2020浙教版九年级数学上圆的知识点总结及习题

《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。

（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

【文库独家】圆的有关性质知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．(3)________相等的两个圆是等圆．(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．自主测试1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝6，则⊙O的半径为()A ． 2B ．2 2C ．22 D ．622．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC ＝60°，若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为( )5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M ，N 两点，若点M 的坐标是(－4，－2)，则弦MN 的长为__________．(第5题图)考点一、垂径定理及推论【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为( )A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米分析：如图，油面AB 上升1分米得到油面CD ，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝12CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，由OA ＝OC ，列方程求x 即可求得半径OA ，得出直径MN .解析：如图，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝12CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2， 在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，∵OA ＝OC ，∴32＋x 2＝42＋(x －1)2，解得x ＝4，∴半径OA ＝32＋42＝5，∴直径MN ＝2OA ＝10(分米)．故选C.答案：C方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．触类旁通1 如图所示，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__________ cm.考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系【例2】如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长． 解：(1)证明：∵AB ＝BC ， ∴AB BC =.∴∠ADB ＝∠BDC ， ∴DB 平分∠ADC .(2)由(1)知AB BC =，∴∠BAE ＝∠ADB .∵∠ABE ＝∠ABD ，∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BDAB.∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27.∴AB ＝3 3.方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．触类旁通2 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°，则∠ABD 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°考点三、圆周角定理及推论【例3】如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD ＝( )A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°解析：根据圆周角定理求得，∠AOD ＝2∠ABD ＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD ＝2∠BCD (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD ＝180°－∠AOD .还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB ＝90°，则∠DAB ＝90°－∠ABD ＝32°，∵∠DAB ＝∠DCB ，∴∠DCB ＝32°.答案：B方法总结 求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．触类旁通3 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，CD的度数等于84°，CA是∠OCD 的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.A．CM＝DM B．CD DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()(第3题图)A．45°B．85°C．90°D．95°4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.7．(2012湖南长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为()A ．5B ．4C ．3D ．22．如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A ．12B ．34C ．32D ．453．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．64．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA ，OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8个单位，OF ＝6个单位，则圆的直径为( )(第4题图)A ．12个单位B ．10个单位C ．4个单位D ．15个单位5．已知如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B ＝30°，则∠D ＝__________.(第5题图)6．如图，过A ，C ，D 三点的圆的圆心为E ，过B ，F ，E 三点的圆的圆心为D ，如果∠A ＝63°，那么∠DBE ＝__________.(第6题图)7．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的直径等于________．(第7题图)8．如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC ＝AF ，延长DF 与BA 的延长线交于点E .求证：(1)△ABD 为等腰三角形； (2)AC ·AF ＝DF ·FE .参考答案导学必备知识 自主测试1．A 2．D 3．60° 4．90°5．3 如图，过点A 作AB ⊥MN ，连接AM ，设MB 为x ，则AM ＝AO ＝4－x . 在Rt △AMB 中， ∵AM 2＝MB 2＋AB 2，∴(4－x )2＝x 2＋22，解得x ＝32.∴MN ＝2MB ＝3. 探究考点方法触类旁通1．24 连接OA ，当OP ⊥AB 时，OP 最短，此时OP ＝5 cm ，且AB ＝2AP .在Rt △AOP 中，AP ＝OA 2－OP 2＝132－52＝12，所以AB ＝24 cm.触类旁通2．B 由题意，得∠A ＝∠C ＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB ＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A ＋∠ABD ＝90°，从而得∠ABD ＝50°. 触类旁通3．48° 因为CD 的度数等于84°，所以∠COD ＝84°.因为OC ＝OD ，所以∠OCD ＝48°.因为CA 是∠OCD 的平分线，所以∠ACD ＝∠ACO ＝24°，因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠ACO ＝24°，因为∠ABD ＝∠ACD ＝24°，所以∠ABD ＋∠CAO ＝48°.品鉴经典考题1．A ∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝45°.故选A. 2．D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ， ∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立； B 为CD 的中点，即CB ＝DB ，选项B 成立； 在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ， ∴△ACM ≌△ADM (SAS)，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立；而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立． 故选D.3．B ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠ABD ＝45°.∵∠C ＝50°，∴∠D ＝50°，∴∠BAD 的度数是180°－45°－50°＝85°.4．8 如图所示，在⊙O 中，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD .∵钢珠的直径是10 mm ， ∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ， ∴OD ＝3 mm. 在Rt △AOD 中，∵AD ＝OA 2－OD 2＝52－32＝4(mm)． ∴AB ＝2AD ＝2×4＝8(mm)． 故答案为8.5．2 ∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB ＝23，∴BC ＝12AB ＝ 3.∵OC ＝1，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋(3)2＝2. 故答案为2.6．150 因为∠AOC ＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC 所对的弧度为300°.因为∠ABC 是圆周角，所以∠ABC ＝150°.7．(1)证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°， ∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)解：如图，连接OB ，则OB ＝8，∠OBD ＝30°.又∵OD ⊥BC 于D ，∴OD ＝12OB ＝4.研习预测试题1．C 2．C 3．A 4．B 5．150° 6．18°7．52 连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE .(如图)∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°. ∴∠ABE ＝∠ADC . 又∵∠AEB ＝∠ACD ， ∴△ABE ∽△ADC . ∴AB AD ＝AEAC.∵在Rt △ADC 中，AC ＝5，DC ＝3， ∴AD ＝4.∴AE ＝5 2.8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD ＝∠DAB ，∠DCA ＝∠DBA ，而∠MCD ＝∠DCA ， ∴∠DBA ＝∠DAB ，故△ABD 为等腰三角形． (2)∵∠DBA ＝∠DAB ，∴AD BD =.又∵BC ＝AF ，∴BC AF =，∠CDB ＝∠FDA ，∴CD DF =，∴CD ＝DF .由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知， ∠AFE ＝∠DBA ＝∠DCA ，① ∠F AE ＝∠BDE .∴∠CDA ＝∠CDB ＋∠BDA ＝∠FDA ＋∠BDA ＝∠BDE ＝∠F AE ，②由①②得△CDA ∽△F AE .∴AC FE ＝CDAF，∴AC ·AF ＝CD ·FE . 而CD ＝DF ，∴AC ·AF ＝DF ·FE .。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

