15实数全章复习与巩固提高知识讲解

《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】类型一、有理数相关概念1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，所以a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a 2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】【变式1】选择题 （1）已知四种说法：①|a|=a 时，a>0；|a|=-a 时， a<0. ②|a|就是a 与-a 中较大的数. ③|a|就是数轴上a 到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （2）有四个说法：①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）A ．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3>0，则（ ）A ．ab<0B ．ab>0C ．a>0且b<0D ．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A ．120 B ．-15 C ．0 D ．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×106．2.（2016•江西校级模拟）如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2016|=________． 【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n ﹣2016|. 【答案】2016.【解析】解：∵m ，n 互为相反数， ∴m+n=0，∴|m+n ﹣2016|=|﹣2016|=2016； 故答案为2016．【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷- ()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯【答案与解析】 解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=-（3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=-（4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-=（5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等. 举一反三： 【变式】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯【答案】解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯20(3)3=--2033=-+123=（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯5951()()942817224=-⨯++=-4. 先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭； 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算： 1111447710+++⨯⨯⨯ (1)20052008+⨯的值． 【答案与解析】 解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯=【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭的形式，然后再进行计算．举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算：120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯ 类型三、数学思想在本章中的应用5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：点A ，B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案与解析】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．类型四、规律探索6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A ．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．A ．1132 B ．1360 C ．1495 D ．1660【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.【答案】B.【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②. 类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a b c c =++. C ．在等式b c a a=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。

专题6.12 实数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．在下列各数中，无理数是（ ） A ．237B 38-C 916D ．4π 2．下列说法正确的是（ ） A ．117是无理数 B 5 C ．π2是无理数D ．22是有理数 3．下列等式正确的是（ ） A ．()255-- B 93=± C 382±D 3355--4．一个长、宽，高分别为50cm 、8cm 、20cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（ ）A ．20cmB ．200cmC ．40cmD 80cm5．若32x =-( ) A ．32x =-B ．32x =-C ．(-x)3=-2D ．x=(-2)36．已知x ，y 为实数，且22994y x x --，则x y -=（ ） A ．﹣1B ．﹣7C ．﹣1或﹣7D ．1或﹣77．若24,a =31b =-，则a b +的值是（ ） A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或38．已知x ，y 两个实数在数轴上位置如图所示，则化简()2y x x y --（ ）A ．2xB ．2yC ．22x y -D ．22y x -9．如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A 5B 51C 31D 310．如图，数轴上表示12A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点表示的数为x ，则2x ）A ．12B ．1+2C 21D ．2二、填空题1149的算术平方根是______64______． 128x -3x ____________．13()2460x y -+=，那么2x y -的平方根为_______． 14．已知：23+m ，小数部分为n ，则2m n -＝_____．15．已知实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简||a a b c b -++-=_________．16101-89．（填“>”或“<”）17．设 a 、b 是有理数，且满足等式2322152a b b ++=-则a+b=___________． 18．对于能使式子有意义的有理数,a b ，定义新运算：a △b 22a ba b+=-．如果1230x y xz -++=则x △（y △z ）= _____ ．三、解答题19．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 2，52，038-π-．20．求下列各式中x 的值： (1) 240x -=；(2) 3(1)8x +=．21．化简求值：(1) 已知a 1713b =54ab +(2) 已知：实数a ，b 323(1)2(1)||a b a b -----．22．计算：(1) 2338125(2)---(2) 2722(7)π-(3) 331631270.1251464--(4) 233416(3)22--．23．如图，每个小正方形的边长均为1．(1) 图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a 是______． (2) 估计边长a 的值在两个相邻整数______与______之间．(3) 我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用()3π-表示它的小数部分．设边长a 的整数部分为x ，小数部分为y ，求()x y -的相反数．24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：3表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.参考答案1．D【分析】先对个选项进行化简，再由无理数的概念进行判断即可． 解：237是有理数，故选项A 不符合题意； 382--是有理数，故选项B 不符合题意；93164=是有理数，故选项C 不符合题意； 4π符合无理数的概念，故选项D 符合题意；． 故选：D ．【点拨】此题考查的是算术平方根、立方根及无理数的概念，能够根据算术平方根的概念及立方根进行正确化简是解决此题关键．2．C【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判定即可，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．解：A. 117是有理数，故A 选项说法错误； B. 5B 选项说法错误；C. π2是无理数，故C 选项说法正确； D.2D 选项说法错误． 故选：C ．【点拨】本题主要考查了有理数和无理数，解决问题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．3．D【分析】利用平方根与立方根的定义，逐个计算得结论．解： A 、()22555---，故选项错误，不符合题意；B 9=3，故选项错误，不符合题意；C 38=2，故选项错误，不符合题意；D 335=5--，故选项正确，符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的性质与化简，掌握平方根和立方根的定义解决本题的关键．4．A【分析】先求出体积，再求立方根即可． 解：∵铁块体积是3508208000(cm )⨯⨯=∴3800020(cm)， 故选：A ．【点拨】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键． 5．B【分析】利用立方根的定义分析得出答案． 解：∵3-2， ∴x 3=-2， 故选B ．【点拨】本题考查立方根的定义，正确把握定义是解题关键． 6．C直接利用二次根式的性质得出x ，y 的值，然后讨论进而得出答案． 解：∵22994y x x --， ∴229090x x -≥-≥， ∴290x∴y ＝4， ∴3x =±，当3,4x y ==时，341x y -=-=-； 当3,4=-=x y 时，347x y -=--=-； ∴1x y -=-或7x y -=-， 故选：C ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x 、y 的值．7．C【分析】根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a ，b 的值，再代入求解即可． 解：24,a =31,b =-2,a ∴=±1b，∴当2,a =-1b时，213a b +=--=-； ∴当2,a =1b 时，211a b +=-=．故选：C ．【点拨】本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a ，b 的值是解此题的关键．8．D【分析】根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简． 解：根据图示可知：0x y <<∴0y x∴()2y x x y -+-y x y x 22y x =-故选：D ．【点拨】此题的考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负．9．B【分析】先根据勾股定理求出PQ 的长，即可求出点A 所表示的数． 解：如图，22125PQ =+由图可知5PA PQ ==， 所以点A 51， 故点A 51． 故选：B【点拨】本题考查勾股定理以及数轴表示数的意义和方法，掌握解答的方法是关键．。

