中国人口增长预测

1 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 湛江师范学院

参赛队员 (打印并签名) ：1. 吴旭明

2. 何伟坚

3. 彭晓霞

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘雄

日期： 2013 年 9 月 13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

3 车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

我们首先多次阅读题目，明确每个题目需要求出最终的模型公式是什么量与什么量之间的关系，从而明确我们需要从视频中得出什么参数。然后再对数据统计分析与归类整理。最后用MATLAB软件对数据进行线性最小二拟合、回归分析、代入函数求值，从而得出车道被占用对城市道路通行能力的影响。

从题目得出我们最终的模型公式是交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系函数，因此，我们需要从视频中采集到参数有：1.流畅时，事故所处横断面单位时间内流出的车辆数；2. 交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面单位时间内流出的车辆数（包括视频1和视频2发生事故所占车道不同的情况）；3.上游过来的车辆数

3，小区出口的车辆数

4，拥堵长度的时间函数

5，小区出口车辆变道数

然后根据“车辆数守恒”或者叫“交通流量守恒”建立关系！

思路如下：问题1.（1）通畅时，小区路口的通行能力通过转换系数转换成主干道的通行能力+主干道的通行能力=通畅时横截面的通行能力；（2）事故时事故点的横截面通行能力；（3）比较通畅时与事故时通行能力的变化；

问题2：事故时，（1、2道事故）横截面的通行能力和（2、3道事故）横截面的通行能力

问题3：排队长度与故障横截面通过的标准车车数、事故持续时间、上游车流量（离事故点120米处即不包括小区路口的车辆数）之前的函数：Y=f(p3,t,p2),p3表示事故点横截面的车流量，t表示事故持续时间，p2表示绿灯过来的车流量

问题4：直接把Y=140m,p2=1500pcu/h,p3保持不变，代入求t

针对不同年龄段，不同地区和不同性别的人口的出生率，死亡率，总人口数及增长率，我们引入灰色动态GM (1，1)预测模型，分别分四维，五维，六维对各种不同的变化率，按照地区（城市，镇，乡村），性别和年龄段来进行预测，通过比较检验和误差分析，得到用五维的灰色动态GM (1，1)来预测对中长期效果最好。

为了得到更加精确的自适应数据结果，对灰色动态GM (1，1)预测模型进行了改进，利用迭代思想，提出了新陈代谢模型，得到了一个动态化的预测人口变化规律的模型，利用五维的灰色动态GM (1，1)预测模型来启动新陈代谢模型，得到城市生育率的变化规律，2006～2011年城市人口出生率分别为：32.968148‟， 30.2742457‟，26.064447‟，28.0792‟，34.156366‟，22.856509‟。

最后对我们的模型进行检验和误差分析的结果显示，利用五维的新陈代谢模型得到了较精确的结果，中国人口总数大概在2050年趋于稳定，自然增长率逐渐减少，大概在2010年后进入老龄化阶段。

在文章的最后，我们还对模型进行了评价，对结果进行了分析，并把模型进行了推广应用。我们针对中国人口的现状，提出了具有相当参考价值的建议。 4

关键词

人口演化模型，差分方程，灰色动态GM (1，1) 模型，新陈代谢模型

一、问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)及《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据（附录2），做进一步的分析。同时也可以搜索相关文献和补充新的数据，来建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处。

二、问题分析

针对题中给出的数据，只是2001-2005五年的信息，要我们根据这些人口信息去预测我国未来的人口变化趋势，建立一个简单的模型肯定是不能够满足长期效应的。因为题中也已说明有很多因素影响着中国人口的增长，所以我们在建立模型时，需尽量考虑周全。

题目要我们预测的是中国未来人口中短期和长期的变化情况。所以我们可以 5 依照题目的要求建立几个模型：第一，总体分析及预测模型；第二，基于差分方程的人口演化模型；第三：灰色预测模型。鉴于模型可靠性和科学性的追求，我们可在模型的改进里面用新陈代谢模型对前面的GM (1，1) 灰色模型进行更加精确的改进，以此来预测中国人口的长期变化。

