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2017-2018（含答案）南开区七年级（上）段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1.的绝对值的倒数是（）A. B. C. D.2.在、、、这四个数中，是负数的有（）A.个B.个C.个D.个3.根据北京市统计局年月发布的数据，年月北京市工业销售产值累计亿元，将用科学记数法表示应为（）A. B.C. D.4.对于下列四个式子：；；；．其中不是整式的有（）A.个B.个C.个D.个5.若与是同类项，则的值为（）A. B. C. D.6.下列方程是一元一次方程的是（）A. B.C. D.7.已知等式，下列变形正确的是（）A. B.C. D.8.将方程变形正确的是（）A.B.C.D.9.已知，且，若数轴上的四点，，，中的一个能表示数，（如图），则这个点是（）A. B. C. D.10.已知：，，，那么以下判断正确的是（）A. B.C. D.11.已知当时，代数式，则当时，代数式的值是（）A. B. C. D.12.表示一个两位数，表示一个三位数，把放在的左边组成一个五位数，那么这个五位数可以表示成（）A. B.C. D.二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13.的相反数是________．14.某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室，教室的第一排有个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，若第排有个座位，则、和之间的关系为________15.某品牌商品，按标价八折出售，仍可获得的利润，若该商品标价元，则商品的进价为________元．16.有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简式子：的值为：________．17.对于有理数，，定义一种新运算“”，即，则式子化简后得到________．18.从左到右的每个小格子中填入一个有理数，使得其中任意四个相邻格子中所填的有理数之和都为，则第个格子中应填入的有理数是________．…三、解答题（共6小题，满分46分）19.计算：．20.解方程：．21.已知，，求：的值．22.已知多项式．若多项式的值与字母的取值无关，求，的值；在的条件下，先化简多项式，再求它的值．23.观察下列算式，寻找规律，理由规律解答后面的问题：，，，，…，①请按上述规律填写：________________________；可知：若为正整数，则________．②请你用找到的规律计算：．24.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点、在数轴上分别对应的数为、，则、两点间的距离表示为．根据以上知识解题：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点、在数轴上分别对应的数为、，则、两点间的距离表示为．根据以上知识解题：若数轴上两点、表示的数为、，① 、之间的距离可用含的式子表示为________；②若该两点之间的距离为，那么值为________．的最小值为________，此时的取值是________；已知，求的最大值________和最小值________．答案1. 【答案】B【解析】根据绝对值和倒数的定义求解即可．【解答】解：的绝对值是，的倒数是．故选：．2. 【答案】C【解析】分别利用相反数、绝对值有有理数的乘方分别进行计算验证即可．【解答】解：、、、，所以是负数有两个，故选：3. 【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：，故选：．4. 【答案】B【解析】根据整式的概念对各个式子进行判断即可．【解答】解：；是整式，；不是整式，共两个；故选．5. 【答案】C【解析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出、的值，代入代数式计算即可．【解答】解与是同类项，∴ ，，∴ ，，∴ ，故选：．6. 【答案】A【解析】根据一元一次方程的定义回答即可．【解答】解：、，整理得：，是一元一次方程，故正确；、移项、合并同类项后不含未知数，不是一元一次方程，故错误；、分母中含未知数，不是一元一次方程，故错误；、含有两个未知数，一元一次方程，故错误．故选：．7. 【答案】B【解析】根据等式的性质，两边都乘负，两边都加，可得答案．【解答】解：、时，不一定等于，故错误；，故正确；，，故错误；，故错误；故选：．8. 【答案】D【解析】根据分母分子同时扩大倍后分式的数值不变可得出答案．【解答】解：方程变形得：，所以选．9. 【答案】A【解析】首先根据，且求出的取值范围，然后根据数轴上表示的数的特点，找出在此取值范围内的数．【解答】解：∵ ，∴ ①，又∵，∴ 或 ②，综上①②可知，，∴由图可知，只有点表示的数小于．故选．10. 【答案】D【解析】根据绝对值的定义，可知，时，，，代入，得，由不等式的性质得，则，又，，进而得出结果．【解答】解：∵ ，∴ ；∵ ，∴ ；又∵ ，∴ ；∴ ；而，∴ ．故选．11. 【答案】D【解析】首先根据当时，代数式，可得，据此求出的值是多少；然后把代入代数式，化简，再把的值代入，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵当时，代数式，∴ ，∴ ；当时，∴当时，代数式的值是．故选：．12. 【答案】B【解析】表示一个两位数，放在一个三位数的前边，因而相当于把扩大倍，据此即可列出．【解答】解：∵ 表示一个两位数，表示一个三位数，把放在的左边组成一个五位数，∴相当于把扩大倍，∴表示这个五位数的代数式．故选．13. 【答案】【解析】先求得的值，然后再求相反数即可．【解答】解：．的相反数是．故答案为：．14. 【答案】【解析】因为后面每一排都比前一排多一个座位及第一排有个座位可得出第排的座位数，再由第排有个座位可得出、和之间的关系．【解答】解：由题意得：后面每一排都比前一排多一个座位及第一排有个座位可得出第排的座位数第排的座位数：又第排有个座位故、和之间的关系为．15. 【答案】【解析】设商品的进价为元，由已知按标价八折出售，仍可获得的利润，可以表示出出售的价格为元，商品标价为元，则出售价为元，其相等关系是售价相等．由此列出方程求解．【解答】解：设商品的进价为元，根据题意得：，，．故商品的进价为元．故答案是：．16. 【答案】【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：由题意得：，且，∴ ，，，则原式，故答案为：．17. 【答案】【解析】根据题意，相当于，相当于，先计算前面的部分，然后再与后面的进行计算即可．【解答】解：由题意得，所以．18. 【答案】【解析】根据题意，任意四个相邻格子中的和等于，列出等式，找出规律，计算出，，，，， …的值；再求出第个数是几即可．【解答】解：根据题意，得：，即，，即，∴ ，∵ ，，∴ ，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，由，∴ ，故可以发现，这些有理数的顺序为：，，，，，，，，，…，四个一个循环，可以看出，，∴ ，∴ ，∴第个数是．故答案为：．19. 【答案】解：原式； ; 原式； ; 原式； ; 原式．【解析】原式先计算绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果；; 原式利用乘法分配律及乘法法则计算即可得到结果；; 原式从左到右依次计算即可得到结果；; 原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式； ; 原式； ; 原式； ; 原式．20. 【答案】解：去括号得：，移项合并得：，解得：； ; 去分母得：，移项合并得：，解得：．【解析】方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；; 方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解．【解答】解：去括号得：，移项合并得：，解得：； ; 去分母得：，移项合并得：，解得：．21. 【答案】解：，又因为，，所以．【解析】先把要求的式子去括号，然后再合并同类项，最后把，代入式子即可求值．【解答】解：，又因为，，所以．22. 【答案】解：原式，由结果与取值无关，得到，，解得：，；; 原式，当，时，原式．【解析】原式去括号合并后，根据结果与取值无关，即可确定出与的值；; 原式去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式，由结果与取值无关，得到，，解得：，；; 原式，当，时，原式．23. 【答案】,,,【解析】①等式的左边是相差为的两个数相乘，再加上；右边是两个数的平均数的平方．根据这一规律用字母表示即可；②将括号内先通分，再利用以上规律变形，最后约分即可得．【解答】解：①第个式子为：第个式子为：第个式子为：第个式子为：…∴第个式子为：，第个式子为：，故答案为：，，，；②原式．24. 【答案】,或,,,,【解析】直接将原提取因而得出的因子．【解答】解：∵ ，∴ ，是式因子．故选：。
