如何利用二次函数求解最值问题

数学

篇数苑纵横

与二次函数有关的最值问题是中考数学

中的一个重难点，常与几何图形、三角函数、实

际问题等相结合，考查同学们的空间想象能力

和逻辑推理能力.不少同学面对这类最值问题

时觉得难以下手，但只要我们认真阅读题目，

理解问题的实质，构建出二次函数，再运用二

次函数的有关性质即可使问题顺利得解.一、求解实际生活中的最值问题

在实际生活中，我们总是追求利益最大

或者是成本最低，从数学角度看，就是在特定

条件下求目标函数的最大值或者最小值.运

用二次函数求解实际生活中的最值问题，关

键在于如何构建正确的二次函数模型.解题

时应把握以下两点：其一，认真审题，提炼出

有用信息；其二，根据题干描述以及自身生活

经验，通过合理的抽象确定常量与变量间的

函数关系，建立函数模型，然后结合模型和实

际情况求得最大值或最小值.需要注意的是，

实际问题中二次函数的最大值或最小值不一

定在图象的顶点处取得，若顶点的横坐标不

在自变量的取值范围内，则要借助函数的增

减性来求最大值或最小值.例1某商品的进价为每件50元，售价为

每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商

品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件

售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨

x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自

变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个

月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x

为正整数），则每件商品的利润为：（60-50+x）元，

总销量为：（200-10x）件，

商品利润为：y=(60-50+x)(200-10x)，=(10+x)(200-10x)，

=-10x2+100x+2000．

∵原售价为每件60元，每件售价不能高

于72元，∴0＜x≤12且x为正整数；

（2）y=-10x2+100x+2000，

=-10(x2-10x)+2000，

=-10(x-5)2+2250．

故当x=5时，最大月利润y=2250元．

这时售价为60+5＝65（元）．

点评：此题主要考查了二次函数的应用

及二次函数的最值问题.根据每天的利润＝

一件的利润×销售量，建立函数关系式.借助

二次函数解答实际问题是解题关键．

例2李大爷利用坡前空地种植了一片优

质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30

天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间

满足m＝ìíî3x+15(1≤x≤15),-x+75(15

销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如

图1所示：

图1

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天如何利用二次函数求解最值问题

山西临沂周立恒23

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的维护费用为80元．

（1）求日销售量n与第x天之间的函数关

系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天

的销售利润y与第x天之间的函数关系式；

（日销售利润＝日销售额-日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x.

解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由

图可知ìíî12=k+b,30=10k+b,解得ìíîk=2,b=10,∴n＝2x+10

同理得，当10＜x≤30时，n=-1.4x+44，∴销售量n与第x天之间的函数关系

式：n=ìíî2x+10(x≤x≤10),-1.4x+44(10

（2）∵y=mn-80，

∴y=ì

í

îï

ï(2x+10)(3x+15)-80(x≤x≤10),(-1.4x+44)(3x+15)-80(10

整理得，

y=ì

í

îï

ï6x2+60x+70,(1≤x≤10),

-4.2x2+111x+580,(10

1.4x2-149x+3220,(15≤x≤30),

（3）当1≤x≤10时，∵y=6x2+60x+70的对称轴x=-b2a=

602×6=-5,

∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大

而增大，∴当x=10时，y取最大值，则y10=1270

当10＜x＜15时，∵y=-4.2x2+111x+580的对称轴是直

线x=111-4.2×2=1118.4≈13.2<13.5，

∴当x=13时，y取得最大值，此时y13=1313.2；

当15≤x≤30时,∵y=1.4x2-149x+3220的对称轴为直

线x=1492.8>30,

∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大

而减小∴x=15时，y取最大值，y的最大值是

y15=1300，

综上，草莓销售第13天时，日销售利润y

最大，最大值是1313.2元.

点评：本题在确定函数最大值时，由于此

函数是分段函数，所以要分三种情况讨论.第

二种情况中顶点的横坐标在自变量取值范围

内，可以利用顶点坐标公式来确定函数的最

大值；而第一种情况和第三种情况中顶点的

横坐标都不在自变量取值范围内，因此必须

利用函数的增减性来确定函数的最大值.分

别求出三种情况中的最大值后，还要通过比

较确定日销售利润的最大值.

二、求解几何图形中的最值问题

解答几何图形中的最值问题一般根据已

知条件设置相关参数，构建对应的函数模型，

再借助函数的性质进行解答.构建二次函数

求解几何图形中的最值问题时，要全面观察

几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在性

质，综合运用所学的知识，如勾股定理、全等

三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的

面积公式等，寻求等量关系构造出二次函数，

结合二次函数性质计算出最终结果.同时，为

保证求解最值问题的正确性，应明确自变量

的取值范围.

例3如图2，梯形ABCD中，BC∥AD，

AB=BC=CD=6，∠D=60°，E、F分别为BC、

CD上两个动点（不与端点重合），且∠AEF=120°，设BE=x，CF=y.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）x取何值时，y有最大值，最大值是

多少？24

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图2解：（1）∵AB=BC=CD=6，BE=x，CF=y，∴EC=6-x，

∵BC∥AD，∴∠C+∠D=180°，

又∠D=60°，∴∠C=120°，∴∠CEF+∠CFE=60°，

又∠AEF=120°，∴∠CEF+∠AEB=60°，∴∠CFE=∠AEB，

又梯形ABCD中，BC∥AD，AB=CD，∴∠B=∠C，

∴△ABE∽△ECF，∴ABEC=BECF，即66-x=xy，∴y=-16x2+x；

（2）函数y=-16x2+x=-16(x-3)2+32为

开口向下的抛物线，

由0＜x＜6可知，当x=3时，y有最大

值，y的最大值为32.

点评：本题的思路为通过已知条件得出

相似三角形，由相似三角形的比例式，进而列

出y与x的函数关系式，最后根据二次函数

求最值的方法求出y的最大值及此时x的值.

同学们在求二次函数最值时一定要注意自变

量x的范围．

例4如图3，在△ABC中，AB＝10，AC＝25，∠ACB＝45°，D为AB边上一动点（不与

点B重合），以CD为边长作正方形CDEF，连

接BE，则△BDE面积的最大值等于．

图3图

4解：如图4，过点E作EM⊥BA于M，过

点C作CN⊥BA交BA的延长线于N，过点A

作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，∠ACH=45°，AC=25，

∴AH=CH=AC⋅cos45°=10，

在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，

AB=10，AH=10，∴BH=AB2-AH2=102-(10)2=310，

∴BC=BH+CH=410，

∵S△ACB=12⋅BC⋅AH=12⋅AB⋅CN，∴CN=4，

在Rt△ACN中，

AN=AC2-CN2=(25)2-42=2，

∴BN=BA+AN=12，

设BD=x，则DN=12-x，∵四边形EFCD是正方形，

∴DE＝DC，∠EDC=∠EMD=∠DNC=90°，

∴∠EDM+∠ADC=90°，

∠ADC+∠DCN=90°，∴∠EDM=∠DCN，

∴△EMD≌△DNC(AAS)，

∴EM=DN=12-x，

∴S△DBE=12⋅BD⋅EM=12⋅x⋅(12-x)

=12x2+6x=-12(x-6)2+18，

∵-12<0，

∴当x=6时，△BDE的面积最大，最大

值为18．

故答案为18．

点评：本题是一道几何函数题，考查了正

方形的性质，解直角三角形等知识.求解时应

从几何图形入手，充分利用几何图形的性质构

造出函数关系，如本题以三角形的面积公式构

建二次函数，再利用二次函数的性质解题．25