专题6.11 实数（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．4的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2C ．2D 22．下列实数是无理数的是（ ） A 327-B ．13C ．3.14159D 63．下列说法不正确的是（ ） A ．0的平方根是0 B ．一个负数的立方根是一个负数 C ．﹣8的立方根是﹣2D ．8的算术平方根是24．若3m x y -和35n x y 的和是单项式，则()3m n +的平方根是（ ） A ．8B ．8-C ．4±D ．8±5．估计463 ） A ．3与4之间B ．4与5之间C ．5与6之间D ．6与7之间6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（ ）A ．22B ．32C ．23D ．87．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）A ．22-2B ．2+2C ．2D ．28．若320a =10b =3c =，则a b c 、、的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．c b a <<9．若a 、b 为实数，则下列说法正确的是（ ）A aB ．有理数与无理数的积一定是无理数C ．若a 、b 均为无理数，则a b +一定为无理数D ．若a 为无理数，且()()220a b ++=，则2b =-10．下面是李华同学做的练习题，他最后的得分是（ ）姓名 李华 得分______填空题（评分标准，每道题5分） （1）16的平方根是4±（2）立方根等于它本身的数有0和1（3）38-的相反数是2（4）3=3--ππA ．5分B ．10分C ．15分D ．20分二、填空题11．16的平方根是___________． 12．计算327________．1321的相反数是__________，3.14π-=____________ 14．若实数a 、b 满足：2a b +，32a b．则()()a b a b +-的值是_____________．15．四个实数2-，023中，最小的实数是______． 16．实数a 在数轴上的位置如图，则|3a =_________．171032（填“＞”，“＜”或“=”）18．找规律填空：02，262103…，______（第n 个数）．三、解答题19．求下列各式中的x ： (1) 2481x =(2) ()3227x +=-20．计算(1) 20223113274-+-(2) 223(3)(3)1664---21．已知：9的平方根是3和5x +，y 13 (1) 求x y +的值；(2) 求22x y +的算术平方根．22．如图，长方形ABCD 的长为2cm ，宽为1cm ．（1）将长方形ABCD 进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．23．【观察】请你观察下列式子． 第111．第2132+=． 第31353++． 第413574+++=． 第5135795++++． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1) 写出第7个等式 ．(2) 135(21)n +++++＝ ．(3) 利用（241220284452++++++24．阅读材料，完成下列任务：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料一：479<273<<， ∵1712<． 71的整数部分为1． 7172．材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2221>21x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2211S x x =+⨯⋅+正方形，另一方面由题意知2S =正方形，所以22112x x +⨯⋅+=．略去2x ，得方程212x +=，解得0.5x =2 1.5． 解决问题：(1) 85(2) 5（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）参考答案1．C【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的算术平方根． 解：∵22＝4， ∵4的算术平方根是2；故选：C ．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，平方与开平方互为逆运算是求一个正数的算术平方根的关键．2．D【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：∵开方开不尽的数；∵含有π的数；∵0.010010001...（每两个1之间依次多个0）这样的数；据此解答即可．解：A 3273--，属于整数，不是无理数，不符合题意； B 、13为分数，不是无理数，不符合题意；C 、3.14159为有限小数，不是无理数，不符合题意；D 6 故选：D ．【点拨】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．3．D【分析】直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案． 解：A 、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意；B 、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意；C 、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意；D 、8的算术平方根是2 故选：D ．【点拨】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键．4．D【分析】根据题意可得3m x y -和35n x y 是同类项，从而得到3,1m n ==，再代入，即可求解．解：∵3m x y -和35n x y 的和是单项式， ∵3m x y -和35n x y 是同类项，∵3,1m n ==，∵()()333164m n +=+=， ∵()3m n +的平方根是8±． 故选：D ．【点拨】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到3m x y -和35n x y 是同类项是解题的关键．5．C【分析】先把46332“夹逼法”即可求解． 解：463232== ∵253236＜＜， ∵5326＜＜， 故选：C【点拨】本题考查了无理数的估值问题，“夹逼法”的应用是解题的关键． 6．A解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8， ∵8是有理数， ∵8 ∵y 82 故选A ． 7．A2，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∵2，2，∵阴影部分的面积(22224222=⨯--=． 故选A ．【点拨】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.8．C10320的值的范围，再进行比较即可得出答案． 解：82027<<， 32203∴<<，3104<<，320310<故选：A ．【点拨】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．9．D【分析】A a B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，举例说明； C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，举例说明；D 、利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出b 的值，即可做出判断． 解：A a 42=，错误；B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，例如：020，错误；C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，，例如：220-=，错误；D 、若a 为无理数，且()()220a b ++=，得到20a +≠，20b +=，解得：2b =-，正确，故选：D ．【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．B【分析】直接利用平方根、立方根、绝对值、相反数的性质分别判断得出答案． 解：（1164=的平方根是2±，故此选项错误；（2）立方根等于它本身的数有0和1、 1-，故此选项错误；（3382--的相反数是2，故此选项正确；（4）()3=3=3----πππ，故此选项正确． 李华最后得分为10分， 故选：B ．【点拨】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，平方根和立方根概念，正确化简各数是解题关键．11．4±【分析】根据平方根的定义即可求解． 解：即：16的平方根是16=4± 故填：4±【点拨】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义． 12．-3【分析】根据立方根的性质计算即可． 解：327--3， 故答案为：-3．【点拨】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．13． 12- 3.14π-【分析】根据相反数的定义及去绝对值符合号法则，即可求得． 21的相反数是)2112-=>3.14π，3.14<0π∴-，()3.14 3.14 3.14πππ∴-=--=-，故答案为：12 3.14π-．【点拨】本题考查了相反数的定义及去绝对值符合号法则，掌握和灵活运用相反数的定义及去绝对值符合号法则是解决本题的关键．14．32【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a +b =4，a －b =8，进而直接代入求解即可．解：∵实数a 、b 2a b +=32a b ，∵a +b =4，a －b =8， ∵()()a b a b +-=4×8=32， 故答案为：32．【点拨】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．15．-2【分析】根据实数大小比较的方法解答即可． 解：∵2-2<3， ∵最小的实数是-2 故答案为：-2．【点拨】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．163a【分析】根据数轴上点的位置判断出3a 利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．解：∵a ＜0，∵30a ＜，则原式3a ， 3a 17．>103>，进而即可求解． 解：∵109>， 103>， 1032>， 故答案为：>．10 18()21n -【分析】除第一个数外，其他数变成二次根式后，根号下面的数都是2的倍数，第二个数为2的1倍，第三个数为2的2倍，依此类推，第n 个数为2的()1n -倍，从而得出答案．解：由题意得：由题意得： 第一项：00200==⨯=； 2212⨯ 第三项：24224=⨯= 6236=⨯……第n ()()2121n n ⨯-=-()21n -【点拨】本题考查了算术平方根，解题的关键是发现题目中数据的变化规律，要熟练掌握．19．(1)92x =± (2)5x =-【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程．（1）解：2481x =，∵2814x =， ∵81942x =±=±； （2）解：()3227x +=-，∵3227x +=-23x，解得：5x =-．【点拨】本题考查开方法解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 20．33 (2)8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+++33；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．21．(1)5- 73【分析】（1）先根据平方根的意义可得350x ++=，从而求出x 的值，13值的范围，从而求出y 的值，然后代入式子中进行计算即可解答；（2）把x ，y 的值代入式子中求出22xy +的值，然后再利用算术平方根的意义，进行计算即可解答．（1）解：9的平方根是3和5x +， 350x ∴++=，解得：8x =-，91316<<，3134∴<<，y 133y ∴=，835x y ∴+=-+=-，x y ∴+的值为5-；（2）当8x =-，3y =时，2222(8)364973x y +=-+=+=，22x y ∴+73【点拨】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．22．（1）分割方法不唯一，如图，见分析；（22cm .【分析】（1）根据AB=2AD ，可找到CD 的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据面积相等得到方程，即可求解．解：（1）如图，∵AB=2AD ，找到CD,AB 的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据题意得2122x =⨯=，∵2x2cm ．【点拨】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 23．135791113++++++7 (2)n +1(3)14 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；（2135(21)n +++++n +1个式子，根据规律即可得； （3）41220283644524(1357891113)+++++++++++++利用规律即可得．（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∵第7135711137+++++，135711137+++++=； （2(21)1135(21)12n n n +++++++=+，故答案为：1n +；（3）解：根据（2）中的规律知， 11341220283644524(1357891113)4142++++++++++++++=． 【点拨】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律．24．859 (2)2.25【分析】（1）根据材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．（1）解：8185100<98510<<，859． 85859．（2）解：我们知道面积是5552>，52x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2224S x x =+⨯+正方形，另一方面由题意知5S =正方形，所以2445x x ++=．略去2x ，得方程410x -=，解得0.25x =5 2.25．【点拨】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．。