2017-2018学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C． D．104．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（）A．充要条件 B．充分部必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B． C．﹣2 D．26．已知△ABC面积为3，A=，AB=2，则BC=（）A．B．2 C．2D．37．如果将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，那么m的最小值为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0 C．1 D．9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．10．设函数f（x）=3|x|﹣，则使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．D．11．已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣，﹣2）D．（，+∞）二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．若sin（α﹣）=，则cos（α+）=．14．若，则a，b，c三者的大小关系为．（用＜表示）．15．已知体积为3的正三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=，则此球的表面积等于．16．在f（x）=sinωx+acosωx的图象与直线y=的交点中，三个相邻交点的横坐标分别为π，3π，7π，则f（x）的单调递减区间为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx的最小正周期T=π（1）求出ω的值；（2）求f（x）得单调区间．18．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c﹣b）cosA=acosB （1）求A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4（1）求证：DE⊥面PAC（2）取PD中点Q，求三棱锥P﹣QBE体积．20．如图，已知P（x0，y0）是椭圆C：=1上一点，过原点的斜率分别为k1，k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=分别相切于A，B两点．（1）若椭圆离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，求k1k2的值．21．已知函数f（x）=lnx+（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）讨论f（x）的零点个数．从22-23两小题中选一题作答，若两题都作，则按第一题给分．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l：（t为参数）与曲线C交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）求|MN|．23．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．（1）求实数a，b的值；（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣．故选：D．2．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】补集及其运算；交集及其运算．【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选D3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C． D．10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】由题意可得=0，由此解得x的值，可得+的坐标，从而根据向量的模的计算公式求得|+|的值．【解答】解：由题意可得=（x，1）•（1，﹣2）=x﹣2=0，解得x=2．再由+=（x+1，﹣1）=（3，﹣1），可得|+|=，故选B．4．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（）A．充要条件 B．充分部必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】考查四个选项知，可先证充分性，由，“A＞B”推导“sinA＞sinB”，分A是锐角与A 不是锐角两类证明即可；再证必要性，由于在（0，π）上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出正确选项即可【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，此时有sin（π﹣A）=sinA＞sinB综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，故选A5．已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B． C．﹣2 D．2【考点】三角函数的化简求值．【分析】先在sin2α﹣sinαcosα加上分母1，即，然后分子分母同时除以cos2α即可得到关于tanα的关系式，进而得到答案．【解答】解：因为sin2α﹣sinαcosα====．故选A．6．已知△ABC面积为3，A=，AB=2，则BC=（）A．B．2 C．2D．3【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求AC的值，进而利用余弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵A=，AB=2，△ABC面积为3=AB•AC•sinA=，∴解得：AC=6，∴BC===2．故选：C．7．如果将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，那么m的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后所得函数为y=cos（2x+2m﹣），再根据所得图象对应函数为偶函数，可得2m﹣=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．【解答】解：将函数y=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为y=cos[2（x+m）﹣]=cos（2x+2m﹣），再根据所得图象对应函数为偶函数，可得2m﹣=kπ，k∈z，即m=+，故m的最小值为，故选：A．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0 C．