《圆》知识点小结一、圆的概念:集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理A图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。

在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。

本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。

1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。

圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。

（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。

（3）半径垂直于弦，并且平分弦。

（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。

3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。

（1）圆心：圆的中心点。

（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。

（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。

（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。

（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。

（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。

4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。

（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。

通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。

圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。

通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。

在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。

《圆》知识点小结一、圆的概念:集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；A图5- 1 -- 2 -相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。

小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。

过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。

8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。

三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。

圆的知识点小结(1) (2)(3) (4)(4) ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC 是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于 它的内对角.几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、扇形、圆锥不、侧面积、全面积 二 定理：1． 不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：1．有关的计算：(1)圆的周长C=2πR ；(2)弧长L=180Rn π；(3)圆的面积S=πR 2. (4)扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；(5)弓形面积S弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.(如图)2．圆柱与圆锥的侧面展开图：(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)1. (L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径)(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧=LR2四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心. 7．关于圆的常见辅助线：。

九年级上册数学圆章节知识点总结What is a classic? It takes about 100 years to become a classic.与圆相关的基本知识和计算一、知识梳理：一：圆及圆的有关概念1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的叫做劣弧；3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,它是圆的最长的弦；4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧；5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；二圆的有关性质：1.对称性：圆是中心对称图形,其对称中心是圆心；圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线；2.垂径定理及其推论：1、垂径定理：垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧；2、推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系1定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等；2推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等.4.圆周角与圆心角的关系1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；2推论：半圆或直径所对的圆周角是直角,090的圆周角所对的弦是直径；5.圆内接四边形对角互补.（三）点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系．1d＞r点在圆外；2d=r点在圆上；3d＜r点在圆内．2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系1、1直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点．③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．2用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：1直线l和⊙O相交d＜r如图1所示；2直线l和⊙O相切d=r如图2所示；3直线l和⊙O相离d＞r如图3所示．2、切线1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．3切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．五三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆1定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合．2、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三边的距离相等．六：圆的有关计算一正多边形与圆1、正多边形的定义：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2、任何正多边形都有一个外接圆和内切圆,这两个圆是同心圆,正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心；如果一个正n 边形有偶数条边,那么它又是中心对称图形,其中心就是对称中心；3、边数相同的正多边形相似,它们的周长的比等于它们的相似比,面积的比等于它们相似比的平方；4、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；正n 边形的中心角等于外角等于n3600； 二 弧长与扇形面积1、在半径为R 的圆中,0n 圆心角所对的弧长l=180n ℜπ;2、在半径为R 的圆中,圆心角为0n 的扇形面积扇形S =360n 2R π；半径为R,弧长为l 的扇形面积为扇形S =R l 21;3、侧面积：设圆锥的母线长为l,底面积的半径为r,那么圆的侧面积展开得到的扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为πrl,圆锥的全面积为πrl+πr 2.。