《实数》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点二、次方根如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根.当n 为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根.求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数.实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零. 要点三、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点四、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8． 要点五、分数指数幂()0m naa =≥()0m naa -=>，其中m n 、为正整数，1n >.上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 要点诠释：设00a b p q >>，，、为有理数，那么（1）pqp qp q p q a a a a a a +-=÷=，.（2）()qp pq aa =.（3）()pp pp p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，. 【典型例题】类型一、有关方根的问题1、（2015春•仙桃校级期末）一个正数的x 的平方根是2a ﹣3与5﹣a ，求a 和x 的值．【思路点拨】根据平方根的定义得出2a ﹣3+5﹣a=0，进而求出a 的值，即可得出x 的值． 【答案与解析】解：∵一个正数的x 的平方根是2a ﹣3与5﹣a ， ∴2a ﹣3+5﹣a=0， 解得：a=﹣2， ∴2a ﹣3=﹣7，∴x=（﹣7）2=49．【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键． 举一反三： 【变式1】已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根.【答案】解：由题意得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩ 解得x ＝2 ∴y ＝3，239xy ==，xy 的平方根为±3.【变式2】若373-x 互为相反数,试求x y +的值． 【答案】解：∵373-x 互为相反数, ∴3x －7＋3y ＋4＝0∴3（x y +）＝3，x y +＝1.2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 【答案与解析】解：∵a <<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、与实数有关的问题3、已知a b 是它的小数部分，求()()323a b -++的值．【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.3，那么3，再代入式子求值. 【答案与解析】解：∵a b 是它的小数部分，34<<∴3,3a b ==∴()()())23233333271017a b -++=-++=-+=-.【总结升华】方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分. 举一反三：【变式】 （2015•杭州）若k ＜＜k+1（k 是整数），则k=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D ． 解：∵k ＜＜k+1（k 是整数），9＜＜10，∴k=9．4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a －b ＞0，则a ＞b ；若a －b ＝0，则a ＝b ；若a －b ＜0，则a ＜b .例如：在比较21m +与2m 的大小时，小东同学的作法是： ∵()()2222111m m m m +-=+-= ∴221m m +>请你参考小东同学的作法，比较2(2+的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小. 【答案与解析】解：∵(22(43)70=+=-<∴2(2+【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择. 举一反三：【变式】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：； -1a【答案】21a a a a<<<-；5、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数. （1）27.15万（精确到千位）；（2）12 341 000（精确到万位）； （3）0.030 56（保留3个有效数字） 【答案与解析】解：（1）27.15万=2715005272000 2.7210≈=⨯或表示为27.2万；（2）12 341 00012340000≈=71.23410⨯；(3) 0.030 56≈0.030 6【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如10na ⨯的数，其精确度看a 中最后一位数在原数中的数位.6、 计算：（1） ()13864⨯；（2） 4112223⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）3422334⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（4）6113245⎛⎫÷ ⎪⎝⎭【答案与解析】解：（1） ()()1113333338642488⨯⨯=⨯==；（2） 411222223234936⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（3）34222333434964576⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（4）611116623332216454545125⨯⨯⎛⎫÷=÷=÷= ⎪⎝⎭.【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题. 类型三、实数综合应用7、已知a 、b|0b =，解关于x 的方程()122-=++a b x a ．【答案与解析】|0b =∴2a ＋8＝0, b0,解得a ＝－4, b()2212354a xb a x x ++=--+=-=∴【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出a 、b 的值，再解方程. 举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ， 求代数式23a b c --的值．【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.8、阅读材料：. 小明的方法：<<3k =+（01k <<）.∴22(3)k =+.∴21396k k =++.∴1396k ≈+.解得 46k ≈43 3.676≈+≈. 问题：（1（2a 、b 、m，若1a a <<+，且2m a b =+≈_________________(用含a 、b 的代数式表示)；（3）请用（2的近似值. 【答案与解析】 解：（1<6k =+（01k <<）.∴22(6)k =+.∴2413612k k =++.∴413612k ≈+.解得 512k ≈.∴56 6.4212≈+≈.（2）∵1a a <+a k =+（01k <<）.∴22()a k =+.∴222m a ak k =++. ∴22m a ak ≈+.对比2m a b =+，2,2b b ak k a≈≈2b a a≈+（3）23761,=+∴6,1a b ==，1612≈+≈6.083. 【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准a 和b ，表示出2b k a≈.。

