八年级下册三角形几何证明

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，,AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ；∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE ，∵∠ACB=∠DEB =90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BE BF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ，∴CF=EF ；∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（ ）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵精品文档用心整理∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．资料来源于网络仅供免费交流使用。

初中几何证明方法
1. 直角三角形定理证明：利用勾股定理证明直角三角形的特征。

2. 等边三角形定理证明：通过三条边全等证明三角形的三个角都是60度。

3. 同位角证明：沿着一组平行线切割两条平行线，证明同位角相等。

4. 对顶角证明：利用两组平行线切割一条横线，证明对顶角相等。

5. 三角形内角和定理证明：通过将三角形分解成三个直角三角形，证明三角形的内角和为180度。

6. 圆的面积公式证明：通过四个等腰直角三角形的组合和排列得出圆的面积公式。

7. 相似三角形定理证明：通过两个三角形的对应角相等，证明两个三角形相似。

8. 等腰三角形定理证明：通过证明两个底角相等，证明等腰三角形的另外两条边相等。

9. 正方形定理证明：通过证明正方形的四个角都是直角且四条边相等，证明正方形的特征。

10. 角平分线定理证明：利用角平分线将一个角分成两个相等的角，证明相邻的角互补且对顶角相等。

B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

简记为HL 。

1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________3、【应用练习】 选择题1．下列说法正确的有（ ）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。