1 D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象可确定振幅A及周期T，继而可求得ω=2，利用曲线经过（，2），可求得φ，从而可得函数解析式，继而可求f（）的值．【解答】解：由图知，A=2，T=﹣=，∴T==π，解得ω=2，又×2+φ=2kπ+（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin=．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图确定该几何体的构成，利用相应的体积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体的上部分为四棱锥，下部分为半个圆柱．则圆柱的高为2，底面圆的半径为1，∴半圆柱的体积为，∵正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，∴四棱锥底面正方体的边长为2，四棱锥的高为，∴四棱锥的体积为，∴该几何体的体积为，故选：C．10．设函数f（x）=3|x|﹣，则使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意，函数是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（2x﹣1），化为|x|＞|2x﹣1|，即3x2﹣4x+1＜0，从而可得使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围．【解答】解：由题意，函数是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）＞f（2x﹣1），∴|x|＞|2x﹣1|，∴3x2﹣4x+1＜0，∴．故选A．11．已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的最值．【分析】利用三角恒等变换可得f（x）=2sin，依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）=sin+cos=sin2014x+cos2014x+cos2014x+sin2014x=sin2014x+cos2014x=2sin，∴A=f（x）max=2，周期T==，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：A．12．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣，﹣2）D．（，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|xe x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．【解答】解：f（x）=|xe x|=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（﹣∞，﹣）．故选A．二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．若sin（α﹣）=，则cos（α+）=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】直接利用诱导公式把要求的式子化为﹣sin（α﹣），利用条件求得结果．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin[﹣（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故答案是：﹣．14．若，则a，b，c三者的大小关系为c＜a＜b．（用＜表示）．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数和指数函数比较a，b，c与0，1的关系，即可得到答案．【解答】解：∵，∴0＜a＜b＜1，c＜0，∴c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．15．已知体积为3的正三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=，则此球的表面积等于．【考点】球的体积和表面积．【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【解答】解：由题意可知：AA1=3，∴AA1=4正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：=．所以外接球的表面积为：4π（）2=．故答案为：．16．在f（x）=sinωx+acosωx的图象与直线y=的交点中，三个相邻交点的横坐标分别为π，3π，7π，则f（x）的单调递减区间为[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）．【考点】函数与方程的综合运用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w的值，再由当x=2π时函数取得最大值确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．【解答】解：∵函教f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=的三个相邻交点的横坐标分别是π，3π，7π，∴当x=2π时函数取得最大值，当x=5π时函数取得最小值，T=6π，且在区间[2π，5π]上单调递减，所以原函数递减区间[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）故答案：[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx的最小正周期T=π（1）求出ω的值；（2）求f（x）得单调区间．【考点】正弦函数的单调性．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．（2）根据f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx=2sinωx•（﹣）﹣2cosωx•+2sinωx=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）的最小正周期T=||=π，∴ω=±2．（2）①当ω=2时，f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2x+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．同理，令2kπ+≤2x﹣≤2x+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．②当ω=﹣2，f（x）=2sin（﹣2x﹣）=﹣2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2x+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．同理，令2kπ+≤2x+≤2x+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．18．