浙教版七年级上册初中数学知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ）A ．数轴上任一点表示唯一的有理数B ．数轴上任一点表示唯一的无理数C ．两个无理数之和一定是无理数D ．数轴上任意两点之间都有无数个点2.（2015•日照）的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．D ．±3．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2bD ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b 4. 3387=-a ，则a 的值是（ ） A. 87 B. 87- C. 87± D. 512343- 5. 若式子3112x x -+-有意义,则x 的取值范围是 ( ). A.21≥x B. 1≤x C.121≤≤x D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ） A.3a 中的a 可以是正数、负数或零. B.a 中的a 不可能是负数.C. 数a 的平方根有两个.D.数a 的立方根有一个.7. 数轴上A ，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（ ）A.0>+b aB. 0ab >C.0a b ->D.||||0a b ->8. 估算219+的值在 （ ）A. 5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间二.填空题9. a ，则其小数部分用a 表示为 ．10．当x 时，32-x 有意义. 11. =--32)125.0( .12. 若12-x 是225的算术平方根，则x 的立方根是 . 13. 3343的平方根是 .14.（2015春•罗山县期末）﹣64的立方根与的平方根之和是 ．15. 1- ，-22 ， 33 16. 数轴上离原点距离是5的点表示的数是 .三.解答题17. 一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，则a 是多少？18.（2015春•桃园县校级期末）已知x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y2的平方根． 19. 已知：表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简()2b a b a ++-20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题. 大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋3＝y x +，其中x 是整数，且10<<y ,求y x -的相反数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.2. 【答案】C3. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b .4. 【答案】B ；【解析】==. 5. 【答案】A ；6. 【答案】C ；【解析】数a 不确定正负，负数没有平方根.7. 【答案】C ；8. 【答案】B ；【解析】45<<，627<<.二.填空题9. a ；10.【答案】为任意实数 ；【解析】任何实数都有立方根.11.【答案】25.0-；【解析】0.25==-.12.【答案】3；【解析】x －12＝15, x ＝3=.13.【答案】7± ；【解析】 3343＝7，7的平方根是7±. 14.【答案】﹣2或﹣6．【解析】∵﹣64的立方根是﹣4，=4，∵4的平方根是±2，∵﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6，∴﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6．15.【答案】＞；＜；＞；16.【答案】【解析】数轴上离原点距离是5的点有两个，分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解：∵一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，∴32-a 与a -5互为相反数，即32-a ＋a -5＝0，解得2a =-.18.【解析】解：∵x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x ﹣2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，∴x 2+y 2=62+82=100，∴x 2+y 2的平方根是±10．19.【解析】解：∵b ＜a ＜0 ∴()2b a b a ++-()||2a b a b a b a b b=-++=--+=-20.【解析】解：∵11＜10＋3＜12∴x ＝11，y ＝10＋3－111∴()11112x y y x --=-=-=.。

《整式的加减》考点提要与典型习题训练一、本章知识网络二、主要考点考点一、整式的概念（一）：单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

如：5、π、6a 、-12m 3n 、0.5m ²要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．例1、用代数式表示： （1）边长为a 的正方形周长为 ，面积为 . （2）设n 为整数，则奇数可表示为 ，偶数可表示为 .（3）拿158元钱去买钢笔，买了单价为5元的钢笔x 支，则剩下的钱为 元.（4）某人骑自行车m 小时行驶了48千米，则平均每小时的车速是 千米/时. 例2、用单项式填空，并指出它们的系数和次数.（1）每包书有10册，n 包书有 册.（2）一个长方体的长宽高分别是y x x ,,，则它的体积是 .（3）一台电脑原价a 元，现在按8折出售，这台电脑现在的售价为 . （4）半径为r 的圆的面积是 .例3、填空：（1）单项式y x 22的的系数是 ，次数是 ;（2）单项式232a π-的系数是 ，次数是 ; （3）单项式3π的系数是 ，次数是 ; （4）单项式8的系数是 ，次数是 .例4：典例分析:我们知道；）（2024828642;1223)62(642;622)42(42=⨯+=+++=⨯+=++=⨯+=+ n 2642++++ 的结果会是多少呢（二）：多项式多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

如：m-3；x 2+5x-1；ab 3-m ；πr 2+6要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n 次，有m 个单项式，我们就把这个多项式称为n 次m 项式．例1：多项式623522233-++-b b a b a a 的最高次项是 ，四次项系数是 ，常数项是例2：:列式表示：（1）比x 小2的数是 ；（2）x 的四分之三减y 的差是 ；（3）设礼堂里座位的行数为a ，并且行数是每行座位数的32，礼堂里共有座位 个； （4）一钢管的外径为R,内径为r ，长为a ，则该钢管的体积为 .例3：若8)1(2++--x kx x k k 是关于x 的一次多项式，求k 的值.多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．如要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．例1：多项式3252536--+-z y x y x y x 按x 的降幂排列为： ；按y 的升幂排列为 。

《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形 1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ） 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线. 要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ． 【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ， 即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD ，CE=CB ， ∵在△ACE 与△DCB 中， ,AC DCACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ； ∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点． 举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． （1）求证：AF+EF=DE ；（2）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BEBF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ， ∴CF=EF ； ∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（ ） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可； 【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确； 所以，正确的说法个数是3个． 故选C ．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景： 在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