八年级下册期末复习三角形的证明01 各个击破命题点1 全等三角形的性质和判定 【例1】 (南充中考)已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.(1)求证：BD ＝CE ；(2)求证：∠M＝∠N.【思路点拨】 (1)要证BD ＝CE ，可通过转化证△ABD≌△ACE，根据题意由“SAS ”得证；(2)要证∠M＝∠N，可通过转化证△ACM≌△ABN，由(1)可知∠C＝∠B.因为∠2＝∠1，所以∠CAM ＝∠BAN.再结合AB ＝AC ，即可根据“ASA ”得证．【解答】 证明：(1)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴BD ＝CE.(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM.由(1)，得△ABD≌△ACE，∴∠B ＝∠C.在△ACM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C＝∠B，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAN，∴△ACM ≌△ABN(ASA)．∴∠M ＝∠N.【方法归纳】 证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等．当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．1．已知△ABC≌△DEF，BC ＝EF ＝6 cm ，△ABC 的面积为18 cm 2，则EF 边上的高的长是6cm.2．(衡阳中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F.求证：△BED≌△CFD.证明：∵DE⊥AB，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD＝90°.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△BED 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠C，∠BED ＝∠CFD，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．命题点2 等腰三角形的性质与判定【例2】 (北京中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.【思路点拨】 由AB ＝AC 想到∠ABC＝∠C，由AD 是BC 边上的中线想到等腰三角形“三线合一”的性质，进而得到AD⊥BC，AD 平分∠BAC，再结合BE⊥AC ，就可以建立角与角之间的数量关系，使问题得解．【解答】 证明：方法1：∵AB＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD.∴∠CAD ＋∠C＝90°.∵BE ⊥AC ，∴∠CBE ＋∠C＝90°.∴∠CBE ＝∠CAD.∴∠CBE＝∠BAD.方法2：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＋∠ABC＝90°.∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠CBE＝∠BAD.【方法归纳】本题是一道利用等腰三角形三线合一的性质的证明题，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”灵活推导各角之间的数量关系．3．(滨州中考)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A ＝50°，则∠CDE的度数为(D)A．50°B．51°C．°D．°4．已知：如图，在△ABC中，∠ABC，∠BCA的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.写出图中相等的线段，并说明理由．解：BE＝OE，CF＝OF.理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB.∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO.∴BE＝OE，CF＝OF.命题点3 勾股定理及其逆定理的应用【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．【思路点拨】由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE.在Rt△BDE中运用勾股定理求出CD，进而得出AD即可．【解答】在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝10.由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即CD2＋42＝(8－CD)2，解得CD＝3.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即62＋32＝AD2，解得AD＝3 5.【方法归纳】折叠的问题，一定存在相等的线段或角的等量关系，要充分挖掘由折叠所隐含的数量关系．利用勾股定理建立等量关系列方程是一种常用的方法．5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)A．3，4，4 B．1，2，3，3， 6 D．3，4，76．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A，B.接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度解：由题意，得OB＝12×＝18(海里)，OA＝16×＝24(海里)．又∵AB＝30海里，∵182＋242＝302，即OB 2＋OA 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°.∵∠DOA ＝40°，∴∠BOD ＝50°.∴另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.命题点4 线段的垂直平分线的性质与判定【例4】 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的中点为O ，过点O 作AC 的垂线分别与AD ，BC 相交于点E ，F ，连接AF.求证：AE ＝AF.【思路点拨】 由AD∥BC 及EF 垂直平分AC ，由AAS 证明△AOE≌△COF，得AE ＝FC.再由EF 是AC 的垂直平分线，可以证明AF ＝FC ，即可得AE ＝AF.【解答】 证明：∵AD∥BC，∴∠EAO ＝∠FCO，∠AEO ＝∠CFO.∵EF ⊥AC ，且O 是AC 的中点，∴AO ＝CO ，AF ＝CF.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO＝∠FCO，∠AEO ＝∠CFO，AO ＝CO ，∴△AOE ≌△COF(AAS)．∴AE ＝CF.∴AE＝AF.【方法归纳】 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，进一步得到角相等．数学知识间有很多联系与递进关系．很多时候，解决数学题目，只是将条件往前推一步，结论再往深处推一步．7．(毕节中考)如图，等腰三角形ABC 的底角为72°，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点E ，垂足为D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为36°．8．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点F.(1)求证：∠FAD＝∠FDA；(2)若∠B＝50°，求∠CAF 的度数．解：(1)证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AF ＝DF.∴∠FAD ＝∠FDA.(2)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠FDA ＝∠BAD＋∠B，∠FAD ＝∠DAC＋∠CAF，由(1)知∠FAD＝∠FDA，∴∠B ＝∠CAF.∵∠B ＝50°，∴∠CAF ＝50°.命题点5 角平分线的性质与判定【例5】 (黄冈中考)已知，如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE ＝DF.【思路点拨】 连接AD ，利用SSS 得到△ABD 与△ACD 全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD＝∠FAD，即AD 为角平分线，再由DE⊥AB，DF ⊥AC ，利用角平分线的性质定理即可得证．【解答】 证明：连接AD.在△ACD 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，CD ＝BD ，AD ＝AD ，∴△ACD ≌△ABD(SSS)．∴∠EAD ＝∠FAD，即AD 平分∠EAF.∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ，∴DE＝DF.【方法归纳】本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的基本性质，构造出基本图形，运用角平分线的性质是解题的关键．9．(1)填空：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为AB＝AC ＋CD；图1 图2(2)如图2，若将(1)中条件“在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“在△ABC中，∠C＝2∠B”请问(1)中的结论是否仍然成立证明你的猜想．解：(1)中的结论仍然成立．理由：∵AD是∠CAB的平分线，∴将△CAB沿AD折叠，点C落在AB边上的C′处．∴△ACD≌△AC′D.∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠C＝∠AC′D＝2∠B.又∵∠AC′D＝∠C′DB＋∠B，∴∠C′DB＝∠B.∴C′D＝C′B.∴AB＝AC′＋C′B＝AC＋CD.02 整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(南宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(A)A．35° B．40° C．45° D．50°2．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为(A)A．6 B．5 C．4 D．33．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC 的依据是(A)A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等4．已知直角三角形中，30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是(B)A ．2厘米B ．4厘米C ．6厘米D ．8厘米5．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝AC ，BC ＝3，则△ABC 的周长为(B)A ．12B ．9C ．8D ．66．(宜昌中考)如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠1＝∠2，CD ＝，BD ＝，则AC 的长为(C)A ．5B ．4C ．3D ．28．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A； ③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn.其中正确的结论是(A)A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题(每小题4分，共24分)9．(无锡中考)写出命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题如果3a＝3b，那么a＝b．10．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，若∠B＝50°，则∠DAC的度数是40°．11．如果三角形三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，那么它最短边上的高为8cm.12．如图，在锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点．若∠PBC＝30°，∠ACP＝20°，则∠A的度数为70°．13．如图，正方体的棱长为a，沿着共一个顶点的三个正方形的对角线裁截掉一个几何体之a2．后，截面△ABC214．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE＝3，AC＝5，则线段EF的长为1或7．三、解答题(共52分)15．(8分)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB 于点F.请找出一组相等的线段(AB＝AC除外)并加以证明．解：AD＝AF.证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠BEF＝∠DEC＝90°.∴∠BFE＝∠D.∵∠BFE＝∠DFA，∴∠DFA＝∠D.∴AF ＝AD.16．(8分)如图：已知等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为点M ，求证：M 是BE 的中点．证明：连接BD.∵三角形ABC 为等边三角形，且D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC＝12×60°＝30°，∠ACB ＝60°. ∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E.∵∠ACB ＝∠CDE＋∠E，∴∠E ＝30°.∴∠DBC ＝∠E＝30°.∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴M 是BE 的中点．17．(10分)如图所示，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，D 为AB 边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．解：(1)证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，∴EC ＝DC ，AC ＝BC ，∠ACB －∠ACD＝∠ECD－∠ACD.∴∠ACE ＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD＝12.∴∠EAD＝∠EAC＋∠BAC＝90°.在Rt△EAD中，DE2＝AE2＋AD2＝122＋52＝169.∴DE＝13.18．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)若∠A＝40°，求∠DBC的度数；(3)若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．解：(1)证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA.∴△ABD是等腰三角形．(2)∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝(180°－40°)÷2＝70°.∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.(3)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，BD＝AD.∵△CBD的周长为20，∴BD＋CD＋BC＝20.∴AC＋BC＝20.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.19．(14分)已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC.(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC.(3)猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗请说明理由．解：(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.易证Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.(3)不一定成立．理由：如图3，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.易证Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.如图4，可知AB≠AC.∴若点O在△ABC的外部时，AB＝AC不一定成立．。