圆知识点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC=弧BD五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE∠=∠；②AB DE=；③OC OF=；④弧BA=弧BD六、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

浙教版初中数学圆的知识点综合圆是初中数学中重要的几何图形之一、在浙江教育版初中数学教材中，圆的知识点主要包括圆的构造、性质以及与圆相关的计算题。

一、圆的构造1.圆的定义：圆是平面内到一个定点距离恒定的点的轨迹。

2.圆心和半径：a.圆心：一个圆内部所有点到圆心的距离相等。

b.半径：从圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母r表示。

3.圆的直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度是半径的两倍。

4.圆的弦：在圆上连接两个点得到的线段称为圆的弦。

5. 圆的弧：圆上两个点之间的部分称为圆的弧，弧可以用度(°)或弧度(rad)来表示。

二、圆的性质1.圆的性质一：圆内任意两点的距离小于等于直径的长度。

2.圆的性质二：圆内任意一点与圆心的距离等于半径的长度。

三、圆的计算题1.圆的周长：圆的周长是圆上任意一点到该点顺时针或逆时针绕圆一周所经过的距离。

周长公式：C=2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径，π是一个常数，约等于3.142.圆的面积：a.圆的面积定义：圆的面积是圆上任意一点到该点的两条弧所围成的部分的面积。

b.面积公式：S=πr²，其中S是圆的面积，r是圆的半径。

3.圆的扇形面积：a.扇形：由圆心和圆上两点所围成的部分称为扇形。

b.扇形面积公式：S=1/2πr²θ，其中θ是扇形的角度(以弧度为单位)。

4.圆的弧长：a.弧长定义：圆的弧长是圆上任意两点之间的弧长。

b.弧长公式：L=2πrθ，其中L是弧长，θ是弧对应的圆心角的度数。

综合例题：1. 一个半径为5cm的圆的周长是多少？解答：周长C=2πr=2×3.14×5≈31.4㎝。

2.一个直径为8㎝的圆的面积是多少？解答：半径r=直径/2=8/2=4㎝，面积S=πr²=3.14×4²=50.24㎝²。

3. 一个扇形的圆心角是120°，半径为6cm，求扇形的面积。

《圆》知识点小结一、圆的概念:集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；A相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级上册数学圆知识点总结
九年级上册数学圆知识点总结：
1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点构成的集合。