实数(单元复习)标准教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。

（2）掌握实数的性质，如相反数、绝对值、平方等。

（3）学会实数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方等。

2. 过程与方法：（1）通过复习实数的定义和性质，提高学生的逻辑思维能力。

（2）运用实数运算方法，培养学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）实数的定义及分类。

（2）实数的性质和运算方法。

2. 教学难点：（1）实数分类的理解和运用。

（2）实数运算的灵活应用。

三、教学过程：1. 导入新课：回顾实数的定义，引导学生思考实数的分类和性质。

2. 知识讲解：（1）讲解实数的分类，包括有理数和无理数。

（2）阐述实数的性质，如相反数、绝对值、平方等。

（3）介绍实数的运算方法，如加、减、乘、除、乘方等。

3. 例题解析：选取典型例题，讲解实数的运算方法和应用。

4. 课堂练习：设计练习题，让学生巩固实数的分类、性质和运算方法。

5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调实数在数学中的重要性。

四、课后作业：1. 复习实数的定义、分类和性质。

2. 练习实数的运算方法，解决实际问题。

3. 总结实数在实际生活中的应用。

五、教学评价：1. 学生对实数的定义、分类和性质的掌握程度。

2. 学生实数运算方法的运用能力。

3. 学生解决实际问题的能力。

4. 学生对数学学科的兴趣和积极性。

六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的性质和运算方法。

2. 通过小组讨论，培养学生合作学习的能力。

3. 利用信息技术辅助教学，如数学软件、网络资源等。

4. 设计富有挑战性的数学问题，激发学生的创新思维。

七、教学实践与拓展：1. 结合实际生活中的问题，让学生运用实数知识和方法解决问题。

2. 开展数学竞赛，提高学生的学习积极性。

《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数②按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.三类具有非负性的实数在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值——零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；（2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、近似数及精确度 1.近似数接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2.精确度近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米. 【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列运算正确的是（ ）A ．42=±B ．235+=C ．382-=-D ．|2|2--=【答案】C ；2102.0110.1= 1.0201＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673= 【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行运算.【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++= （2）23)451(12726-+-＝23111112743412⎛⎫-+-=-+=- ⎪⎝⎭（3）32)131)(951()31(--+＝3314218121393327333⎛⎫+⨯-=+-=-=- ⎪⎝⎭.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）计算：+．【答案】 解：原式=7﹣3+﹣1+ =134+．4、若0,0<<ab a ，化简334+----a b b a【思路点拨】由0,0<<ab a 判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.【答案与解析】解：∵0,0<<ab a ，∴b ＞0，∴30,30a b b a ---+> ∴433a b b a ----(43)(3)a b b a =-----43333a b b a =-+++-=【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.要掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识. 举一反三：【变式1】（2016秋·安徽期末）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简2a b a b+--的结果为 .【答案】解：∵-1＜a ＜0，1＜b ,∴a ＋2b ＞0，a －b ＜0，∴2a b a b +--＝a ＋2b －(－a ＋b )＝b ＋2a . 【高清课堂：389318 实数复习，例5】 【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：； 0-1a【答案】21a a a a<<<-； 类型三、近似数与精确值5、某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m 外的安全地带奔跑的速度为7m/s ，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m ）【思路点拨】先算出往100米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答案．【答案与解析】根据题意，得导火索的长度至少为：1007×0.11≈1.6（m ）； 答：导火索的长度至少1.6m 才能保证安全．【总结升华】此题考查了列代数式和近似值，关键是读懂题意，列出代数式，再根据近似值的要求进行用四舍五入法取近似值即可．6、（新罗区校级月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值． （1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位． 【思路点拨】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入； （2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入； （3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入； 【答案与解析】解：（1）精确到千位；377985654.32米≈377986000米，即3.77986×108米（2）精确到千万位；377985654.32米≈380000000米，即3.8×108米（3）精确到亿位；377985654.32米≈400000000米，即4×108米．【总结升华】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．类型四、实数综合应用7、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果精确到0.1）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，≈（米）．15012.247由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，18.247≈333.0（平方米）．所以扩建后鱼池的面积为2答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：m，池深1.5m，求这个水池的底边长．【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863【答案】解：设水池的底边长为x，由题意得2 1.5486x⨯=,2324x=,18x=.答：这个水池的底边长为18m.。

2.通过问题的提出和解决，引导学生发现实数知识之间的内在联系。
3.利用问题引导学生进行推理和证明，培养他们的逻辑思维能力。
4.鼓励学生主动寻找解决问题的方法，培养他们的自主学习能力和创新意识。
（三）小组合作1.将学生分为小ຫໍສະໝຸດ ，鼓励他们进行合作学习和讨论交流。
2.设计具有挑战性和综合性的任务，让学生在合作中解决问题，提高解决问题的能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分为小组，给出具有挑战性和综合性的任务，让学生在小组合作中解决问题。例如，可以让学生探讨实数的性质和运算规则，并尝试解决一些实际问题。
2.鼓励学生分享自己的观点和思考过程，培养他们的团队合作意识和沟通能力。例如，可以让每个小组成员依次发表自己的观点，并进行讨论交流。
（四）总结归纳
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实际问题，创设情境，引发学生对实数的兴趣和好奇心。
2.通过图形、模型等直观教具，帮助学生形象地理解实数的概念和性质。
3.设计具有挑战性和针对性的问题，激发学生的思考和探索欲望。
4.创设互动交流的平台，让学生分享自己的思考过程和解决问题的方法。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
3.鼓励学生分享自己的观点和思考过程，培养他们的团队合作意识和沟通能力。
4.注重小组合作的过程和结果，对学生的合作学习和团队精神进行评价和反馈。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自己的优点和不足，提高自我认知能力。
2.让学生通过自我评价和同伴评价，了解自己的学习进展和提高方向。
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，使他们愿意主动学习数学。
2.培养学生的团队合作意识，使他们能够在学习过程中相互帮助、共同进步。

苏教版七年级上册数学[《代数式》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]代数式》全章复与巩固（基础）知识讲解研究目标：1.进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；2.理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实生活的密切联系；3.会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律；4.理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并熟练的运用整式的加减运算法则，进行整式的加减运算、求值；6.深刻体会本章体现的主要的数学思想——整体思想。

要点梳理：1.代数式是用运算符号（＋、－、×、÷、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的式子，像16n、2a+3b、34、n、2、(a+b)等式子都是代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式。

代数式的书写规范：1) 字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；2) 除法运算一般以分数的形式表示；3) 字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；4) 字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；5) 如果字母前面的数字是1，通常省略不写。

2.单项式是由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。

多项式是几个单项式的和，每个单项式叫做多项式的项。

在多项式中，不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

如果一个多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式。

3.多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。

另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。

九年级数学上册复习教案人教新课标版一、教学目标：1. 知识与技能：巩固和掌握九年级数学上册的基本知识和技能，提高解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过自主学习、合作交流和探究活动，培养学生的数学思维能力和综合运用知识的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度，增强自信心。

