高考专题5月高三模拟考试.docx
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桑水
2015年5月高三模拟考试
理科数学试卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{11}Axx，2{20}Bxxx，则AB
A． [1,0] B． [1,0] C. [0,1] D. (,1][2,)
2．下列说法中正确的是
A．命题“若0ba，则ba11”的逆命题是真命题
B．命题:pxR，012xx,则0:pxR，01020xx
C. “11ba，”是“1ab”成立的充分条件
D.在某项测量中，测量结果X服从正态分布2(1,)(0)N，若X在(0,1)内取值的概率为，则X在(0,2)内取值的概率为0.6
3.若iz)54(cos53sin是纯虚数，则)4tan(的值为
A．7 B．71 C. 7 D.7或17
4．已知2,0,1,3,4a，1,2b，则函数2()(2)fxaxb为增函数的概率是
A． 25 B．35 C.12 D. 310
5．对任意非零实数a、b,若ab的运算原理如右图所示，则12)31(4log的值为
A．31 B．1 C.34 D.2 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 6．某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
A．23 B． 3 C. 29 D.169
7．ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，0ACABOA且||||ABOA，则向量CA在CB方向上的投影为
A． 3 B．3 C. 3 D.3
8．关于函数31()(2)2xxfxx和实数m、n的下列结论中正确的是
A． 若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n） B． 若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）
C． 若f（m）＜f（n），则m2＜n2 D． 若f（m）＜f（n），则m3＜n3
9．已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3FPFQ，则||QF=
A. 83 B. 52 C. 3 D. 2
10．某种波的传播是由曲线来实现的，我们把函数解析式称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加.已知“1 类波”中的两个波叠加后仍是“1类波”，则的值可能为
A .8 B. 3 C. 4 D. 23
二．填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．在极坐标中，直线(sincos)1被圆2sin与所截得的弦长为 ．
12．如右图，⊙O是ABC的
外接圆，ABAC，延长BC到点D，连结AD
交⊙O于点E，连结BE，若40D,则ABE
的大小为 ．
13．若两个正实数yx,满足211xy，
且222xyaa恒成立，则实数a的取值范围是 ．
（二）必做题（14—16题）
14．若202nxdx ，则12nxx()的展开式中常数项为 .
15.若数列na满足110nnpaa，*,nNp为非零常数，则称数列na为“梦想数列”. 已知正项数—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 A B C D
E F G
H 列1nb为“梦想数列”，且99123992bbbb，则892bb的最小值是 。
16．已知函数)(xf是R上的减函数，且(2)yfx的图象关于点(2,0)成中心对称．若,uv满足不等式组()(1)0,(1)0,fufvfuv则22uv的最小值为 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知正方形ABCD的边长为2，EFGH、、、分别是边ABBCCDDA、、、的中点．（Ⅰ）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足||2PH的概率；
（Ⅱ）从ABCDEFGH、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望E．
18．（本小题满分12分）
在数列na)N(n中，其前n项和为nS，满足22nnSn．
（Ⅰ）求数列na的通项公式;
（Ⅱ）设knnnknnbnan2,2112,22（k为正整数）,求数列nb的前n2项和nT2．
19．（本小题满分12分）
如图，已知长方形ABCD中，1,2ADAB,M为DC的中点.将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM.
（Ⅰ）求证：BMAD；
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角DAME的余弦值为55．
20．(本小题满分13分)
某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t（秒）的变化规律大致可用22(14sin)20(sin)6060ttyxx（t为时间参数，x的单位：m）来描述，其中地面可作为x轴所在A —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y轴。
（Ⅰ）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；
（Ⅱ）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
21．(本小题满分13分)
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点1F，2F构成的三角形中面积的最大值为3
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）已知点(4,0)P，联结AP与椭圆的另一交点记为B，若AP与椭圆相切则视为A、B重合，联结2BF与椭圆的另一交点记为C，求2PAFC的取值范围.
22．(本小题满分13分)
已知函数()2lnbfxaxxx，0)1(f
( I ) 若函数)(xf在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;
( II ) 若函数)(xf的图像在x=1处的切线斜率为0，且
)1(2122121)1(1)(xfxxxxgn，（2x，*nN）
证明：对任意的正整数n,当2x时，有1)(xxg.
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桑水 2015年5月高三模拟考试理科数学参考答案
1~10： CCCBB； DCCAD
11．2 12．40 13．(2,4)-
14、32 15、4 16、12
17．解：（Ⅰ）所有点P构成的平面区域是正方形ABCD的内部，其面积是224． 满足||2PH的点P构成的平面区域是以H为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分，它可以看作是由一个以H为圆心、2为半径、圆心角为2的扇形HEG的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH和△DGH）内部构成．其面积是21122111422．
所以满足||2PH的概率为112484 6分
（Ⅱ）从ABCDEFGH、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C28条不同的线段．其中长度为1的线段有8条，长度为2的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为5的线段有8条，长度为22的线段有2条．
所以所有可能的取值为122522，，，，．
且821287P， 412287P， 6322814P，
825287P， 21222814P．
所以随机变量的分布列为：
1 2 2 5 22
P 27 17 314 27 114
随机变量的数学期望为
213211225227714714E522257 12分
18．解:（Ⅰ）由题设得:22nnSn,所以)2()1(1221nnnSn
所以nSSannn11 )2(n 2分
当1n时，011Sa,数列na是01a为首项、公差为1的等差数列
故nan1． 5分 A B C D
E F G
H —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 （Ⅱ）由（Ⅰ）知:
knnnknnbnn2,)2(112,21 6分
nnbbbbT23212
02462212325272(21)2nn
)22121()8161()6141()4121(21nn02462212325272(21)24(1)nnnn
9分
设246221325272(21)2nTn
则2246822222325272(23)2(21)2nnTnn
两式相减得：2468222312(22222)(21)24nnTn
整理得：2202420992nnT 11分
所以222024209924(1)nnnnTn 12分
19．解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=2，
所以AMBM
又因为面ADM平面ABCM，面ADM面ABCM=AM
所以，
BMADMBMAD面 4分