总体分析及预测是对短期内城、镇、乡的人口死亡率、出生率而言的；此模型拟合简单，但对中长期没有太大作用，因此需要进一步改进。人口演化模型是预测中期内我国总的人口数及人口增长率的，此模型得到的总体结果较好，但是也不能很好地满足长期变化，因此也需要改进。GM (1，1) 灰色预测模型对于中长期内城、镇、乡的人口死亡率、出生率、我国总的人口数及人口增长率都能解出较好的结果，但我们不应该满足于此，因为新陈代谢模型中的迭代思想预测出的结果将更加精确，所以，我们可在模型的改进里面挑选一两组数据利用新陈代谢来进行比较和检验。

三、条件假设

⑴影响人口数量与增长率的各种因素之间无相互作用；

⑵题中数据为统计值，能客观反映人口数量与增长率的实际变化情况；

⑶附录2所给出的数据具有可预测性；

⑷中国每年的人口增长可以认为是近似均匀的；

⑸在预测模型中，假设未来十年没有发生重大突变；

⑹不考虑迁入和迁出等因素对人口变化的影响；

⑺假定生育率同出生率的定义相同；

⑻假定14岁以前及50岁以后的女性均不对人口的生育率造成影响，即使有特殊情况，也可将其纳入到15至49岁的女性范围内进行考虑；

⑼假定50岁以前的人的死亡率相对于中国人口总的死亡率可以忽略不计，即使有特殊情况，也可将其纳入到中老年人的范围内进行考虑；

⑽假定人口的死亡率对女性的生育率没有影响；

⑾假定随着年龄的增长，由14岁踏入15岁和由49岁踏入50岁的女性的生育率对总体的影响可以忽略，即使有特殊情况，也可假定二者的影响相互抵消；

⑿长期预测时，不考虑男女比例的变化对模型的影响。

四、符号说明 6 符号 说明 单位

W 中国总人口数 口

W(0) 原始（第一年）的人口数 口

i 年龄(i=0,1,2,„„,90+),其中90+表示90岁以后 岁

j 年份(j=1,2,„„)

其中j=1表示2001年,j=2表示2002年，其余类推 年

p 人口出生率（生育率） ‟

q 人口死亡率 ‟

y(n) 第n年的人口增长率 ‟

y(0) 人口净增长率的平均值 ‟

五、模型的建立与求解

5.0人口信息的总体分析及预测

对于附件2给出的数据，我们按年龄的不同分为三个阶段：少年儿童型（0～14）、青壮年型（15～49）、中老年型（50～90＋）。我们利用Excel强大的统计及分析功能，得出了2001-2005年人口信息的简化表，如下所示：

表1 人口信息按年龄别分三个阶段进行的统计计算结果

2001年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率

年龄别 城市 镇 乡村

死亡率‟ 生育率‟ 死亡率‟ 生育率‟ 死亡率‟ 生育率‟ 男性 女性 男性 女性 男性 女性

0～14 2.11 1.55 2.35 3.08 6.46 8.84

15～49 1.55 0.63 28.71 1.96 1.78 33.96 4.10 4.50 45.83

50～90＋ 64.68 95.59 82.88 64.32 108.24 73.98

2002年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率

年龄别 城市 镇 乡村

死亡率‟ 生育率‟ 死亡率‟ 生育率‟ 死亡率‟ 生育率‟ 男性 女性 男性 女性 男性 女性

0～14 3.00 3.35 1.74 3.23 6.39 6.99

15～49 1.25 0.75 27.44 1.52 0.66 34.39 2.56 1.63 47.22

50～90＋ 38.97 63.01 99.05 63.60 101.81 89.97

2003年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率

年龄别 城市 镇 乡村

死亡率‟ 生育死亡率‟ 生育死亡率‟ 生育