二、教学内容：第一章：实数1. 实数的定义和分类2. 实数的运算3. 实数与数轴第二章：代数式1. 代数式的定义和分类2. 代数式的运算3. 代数式的应用第三章：方程（一）1. 方程的定义和分类2. 一元一次方程的解法3. 二元一次方程组的解法第四章：不等式（一）1. 不等式的定义和性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式组的解法第五章：函数（一）1. 函数的定义和性质2. 一次函数的图象和性质3. 反比例函数的图象和性质三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究和解决问题。

2. 运用案例分析法，结合生活实际，让学生体验数学的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解和掌握数学知识。

4. 采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

四、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现等。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量和对知识点的掌握程度。

3. 测验成绩：定期进行测验，评估学生的学习效果和进步情况。

4. 自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足。

五、教学资源：1. 教材：九年级数学上册人教新课标版。

2. 教辅资料：相关的练习题和复习资料。

3. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。

4. 网络资源：相关的数学学习网站和在线教学资源。

九年级数学上册复习教案人教新课标版六、教学内容：第六章：图形与几何1. 平面图形的性质与判定2. 三角形的全等与相似3. 四边形的性质与判定4. 圆的性质与判定5. 几何图形的变换七、教学内容：第七章：统计与概率1. 数据的收集与处理2. 统计量的计算与分析3. 概率的计算与应用4. 随机事件的模拟与分析八、教学内容：第八章：综合应用1. 数学阅读与理解2. 数学问题解决与探究3. 数学建模与实践4. 数学思考与创新九、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究和解决问题。

《代数式》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实生活的密切联系；3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律；4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并熟练运用整式的加减运算法则，进行整式的加减运算、求值；6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a 等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．要点二、整式的相关概念1．单项式：由数与字母的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．要点三、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．【典型例题】类型一、代数式1．某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x （x≥10）本.(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．【答案与解析】解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:(1) 代数式分别为:25×10+5(x-10),(25×10+5x) ×90%（2）把x=30分别代入两个代数式:25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元）(25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元）所以选择第一种优惠方式．【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型．类型二、整式的相关概念2．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．(1)3a - (2)5 (3)2b a - (4)2x y - (5)3xy (6)x π (7)5m n + (8)1+a% (9)1()2a b h + 【答案与解析】解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)单项式：(2)、(5)、(6)，其中：5的系数是5，次数是0；3xy 的系数是3，次数是2；x π的系数是1π，次数是1.多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中： 3a -是一次二项式；2x y -是一次二项式；5m n +是一次二项式；1+a%是一次二项式； 1()2a b h +是二次二项式. 【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故2b a -不是整式；②π是常数而不是字母，故xπ是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如5m n +其实质为55m n +，1()2a b h +其实质为1122ah bh +． 举一反三： 【变式1】若单项式22a b x y+-与单项式253b y x -的和是单项式，那么3a b -= ．【答案】15 【变式2】若多项式31(4)5(2)n m x x x n m -++---+是关于x 的二次三项式，则________m =， ________n =，这个二次三项式为 .【答案】4,3,-259x x --类型三、整式的加减运算3．若315212135m n m n x y x y --+-与是同类项，求出m, n 的值，并把这两个单项式相加. 【答案与解析】 解：因为312121535m n m n x y x y --+-与是同类项， 所以315,21 1.m n -=⎧⎨-=⎩ 解得2,1.m n =⎧⎨=⎩当2m =且1n =时，55553152121424214()()35353515m n m n x y x y x y x y x y x y --++-=-=-=. 【总结升华】本题考查了同类项：含有相同的字母，并且相同字母的指数相等；合并同类项就是把系数相加减，字母部分不变．举一反三：【变式】合并同类项．(1)2222344522x xy y x xy y -+-+-；(2)3232399111552424xy x y xy x y xy x y --+---． 【答案】(1)原式＝22(35)(42)(42)x xy y -+-++-22222x xy y =--+(2)原式3232391191554422xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=--+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32345x y x y =---． 【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题3】4. 从一个多项式中减去234ab bc -+，由于误认为加上这个式子，得到221bc ab --，试求正确答案.【答案与解析】解：设该多项式为A ，依题意，(234)221A ab bc bc ab +-+=--(221)(234)A bc ab ab bc =----+(234)(221)2(234)A ab bc bc ab ab bc --+=----+221468869bc ab ab bc bc ab =---+-=--答：正确答案是869bc ab --．【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体来加减．举一反三：【变式1】已知A ＝x 2＋2y 2－z 2，B ＝－4x 2＋3y 2＋2z 2，且A ＋B ＋C ＝0，则多项式C 为( )．A ．5x 2－y 2－z 2B ．3x 2－5y 2－z 2C ．3x 2－y 2－3z 2D ．3x 2－5y 2＋z 2【答案】B【变式2】先化简代数式22211(351)5333a a a a a ⎧⎫⎡⎤---+--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，然后选取一个使原式有意义的a 的值代入求值．【答案】22211(351)5333a a a a a ⎧⎫⎡⎤---+--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭22211[(3515)]333a a a a a =---+-- 222116[(34)]333a a a a =----222116(34)333a a a a =--++ 22816(4)333a a a =--++228164333a a a =+--2814433a a =--． 当0a =时，原式＝0-0-4＝-4． 【变式3】(1) (x ＋y )2－10x －10y ＋25＝(x ＋y )2－10(______)＋25;(2) (a －b ＋c －d )(a ＋b －c －d )＝[(a －d )＋(______)][(a －d )－(______)]．【答案】（1）x ＋y （2）－b ＋c ，－b ＋c类型四、化简求值5. （1）直接化简代入当时，求代数式15a 2－{－4a 2＋[5a －8a 2－(2a 2－a )＋9a 2]－3a ｝的值．（2）条件求值已知(2a ＋b ＋3)2＋｜b －1｜＝0，求3a －3[2b －8＋(3a －2b －1)－a ]＋1的值．（3）整体代入 (鄂州)已知210m m +-=，求3222009m m ++的值．【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行 求解.【答案与解析】解：（1）原式=15a 2－[－4a 2＋(5a －8a 2－2a 2+a ＋9a 2)－3a ]=15a 2－[－4a 2＋(6a －a 2)－3a ]=15a 2－(－4a 2＋6a －a 2－3a )=15a 2－(－5a 2＋3a )=15a 2+5a 2—3a =20a 2—3a当时，原式===（2）由(2a ＋b ＋3)2＋｜b －1｜＝0可知：2a ＋b ＋3=0，b －1=0，解得a = -2，b =1.3a －3[2b －8＋(3a －2b －1)－a ]＋1=3a －3(2b －8＋3a －2b －1－a )＋1=3a －3(2a －9)＋1=3a －6a +27＋1=28—3a由a = -2 则 原式=28—3a =28+6=34（3）∵ 210m m +-=，∴ 21m m +=．∵ 22222009m m m +++3222009m m m =+++322()2009m m m =+++22()2009m m m m =+++22009m m =++12009=+2010=．所以3222009m m ++的值为2010．【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．举一反三： 【变式】已知26a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b -+++-的值． 【答案】 设2a b p a b -=+，则12a b a b p+=-，原式32p p =+． 又因为p ＝6，所以原式31261262=⨯+=． 类型五、综合应用6. 对于任意有理数x ，比较多项式2452x x -+与2352x x --的值的大小．【答案与解析】解：22222(452)(352)4523524x x x x x x x x x -+---=-+-++=+∵240x +>∴无论x 为何值，2452x x -+＞2352x x --．【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．举一反三：【变式】如果关于x ，y 的多项式2(2)mx xy x +-与 2(323)x nxy y -+的差不含二次项，求m n 的值．【答案】解：原式＝22(2)(323)mx xy x x nxy y +---+＝2(3)(22)3m x n xy x y -++--由题意知，则30,220m n -=+=，∴3,1m n ==-．∴3(1)1m n =-=-．。