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c﹣b）cosA=acosB （1）求A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理和三角函数公式可得cosA=，可得A=；（2）由余弦定理结合基本不等式可得4=b2+c2﹣bc≥2bdc﹣bc，可得bc的最大值，进而可得△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵（2c﹣b）cosA=acosB，∴由正弦定理可得（2sinA﹣sinB）cosA=sinAcosB，变形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，∵C为三角形的内角，sinC≠0，∴cosA=，A=；（2）∵由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，代入数据可得4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c时取等号，∴△ABC的面积S=bcsinA=bc≤，当且仅当b=c时取等号，∴△ABC的面积的最大值为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4（1）求证：DE⊥面PAC（2）取PD中点Q，求三棱锥P﹣QBE体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出DE⊥AC，PA⊥DE，由此能证明DE⊥面PAC（2）取PD中点Q，三棱锥P﹣QBE体积，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4，∴在梯形ABCD中，tan∠ADE=2=tan∠BAC，∴∠ADE=90°﹣∠DAC，∴DE⊥AC，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DE，∵PA∩AC=A，∴DE⊥面PAC解：（2）取PD中点Q，∴三棱锥P﹣QBE体积：==．20．如图，已知P（x0，y0）是椭圆C：=1上一点，过原点的斜率分别为k1，k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=分别相切于A，B两点．（1）若椭圆离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，求k1k2的值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意，=，b=1，可得a=2，即可求椭圆的标准方程；（2）推导出k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的两根，由此能利用韦达定理能求出k1k2值．【解答】解：（1）由题意，=，b=1，∴a=2，∴椭圆方程为=1；（2）由圆P与直线OA：y=k1x相切，可得=，即（4﹣5x02）k12+10x0y0k1+4﹣5y02=0，同理，（4﹣5x02）k22+10x0y0k2+4﹣5y02=0，即有k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的两根，可得k1k2===﹣．21．已知函数f（x）=lnx+（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）讨论f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，根据函数的极值的个数从而求出a的范围；（2）通过讨论a的范围，判断函数的零点个数．【解答】解：f′（x）=+=，（1）△＞0，﹣＞0，即a＜﹣4时，f′（x）有2个不同正根，则f（x）在（0，），（，+∞）递增，在（，）递减，此时函数有2个极值点，当a≥﹣4时，（x+1）2+ax≥（x+1）2﹣4x≥0，f′（x）≥0，此时不成立，故a＜﹣4；（2）x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→+∞，由（1）a≥﹣4时，f′（x）≥0，此时恰有1个零点，a＜﹣4时，f（x）在x0=取极大值，此时f（x0）=lnx0﹣=lnx0﹣（x0+1），设g（x）=lnx﹣（x+1），g′（x）=﹣1，则g（x）在x=1处取极大值﹣2，即g（x）恒小于0．从22-23两小题中选一题作答，若两题都作，则按第一题给分．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l：（t为参数）与曲线C交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）求|MN|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程．（2）直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣4x﹣4=0，利用根与系数的关系及其|MN|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，可得直角坐标方程：y2+4y﹣（x2+y2）=0，即x2=4y．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：y=x+1．（2）联立，化为：x2﹣4x﹣4=0，∴|MN|===8．23．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．（1）求实数a，b的值；（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，利用条件建立方程组，即可求实数a，b的值；（2）利用|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|，即可证明结论．【解答】（1）解：关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，∵关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]，∴，∴a=2，b=4；（2）证明：∵实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，∴|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|＜=．2016年12月20日。
重庆市南开中学初2018级2018-2018学年七年级上期末数学试题（本卷总分100分，时间120分钟）注意：请将答案填入答题卷中。
一、选择题（每小题2分，共20分） 1、2-的相反数是 A 、2-B 、12C 、12-D 、22、如图为我县十二月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高 A 、3-℃B 、7℃C 、3℃D 、7-℃3、下面几何体的主视图是4、单项式275x y -的系数和次数是 A 、7,35- B 、7,25- C 、7,35D 、7,255、掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子。
观察向上的一面的点数，下列属必然事件的是 A 、出现的点数是7 B 、出现的点数为奇数 C 、出现的点数是2D 、出现的点数不会是06、下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是3x =，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是A 、4B 、4-C 、14-D 、147、如图，在44⨯的正方形网格中，1,2,3∠∠∠的大小关系是 A 、123∠>∠>∠ B 、123∠=∠>∠ C 、123∠<∠=∠D 、123∠=∠=∠8、三角形的一条边长是3a +，第二条边比第一条边长4a -，第三条边是第二条边与第一条边的差的2倍，那么这个三角形的周长为 A 、59a +B 、29a +C 、56a -D 、10a +9、已知线段10AB cm =，点C 是直线．．AB ．．上一点，4BC cm =，若M A C 是的中点，N BC 是的中点，则线段MN 的长度是 A 、7cmB 、3cmC 、7cm 或3cmD 、5cm10、小明和哥哥在环形跑道上练习长跑，速度保持不变，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次。
现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥和小明刚好相遇了20次（出发时不算），则哥哥速度是小明速度的（ ）倍。
