第5讲 一笔画.doc (

教学月刊·小学版2021/3数学

JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN让学生学会“数学地想”*

——《好玩的一笔画》教学实录及解析

□李铁安张惠云

这节课是以数学家欧拉解决“哥尼斯堡七桥问

题”为史料背景展开的。本节课不仅要让学生探究

一笔画图形的规律，还要让学生经历一个发现提出

问题和分析解决问题的完满的过程，并在探索的过

程中引导学生“用数学的眼光观察世界，用数学的

思维分析世界，用数学的语言描述世界”。【教学过程】

环节一：创作及判断图形能否一笔画——明确

何为一笔画

教师在屏幕上动态展示一笔

写出“好玩”两个字的过程（如

图1）。

师：同学们请看！这两个字认

识吗？

生：认识！是“好玩”两个字。

生：我发现“好玩”这两个字是一笔写出来的。

师：一笔连着写出“好玩”两个字，确实挺好玩。

今天让我们一起来学习“好玩的一笔画”。大家请

看，我用一笔创作了一个图形，这是什么？（生答，略）

师：是的，老师用一笔画出了一个向上指的箭

头。你们能用一笔画出怎样的图形呢？自己试一试！

（学生交流各自的作品，如图2）

图2师：哦！这么多图案都能用简单的一笔就画出

来，你们的想象和创意都很独特。下面同学们再认

真看看这些图形（出示图3）。想一想，试一试，能一笔画吗？

①②③④⑤⑥

图3生：第①个图形能一笔画，我是这样

画的（从圆点处起笔）。

生：我还有其他的画法，这样画也是

可以的（从圆点处起笔）。

生：我再试试其他两个点，都不行。

师：你们是从每个点开始尝试一笔画的，这个

想法挺好。

生：第②个图形和第⑤个图形从哪个点开始画

都行，只要绕着所有的线走一圈就可以啦！

师：从哪个点画都行！你的发现太美妙了！

生：第③个图形也能一笔画，从这两

个点开始都是可以的。

师：是啊，这个图形能一笔画，也确实

只有这两个点能走通。

生：第④个图形我尝试了所有的点，无论从哪

个点开始都不能一笔画，大家看。（展示图片，如

图4

）

图

4图1

*本文系中国教育科学研究院2019年基本科研业务费专项资金项目“推进数学文化进课堂的实践研究”（项目批准

5经典图论问题

41 / 1041 / 10 5经典图论问题

5.1 一笔画问题

一笔画算法即是从起点a开始选择关联边（第一这条边不是往回倒，第二这条边在前面延伸路上没有出现过）向前延伸，如果到达终点b，得到a—b迹，判断路上的的边数是否为图的总边数，是就终止，否则选择迹上某个关联边没有用完的顶点v，用同样方式再搜索v—v的闭迹，添加到a—b迹上，即得到a—v---v—b迹，如果这个迹的边数还没有达到总边数，则再选择迹上某个关联边没有用完的顶点。。。。。。逐步扩展即可。

5经典图论问题

42 / 1042 / 10 二、弗罗莱（Fleury）算法

任取v0∈V(G)，令P0=v0；

设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：

（a）ei+1与vi相关联；

（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2, …, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；

（c）当（b）不能再进行时，算法停止。

5.2 中国邮递员问题（CPP）

规划模型：

设ijx为经过边jivv的次数，则得如下模型。

Evvijijjixzmin

jiikvvivvkiijVvxx,

jiijvvNx,1

..ts 5经典图论问题

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5.3 旅行推销员问题（TSP，货郎担问题）（NPC问题）

定义：包含图G的所有定点的路（圈）称为哈密顿路（圈），含有哈密顿圈得图称为哈密顿图。

分析：从一个哈密顿圈出发，

算法一：（哈密顿圈的充要条件：一包含所有顶点的连通子图，二每个顶点度数为2）

象求最小生成树一样，从最小权边加边，顶点度数大于3以及形成小回路的边去掉。

算法二：

算法三：

5经典图论问题

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第五讲 一笔画问题 一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图） 这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图） 经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题： 如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？ 能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？ 先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了. 首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等. 其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图） （1）两个点，一条线. 每个点都只与一条线相连. （2）三个点. 两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连. 第一组的两个图都能一笔画出来. （但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图） （1）五个点，五条线. A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连. （2）六个点，七条线.（“日”字图） A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连. 第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）. 第三组（见下图） （1）四个点，三条线. 三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连. （2）四个点，六条线. 每个点都与三条线相连. （3）五个点，八条线. 点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连. 第三组的三个图形都不能一笔画出来. 第四组（见下图） （1）这个图通常叫五角星. 五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连. （2）由一个圆及一个内接三角形构成. 三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）. （3）一个正方形和一个内切圆构成. 正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连. （四条线是两条线段和两条弧线）. 第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图） （1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连. （2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连. 第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来. 进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名： 把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点. 提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查： 从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论： ①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形. ②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）. ③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）； ④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则： 有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成. 能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”. 用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去. 看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解. 从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见： ①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.

文档仅供参考

文档仅供参考 第10讲 学习一笔画

【专题简析】

一笔画,就是从图形某点出发,笔不离开纸,而且每条线段都只画一次不重复. 它是一种有趣的数学游戏. 那么,哪些图形不能一笔画成,哪些图形可以一笔画成呢？

一个图形能否一笔画成,关键在于单数点的多少,有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成,单数点在一笔画中只能作为起点和终点.

【例题1】

一些平面图形是由点和线构成的,这里的“线”可以是线段,也可以是一段曲线,请自己画一些图研究每个点和线的连接情况.

思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点,他们分别与几条线相连.

① ② ③ ④

（1） 与一条线段相连的点有：

（2） 与两条线段相连的点有：

（3） 与三条线段相连的点有：

（4） 与四条线段相连的点有：

归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点,每个图中的点要么是单数点,要么是双数点.

练习1

1.任意找一个平面图形,数一数图中有几个单数点,几个双数点. 文档仅供参考

文档仅供参考 2.下面图形中有哪几个单数点？

CBAD

3.数一数下面图形中有几个双数点,分别是哪些点？

FEDBACHG

【例题2】

下面的图形能不能一笔画成？如果能,应该怎样画？

A

C A B C

（1） O （2）

B D

D E F

A B C

C

（3）

D

E F