北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。

通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。

八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。

在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。

具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。

二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。

本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

八年级数学三角形内角和定理的证明●教学目标（一）教学知识点三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.●教学重点三角形内角和定理的证明.●教学难点三角形内角和定理的证明方法.●教学方法实验、讨论法.●教具准备三角形纸片数张.投影片三张第一张：问题（记作投影片§6.5 A）第二张：实验（记作投影片§6.5 B）第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）Ⅱ.讲授新课［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？图6－37［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？［生齐声］180°［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B）［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.图6－39这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B 剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.这时，∠A与∠ACE能重合吗？［生齐声］能重合.［师］为什么能重合呢？［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥B A.［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？图6－40［生甲］已知，如图6－40，△AB C.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）即：∠A+∠B+∠C=180°.［生乙］老师，我的证明过程是这样的：证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C）［生甲］小明的想法可行.因为：∵PQ∥BC（已作）∴∠P AB=∠B（两直线平行，内错角相等）∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠P AB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）图6－42［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.图6－43即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.Ⅲ.课堂练习（一）课本P196随堂练习1、2.图6－441.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90°60°如图6－44，在△ABC中，∠C=90°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°.图6－45如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°图6－462.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=70°（已知）∴∠AED=70°（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）（二）读一读P197.（三）看课本P195~196，然后小结.Ⅳ.课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业（一）课本P198习题6.6 1、2（二）1.预习内容P199~2002.预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？（1）（2）（3）图6－47［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.●板书设计。

线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。

1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。

求证：BD ＋EC ＝DE 。

2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。

求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。

几何证明中的三角形性质证明三角形性质在几何证明中是非常重要的一部分。

通过证明三角形的性质，我们可以推导出更广泛的几何关系。

本文将讨论几何证明中与三角形性质相关的一些常见问题。

问题一：三角形内角和为180度的证明在几何学中，我们学过三角形的内角和为180度。

即对任意一个三角形ABC，有∠A + ∠B + ∠C = 180度。

我们来证明这个性质。

证明：假设在三角形ABC中，我们取一条辅助线AD，使得∠BAD =∠BAC。

如下图所示：A/ \/ \D /_____\ BC由于三角形ABC和三角形BAD有一个角A是公共角，且∠BAD = ∠BAC，所以根据三角形的相等性质，我们可以得出∠BCA = ∠ACD。

根据直角三角形的性质，我们知道∠CDA = 90度。

则∠BCA +∠ACD + ∠CDA = ∠BCA + ∠ACD + 90度 = 180度。

又因为∠BCA + ∠ACD + ∠CDA = 180度，同时∠A + ∠B + ∠C = 180度，所以∠A + ∠B + ∠C = ∠BCA + ∠ACD + ∠CDA。