2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弦、圆弧、圆周。

3. 圆的性质：
- 圆心角：位于圆心的角，它所对应的弧度是1弧度。

圆心角的大小与所对应的弧度的弧长成正比。

- 弦长和圆心角：在同一个圆上的两个圆心角相等的弦所对应的弦长也相等。

- 弦的性质：相等的弧所对应的弦相等；一个圆只有一个直径，且直径是圆的最长弦。

- 弧度制：以圆心角所对应的弧长和半径长度的比值作为圆周角的单位，记作“rad”。

- 弧的长度：弧长等于圆周长的一部分。

4. 圆的位置关系：
- 圆内切：两个圆恰好内切，即两个圆的圆心距离等于两个圆半径之和。

- 圆外切：两个圆恰好外切，即两个圆的圆心距离等于两个圆半径之差。

- 圆的内外切：一个圆和一个直角三角形的两条直角边分别与该圆内切或外切。

5. 弦与弧的关系：
- 弦的垂直性质：圆上的两条直线垂直的充分必要条件是它们所对应的圆上的弦垂直。

- 弧的垂直性质：圆上的两条弦垂直的充分必要条件是它们所对应的圆上的弧垂直。

6. 圆的切线：
- 切线的定义：通过圆上一点且与圆相切的直线称为圆的切线。

- 切线的判定：过圆外一点引圆的半径，以这条半径为斜线作弧上另一点的切线，该切线与引半径垂直。

这些是九年级上册数学圆的一些基本知识点总结，包括圆的定义、性质、位置关系、弦与弧的关系以及切线相关内容。

希望对你的学习有帮助！。

浙教版九年级圆的知识点浙教版九年级数学课本中，圆是一个重要的几何概念。

本文将以简洁明了的方式介绍九年级数学课本中关于圆的知识点。

一、圆的定义和相关术语圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

在圆中，有以下几个重要的术语：1. 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。

2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用小写字母r表示。

3. 直径：通过圆心的两个点之间的线段叫做直径，直径的长度是半径的两倍。

4. 弧：圆上的一段弧叫做弧，可以用弧上的两个端点来表示。

5. 弦：圆上两个点之间的线段叫做弦，可以通过弦的两个端点来表示。

6. 弦长：弦的长度。

7. 弧长：弧所对的圆心角所对应的弧长。

二、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上任意两条半径的长度都是相等的。

2. 圆的直径是最长的：在同一个圆中，任意两个点之间的距离都不会大于直径的长度。

3. 圆的弦与直径的关系：通过圆心的直径分割弦，弦长相等的弦所对应的圆心角也相等。

4. 弧长与圆心角的关系：在同一个圆中，两个圆心角相等的弧，它们的弧长也相等。

5. 圆的周长和面积公式：- 周长：圆的周长等于圆周率π乘以直径的长度，即C = πd。

- 面积：圆的面积等于圆周率π乘以半径的平方，即A = πr²。

三、圆的计算例题1. 如图，在半径为6cm的圆中，一条弧长为12π cm的弧所对应的圆心角是多少度？- 解答：根据弧长公式可求得圆心角的度数：弧长 = 圆心角的度数/ 360° × 2πr。

12π = 圆心角的度数/ 360° × 2π × 6，可得圆心角的度数为 120°。

2. 如图，已知一条弦的长度为8cm，它与圆心夹角为60°。

求这条弦的距离圆心的距离是多少？- 解答：根据弦长公式可求得距离圆心的距离：弦长 = 2 ×距离圆心的距离 × sin(夹角的一半)。

九年级上数学圆知识点总结数学是一门抽象而又实用的学科，在九年级上学期，学生们学习了很多与圆相关的知识。

本文将从圆的定义、性质、公式等方面总结九年级上数学圆的知识点。

一、圆的定义与性质1. 圆的基本定义：圆是由平面内距离一定的一个点到这个平面内任意点的距离都相等的点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径。

圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

3. 圆的直径：通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。

直径是半径的两倍。

4. 圆的弧：圆上的一段曲线被称为圆弧。

圆弧可以用角度或弧长来表示。

5. 圆的弦：圆上的一条线段，并且两个端点都在圆上，这条线段被叫做圆的弦。

6. 圆的切线：与圆仅有一个交点的直线，这条直线与圆相切。

7. 圆与角度的关系：圆的弧对应的圆心角是圆弧所对应的圆心角的一半。

二、圆的公式1. 圆的周长：圆的周长可以通过直径或半径来计算。

如果已知圆的直径D，那么圆的周长C等于π乘以直径值，即C = πD。

如果已知圆的半径r，则圆的周长C等于2π乘以半径值，即C = 2πr。

2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算。

已知圆的半径r，则圆的面积A等于π乘以半径的平方，即A = πr²。

三、圆与其他几何图形的关系1. 圆与线段的关系：如果线段的两个端点都在圆上，那么这个线段是圆的弦。

2. 圆与直线的关系：如果直线与圆仅有一个交点，那么这条直线是圆的切线。

3. 圆与三角形的关系：圆内接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且三边均是切线。

圆外接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且圆的直径是三角形的一条边。

四、常见解题方法与技巧1. 圆的位置关系：通过观察圆与直线、线段、三角形之间的位置关系，可以运用相关的定理和性质进行解题。

2. 利用圆的对称性：圆具有轴对称性和中心对称性，可以利用这些对称性质进行解题。

3. 利用圆的比例关系：圆的周长和面积都与半径相关，可以通过比例关系进行运算和求解。

浙教版圆知识点总结圆是我们数学中非常重要的一个概念，它在生活中也有着广泛的应用。

在浙教版数学教材中，圆是一个重点内容，学生需要掌握圆的定义、性质、相关定理和应用等知识点。

接下来，我将对浙教版圆的知识点进行总结，希望能对学生的学习有所帮助。

一、圆的定义在我们的日常生活中，我们经常可以看到圆形的物体，比如圆桌、圆形蛋糕、圆形的铁环等等。

那么，什么是圆呢？在数学中，我们可以这样定义圆：平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合叫做圆。

