11 函数的连续性

1、常用无穷小量替换2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。

3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。

5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。

6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。

7、极限的四则运算法则。

8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。

9、两个重要极限及其变形10、等价无穷小量替换定理11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。

左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。

13、连续函数的四则运算14、反函数、复合函数、初等函数的连续性15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。

16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。

17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式18、隐函数的导数。

19、高阶导数的求法及表示。

20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。

21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、22、微分形式的不变性23、微分近似公式:24、导数在经济问题中的应用(应用题):（1）边际(变化率,即导数)与边际分析:总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润（2）弹性(书78页)及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系25、中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、26、洛必达法则求极限(89页)27、函数单调性28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别,最大利润、最小平均成本、最大收益问题,经济批量问题。

函数的11个概念函数是数学中的一个重要概念，它在数学领域、计算机科学领域和其他许多学科中都有广泛应用。

下面我将详细介绍函数的11个概念。

1. 函数定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

对于每个自变量的取值，函数都具有唯一的因变量值。

函数的定义常用函数公式、表格或图像表示。

2. 函数的值域和定义域函数的定义域是所有自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量值的范围。

在一些情况下，值域和定义域可能有限制。

3. 函数的反函数函数的反函数是指将函数的因变量和自变量进行互换得到的新函数。

反函数可以理解为原函数的逆运算，它可以通过函数的图像关于直线y=x的对称性得到。

4. 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来确定奇偶性。

如果函数满足f(-x) = f(x) ，则它是偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。

有些函数既不是偶函数也不是奇函数。

5. 函数的零点函数的零点是指函数取零值的自变量的值。

求函数的零点通常需要解方程f(x) = 0, 通过求解这个方程可以找到函数的零点。

6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的所有点都具有连续性。

一个函数在某一点连续，意味着在这个点函数的极限存在且等于函数在该点的值。

函数的连续性在数学分析和物理学中有广泛应用。

7. 函数的导数和导函数函数的导数描述了函数在某一点的变化率。

如果函数在某一点可导，那么该点的导数表示了函数曲线在该点的切线的斜率。

导函数是原函数的导数函数，它可以用来求函数在某点的切线斜率。

8. 函数的积分和不定积分函数的积分描述了函数在一定区间上的“累积变化”。

不定积分是对函数求解反函数运算，它可以得到函数在给定区间上的积分值。

积分在数学和物理学中有广泛应用。

9. 函数的极限函数的极限描述了函数在某一点不断逼近某个特定值的趋势。

极限可以用来描述函数在无穷大或无穷小趋势的特性。

10. 函数的峰值和谷值函数的峰值和谷值是函数在定义域内的最大值和最小值。

11.8函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点课时授课计划课次序号： 07一、课题：§ 1.8 函数的连续性与间断点二、课型：新授课三、目的要求：1.理解函数在一点连续、左右连续及区间上连续的概念；2.会判定函数间断点的类型；四、教学重点：连续的概念与间断点类型的判定.教学难点：间断点类型的判定.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学附册学习辅导与习题选解》，同济大学数学系编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：标准化作业八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等） 1.复习（约5min）极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；两个重要极限的应用；无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k阶；等价无穷小替换求极限的方法.2.导入课题在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特性，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生微小改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特性称为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.3.教学内容§1.8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性（约45min）1. 增量变量x从初值x1变到终值x2，终值与初值的差叫变量x记作?x，即?x＝x1－x2.（增量可正可负）.一般地，当自变量从x0变到x，称?x?x?x0叫自变量x对于函数y?fx，而?y?fx?x0?fx0叫函数y若保持x0不变而让?x变动，一般来说，函数y的增量?y也要变动，若当?x趋于零时，?y也趋于零，即lim?y?0，此时就称函数y?fx在x0连.?x?02. 函数在一点处连续定义1 设函数y＝fx在Ux0有定义，如果lim?y?0，则称函数y＝fx在?x?0o点x0处连续.定义２设函数y＝fx在Ux0有定义，如果limfx?fx0，则称函数y＝x?x0ofx在点x0处连续.注① 上述两个定义在本质上是一致的，即函数fx在点x0连续，必须同时满足下列三个条件：（I）fx在点x0有定义，（II）limfx存在；（III）limfx?fx0.x?x0x?x0② 函数fx在点x0处连续是limfx存在的充分非必要条件.x?x0③ 函数fx在点x0处左连续、右连续的定义：fx?fx0，则函数y＝fx在点x0处左连续若lim?x?x0若limfx?fx0，则函数y＝fx在点x0处右连续?x?x0例1 设函数fx1,x?0，试问在x?0处函数fx是否连续？ x?1,0?x?0解由于f0?1，而limfx1，于是函数fx在点x?0不是左连续的， ?从而函数fx在x?0处不连续.?x2?3,x?0例2 设函数fx，问a为何值时，函数fx在点x?0处连续？?a?x,x?0解因为f0?3，且limfx?lima?x?a，limfx?limx?3?3，x?0x?0x?0x?02故由函数fx在点x?0处连续知，a?3.3. 函数在区间上连续定义3 如果函数y＝fx在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y＝fx在该区间上是连续的，或者说函数在该区间上是连续函数.函数y＝fx在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线. 例3 证明函数y?3x?5x?3在,内连续. 证设?x0?,，由极限运算法则可知，2x?x02limfx?lim3x?5x?3?3x0?5x0?3?fx0，x?x022故y?3x?5x?3在点x0处连续，由x0的任意性可知，y?3x?5x?3在,内连续.2二、函数的间断点（约45min）定义4 若函数y＝fx在x0处不连续，则x0为函数fx的一个间断点注只要（I）（II）（III）三个条件有一个不满足，则x0为函数的间断点. 下面来观察下述几个函数的曲线在x?1点的情况，给出间断点的分类.x2?1y?y?x?1① ②x?1在x?1连续在x?1间断，x?1极限为2 ?x?1，x?1?x?1，x?1y?y?③ ④?1，x?1?x，x?1在x?1间断，x?1极限为2. 在x?1间断，x?1左极限为2，右极限为1.在x?0间断，x?0极限不存在.像②③④这样在x0点左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点，其中极限存在的②③称作第一类间断点的可去间断点，此时只要令y1?2，则函数在x?1就变成连续的；④被称作第一类间断点中的跳跃间断点；⑤⑥被称作第二类间断点，其中⑤也称作无穷间断点，而⑥称作震荡间断点.就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果x0是函数fx的间断点，但左极限fx0?0及右极限fx0?0都存在，那么x0称为函数fx间断点的任何间断点，称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点. 显然，无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.练习讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型.x2?1sin2x（2）fx?2 （1）fx?x?3x?2x答案：（1）x?0 可去间断点（2）x?1 可去间断点，x?2 第二类间断点4.课堂总结（约5 min）（1）连续的定义：limfx?fx0，三个条件缺一不可；x?x0（2）间断点的分类：第一类可去型、跳跃型，第二类（无穷型、振荡型）.5.布置作业标准化作业感谢您的阅读，祝您生活愉快。

毕业论文文献综述数学与应用数学函数一致连续性的定义与性质一、前言部分函数一致连续是从函数连续的概念派生出来的，函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。