A 、1.5B 、2C 、3D 、4二、填空题（每小题2分，共30分）11、2018年，财政部财政拨款开支的“三公经费”实际发生额为4172.01万元，其中公务接待费支出约为3680000元，用科学记数法表示3680000元为 元。
2018重庆中考数学第17题专题训练三1、重庆南开（触侨）中学初 2018 届九上入学
2、重庆南开（触侨）中学初 2018 届九上阶段测试一
3、重庆南开（触侨）中学初 2018 届九上阶段测试二
答案：1400
4、重庆南开（触侨）中学初 2018 届九上阶段测试三
17、南南周末去看电影，在电影院门口忘记带票，遂边打电话给父亲便往家走，希望父亲能帮忙送来。
1分钟后，父亲在家找到票开始往电影院走，再过8分钟两人相遇，父亲立即将票给南南，南南马上把速度提高到2
3倍跑向电影院，30秒后两人相距60米时，父亲才以不变的速度返家。
两人的距离y （米）与南南出发的时间x （分）之间的关系如图所示，则当南南回到电影院门口时，父亲离家还有_______米。
5、重庆南开（触侨）中学初 2018 届九上半期
4、重庆市巴蜀中学2017-2018学年九年级上第三次月考
17、某国家“5A”级景区某日迎来客流高峰，从索道开始运行前3小时开始，每小时都有a名游客源源不断地涌入候客大厅排队，索道每小时运送b名游客上山索道运行2小时后，景区调来若干辆汽车和索道一
起送游客上山，其中每小时有7
5
b名游客乘坐汽车上山，5小时后，在候车大厅排队的游客人数降至1000
人。
候客大厅排队的游客人数y（人）与游客开始排队后的时间x（小时）之间的关系如图所示，则a= .
第17题图
5、重庆一中2017-2018学年度初三上周考
6、重庆一中初2018级初三上第二次定时作业。
重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1、下列说法正确的是（）A、-1 NB、、、2 QC、二-RD、：二Z2、已知全集U=R，集合A = {123,4,5},B={x E Rx X2}，则右图中阴影部分所表示的集合为（）A、1B、：0,1?C、d,2?D、：0,1,2/3、给定映射f: x,y〕[x，2y,2x-y，在映射f下3,1的原像为（）A、1,3B、3,1C、1,1D、5,54、x y 2”是*且y”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件5、已知函数，其定义域为（）x -4A、一:：,1B、一: ,2C、一：：，—2U—2,1D、||1,2 U 2,6、已知函数f x 1 =3x 1，则f(x)的解析式为( )A、f x =3-2xB、f x =2-3xC、f x i；=3x-2D、f x i=3x7、已知y = f x 1是R 上的偶函数，且f 2 =1，则f 0二（ A 、 -1B 、0C 、18函数y *二x 2 2x 8的单调递增区间是（ ）A 、 -：：,1B 、 -2,1C 、1,4已知奇函数f x 在0,；上的图象如图所示, A 、 弋一1 U0,1 U1,3 B 、 0-1 U 0,1 U 3,C 、［一匚片七 U -1,MJ 3,：：D 、 -：：, -3 U -1,0 U 0,110、 已知函数 f x i —x 2 -2x,g x j=ax ■ 2 a • 0，若对任意 x v R ，都存在 x 2 ||-2, •::，使得 f 为g x 2 ，则实数a 的取值范围是（ ）A 、3, ：：B 、0, ：：C 、0,3D 、3,312丿 \ 丿 12丿 €丿11、 已知集合 A =｛x x 2—2x-3 A 。
重庆市沙坪坝区南开中学2018-2019学年七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列有理数最小的是()A. B. C. D.−210−8【答案】D【解析】解：∵−8<−2<0<1，∴有理数最小的是−8，故选：D．根据正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小解答即可．本题考查了有理数的大小比较，非常简单，要注意：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小；先分类比较，再判断两个负数的大小．2.如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为()A.B.C.【答案】A【解析】解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选：A．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3. 如果以学校为起点，沿风临路向东走记为正，向西走记为负，蓉蓉放学后从学校出发，先走了−20米，又走了+30米，此时蓉蓉离学校的距离是()A. B. C. D. 10 米20 米 30 米 50 米【答案】A【解析】解：−20 + 30 = 10， 答：此时蓉蓉离学校的距离是 10 米， 故选：A ．蓉蓉放学后从学校走了−20米，又走了+30米，求出两个数的和即可判断． 本题考查正负数的定义、距离等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于基础题． 4. 下列各式运算中正确的是()A. B. D. 3x + 2y = 5xy3x + 5x = 8x 2 C. 10xy 2 − 5y 2x = 5xy 210x 2 − 3x 2 = 7【答案】C【解析】解：A 、3x + 2y 无法计算，故此选项错误； B 、3x + 5x = 8x ，故此选项错误；C 、10xy− 5y x = 5xy ，故此选项正确； 2 2 2 D 、10x − 3x = 7x ，故此选项错误； 2 2 2 故选：C ．直接利用合并同类项的法则分别分析得出答案．此题主要考查了合并同类项，正确把握合并同类项法则是解题关键． 5. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是()A. B. C. D. 圆锥圆柱 球体 以上都有可能【答案】B【解析】解：A 、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、三 角形，不可能是四边形，故 C 选项错误；B 、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是圆、椭圆、四边形，故 B 选项正确；C 、用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，故A 选项错误；D 、根据以上分析可得此选项错误； 故选：B ．根据圆锥、圆柱、球体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到 的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．本题考查了圆锥、圆柱、球体的几何特征，其中关键是熟练掌握相关旋转体的几何特征， 培养良好的空间想像能力． 6. 下列说法正确的是()A. B. D. 绝对值等于本身的数是正数 有理数不是正数就是负数−a 是负数 C. 分数都是有理数【答案】D【解析】解：A .绝对值等于本身的数还有 0，故 A 不符合题意； B.−a 是正数，0，负数，故 B 不符合题意； C 、有理数还包括 0，故 C 不符合题意； D 、分数都是有理数，故 D 符合题意； 故选：D ．根据有理数的分类，有理数的意义，绝对值的性质，可得答案．本题考查了有理数，利用有理数的分类，有理数的意义，绝对值的性质是解题关键． 7. 下列各数(−7) 、−7 、0、−| − 7|、(−7) 中，负数有(2 43 )A. B. C. D. 1 个2 个3 个4 个【答案】C【解析】解：(−7)2是正数，−74是负数，0、−| − 7| = −7是负数、(−7)3是负数， 故选：C ．根据去括号法则、有理数的乘方法则、绝对值的性质进行计算，判断即可．本题考查的是正数和负数、绝对值、有理数的乘方，掌握相关的概念和性质是解题的关 键．8. 