA K 模型图与齐等之阳早格格创做知识面基原图形原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ．22．边少为1的正圆形ABCD 中，E 是AB 中面，连CE ，过B 做BF ⊥CE 接AC 于F ，供AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC上的中面，连AF ，做CD ⊥AF 于E ，接AB 于D ； 连FD.供证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中面,E 是BC 上任一面,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂脚, 供证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中面，正在AB 上与同于D的面C ，分别以AC 、BC 为斜边正在AB 共侧做等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，供证：△DEF 为等腰直角三角形.【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 背中做等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；对接DE.AF是△ABC的中线，FA的延少线接DE于面H，供证：DE＝2AF【例6】如图，正在正圆形ABCD中，面N是BC边上的面.对接AN，MN⊥AN接∠DCB的中角仄分线于面M.供证：AN＝MN9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴.⑴若面C 的坐标是（—2，—4），供D 面的坐标.（4分） ⑵连结CD ，面E 为CD 的中面，供证：AE ⊥BE ；（4分） ⑶如图，面P 是y 轴正半轴是一面，OP=AB ，当面A 、B 正在x 轴上疏通时，∠APB+∠CPD 的值是可爆收变更？若并证明缘由.（4分）“K”为过二顶面做该直线垂线. 例：已知等腰RT △ABC 中，过面A △ABE ≌△CAF衍死：仄里直角坐标系中A （1,3），以OA 为边做正圆形OABC ，供B 、C 坐标.变式：仄里直角坐标系中，面A （4,1），过面O 做一条直线与OA 夹角为45°，供该直线剖析式.衍伸：仄里直角坐标系中直线3:2OA l y x =与单直线k y x=接于面A ，以OA 为边做等腰RT △OAB ，面B 刚刚佳降正在单直线上.供k.原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ． ABC 的直角顶面C 正在x 轴上，面B 正在y 轴上.（1）如图1，若面C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），供面B 的坐标.（2）如图2，直角边BC 正在坐标轴上疏通，使面A 正在第四象限内，过面A 做AD ⊥y 轴于D ，供CO AD BO -的值. 八年级数教每日一题（041-045）P —041如图，如图，正在仄里直角坐标系中，面A 战面B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 谦脚330a b -+=.（1）供面A 、面B 的坐标；（2）面C 是第三象限内一面，以BC 为直角边做等腰直角D yx A O C B O C B A△BCD，∠BCD=90º，过面A战面D分别做直线CO的垂线，垂脚分别是面E、F.试问线段AE、DF、CO之间是可存留某种决定的数量闭系？为什么？P—042 如图，正在仄里直角坐标系中，面A、面C分别正在y轴的正半轴战背半轴上，面B正在x轴正半轴上，∠ABC=90º.面E正在BC延少线上，过面E做ED∥AB，接y轴于面D，接x轴于面F，DO–AO=2CO.（1）供证：AB=DE；（2）若AB=2BC，供证：EF=EC；（3）正在（2）的条件下，若面B的坐标是（2，0），供面E 的坐标.9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.10如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一线三等角模型一 .一线三等角观点“一线三等角” 是一个常有的相像模型，指的是有三个等角的极点在同一条直线上组成的相像图形，这个角能够是直角，也能够是锐角或钝角。

不一样地域对此有不一样的称号，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二 .一线三等角的分类全等篇CD CA P BA P锐角直角D DA AB PBC C相像篇CDCA PB A P锐角直角DDDDCBA PB 同侧钝角DAPP BC异侧D DCBA PB 同侧钝角DAPB AB C CABPCP异侧三、“一线三等角”的性质1.一般状况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC∽△ BDE.2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图 3-1 ，若 CE=ED，则△ AEC≌△ BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2 ，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE.4. “中点型一线三等角“的变式(认识)如图 3-3 ，当∠ 1=∠2 且BOC 90 1BAC 时，点O是△ABC的心里.能够考虑构2造“一线三等角”.如图 3- 4“中点型一线三等角”往常与三角形的心里或旁心有关，BOC 90 1BAC 这是心里的性质，反之未必是心里.在图 3-42BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . （右图）中，假如延伸5.“一线三等角”的各样变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延伸 DC 反而好理解 . 相当于双侧型的，不延伸理解，认为是一种新式的，同侧穿越型？不论怎么变，都是由三等角确立相像三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种状况 .a.图形中已经存在“一线三等角”，直策应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”结构模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”结构模型解题.领会：感觉最后一种状况出现比许多，特别是压轴题中，常常会有一个特别角或指导该角的三角函数值时，我常常结构“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，结构一线三等角是基本手段，特别是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也能够是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上结构一线三等角解决问题更是重要的手段 .3.结构一线三等角的步骤：找角、定线、构相像坐标系中，要讲究“线”的特别性如图 3-6 ，线上有一特别角，就考虑结构同侧型一线三等角自然只加这两条线往常是不够的，为了利用这个特别角导线段的关系，过 C 、D两点作直线 l 的垂线是必不行少的。