对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。

是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小.连续与一致连续是建立在函数极限概念的基础之上，用以刻划函数的变化情况和研究函数性质的两个基本的数学分析概念.通常人们说的连续是指不间断，其对立面就是间断.而数学上函数连续与间断的概念，也正是函数在变化过程中渐变与突变的一种反映.因此从几何直观来看，连续函数的特点就在于它的图象是一条连续不斯的曲线；而从分析的角度来看，函数()f x 在一点0x 处连续，包含着以下三层意思：（1）()f x 在0x 处有定义，即()0f x 是一个确定的常数；（2）()f x 在0x 处有极限，即()0lim x x f x →存在； （3）()f x 在0x 处的函数值与极限值相等，即()()00lim x x f x f x →=. 如果以上任何一个条件被破坏，()f x 在点0x 处就不连续了，这时0x 叫做()f x 的间断点.这就是说：如果函数()f x 在点0x 及其附近有定义，而且()()00lim x x f x f x →=，就说()f x 在点0x 处连续.其实函数在变化过程中，并没有仅仅在一点连续的情形，较常见的是函数在区间上连续的概念.定义1 若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数（见文献[1][2][3]）.根据定义1可知，如果函数()f x 在区间I 上连续，则对于事先任意给定的正数ε，就I上的每一点0x 来说，都可以分别找到相应的正数δ，使得对于I 上的点，只要0x x δ-p ，就有()()0f x f x ε-p .其中δ的大小不仅与给定的ε有关,而且与点0x 的位置有关.对于同一个ε，当0x 在I 上变动时，一般来说δ的大小也将随着改变，即δ是依赖于0x 的.如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，也即是说，对于给定的正数ε，存在这样一个正数δ，它适用于区间I 上所有的点0x ，那么这时()f x 就在I 上一致连续.定义2 函数()f x 定义在区间I 上，如果对于事先任意给定的正数ε，总可以找到这样一个正数δ，对I 上任意两点1x ，2x ，只要12x x δ-p ，就有()()12f x f x ε-p ，那么就说函数()f x 在区间I 上一致连续（见文献[2][3][4]）.一致连续的特点在于，只要I 上的两点接近到同一个程度，就可以使这两点对应的函数值达到所需要的接近程度.因此，它从整体上反映出()f x 在I 上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个重要性质.历史上关于函数一致连续性的研究从未间断，中外大多学者在一元函数一致连续性的判定方面都取得了喜人的理论成果，本篇文献综述将对前人在函数一致连续性定义、性质、判定理论方面的研究作总结性陈述. 二、主题部分关于函数一致连续性的研究已经取得了较为丰富的结果，现将已有文献的理论成果综述如下：文献[5-6]研究函数一致连续的判别方法.其中文献[5]中，作者讨论了一致连续函数的判别及分布.作者指出，关于一致连续函数在平面上的分布，可归纳为以下情况：a 、对于有限区间上的一致连续函数，由于有界性，所以它必包含在一个矩形之内，矩形的边平行坐标轴；b 、对于无限区间来说，凡有垂直渐近线的连续函数都不是一致连续函数，因此，它的“无限部分”应限制在个角形之内，而角形的边不与坐标轴垂直；对于无渐近线的有界或无界的连续函数，如果当x 趋于无穷大时，其切线斜率趋于有限数，则其必为一致连续函数，因此，它应限制在某个角形之内.总之，一致连续函数是分布在平面上的一个“槽形”区域之内，当x 趋于无穷大时，其切线斜率为有界的一类连续函数.文献[6]中，作者给出了用导数判别函数在一般区间上一致连续的方法.并举例说明不可以建立关于一致连续的比较判别法. 文献[6]的主要结论可总结如下：定理1 若函数()f x 在区间I （I 可开、半开、有限或无限.下同）可导，且()f x '在I 有界.则函数()f x 在I 一致连续.定理2 若函数()f x 在区闻[,)a +∞（或(,]b -∞）可导.且()lim x f x →+∞'=∞（或 ()lim x f x →-∞'=∞），则()f x 在[,)a +∞（或(,]b -∞）非一致连续.定理3 若函数()f x 与()g x 在区间I 可导，且()()0f x g x ''≥f ，则（1） 当()f x 在I 一致连续时，()g x 在I 一致连续；（2） 当()g x 在I 非一致连续时，()f x 在I 非一致连续.上面这个定理指出可以根据两个导数间的关系判断函数的一致连续性，进一步的是否能直接利用两个函数（绝对值）的大小关系建立一致连续的“比较判别法”，作者举出了一个例子对这个问题予以否定回答.