下列各式，去括号正确的是()B. D. A.C. a − [−(−b + c)] = a − b + c x 2 − (2y − z) = x 2 − 2y − zm − 2(p − q) = m − 2p + qa + (b −c − 2d) = a + b − c + 2d【答案】B【解析】解：A 、x 2 − (2y − z) = x 2 − 2y + z ，故此选项错误； B 、a − [−(−b + c)] = a − (b − c) = a − b + c ，正确； C 、m − 2(p − q) = m − 2p + 2q ，故此选项错误； D 、a + (b − c − 2d) = a + b − c − 2d ，故此选项错误； 故选：B ．直接利用去括号法则分别计算得出答案．此题主要考查了去括号法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9. 随着收入逐年提高，小伟家将购买改善型住房提上议事房屋面积用代数式表示正确的是()ad + bcB. ab − cdC. ad + c(b − d)D. c(b − d) + d(a − c)【答案】C【解析】解：此房屋面积用代数式表示为：ad+c(b−d)，故选：C．根据图形可以得到这套房子的总面积．本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．10.若代数式a+2a−5的值是6，则代数式2a+4a+7的值是()22A. B. C. D.12192229【答案】D6，【解析】解：由a2+2a−5的值是可得：a2+2a=11，把a2+2a=11代入2a2+4a+7=2(a2+2a)+7=22+7=29，故选：D．把a2+2a=11整体代入解答即可．此题考查代数式求值，关键是整体代入法的应用．11.正方体的六个面上分别写有“重庆南开中学”这六个字，将正方体按三种不同的方式摆放，如图为从前米看到的三个不同的图形，则可以确定“南”字对面的字是( )A. B. C. D.重庆开中【答案】A【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，在原正方体中与“南”字对面的字是重．故选：A．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．12.如图，是一组按某种规律摆放而成的图案，其中图1有1个三角形，图2有4个三角形，图3有8个三角形，……，照此规律，则图8中三角形的个数是()A. B. C. D.32282216【答案】B【解析】解：第一个图案有三角形1个，第二图案有三角形1+3=4个，第三个图案有三角形1+3+4=8个，第四个图案有三角形1+3+4+4=12，…第n 个图案有三角形4(n−1)个，第8 个图中三角形的个数是4×(8−1)=28．故选：B．由图可知：第一个图案有三角形1 个，第二图案有三角形1+3=4个，第三个图案有三角形1+3+4=8个，第四个图案有三角形1+3+4+4=12，…第n个图案有三角形4(n−1)个，由此得出规律解决问题．本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．二、填空题（本大题共21小题，共44.0分）13.若a与−6互为倒数，则a=______．1【答案】−6【解析】解：∵a与−6互为倒数，∴−6a=1，1解得：a=−．61故答案为：−．6直接利用倒数的定义进而得出答案．此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．14.电影《碟中谍6》以406 000000元的票房碾压全场，占到当周票房的59.36%，其中数字406 000 000用科学记数法表示为______．【答案】4.06×108【解析】解：将406 000000用科学记数法表示为：4.06×108．故答案是：4.06×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15.四棱柱有______条侧棱．【答案】4【解析】解：四棱柱有4 条侧棱，故答案为：4．根据立体图形，即可解答．本题考查了棱柱的特征，解题时可以运用一般规律：n 棱柱有(n+2)个面，2n个顶点和3n条棱．16.单项式−πx y的系数是______．23【答案】−π【解析】解：单项式−πx2y3的系数是−π，故答案为：−π．直接根据单项式系数的定义进行解答即可．本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键．17.某公交车上原有10个人，经过两个站点时乘客上下车情况如下(上车为正，下车为负)：(+2,−3)、(+8,−5)，则此时车上还有______人.【答案】12【解析】解：10+(−3)+2+8+(−5)=12(人)，故答案为：12人．根据有理数的加法，原有人数，上车为正，下车为负，可得答案．本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．18.比较大小：−3.8______−|−3.9|．【答案】>【解析】解：∵|−3.8|=3.8，|−|−3.9|=3.9，∵3.8<3.9，∴−3.8>−|−3.9|，故答案为：>根据两个负数，绝对值大的其值反而小解答即可．本题考查了有理数的大小比较，非常简单，要注意：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小；先分类比较，再判断两个负数的大小．19.当x=______时，代数式(x+5)+1有最小值为______．2【答案】−511．【解析】解：当x=−5时，代数式(x+5)2+1有最小值为：故答案为：−5，1．直接利用非负数的性质进而得出答案．此题主要考查了非负数的性质，正确掌握偶次方的性质是解题关键．20.对于任意有理数a、b，定义新运算：a⊗b=a+2b，则1⊗(−2)=______．2【答案】−3【解析】解：根据题中的新定义得：1⊗(−2)=12+2×(−2)=1−4=−3．故答案为：−3原式利用题中的新定义计算即可得到结果．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9 21. 绝对值不大于 的非正整数的和是______．2【答案】−109 【解析】解：绝对值不大于 的非正整数有−4，−3，−2，−1，0，2所以−1 − 2 − 3 − 4 + 0 = −10 故答案为：−10根据绝对值的意义，可到答案．9 本题考查了有理数大小比较，理解绝对值不大于 的非正整数是解题关键．2c= 3，则 2c − a −2b − 5 =______．22. 已知a −2b a −2bc 3【答案】4 c = 3代入可得： 2c − a −2b5 3 【解析】解：把 − a −2b a −2b cc1 c 5 3 =2 ⋅ −− a − 2ba − 2b1 5= 2 × 3 − −3 3= 4， 故答案为：4根据整体代入求值即可．此题考查代数式求值，关键是根据整体代入求值解答．23. 若|x + 2| + (y − 3) = 0，则x=______． 4 y 【答案】−8【解析】解：∵ |x + 2| + (y − 3)4 = 0， ∴ x + 2 = 0，y − 3 = 0， 解得：x = −2，y = 3， 则x y = −8． 故答案为：−8．直接利用绝对值以及偶次方的性质得出 x ，y 的值进而得出答案． 此题主要考查了非负数的性质，正确得出 x ，y 的值是解题关键． 24. 若代数式−2a b 与9a b 是同类项，则m + n =______． 4 3+m 2n 2 【答案】1【解析】解：∵代数式−2a 4b 3+m 与9a 2n b 2是同类项， ∴ 2n = 4，3 + m = 2， 解得：n = 2，m = −1， 则m + n = 1． 故答案为：1．直接利用同类项的定义得出 ， 的值，进而得出答案．m n此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．25. 若 、 互为倒数， 、 互为相反数(且cd ≠ 0)，|m| = 1，则(2c + 2d) − ab + + c a b c ddm =2 ______ ． 【答案】−1【解析】解：∵ a 、 互为倒数， 、 互为相反数(且cd ≠ 0)，|m| = 1， b c d ∴ ab = 1、c + d = 0、 = −1、m = 1，c 2 dc+ m = 0 −1 − 1 + 1 = −1． 