《物态变化》全章复习与巩固（提高）责编：冯保国【学习目标】1.理解温度的概念，了解生活环境中常见的温度值，会用温度计测量温度；2.了解气态、液态和固态是物质存在的三种形态；3.知道物质的固态、液态、气态之间的相互转化；4.正确识别现实生活中的几种物态变化现象；5.利用物态变化中的吸、放热规律解决问题。

【知识网络】【要点梳理】要点一、温度温度计1、摄氏温度的规定：在一标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为0℃，把1标准大气压下沸水的温度规定为100℃,0℃和100℃之间有100个等份，每个等份代表1摄氏度。

2、使用方法：（1）温度计与待测物体充分接触但不要碰到容器的底或壁；（2）待示数稳定后再读数；（3）读数时，视线要与液面上表面相平，温度计仍与待测物体紧密接触。

要点诠释：1、温度计是利用液体的热胀冷缩的性质来工作的，必须保证液体不凝固、不汽化。

2、体温计使用时不“甩一甩”，会造成温度“只上升、不下降”、即“低温不准高温准”。

要点二、物态变化1、六种物态变化示意图：2、晶体和非晶体：（1）区别：晶体有固定的熔化（或凝固）温度，非晶体没有固定的熔化（或凝固）温度。

（2）熔化（或凝固）条件：（1）达到熔点（或凝固点）（2）继续吸热（或放热）。

（3）特点：晶体熔化（或凝固）的过程中，吸收（或放出）热量，温度不变。

3、蒸发和沸腾：（1）相同点：都是汽化现象，都需要吸热。

（2）不同点：蒸发是在任何温度下，在液体表面缓慢进行的汽化现象；沸腾是液体表面和内部同时进行的比较剧烈的汽化现象，需要达到沸点。

（3）影响蒸发快慢的因素：①液体温度高低；②液体表面积大小；③液体表面空气流动的快慢。

（4）液体沸腾的条件：①温度达到沸点；②继续吸热。

要点诠释：1、液化的两种方法是，降低温度（所有气体都可液化）和压缩体积。

液化的好处：体积缩小，便于储存和运输。

如：液化石油气。

2、注意三个不变的温度，晶体熔化（或凝固）的过程吸热（或放热），温度不变；液体沸腾的过程吸热温度不变。

全等三角形全章复习与巩固【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)．倍长中线法1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论. 【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE＋CF＞EF；证明：延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG∵D是BC中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC与△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED与△ACD中，()12()() AE ACAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作，已知，公用边，∴△AED≌△ACD（SAS）．∴ ED＝CD．∴∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵∠C＝2∠B ∴∠AED＝2∠B．由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．∴∠B＝∠EDB．∴ BE＝ED．即BE＝CD．∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)．【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB＞AC．故用截长补短法．在AB上截取AE＝AC．这样AB就变成了AE＋BE，而AE＝AC．只需证BE＝CD即可．从而把AB＝AC＋CD转化为证两线段相等的问题．【变式】如图，AD是ABC∆的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,∴ △AHD≌△AMD.∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.∵ HD＝DB,∴ DB＝ MD.∴ ∠DMB＝∠B.∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180?,∴ ∠AHD＋∠B＝180?.即∠B与∠AHD互补.（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180?.∵ ∠B＋2∠DGA ＝180?,∴ ∠AHD＝2∠DGA.∴ ∠AMD＝2∠DGM.∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.M GHDCB A∴ ∠DGM＝∠GDM.∴ MD＝MG.∴ HD＝ MG.∵ AG＝ AM＋MG,∴ AG＝ AH＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形3、（2015?新宾县模拟）如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．【思路点拨】（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．【答案与解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，∴∠ABP=30°，∴∠PAB=90°，∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4；（2）结论：PA+PC=PB．证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，∵∠APB=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠1=∠2，PA=PD，在△ABD与△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB；（3）结论：PA+PC=PB．证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，∴AP=AD，∵∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∴∠APB=30°，∴∠DAP=120°，∴∠1=∠2，在△ABD与△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴BD=PC，∵AF⊥PD，∴PF=AP，∴PD=AP，∴PA+PC=PB．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD在△AED与△ACD中∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．【思路点拨】四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．【答案与解析】证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴ AE为∠FAD的平分线，∴ ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，()()AE AEDE ME=⎧⎨=⎩公用边，已证，∴ Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴ AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵ E为CD中点，∴ DE＝EC．∴ ME＝EC．ED C BA在Rt△EMF与Rt△ECF中，()(ME CEEF EF=⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴ Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴ MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴ AF＝AD＋FC(等量代换)．【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD=，求证：BD是∠ABC的平分线．【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案与解析】证明：（1）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。