文献[7]讨论函数一致连续的条件，作者讨论了定义在区间和有界实数集上函数一致连续的充要条件，主要结论总结如下：定理4（Cantor 定理)函数()f x 在区间[],a b 一致连续当且仅当()f x 在区间[],a b 连续.（充分性也可参考文献[8]）定理5 在有界实数集E 上定义的函数()f x 在E 上一致连续的充要条件是E 内任意 的收敛数列{}n x 其对应的函数值数列()n f x 也是收敛的.定理6 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是对任给的正数ε，及x '，x I ''∈， 总存在正整数N ，使得当()()f x f x N x x '''-'''-f 时，有()()f x f x ε'''-p . 定理7 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上满足()lim 0n n n x y →∞-=的任意两数列{}n x ,{}n y 总有()()()lim 0n n n f x f y →∞-=. 文献[9]中，作者给出了一元函数在区间上一致连续的一个等价条件，并运用它证明了一些函数的一致连续性.定理8 设f 是区间I 上的函数，那么f 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：存在0r f 及定义在[]0,r 上满足()0lim 0h g h →+=的函数g ，使得对任意的[]0,h r ∈和x I ∈，只要x h I +∈，就有()()()f x h f x g h +-≤.由上面定理的证明，作者得出了一个推论，结论是：f 是区间I 上的函数，若()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠，则f 在区间I 上不一致连续.事实上，同样容易证明：如果f 在区间I 上不一致连续，则()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠.这个推论是证明函数非一致连续的一种有效方法.文献[10]中，作者给出了函数()f x 在某集上不一致连续的一种规范证明方法. 证明1 ()2f x x =在()r -∞∞p p 上不一致连续. 证明2 ()1f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明3 ()21f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明4 ()1sin f x x =在2(0,]π上不一致连续. 文献[11]中，作者研究了函数的一致连续性问题，提出判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法判定定理：定理9 函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，若满足()()()lim x f x Ag x B →+∞-=成立（其中A 为非零定值，B 为定值）.则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.文章给出证明，随后作者又给出了四个相关的命题定理，并对这些定理一一证明其正确性.定理10 设函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，()f x ，()g x 满足：（1）()()lim lim x x f x g x →+∞→+∞==∞， （2）()f x ，()g x 在I 上可导，且()0g x '≠，（3）()()lim x f x g x →∞''存在，若()()lim x f x A g x →∞=，（A 为非零定值），则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.在这个定理的引申下，文章再次给出了五个相关的结论，都为判定函数一致连续提供了理论依据，更方便的函数一致连续的判定.对于函数的一致连续性问题，作者提出并证明了判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法，从而大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围.文献[12]中，作者研究得到了函数一致连续的几个充分条件. 文献[12]的主要结论可总结如下：定理11 若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在、有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.