则(2c + 2d) − ab + 故答案为：−1．2 dc= −1、m = 1，代根据相反数、倒数、绝对值的定义和性质得出ab = 1、c + d = 0、 2 d入求出即可．本题考查了相反数、倒数、绝对值，有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，能根 c= −1、m = 1是解此题的关键．据相反数、倒数、绝对值求出ab = 1、c + d = 0、 2 d26. 观察下列关于 的单项式，探究其规律：−2x ，4x ， ，8x ，−10x ，… …， x 3 −6x 57 9 按照上述规律第 个单项式是______ ． 2018 【答案】4036x 2018【解析】解：奇数个单项式的系数为负，偶数个为正，第 个单项式系数绝对值是 ，2nn 指数是 ，n故第 个单项式是4036x 2018， 2018 故答案为：4036x 2018．系数规律：第奇数个是负，偶数个为正，绝对值是连续偶数；指数与序号数相同． 本题考查单项式的系数指数规律.应从系数符号、绝对值、指数三个方面逐步突破．27. 若(a − 2)x y 是关于 、 的五次单项式，则(a + 1) = ． 2 |a |+1 x y3 ______ 【答案】−1【解析】解：由(a − 2)x y 是关于 ， 的五次单项式，得x y2 |a |+1 |a | + 1 + 2 = 5且a − 2 ≠ 0，解得a = −2．把a = −2代入(a + 1)3 = −1， 故答案为：−1．根据单项式的次数，可得关于 的方程，根据解方程，可得答案．a本题考查了单项式，利用单项式的次数得出关于 的方程是解题关键．a28. 已知|a | = 1，b = 64，且|a + b| = a + b ，则代数式a − b 的值为______．2 【答案】−7或−9【解析】解：∵|a|=1，b2=64，∴a=±1，b=±8，∵|a+b|=a+b，∴a+b≥0，则a=1，b=8或a=−1，b=8，当a=1，b=8时，a−b=1−8=−7；当a=−1，b=8时，a−b=−1−8=−9；综上，a−b的值为−7或−9，故答案为：−7或−9．由a|=1，b2=64知a=±1，b=±8，再由|a+b|=a+b知a+b≥0，据此得a=1，b=8或a=−1，b=8，分别代入计算可得．本题主要考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质、有理数的加减运算法则和代数式的求值．29.已知有理数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则化简代数式|a+2|−|a−b|+|b−1|的结果为______．【答案】−3【解析】解：由图形可知−3<a<−2，1<b<2，且|a|>|b|，∴a+2<0，a−b<0，b−1>0∴|a+2|=−a−2，|a−b|=−a+b，|b−1|=b−1∴|a+2|−|a−b|+|b−1|=−a−2+a−b+b−1=−3故答案为−3．根据图形可判断−3<a<−2，1<b<2，且|a|>|b|，于是可由此判断每个绝对值内的正负，根据正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数进行化简．本题主要考查绝对值的化简及有理数的加减运算，用几何方法借助数轴来求解，先判断每个绝对值内表示的数的正负，掌握绝对值的计算法则是关键．30.若代数式(2ax+4x−6y+1)−(bx−2bx+11y+2)的值与x的取值范围无关，22则ab=______．【答案】2【解析】解：原式=2ax2+4x−6y+1−bx2+2bx−11y−2=(2a−b)x+(4+2b)x−17y−12由于该代数式与x的值无关，故2a−b=0，4+2b=0，∴a=−1，b=−2，∴ab=2，故答案为：2根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．31. 结合图形计算： + + + + + +1 1 1 1 1 1 1248163264 128127【答案】 1281 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1= 1 −1= 127 【解析】解： ，2 4 8 16 32 64 128 128128127故答案为： ．128根据图象了解到所有数字的和等于整体 减去最后剩余的一部分，从而求解． 1本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够了解巧妙的算法，而不是直接求和． 32. 用若干个相同的小立方块搭一个几何体，使它主视图、俯视图【答案】10【解析】解：由主视图可知，它自下而上共有 列，第一列 块，第二列 块，第三列3 3 2块．1 由俯视图可知，它自左而右共有 列，第第一列 块，第二列 块，第三列 块，从空3 3 2 1中俯视的块数只要最底层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定； 并且最少时为7 + 2 + 1 = 10块．故答案为： ．10由于主视图第一列为 层，故俯视图中第一列至少有一个是 层的，其余可是1～3层， 3 3 同时可分析第 列和第三列，进而得到答案．2本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题，难度中等． 33. 一辆快车和一辆慢车相向而行，快车行驶 千米时，与慢车相遇，两车同时停1410 止行驶，已知快车从乙站开出，每小时行驶 千米，中途不停靠，快车出发 120 25 分钟后慢车从甲站开出，慢车每小时行驶 千米，每行驶 小时到达一个观光站48 1点，第一站点停靠 分钟，第二个站点停靠 分钟，第三个站点停靠 分钟，… …， 5 10 15 第 个站点停靠 分钟，则甲、乙两站相距______千米． n 5n【答案】1810141 【解析】解：根据题意得，快车行驶的时间为1410 ÷ 120 = 小时， 12所以，慢车出发的时间为 − = 136 = 34 = 11 1小时，141 25 12 60 12 3 3 5+10+15+⋯+5n≤ 11 1 由n × 1 + 可得最大整数解n = 8 60 3∴慢车停靠了 8 个站的时间= 8 × 1 + (5 + 10 + 15 + ⋯…. +40) ÷ 60 = 11，然后再行驶 1小时时与快车相遇3 ∴甲、乙两站相距= 1410 + 8 1 × 48 = 18103故答案为 1810．141 1 先计算快车的行驶时间为 小时，减去 25 分钟即为慢车的出发时间为11 小时，由(5 + 12 310 + 15 + ⋯ + 5n) ÷ 60 + n ≤ 111 的最大整数解可知n = 8，于是可知慢车停靠了 个 8 31 站之后再行驶 小时的时候与快车相遇． 3本题考查了行程问题的数量关系在解实际问题中的运用，并借助不等式的最大整数解解 决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关 系，再求解．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．31. 结合图形计算： + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128127【答案】 1281 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 − 1= 127 【解析】解： ， 2 4 8 16 32 64 128 128 128127故答案为： ． 128 根据图象了解到所有数字的和等于整体 减去最后剩余的一部分，从而求解． 1 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够了解巧妙的算法，而不是直接求和．32. 用若干个相同的小立方块搭一个几何体，使它主视图、俯视图【答案】10【解析】解：由主视图可知，它自下而上共有 列，第一列 块，第二列 块，第三列 3 3 2 块．1 由俯视图可知，它自左而右共有 列，第第一列 块，第二列 块，第三列 块，从空 3 32 1 中俯视的块数只要最底层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为7 + 2 + 1 = 10块．