CD E BA图21图4图B A E C D 图3C D E BA C D EB AEDC B A 第五章 三垂直全等模型模型 三垂直全等模型如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE 。

模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。

图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。

模型实例例1．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE 。

求证：AB+CD=BC 。

例2．如图，∠ACB-90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点D ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm 。

求DE 的长。

A B C O x y (-1,0)(0,3)图21图(0,3)(-2,0)y x OC B A A B CDE F cb aAB C D E 例3．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上， 求第三个顶点的坐标。

热搜精练1．如图，正方形ABCD ，BE=CF 。

求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF 。

2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是 。

P A BC EFE D C BA3．已知，△ABC 中，∠BAC-90°，AB=AC ，点P 为BC 上一动点（B P<CP ）， 分别过B 、C 作BE ⊥AP 于点E 、CF ⊥AP 于点F 。

（1）求证：EF=CF-BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在 某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。

4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，设∠BCD=α， 以D 为旋转中心，将腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE 。

三垂直模型证明过程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠那个超有趣的三垂直模型的证明过程，就像探索一个神秘的宝藏一样好玩。

你看啊，这三垂直模型就像是三个并肩作战的超级英雄。

首先，我们有三个角都是直角，这直角啊，就像是房子的墙角一样，方方正正，稳稳当当，一点儿也不歪。

那这三个直角的存在就像是给整个模型打了一个坚实的地基。

想象一下，我们有两条直角边就像两个小火车轨道，平行又笔直。

其中一条轨道上的一个点出发了一个线段，这个线段就像一个调皮的小猴子，蹦跶着去和另一条轨道上的某个点连线。

然后呢，我们要开始证明一些三角形全等啦。

这就好比是要找出这几个超级英雄之间隐藏的亲属关系一样。

我们通过角边角或者角角边这些规则来判断。

比如说，那几个直角肯定是相等的呀，这就像大家都知道太阳是圆的一样明显。

然后呢，还有那些锐角，就像是小饼干的碎角一样，通过一些巧妙的角度关系，发现它们也是相等的。

在这个证明过程中，那些线段的长度关系就像是一群小蚂蚁排着队，规规矩矩的。

一条线段和另一条线段相等，就像两个双胞胎小蚂蚁，长得一模一样。

我们利用已知条件的时候，就像是从一个装满魔法道具的口袋里掏出宝贝一样。

已知的角度、线段长度都是我们的宝贝，能帮助我们一步步解开这个三垂直模型的秘密。

当我们终于证明出三角形全等的时候，就像是找到了打开宝藏大门的钥匙。

那种感觉，就像是在黑暗的山洞里突然看到了闪闪发光的金子一样兴奋。

而且啊，这个三垂直模型证明出来之后，就像是掌握了一种魔法咒语，可以在好多几何问题里大显身手。

它就像一把万能钥匙，能打开许多看似复杂无比的几何迷宫的大门。

总之呢，三垂直模型的证明过程虽然有点小复杂，但就像一场有趣的冒险。

我们在这个充满直角、线段和三角形的世界里穿梭，像探险家一样不断发现惊喜，最后成功证明的时候，就像英雄凯旋而归，超有成就感的呢！。

D P FE BCA K 模型图与全等欧阳歌谷（2021.02.01）知识点基本图形本题8分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD.求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足,求证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。

AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。

连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点B（0，b），且a 、b满足4a+ |4－b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。

欧阳语创编 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线②菱形（正方形）的对角线互相垂直③勾股定理中的三角形④ 直角梯形例：在正方体1111ABCD A B C D 中，O 为底面ABCD 的时间：2021.03.01 创作：欧阳语 授课教师：吴福炬欧阳语创编中心，E 为1CC 中点,求证：(1) 1A O OE ⊥(2)1A O BDE ⊥平面（2） 异面垂直（利用线面垂直来证明）例1 在正四面体ABCD 中，求证：AC BD ⊥变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，欧阳语创编 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥； 变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A .求证:'A D EF ⊥； BE 'A DF G欧阳语创编变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形， ∠PAC =∠PBC =90º证明：AB ⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明方法○1利用线面垂直的判断定理例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90°.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .欧阳语创编 P CB AD E求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；变式3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =6BC =E例:如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，2AD DE AB==，F为CD的中点.(1) 求证：//AF平面BCE；(2) 求证：平面BCE⊥平面CDE；例2 如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，60AB AD AC CD ABC⊥⊥∠=，，°，PA AB BC==，AB CDPE欧阳语创编E是PC的中点．（1）证明CD AE⊥；（2）证明PD⊥平面ABE；变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，ABC，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，∠60=︒且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；类型三：平面与平面垂直证明1.AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，欧阳语创编M是圆周上任意一点，AN⊥PM，点N为垂足，求证：平面PAM⊥平面PBM2．如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线ＡＣ的中点。