二元函数的连续性课件

ｔ￣　－Ｉ。　●　专题研究　啦—～　一一～　………ｌ１．　ＴＩ　醣雾　二元函数可导、可微与连续胜昀关系　◎毛海勤　（杭州师范大学钱江学院　３１００１２）　【摘要】本文提出的是基于我们所学的关于二元函数导　数和微分、连续的内容，以此研究它们三者之间的关系，以　便于我们更简便易懂地使用它们．　【关键词】函数；可导性；可微性；连续性　概述　１．函数可导的定义　（１）二元函数偏导数的定义：　方向的偏导：　设有二元函数　＝－厂（　，Ｙ），点（　。，Ｙ。）是其定义域，Ｊ内　点．把Ｙ固定在Ｙ。而让　在　。有增量　，相应地函数ｚ＝　＿厂（　，Ｙ）有增量（称为对　的偏增量）Ａｚ＝ｆ（‰＋　，Ｙ。）一　ｆ（　。，Ｙ。）．　如果△ｚ与Ａｘ之比当　一０时的极限存在，那么此极　限值称为函数　＝＿厂（　，Ｙ）在（　。，Ｙ。）处对　的偏导数（ｐａｒｔｉａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ）．记作ｆ＇ｘ（　，Ｙ０）．　Ｙ方向的偏导：　如果　与Ａｙ之比当△ｙ—Ｏ时的极限存在，那么此极　限值称为函数　＝　，Ｙ）在（　。，Ｙ　）处对Ｙ的偏导数（ｐａｒｔｉａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ）．记作厂ｙ（　０，Ｙ０）．　函数　＝＿厂（　，Ｙ）在（　。，Ｙ。）处对　的偏导数，实际上就是　把Ｙ同定在Ｙ。看成常数后，一元函数　＝，（Ｘ，Ｙ。）在　。处的　导数，同样，把　固定在　。，让Ｙ有增量Ａｙ，如果极限存在，　那么此极限称为函数ｚ＝＿厂（　，Ｙ）在（　。，Ｙ。）是处对Ｙ的偏导　数．记作ｆ＇ｙ（　。，Ｙ。）．　２．函数连续的定义　二元函数：设，为定义在点集ＤｃＲ　的二元函数，Ｐ。∈　，Ｊ（它或者是Ｄ的孤立点）．对于任何的正数ｓ，总存在相应　的正数６，只要Ｐ∈Ｕ（ｐ。；　）ｎＤ，就有ｕｆ（Ｐ）一ｆ（Ｐ。）Ｉ＜ｓ，则　称，关于集合Ｄ在点Ｐ。连续，在不致误解的情况下，也称＿厂　在点Ｐ。连续．若，在Ｄ上任何点都关于集合，Ｊ连续，则称，　为Ｄ上的连续函数．　３．函数可微的定义　定义　设函数Ｙ＝ｆ（　）存某区间内有定义，　。及　＋　△　在此区间内，如果函数的增量Ａｙ＝＿厂（　。＋△　）一－厂（　。）可　表示为Ａｙ＝ＡＡｘ＋０（　），其中Ａ是不依赖　的常数，那　么称函数Ｙ＝　）在点Ｘ　是可微的，而ＡＡｘ叫做函数Ｙ＝　＿厂（　）在点‰相应于自变量增量△　的微分，记作ｄｙ，即　ｄｙ＝Ａ△　．　二、可导性、可微性与连续性之间的关系　二元函数可导性、可微性与连续性的关系：　（１）二元函数可微性与连续性的关系　定理１如果函数ｚ＝＿厂（　，Ｙ）在点（　，Ｙ）处可微分，那么　函数在该点处必定连续．　证明　‘．　函数。＝＿厂（　，Ｙ）在点（　，Ｙ）处可微，则有　Ａｚ＝ＡＡｘ＋ＢＡｙ＋０（Ｐ）．　故ｌｉｍＡｚ＝ｌｉｍ　△　＝０．　ｐ　｝Ｏ　（Ａ　，Ａ１）一（０．０）　从而有ｌｉｒａ　＿厂（　＋Ａｘ，Ｙ＋Ａｙ）：　ｌｉｍ　［／　）＋△ｚ］＝／　，Ｙ）．　函数ｚ：＿厂（　，Ｙ）在点（　，Ｙ）处连续．　故二元函数可微必定连续，但是连续不一定可微．　（２）二元丽数可微与可导的关系　定理２如果函数　＝＿厂（　，Ｙ）在点（　，Ｙ）处可微分，那　么，函数在点（　，ｙ）处的偏导数警，尝必定存在，并且函数　ａ　ｏｙ　在点（　，），）处的全微分为ｄ：＝　△　＋ＺＳＡｙ我们知道了对于二元函数，偏导数的存在是函数　Ｗ－－　＿厂（　，Ｙ）可微分的必要条件．但是偏导数的存在不是函数可　微分的充分条件．事实上，当一个二元函数ｚ＝／（　，Ｙ）在点　ｘ，ｙ）处的偏导数尝，　都存在时，尽管形式上可以写成式　０　ｏｙ　子　△　＋警△ｙ，但是它与Ａｚ之差可以不是Ｐ：　ｄ　ｄＶ　（Ａｘ）　＋（△ｙ）　的高阶无穷小，因而由定义，此时函数：＝　＿厂（　，Ｙ）在点（　，Ｙ）处是不可微的．　定理３　如果函数　：＿厂（　，ｙ）的偏导数　，　在点（　，　ｄ　ｄＶ　Ｙ）的某一领域内存在，并且在点（　，ｙ）处这两个偏导数都连　续，那么函数ｚ＝ｌ厂（　，Ｙ）在该点处可微分．　【参考文献】　［１］同济大学．高等数学：第五版上册［Ｍ］．北京：高等　教育出版社，２００４：７６—１１２．　［２］同济大学．高等数学：第五版下册［Ｍ］．北京：高等　教育出版社，２００４：６１—７３．　数学学习与研究２０１１．１

