勾股定理的发现及证明

证明勾股定理的4种方法

2022-01-27

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。以下是小编整理的证明勾股定理的4种方法，仅供参考，大家一起来看看吧。

证明勾股定理的4种方法

勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的'定理之一。下面我们一起来欣赏其中一些证明方法：

方法一：赵爽“弦图”

三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。

2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。 方法二：刘徽“青朱出入图”

约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。

方法三：欧几里得“公理化证明”

希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。

勾股定理的故事或证明

勾股定理可是数学界的超级明星呢！它说的是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理的故事可有趣啦。

在古代，各个文明都有对勾股定理的发现或者研究呢。比如说咱们中国，早在西周时期，就有一个叫商高的人，他就提出了“勾三股四弦五”的关系。想象一下，那时候的人，没有咱们现在这么先进的工具和知识体系，全靠着对生活的观察和聪明的头脑。他们在测量土地呀，建造房屋的时候，就发现了这个神奇的规律。商高就像是一个数学探险家，他发现了这个宝藏，然后告诉大家，看呀，直角三角形的三条边有这样奇妙的关系。

再看看古希腊，毕达哥拉斯学派也对勾股定理有深入的研究。毕达哥拉斯本人对这个定理简直是痴迷。据说，当他发现这个定理的时候，高兴得不得了，还杀了一百头牛来庆祝呢。这在当时可是一件非常轰动的事情，就好像现在科学家发现了一个改变世界的大秘密一样激动人心。毕达哥拉斯学派的人就到处宣传这个定理，让更多的人知道这个直角三角形边之间的神秘联系。

那勾股定理的证明方法也超级多。有一种很直观的证明方法，就是用正方形来证明。咱们可以想象有四个完全一样的直角三角形，把它们拼成一个大的正方形，这个大正方形的中间又有一个小正方形。从面积的角度来看，大正方形的面积可以用两种方式来表示。一种是直接根据边长来计算，另一种呢，就是四个三角形的面积加上中间小正

方形的面积。通过这个等式，就能推导出勾股定理啦。这就好像是玩拼图游戏一样，把不同的形状组合在一起，然后发现了隐藏在其中的数学真理。

还有一种证明方法，是利用相似三角形。直角三角形里面有很多相似的小三角形，通过这些相似三角形对应边成比例的关系，也能够推导出勾股定理。这个过程就像是在一个大家庭里找亲戚一样，找到那些相似三角形之间的关系，然后顺着这个关系就找到了勾股定理这个宝藏。

勾股定理在生活中的应用也是无处不在的。比如说在建筑工程中，工程师们要确保墙角是直角，就可以利用勾股定理。如果两条边的长度符合勾股定理的关系，那这个角就是直角啦。还有在航海中，知道两个地点之间的距离和角度关系，也能用到勾股定理来计算航行的路线和距离呢。

______________________________________________________________________________________________________________

-可编辑修改- 勾股定理的证明方法

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为

的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。 ______________________________________________________________________________________________________________

-可编辑修改-

三、相似三角形的证法：

4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足为D。则

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD × BA， ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD × AB。 ②

我们发现，把①、②两式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有 BC2+AC2=AB2，这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

安溪六中校本课程之数学探秘

勾股定理史话

一、勾股定理的历史

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的证明图）

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。 。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部 。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：