在此基础上作者给出两个推论，一个是：若函数()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.另一个是：若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上，满足一定的条件，就可以得到函数是一致连续的.文章对得出的定理给出了详细证明.文献[13]中，作者给出函数在无限区间上一致连续的三个判别条件，并对文献[14]的两个判别定理进行了改进. 文献[13]的主要结论可总结如下：定理12 若函数()f x 是可微函数，且()f x '在区间I （I 可开、半开、有限或无限）上有界，则()f x 在I 上一致连续.定理13 若函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()x φ在[,)a +∞上连续，且()()lim 0x f x x φ→+∞-=⎡⎤⎣⎦则函数()x φ在[,)a +∞上一致连续（以上两个定理的证明参考文献[15]）.定理14 实函数()f x 在[0,)+∞上连续，在[0,)+∞内处处可导，且()lim x f x A →+∞'=存在，则当且仅当A +∞p 时，()f x 在[0,)+∞上一致连续.定理15 设存在0L f ，使对任意x '，x I ''∈，都有：()()()()f x f x L g x g x ''''''-≤-成立，而()g x 在区间I 上一致连续，则()f x 在I 上一致连续.定理16 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且x →+∞时，()f x 有渐近线y ax b =+.则()f x 在[,)a +∞上一致连续.定理17 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()lim 0x bx f x →+∞-=⎡⎤⎣⎦，其中b 是非零常数，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.三、总结部分数学是一门基础学科，我们生活的方方面面无不有数学的影子在里面，，它不仅指导我们进行生产和学习，同时对我们认识自然，了解事物的本质都有着积极的作用．函数一致连续性近几年在自然界和生活中有着广泛的应用背景，因此近几年关于函数一致连续性的各方面研究都取得了突破性的进展，这些研究成果渗透到了社会的方方面面，为社会的发展做出了重要的贡献，各国的专家学者对函数一致连续性做了深入的研究，并且已经取得很多重要的有益的结论，并且这些结论在函数一致连续性的研究上经常被采用．根据所总结的文献来看，许多学者已对函数一致连续性的性质、定义以及定理、应用进行了研究，然而以上有关函数一致连续性的定义与性质的文献总结都是在一元函数的框架下，而二元函数的研究显得很微弱，所以将一元函数的相关定理推广到二元函数中是很有必要的.这就是说函数一致连续性还尚存在很多不明确的问题，多元函数一致连续性还有很多需要解决的问题.所以随着科学技术的发展，时间的推移，我相信多元函数一致连续性的研究应用，会越来越占有重要的位置.四、参考文献[1] 华东师范大学数学系·数学分析(上册第三版)[M]·北京：高等教育出版社，2001[2] T.M ·Apostol.Mathematical Analysis[M]·Addison-Welsey Publishing Compony,inc.,1974[3] 菲赫金哥尔茨·微积分学教程[M]·北京：人民教育出版社，1959[4] 王孚和·连续与一致连续[J]·江西教育学院，教学参考资料：41─43[5] 袁南桥·一致连续的判别及分布[J]·四川文理学院学报，2007，17(2)：6─7[6] 鞠正云·用导数判别函数的一致连续性[J]·工科数学，1999, 15(1):127─129[7] 赵向会·函数一致连续性的几个充要条件[J]·张家口职业技术学院学报，2007, 20(4):75─77[8] 裴礼文·数学分析中的典型问题与方法[M] 北京：高等教育出版社，1993[9] 成波，李延兴·函数一致连续的一种新证法[J]·安康师专学报，2006，18(4)：71─72f x在某集上的一致连续性[J]·内江师范高等专科学校学[10] 黄崇智·关于()报，2000，15(2)：14─17[11] 杨小远·关于函数一致连续的判别方法研究[J]·北京航空航天大学[12] 邱德华，李水田·函数一致连续的几个充分条件[J]·大学数学，2006，22(3)：136─138[13] 陈惠汝，何春羚·再探函数在无穷远处的一致连续性[J]·宜春学院学报，2006，28(2) ：45 ─46[14] 杨中南·函数在无穷远处的一致连续性[J]·集美大学报，1997，2(1)：70─75[15] 陈慧汝·函数一致连续判别法的再研究[J]·数学教学研究，2005，(1)：57─58。