这个定点叫做圆心，定长叫做半径，两倍的定长叫做直径。

二、圆的性质1. 圆心角：圆周上的任意两点和圆心所围成的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即θ = s/r，其中θ是角的度数，s是弧的长度，r是半径。

2. 弦：在圆上，两点之间的线段叫做弦。

弦的长度小于直径，大于半径。

3. 切线：过圆上一点并且与圆相切的直线叫做切线。

切线与半径的夹角等于90°。

4. 两条平行切线的性质：两条平行切线所夹的弧相等，它们所夹的圆心角相等，在切点处的两条切线相等。

5. 相交弦的性质：两条相交弦所夹的圆心角相等，它们所夹的两个弧的和等于180°，在相交弦与圆的交点处，所夹的两条弦相等。

三、圆的相关定理1. 切线与半径的垂直定理：切线与半径的夹角等于90°。

2. 同弧相等定理：同一个圆上，相等的弧所对的圆心角相等，反之亦成立。

3. 弦长定理：相等的圆心角所对的弦相等，反之亦成立。

4. 圆心角与弧长的关系：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

5. 弦切定理：切线与过切点的弦的夹角等于这条弦所对的圆心角。

6. 直径定理：如果一个三角形的一个顶点在圆上，另外两个顶点在圆的两条切线上，那么这个三角形是直角三角形，且直角在与顶点在圆上的直径上。

四、圆的应用圆在我们的生活中有着广泛的应用，比如建筑、制图、物理、工程等各个领域都有圆的应用。

1. 圆的建筑应用：在建筑中，圆形的建筑物比如圆形的大厅、圆形的塔楼等都是圆的应用，圆形的建筑物更加稳固和美观。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

浙教版圆的基本性质知识点总结圆的基本性质是几何学中的一项基础知识，对于圆的性质的理解和掌握在圆的相关题目的解答和应用中扮演着重要的角色。

下面将对浙教版圆的基本性质进行总结。

一、圆的定义与术语1.定义：平面上距离其中一点恒定的点的轨迹叫做圆。

2.直径：圆上任意两点之间的线段叫做圆的直径。

直径的两个端点叫做圆的端点。

3.弦：圆上两点之间的线段叫做圆的弦。

4.弧：圆上两点之间的部分叫做圆的弧。

圆上的弦所确定的弧叫做弦所对应的弧。

5.弧长：弧的长度叫做弧长。

弦所对应的弧长叫做弦长。

二、圆的性质1.圆的半径相等性质：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离叫做圆的半径。

2.圆的直径性质：直径是圆的一条特殊的弦，它通过圆心且分割圆成两个相等的半圆。

3.圆的弦性质：等长的弦所对应的弧长相等。

4.圆的弦长性质：相等的弦所对应的弧长相等。

5.圆心角性质：圆心角对应的弧长相等。

6.弧度与弧长的关系：单位圆上的弧长等于弧度。

三、圆内角与弧长关系1.圆心角的度数等于所对应的弧度。

2.锐角的圆心角小于90°，所对应的弧长小于四分之圆的周长。

3.直角的圆心角等于90°，所对应的弧长等于四分之圆的周长的四分之一4.钝角的圆心角大于90°，所对应的弧长大于四分之圆的周长。

四、圆的周长与面积1.周长：圆的周长等于圆周上的任意弧长。

2.面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π。

五、圆的切线性质1.点到圆的切线长度是点到圆心的半径长度的倍数。

2.切线与半径的关系：切线与半径垂直。

3.切线与圆心角的关系：切线与圆心角所对应的弦垂直。

六、两圆的位置关系1.外切圆：外切圆对应的半径、切点和切线垂直。

2.内切圆：内切圆对应的半径、切点和切线垂直。

3.相交圆：相交圆对应的半径、切点和切线不垂直。

总结：浙教版圆的基本性质主要涉及圆的定义与术语、圆的性质、圆内角与弧长关系、圆的周长与面积、圆的切线性质以及两圆的位置关系等方面。