高中面面垂直的判定定理

面面垂直的判定

面面垂直与线面垂直是高中数学学习的重点内容，面面垂直是指两条直线或两个平面垂直相交的情况，线面垂直是指一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。在解题中，已知面面垂直可推导出线面垂直。

面面垂直的判定

1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。

2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。

3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

面面垂直的证明方法：

1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。

2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。

4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。

面面垂直怎么推出线面垂直 面面垂直推线面垂直的方法：任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线，因为是同一个面内，所以一定能做出来，然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

高中数学面面垂直解题技巧

1、确定面面垂直的两个面或者直线。

2、利用垂直的性质，如垂直的两条直线斜率的积为-1，或者两个向量垂直的充要条件为它们的内积为0。

3、根据题目条件列方程，利用已知垂直的性质解方程，求解未知数。

4、注意题目中的单位和精度要求，最终结果要进行合理的约分和四舍五入。

面面垂直的性质定理是什么

性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。 其判定定理是：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

证明面面垂直的判定定理

引言

面面垂直是几何中经常遇到的一个概念。在解决几何问题的过程中，判断两个平面是否垂直是非常重要的一步。本文将介绍证明面面垂直的判定定理的方法和原理。

理论基础

首先我们需要了解一些关于平面和向量的基本概念。

平面

在三维空间中，平面可以由一个点和一个法向量来确定。我们可以将平面上的所有点都表示为这个点加上法向量的线性组合。如果一个平面上的向量与该平面的法向量垂直，那么这个向量被称为平面的法向量。

向量

向量是几何中的一个基本概念，它可以用来表示空间中的方向和大小。在三维空间中，一个向量可以由三个实数组成，分别表示在 x、y 和 z 方向上的分量。

面面垂直的判定定理

理论述述

面面垂直的判定定理是指：如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面是垂直的。

证明过程

我们将通过以下步骤证明面面垂直的判定定理：

1. 假设有两个平面，分别为平面 P1 和平面 P2。

2. 假设平面 P1 的法向量为 n1，平面 P2 的法向量为 n2。 3. 要证明平面 P1 和平面 P2 是垂直的，我们需要证明 n1 和 n2 是垂直的。

4. 假设 n1 和 n2 不垂直，即存在一个向量 v，使得 v 不同时与 n1 和 n2

垂直。

5. 根据向量的定义，如果一个向量与一个平面垂直，那么向量与平面的法向量的点积为零。

6. 因此，如果 v 与平面 P1 和平面 P2 的法向量 n1、n2 分别的点积均不为零，那么 v 既不与 P1 垂直也不与 P2 垂直，与假设矛盾。

7. 由此可得，如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面是垂直的。

总结

面面垂直的判定定理是几何中常用的一个定理。通过证明了两个平面的法向量互相垂直可以导出这两个平面是垂直的。这个定理在解决几何问题的过程中经常会用到，因此掌握这个定理对于解题非常重要。

在证明过程中，我们运用了向量的基本定义和性质，并通过推理和逻辑来证明了定理的正确性。这种证明方法可以应用于其他几何定理的证明中。

平面与平面垂直的判定

【学习目标】

1. 理解两平面垂直的定义以及判定定理，会用定理进行平面与平面垂直的判

定

2.体会数学中的转化思想

重点：面面判定定理的理解与应用

难点：面面判定定理的应用

一、课前预习

问题1 如何定义两个平面互相垂直？

问题2 如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？

【探究】 两个平面垂直的判定

问题1 如果一个平面经过另一个平面的一条的一条垂线，那么两个面什么位置关系？

问题2:教室的门转到任何位置时，门所在的平面是否与地面垂直？

问题归纳：面面垂直判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条______________，

则两个平面互相______________ ．

请用符号语言描述定理：

A

B E α

β

C D 二、合作、探究

探究1、A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，

BC=CD,E是BD的中点，

求证：平面AEC⊥平面BCD

探究2、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，

C是圆周上不同于A，B的任意一点，

求证：平面PAC⊥平面PBC。

变式：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直,为什么？

小结：证明面面垂直的关键是什么？

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

O P

B A D A

C B

E 三、当堂检测

面面垂直判定定理的证明

一、引言

面面垂直判定定理是平面几何中的一个重要定理，它用于判断两个面是否垂直。本文将对面面垂直判定定理进行证明，并详细探讨其原理和应用。

二、面面垂直判定定理的定义

面面垂直判定定理是指：如果两个平面相交于一条直线，且这两个平面与另一平面的两个相交线都是垂直的，那么这两个平面是垂直的。

三、证明过程

为了证明面面垂直判定定理，我们需要先证明两个命题：

1. 命题一：两个平面与同一平面的两个相交线垂直

假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。

首先，我们可以得出m和l在P平面上的一个交点A，以及n和l在Q平面上的一个交点B。由于m都与P平面垂直，那么P平面上的任意一条直线都与m垂直。同理，n与Q平面垂直，那么Q平面上的任意一条直线都与n垂直。

考虑平面R上的一条直线s，它与m交于点C，与n交于点D。由于m与l垂直，所以线段AC与线段AD是两条垂直直线上的线段，即AC和AD垂直。又因为n与l垂直，所以线段AD与线段BD也是两条垂直直线上的线段，即AD和BD垂直。

由于AC和AD垂直，且AD和BD垂直，根据垂直的传递性，可以得出AC和BD垂直。

综上所述，我们可以得到结论：平面P上的任意一条直线与平面Q上的任意一条直线都垂直。即命题一得证。

2. 命题二：两个平面与同一平面的两个相交线垂直，那么这两个平面是垂直的

假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。 为了证明P和Q是垂直的，我们假设有一条直线s在平面P上，且与平面Q相交于点E。要证明P和Q是垂直的，我们需要证明s与l垂直。

通过平面P上s与l的交点F，我们可以找到平面R上与F相交的一条直线g。由命题一可知，直线g与平面Q的两个相交线都是与l垂直的，即g与平面Q垂直。

考虑平面Q上的一条直线h，它与g交于点I。由于g与平面Q垂直，所以平面R上与I相交的一条直线j也与g垂直。