二元函数的极限

二元极限存在常用夹逼准则证明

例1 14)23(lim212yxyx

例2 函数01sin1sin),(，xyyxyxf .00xyxy，在原点（0,0）的极限是0.

二元极限不存在常取路径

例3 证明：函数）），（，，00)(()y(442yxyxyxxf在原点（0，0)不存在极限.

与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.

上述二元函数极限)(lim00yxfyyxx，是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于0x与0y.这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：

累次极限

定义 若当ax时（y看做常数），函数)(yxf，存在极限，设当by时，)(y也存在极限，设

Byxfyaxbyby)(limlim)(lim，，

则称B是函数)(yxf，在点)(baP，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即

Cyxfbyax)(limlim，.

那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：

1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.

2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.

多重极限与累次极限之间的关系

定理 若函数)(yxf，在点），000(yxP的二重极限与累次极限（首先0y，其次0x）都存在，则

)(limlim(lim0000yxfyxfyyxxyyxx，），.

二元函数的连续性

定理 若二元函数)(Pf与Pg在点0P连续，则函数)()(PgPf，)()(PgPf，)()(PgPf

（0)(0Pg）都在点0P连续

定理 若二元函数)(yxu，，)(yxv，在点)(000yxP，连续，并且二元函数)(vuf，在点)()()(000000yxyxvu，，，，，连续，则复合函数)()(0000yxyxf，，，， 在点)(000yxP，连续.

第３２卷　２０１２年　第２期　３月　高师理科学刊　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．３２　Ｎｏ．２　Ｍａ／＇．２０１２　

文章编号：１００７—９８３１（２０１２）０２—００２９—０４　

对单变量连续的二元函数的连续性　

曹慧珍　

（温州大学瓯江学院理学院，浙江温州３２５０３５）　

摘要：从连续的概念出发，深入探讨一元与二元函数连续定义的本质，通过质疑和释疑，研究了　单变量连续的二元函数的连续性问题，获得一些有意义的结论．　关键词：二元函数；连续性；一致连续性　中图分类号：０１７１　文献标识码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１２．０２．０１１　

Ｔｈｅ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｂｉｎａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ｆｏｒ　ｓｉｎｇｌｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ　

ＣＡＯ　Ｈｕｉ—ｚｈｅｎ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｏｕｊｉａｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｗｅｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｅｒａ３ａｏｕ　３２５０３５，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ，ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ｏｎ　ｂｏｔｈ　ｕｎａｒｙ　ａｎｄ　ｂｉｎａｒｙ　

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｅｓｓｅｎｃｅ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ｉｓｓｕｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｉｎａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ｆｏｒ　ｓｉｎｇｌｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｉｎｇ　ａｎｄ　ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ，ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｓｏｍｅ　ｍｅａｎｉｎｇｆｕｌ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ．　

《数学分析II》第5讲教案

1 第5讲 二元函数的极限（续）与连续性

授课题目 二元函数的极限（续）与连续性

教学内容 1. 二元函数极限的性质定理；2. 累次极限及其性质；3. 二元函数的连续性的定义；4.二元连续函数的性质.

教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握二元函数的累次极限，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法；掌握二元函数的连续性的定义，理解二元连续函数的性质.

教学重点及难点 教学重点：重极限与累次极限的区别与联系，二元函数的连续性；

教学难点：二元连续函数的性质.

教学方法及教材处理提示 (1)通过介绍二元函数的极限的性质定理，使学生进一步弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．

(2)重极限与累次极限的区别与联系是教学重点，通过多举些例题介绍判别极限存在性的较完整的方法．

(3) 二元函数的连续性基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元函数的连续性引出二元函数的连续性．有关二元连续函数的运算与一元函数的情况基本上类同，只介绍相关结论其证明过程从略.

(4)关于二元函数介值性定理的证明是一道极好的习题，将其作为重要知识点并安排在习题课上重点讲授.

作业布置 作业内容：教材 99P:2（1，3，5），4，7（3，4）. 104P:1（3，4）.

讲授内容

一、二元函数的极限性质

例1 二元函数.,0,0,1),(2其余部分时，当xxyyxf如图16－7所示，当),(yx沿任何直线趋于原点时，相应的),(yxf都趋于零，但这并不表明此函数在)0,0(),(yx时极限存在．因为当点),(yx沿抛物线)10(2kkxy趋于点)0,0(时，),(yxf将趋于1。所以).,(lim)0,0(),(yxfyx不存在。

例2 设.321),(22yxyxf证明),(lim)0,0(),(yxfyx