函数的连续性一、连续函数的性质定义1. 设函数()x f 在0x 的某邻域内有定义，若()0)(lim 0x f x f x x =→，则称函数()x f 在0x 点连续。

例如： 函数()12+=x x f 在点2=x 连续，因为()()2512lim )(lim 22f x x f x x ==+=→→又如：函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,1sin x x xx x f 在0=x 处连续。

因为 ()001sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→ 若记 0x x x -=∆,()()0x f x f y -=∆ 则()0)(lim 0x f x f x x =→可等价的叙述为：0lim 0=∆→∆y x ，于是函数()x f 在0x 点连续的定义又可以叙述为：设函数()x f 在0x 的某邻域内有定义，若0lim 0=∆→∆y x ，则称()x f 在0x 点连续。

二、闭区间上连续函数的性质定理1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值定理2 （零点定理） 设函数()x f 在闭区间[]b a ，上连续，且()a f 与()b f 异号（即()()0<⋅b f a f ）,那么在开区间()b a ，内至少有函数()x f 的一个零点，即至少有一点()b a <<ξξ使()0=ξf 。

定理3（介值定理） 设函数()x f 在闭区间[]b a ，上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()A a f =及()B b f =，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ， 在开区间()b a ，内至少有一点ξ，使得()()b a Cf <<=ξξ。

推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值【例1】讨论下列函数在给定点处的连续性（1）24)(2--=x x x f ，点2=x ； （2）⎩⎨⎧≤<-≤<-=31,210,1)(x x x x x f ，点1=x ；（3）设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>+)0( )11()0( )0( 12x x xbx a x x ，在x =0处连续，求a ，b 的值.解（1）因为)(x f 在点2=x 处无定义，所以)(x f 在点2=x 处不连续（2）因为当10≤<x 时，1)(-=x x f ，所以1111lim ()lim (1)0x x f x x --→→=-=又31≤<x 时，x x f -=2)(，所以11lim ()lim(2)x x f x x ++→→=-= 所以11()lim ()lim ()x x f x f x f x -+→→≠，故1lim ()x f x →不存在，故)(x f 在点1=x 处不连续（3）解：-→0lim x f (x )=x b x -→0lim ·(x +1－1))11()11)(11(lim 0++++-+=-→x x x x b x211lim )11()11(lim 0bx b x x x b x x =++=++-+=--→→ +→0lim x f (x )=+→0lim x (2x +1)=2·0+1=1 ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2112b a a a b【变式】讨论下列函数⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=1,21,11)(2x x x x x f ，在点1-=x 处的连续性解：因为111(1)(1)lim ()lim lim (1)21x x x x x f x x x ---→-→-→--+==-=-+111(1)(1)lim ()lim lim (1)21x x x x x f x x x +++→-→-→--+==-=-+ 所1lim ()2(1)x f x f →-=-=-，故)(x f 在点1-=x 处连续点评：①连续性定义是判断函数在给定点处是否连续的依据，也可以先作函数的图象，再从图象直观上作出判断，从直观上看，一个函数在—处连续是指这个函数的图象在—处没有中断②在研究分段函数在分段点—处的连续性时，先求在—处的左右极限，再检验其在—处的极限是否存在；若存在，则进一步验证在分段点处的极限值是否与分段点处的函数值相等换言之，判断分段函数—在其分段点—处连续的基本依据是：000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -+→→==【例2】讨论函数f （x ）= ∞→n limnn xx 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n nxx ·x =－x ;当x =1时，f （x ）=0∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1，-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1, ∴1lim →x f （x ）不存在∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续。