由于∠BCA + ∠ACD + ∠CDA = ∠BCA + ∠ACD + 90度 = 180度，所以∠A + ∠B + ∠C = 180度。

因此，三角形ABC的内角和为180度的性质得到证明。

问题二：三角形外角和等于不相邻内角和的证明在几何学中，我们学过三角形的外角和等于不相邻内角和。

即对任意一个三角形ABC，有∠A' + ∠B' + ∠C' = ∠A + ∠B + ∠C，其中∠A'、∠B'、∠C'为三角形ABC外角。

证明：我们可以利用内角和为180度的性质来证明三角形的外角和等于不相邻内角和。

根据问题一的证明中的三角形ABC和三角形BAD的关系，我们知道∠BCA = ∠ACD。

同时，根据三角形的外角和性质，我们有∠BCA' = ∠ACD'。

八年级三角形模型及证明过程好啦，今天我们聊一聊三角形这个东西。

大家都知道，三角形是数学里最基础的图形之一，几乎每个学过几何的人都会接触到它。

看似简单，其实三角形有着不少的小秘密，咱们今天就一起捋一捋这些小秘密，看看它们是如何在生活中处处可见的。

你知道吗？三角形不仅仅是数学书里的一个公式，它甚至可以影响你生活中的很多设计，像是建筑、桥梁，甚至航天技术里都少不了三角形的身影。

所以说，搞懂了三角形，整个世界都像打开了新的一扇窗。

好啦，三角形的形状很简单对吧？就是三个点和三条线段组成的图形。

它的名字也是字面意思，“三角形”嘛，就是三个角的形状。

你要知道，三角形并不单一，它有好多种类型呢。

最常见的自然就是等边三角形，三个角都相等，三个边也一样长。

你想象一下，你拿一根完全一样长的三根棒子，摆成一个三角形，这不就是等边三角形嘛。

还有什么等腰三角形，它的两条边相等，像两只翅膀张开一样，挺有“造型感”的。

再有就是不等边三角形，大家都知道，三条边完全不一样长，拿到手的时候，感觉就是不对称，完全没有对称美的感觉。

再说说三角形的角。

大家肯定都知道，三角形的三个内角加起来一定是180度，对吧？这种事儿，谁都能背得出来。

不过你知道为什么吗？其实这个也挺有意思的，咱们从几何的角度来看，三角形的三个角拼起来就像是拼图一样，刚好等于一条直线。

所以无论三角形多么复杂，它的角度总是被固定住的。

这是不是有点神奇？我觉得，三角形真的是个特别“聪明”的形状，虽然外表简单，实际上它背后有无穷的奥秘。

你再看，三角形还有个特别的地方，那就是它的内角和边长之间有着某种“天生的联系”。

咱们平常说的“角大边长长”，这其实就是三角形的一条不成文的规则。

什么意思呢？就是说，三角形里，角度越大，对应的边就越长，反过来也一样。

如果你不信，拿个尺子量量，试试！这也就是三角形在生活中被广泛应用的原因之一，它的这些属性让它在桥梁、建筑这些地方都有着不可替代的地位。

精锐教育学科教师辅导讲义二、直角三角形的性质思考与归纳1：在任意一个直角三角形中，除直角之外，另外两个锐角有什么关系？为什么？直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。

思考与归纳2：猜一猜——量一量——证一证——命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例题：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ；（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，与∠B互余的角有，与∠A互余的角有，与∠B相等的角有，∠A相等的角有。

（4）如果另上题中的∠A=45o，思考：各个锐角是多少度。

各条线段之间有什么等量关系。

课堂练习：1、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有______ ___， 与∠A 相等的角有____ _____，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为___ ____。

3、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，且DE=DF 。

求证：AB=AC 。

4、在中，分别为的中点，连。

则下列结论中不一定正确的是 A ．B ．C ．D ．拓展练习：如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F 。

则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EFC ．CH=HD D ．AC=AFEDC ABHF巩固练习：1、已知：如图，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，则∠DBC=______。

2、如图，在△ABC 中，AC=8cm ，ED 垂直平分AB ，如果△EBC 的周长是14cm ，那么BC•的长度为_________。