飞机降落曲线课程设计
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摘要
本次课程设计主要运用了数学分析中的微积分，利用微积分的求导公式解出该次设计的飞机降落曲线的三次方程，并依赖Mathematica的计算和作图功能，确定出满足设计要求的飞机安全降落曲线。
飞机为了实现安全降落，必须在开始降落和着陆的过程中都保持水平飞行的姿态，还必须在下降过程中保持较小的铅直加速度（否则乘客将感到不适），所以这就要求我们对飞机的安全降落进行确定。
通过本次课程设计，我进一步理解了导数的物理意义，并提高了应用微积分学知识解决实际生活问题的能力。
关键词：微积分，导数，复合函数，复合函数求导
目录
摘要┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1 目录┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2 设计题目┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 设计任务┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 设计要求┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 设计步骤┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 设计总结┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 设计心得┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 参考文献┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 致谢┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8
飞机的降落曲线
在研究飞机的自动着陆系统时,技术人员需要分析飞机的降落曲线.根据经验,一架水平飞行的飞机,其降落曲线是一条三次抛物线,已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10
g
，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线。
（2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
参数：u=540千米/小时 h=1100 0x =15000米
设计任务：
1. 作出飞机在点0x =15000时从高h=1100米开始降落的曲线
2. 求出飞机能够安全降落时水平距离0x 所能允许的最小值
1 必须采用数学分析中所介绍的知识；
2 学会对一个实际问题进行分析处理，建立相应的模型。
设计步骤：
设计任务1：
1.初始假定
飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l（km），机高为h(m)（机场的地面高度取作0）。
飞机
2.建立数学表达式
可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。
由于有4个隐藏的假定条件，因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线，则由上面的初始假定，可以得到4个蕴涵的初始条件，如下：
㈠：在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；
㈡：f（0）=0，f＇（0）=0；
㈢：f（l）=h，f＇（l）=0；
㈣：在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数K=g/10（K远小于重力加速度）。
假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：
根据上述㈡㈢所得到的已知条件求出方程中的四个待定系数a，b，c，d，即在Mathmatica运行环境下输入如下公式：
输入：f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
D[f, x]
输出：即为f(x)
即为f’(x)
输入：
运行后得到如下解：
把上述解代入f （x ），则运算后即可得到f （x ）的表达式如下：
f （x ）=-x
l h
323
+223x l h
3.代入具体数据进行验证并画出飞机的降落曲线
假定h=1100m ，l= 15km ，在Mathmatica 运行环境下输入：
运行后即可得到f （x ）的图形如下：
4.讨论飞机降落时的铅直加速度 先讨论飞机铅直加速度应满足的条件：
由题意可知水平方向的速度u 为一个常数，则令u=dx/dt （常数），这时由复合函数求导法，可求出飞机在点（x ，y ）处的铅直速度为：
)('*x uf dt
dx
dx dy dx dy == 我们以vv[x]表示点（x ，y ）处的铅直速度，即在Mathmatica 运行环境下输入：
输出：
再次利用复合函数求导法，可求得飞机在点（x ，y ）处的铅直加速度如下：
()()*'2
2x uf dx d
dt dy dt d dt y d =⎪
⎭⎫ ⎝⎛=()()''x uf u dt dx = 在上述运行环境下，输入如下公式用来表示点（x ，y ）处的铅直加速度：
输出：
经过运行后则可得到铅直加速度为：
u ()x l l hu
l hx l h 2612632
322
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
其中x ∈[-l ，0]，容易看出铅直加速度的绝对值在开始降落（x=-l ）和飞机着陆时（x=0）达到最大，我们在上述运行环境下输入：
即可得到飞机降落竖直方向上铅直加速度的最大值为：
必须不超过0.98m/s 2
现在来判断上述所给的已知条件能否满足条件而安全着陆，则由高度h=1100，水平距离l=15，水平速度u=540，在Mathmatica 运行环境下输入如下：
Solve[6*1100*540^2/15^2,x]
运行后显示结果为：0.1296m/s 2
由此可见该最大铅直加速度小于允许值，所以飞机可以安全着陆。
设计任务2：
经长期的实践验证表明，为了保证乘客舒适，铅直加速度的大小必须控制在K 的范围内，因此要确定飞机开始降落点距着陆点的最小距离必须考虑以上因素且应注意题设中所给定的水平速度始终保持不变，即可看作飞机是在作水平方向匀速运动，竖直方向以一定加速度向下运动的合运动，要想使飞机在降落的过程中水平方向运动的距离达到最小值，即使飞机的降落时间达到最少，即在竖直方向上的运动要达到最快（保证飞机能够安全着落且保证乘客的舒适度）。
对于第二个设计任务，我们可得到飞机降落是的水平位移函数为： x=ut 由此可知，只要求出飞机降落是所用的最小时间即可求出最小水平位移，则要求时间最少，即在竖直方向上飞机一直保持着最大铅直加速度，则可以得到解。
由上述解释可知，飞机在降落的过程中一直保持最大铅直加速度，此时时间最短，
2
2
6l hu
已知h=1100 u=540，且铅直加速度不超过g/10，则输入：
则经过运行后结果为：
则由此可知，飞机能够安全着陆是水平距离所能允许的最小值为：44315.2m
设计总结：
由上述设计可知，飞机降落时，最大铅直加速度远小于允许值，所以降落是安全的，由上述图形可知，虽然开始降落时的铅直加速度很大，最后着陆时的加速度也很大，但在飞机整个降落过程中飞机不可能一直保持最大铅直加速度来进行降落，因此在实际生活中，我们应该具体问题具体分析，全面的考虑，解决，从而更好的利用所学的理论知识来解决一些实际问题。
设计心得：
通过本次数学分析的课程设计，我认识到原来微积分以及导数在我们的日常生活中有着如此重大的应用，可以说与我们的生活密切相关，而且在本次设计中，我知道了如何巧妙的应用Mathmatica来解决数学上一些复杂的问题以及绘
制一些难以实际操作的图形，还有通过本次设计，我对数学分析中所涉及的一些微积分、导数，复合函数以及求导有了更深的理解。
参考文献：
华东师范大学数学系〈〈数学分析〉〉第三版高等教育出版社 2001年6月
丁大正《Mathematica 5在大学数学课程中的应用》电子工业出版社 2006年6月
致谢：
感谢在本次课程设计中参与辅导的孟雪玉老师，是她让我学会如何利用数学分析中所学的理论知识来解决实际生活中的问题，同时也非常感谢与我一起进行这次课程设计设计的同学，是她们让我了解合作的力量。