中考数学极限与连续重要知识点有哪些关键信息项1、极限的定义与性质2、函数的连续性3、极限的计算方法4、连续性的判定条件11 极限的定义与性质极限是中考数学中的一个重要概念。

极限的定义是：当自变量趋近于某个值时，函数值无限接近于一个确定的常数。

极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性等重要性质。

111 唯一性如果函数在某一点存在极限，那么这个极限是唯一的。

112 局部有界性如果函数在某一点存在极限，那么在该点的某个邻域内，函数是有界的。

113 局部保号性如果函数在某一点的极限大于零（或小于零），那么在该点的某个邻域内，函数的值大于零（或小于零）。

12 函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点的极限值等于该点的函数值。

连续函数具有良好的性质，如在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

121 连续的定义设函数 f(x) 在点 x₀的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量Δx 趋近于零时，函数对应的增量Δy 也趋近于零，即lim(Δx→0)Δy ＝ 0，则称函数 f(x) 在点 x₀处连续。

122 间断点的分类函数的间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。

13 极限的计算方法极限的计算方法有多种，包括代入法、化简法、有理化法、等价无穷小替换法等。

131 代入法对于一些简单的函数，当自变量趋近于某个值时，可以直接将该值代入函数计算极限。

132 化简法通过对函数进行化简，如约分、通分、分解因式等，将复杂的函数表达式转化为易于计算极限的形式。

133 有理化法对于含有根式的函数，可以通过有理化的方法消除根式，从而计算极限。

134 等价无穷小替换法在计算极限时，可以利用等价无穷小的替换来简化计算。

14 连续性的判定条件函数在某一点连续的判定条件是：函数在该点有定义，函数在该点的极限存在，且极限值等于该点的函数值。

141 左连续和右连续函数在点 x₀处左连续是指lim(x→x₀⁻）f(x) ＝ f(x₀)，右连续是指lim(x→x₀⁺）f(x) ＝ f(x₀)。

第二讲 函数的连续性 中值定理 积分一．连续性 定理：设()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，则(,)[,]()a b a b αβαβ∀⊂≤<≤，0(,)x αβ∃∈使()f x 在0x x =处连续。

证明：作分划010:n x x x x nβααβ-∆=<=+<<= 。

因()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，取102βαε-=>，存在14n ≥，使1(1)(1)11()2n i i i M m n βαβα=---<∑（其中1,1,(1)(1)[][]{()},inf {()}i i i i ii x x x x x x M sup f x m f x --∈∈==，以下类似定义。

） 所以1(1)(1)111()22n i i i n M m n =-<≤-∑，因此至少有三个i ，使(1)(1)1i iM m -<。

取110,i n <<使11(1)(1)1i i M m -<。

作区间11111[,][,]i i x x αβ-=，则()f x 在11[,]αβ上Riemann 可积。

取112202βαε-=>，存在24n ≥，使1(2)(2)111121()4n iii M m n βαβα=---<∑于是2(2)(2)2212()42n i i i n n M m =--<≤∑，因此至少有三个i ，使(2)(2)12iiM m -<。

取220,i n <<使22(2)(2)12i i M m -<。

如此继续可以得到一个闭区间套 11[,][,][,]n n αβαβαβ⊃⊃⊃使得（1）4n n nβαβα--≤；（2）()f x 在[,]n n αβ上的上下确界满足()()1n n i i M m n -<。

由闭区间套定理知01[,]{}n n n x αβ∞== 。