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】【巩固练习】 一.选择题1．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b 2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）． ①()233-= ②()()2515--= ③93104-=- ④ 255-= ⑤ 0.010.1±=± ⑥ ()20a a a =≥A ．①②④B ．①④⑥C ．①⑤⑥D ．①②⑥ 3. 下列说法正确的有（ ）①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数. A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即.416=±②4是16的算术平方根，即.416=③－7是49的算术平方根，即.7)7(2=-④7是2(7)-的算术平方根，即.7)7(2=-其中正确的是（ ）A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④ 5. （2015•南京）估计介于（ ）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间6.下列运算中正确的是（ ）4913=12622-82==）（C. 24±=D. ∣32-∣＝23- 7. 已知:a a 则，且,68.2868.82.62333=-=＝（ ） A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600 8. －2781 ） A ．0 B ．6C ．6或－12D ．0或6 二.填空题9. 下列命题中正确的有 (填序号)(1)若,b a >那么b a 22>; (2)两数的和大于等于这两数的差;(3)若,b a >那么22b a >; (4)若,b a > c b >则c a >;(5))()(c b a c b a ++=++ (6)一个数越大,这个数的倒数越小; (7)有理数加有理数一定是有理数; (8)无理数加无理数一定是无理数; (9)无理数乘无理数一定是无理数; 10.（2015•庆阳）若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，则m ﹣3n 的立方根是 ．11. 若22)3(-=a ，则a ＝ ，若23)3(-=a ，则a ＝ .12. 已知 :===00236.0,536.136.2,858.46.23则 . 13. 若x x -+有意义，则=+1x ________.14. 阅读下列材料：设0.30.333x ==…①，则10 3.333x =…②，则由②－①得：93x =，即13x =.所以0.30.333= (1)=3.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. 0.7＝ 1.3＝ ；15. 方程 361(12)164x +-=的解x ＝ _________ . 16. 若,19961995a a a =-+-则21995-a 的值等于_________.三.解答题17. （2015春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a 和2a ﹣9 （1）求a 的值，并求这个正数； （2）求17﹣9a 2的立方根．18. 如图所示，已知A 、B 两点的坐标分别为(5,0)A -，(2,1)B -．（1）求△OAB 的面积和△ACB 的面积（结果保留一位小数）； （2）比较点A 所表示的数与－2.4的大小．19. 把下列无限循环小数化成分数：（1）0.6•（2）0.23••（3）0.107••20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：()()212211122===+，S ； ()()223312222===+，S； ()()234413322===+，S； ……，……； （1）请用含n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律；（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于7的长度；（4）你能计算出210232221S S S S ++++ 的值吗？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b . 2. 【答案】D ；【解析】算术平方根的专用记号是“a ”根号前没有“－”或“±”号. 3. 【答案】A ； 4. 【答案】C ；【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个. 5.【答案】C ． 【解析】∵ 2.235，∴﹣1≈1.235，∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间.6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；O.....S 5S 4S 3S 2S 1111111A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，a ＝－23600. 8. 【答案】A ；【解析】819=，9的算术平方根是3，故选A. 二.填空题 9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2. 【解析】若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，∴，解方程得：．∴m ﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8的立方根是2．故答案为：2． 11.【答案】3±39【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根. 12.【答案】0.04858【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858. 13.【答案】1；【解析】x ≥0，－x ≥0，得x ＝0，所以=+1x 1. 14.【答案】74;93； 【解析】设x ＝0.777……，10x ＝7.777……，9x ＝7, x ＝79.设y ＝1.333……，10y ＝13.333……，9y ＝12, y ＝43. 15.【答案】18； 【解析】()31255112,12,6448x x x +=+==. 16.【答案】1996；1996a -a ≥1996，原式＝a －19951996a -a 1996a -1995，两边平方得21995-a ＝1996. 三.解答题17.【解析】 解：（1）由平方根的性质得，a+2a ﹣9=0， 解得a=3，∴这个正数为32=9；（2）当a=3时，17﹣9a 2=﹣64， ∵﹣64的立方根﹣4， ∴17﹣9a 2的立方根为﹣4． 18.【解析】解：（1）∵ (5,0)A ，(2,1)B -，∴ ||5OA =BC ＝1，AC ＝OA －OC 52．∴ 115||||51 1.122OAB S OA BC ∆===≈． 115||||(52)110.1222ACB S AC BC ∆==⨯⨯=-≈． （2）点A 表示的实数为5-5 2.24-≈-． ∵ 2.24＜2.4，∴ －2.24＞－2.4， 即 5 2.4>- 19.【解析】解：(1) 设0.6x •= ① 则10x ＝6.6•② ②－①得 9x ＝6∴6293x ==，即20.63•=(2) 设0.23x ••= ① 则10023.23x ••= ② ②－①，得 99x ＝23∴2399x =，即230.2399••=. (3) 设0.107x ••= ① 则1000107.107x ••= ② ②－①，得 999x ＝107，∴107999x =，即1070.107999••=. 20.【解析】 解：（1）()2,112nS n n n =+=+． （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （3）略．22222222123101231055(4)22224S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

金融中的利率与利息计算
利率计算
在金融领域中，利率的计算是必不可 少的。利率通常用百分数表示，但实 际上是实数。通过利率的计算，我们 可以确定借款或储蓄的回报率。
利息计算
利息的计算是基于本金和利率的乘积 。通过利息的计算，我们可以确定资 金在使用一定时间后所获得的回报或 损失。
物理学中的速度与加速度
数学运算的基础
实数是数学运算的基础，几乎所有数学分支 都离不开实数。实数的四则运算、函数、极 限、导数等概念是数学分析、代数、几何等 领域的基础。
物理世界中的数学模型
实数在描述物理世界的现象和规律时具有重 要作用。例如，长度、时间、质量等物理量 都可以用实数表示，而物理定律往往可以通 过实数的数学表达式来描述和推导。
实数的性质
实数是封闭的，即任意两个实数的和 、差、积、商（分母不为零）仍然是 实数。
实数具有完备性，即实数集在加法、 减法、乘法和乘方下是封闭的。
实数的分类
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数和分数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 如圆周率π和自然对数的底数e。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
实数的指数运算通过幂的性质进行，例如$a^m times a^n = a^{m+n}$和$(a^m)^n = a^{mn}$等 。根号运算则是求一个数的平方等于给定值的数，需要注意根号的定义域。在进行指数和根号运算时 ，需要注意处理负指数和根号下的表达式，以及在解决实际问题时考虑单位的换算。
极限理论。
现代数学中的实数研究与应用
实数在现代数学中的地位
实数已成为现代数学的基础，许多数学分支都建立在实数理论之 上。
实数在物理学中的应用