故答案为： ． 10 由于主视图第一列为 层，故俯视图中第一列至少有一个是 层的，其余可是1～3层， 3 3 同时可分析第 列和第三列，进而得到答案． 2 本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题，难度中等．33. 一辆快车和一辆慢车相向而行，快车行驶 千米时，与慢车相遇，两车同时停1410 止行驶，已知快车从乙站开出，每小时行驶 千米，中途不停靠，快车出发 120 25 分钟后慢车从甲站开出，慢车每小时行驶 千米，每行驶 小时到达一个观光站 48 1 点，第一站点停靠 分钟，第二个站点停靠 分钟，第三个站点停靠 分钟，… …， 5 10 15 第 个站点停靠 分钟，则甲、乙两站相距______千米． n 5n 【答案】1810141 【解析】解：根据题意得，快车行驶的时间为1410 ÷ 120 = 小时， 12所以，慢车出发的时间为 − = 136 = 34 = 11 1小时，141 25 12 60 12 3 3 5+10+15+⋯+5n≤ 11 1 由n × 1 + 可得最大整数解n = 8 60 3∴慢车停靠了 8 个站的时间= 8 × 1 + (5 + 10 + 15 + ⋯…. +40) ÷ 60 = 11，然后再行驶 1小时时与快车相遇3 ∴甲、乙两站相距= 1410 + 8 1 × 48 = 18103故答案为 1810．141 1 先计算快车的行驶时间为 小时，减去 25 分钟即为慢车的出发时间为11 小时，由(5 + 12 310 + 15 + ⋯ + 5n) ÷ 60 + n ≤ 111 的最大整数解可知n = 8，于是可知慢车停靠了 个 8 31 站之后再行驶 小时的时候与快车相遇． 3本题考查了行程问题的数量关系在解实际问题中的运用，并借助不等式的最大整数解解 决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关 系，再求解．。
1重庆南开（融桥）中学2017-2018学年度（上）初2020级半期数学模拟试题 （满分：150分，时间100分钟）一、精心选一选（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填写在答题卷对应的表格里） 1.2的相反数是（ ） A.21 B. 2 C.21- D.-2 2. 整式-y x 52，0，b a ,1y x 3,232+--π+中的单项式的个数为（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个3. 用一个平面去截长方体，截面不可能是（ ） A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.矩形4. 下列运算正确的是（ ）A.7x-（-3x ）=10B.5a+6b=11abC.ab+2ba=3abD.-(a-b)=a+b 5. 下列各式中，去括号错误的是（ ） A.()y x 2x 3y x 2x322+-=-- B.()2x 43x 2x 43x 22--=+-C.2222b a 2a 5)b a2(a 5--=--+ D.()()2222b a b 3a b a b 3a --+-=+-+-6. 若多项式1x 3x )1k (x223+-+-+中不含2x 项，则k 的值为（ ）A.0B.1C.-1D.不确定7. 下面哪个图形不能拍成一个正方体（8. 线段AB 长为4，C 为线段AB 的中点，延长线段AB 到D ，使BD=AB ，则线段CD 长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 当x=-1时，代数式8bx 3ax 23+-的值为18，这时6b-4a+2的值为（ ）A.20B.22C.-18D.-22210. 将543)3(,)3(,)3(---从小到大排列正确的是（ ）A.543)3()3()3(-<-<- B. 345)3()3()3(-<-<- C.435)3()3()3(-<-<- D. 453)3()3()3(-<-<-11. 主城某楼盘11月份的房价为a 元/2m ，预计12月份房价为8000元/2m 比11月份减少了x%，则11月份的房价为（ ）元/2mA. 8000（1+x%）B. %x 18000+C. ()%x 18000-D. %x 18000-12. 如图，用火柴棒摆出一列正方形图案，第1个图案用了4根，第2个图案用12根，第3个图案用了24根，按照这种方式摆下去，摆出第6个图案用火柴棒的根数是（ ）…… 13. A . 40 B.60 C.84 D.112二、认真填一填（每空2分，共40分，将答案填写答题卷对应的横线上）13.双11来了，剁手的脚步近了，去年“双11”期间，自11日到16日累计进出港快递量达到16089000件，同比增长69.36%，数据16089000用科学记数法表示为:______________。
重庆南开（融侨）中学初2018届九年级（上）阶段测试（一）数 学 试 题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑。
1．在12-，0，2，1-这四个数中最小的数是（ ）A ．12- B ．0C ．2D ．1-2．下列字母是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．计算 (m 3n )2的结果，正确的（ ） A ．m 6n 2 B ．m 5n C ．m 6n D ．m 5n 2 4．下列事件属于必然事件的是（ ） A ．购买一张彩票，中奖 B ．某待产产妇生下一个孩子，是女孩 C ．画一个五边形，内角和是540° D ．写一个一元一次不等式组，有角5．若2,1x y ==-，则代数式x 2-y -1的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若两个相似三角形对应边之比为2：3，则它们对应角的角平分线之比为（ ） A ．4：9 B ．2：3 C ．1：3 D ． 2 : 3 7．若二次根式2x −1 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．12x ≥B ．12x ≤C ．12x >D ．12x ≠8．估计23 +1的值在（ ） A ．2到3之间 B ．3到4之间 C ．4到5之间 D ．5到6之间9．已知二次函数y =(x -1)24-，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．31x -<<B ．1x <-或3x >C ．13x -<<D ．3x <-或1x >10．下列图形都是由相同的☆按一定规律组成的，其中，第①个图形中一共有3个☆，第②个图形中一共有7个☆，第③个图形中一共有13个☆，…，则第⑧个图形中☆的个数为（ ） A ．51 B ．57 C ．73 D ．7411．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目。
微信订阅号：初中英语资源库，获取全套试卷y= 2017-2018 年度南开中学初三第一次月考数学试卷一、选择题（3×12=36） 1.在下列二次函数中，其图像对称轴为直线 x=-2 的是 A . y =（x +2）² B . y =2x ²-2C . y =-2x ²-2D . y =2（x -2）²2.下列图形中，不是中心对称图形的是 A.五角星B . 菱形C . 矩形D . 正方形3 下列说法错误的是 A. 二次函数 y=3x²中，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而增大 B. 二次函数 y=-6x²中，当 x=0 时，y 有最大值 0C. 抛物线 y=ax²（a≠0）中，a 越大图像开口越小，a 越小图像开口越大D.不论 a 是正数还是负数，抛物线 y =a x ²（a ≠0）的顶点一定是坐标原点4. 抛物线 y =2x ²-2 x +1 与坐标走的交点个数是 个A . 0B . 1C . 2D . 35. 抛物线 1-x ²+ 2 5 5 x-1，经过配方化成 y=a （x-h ）²+k 的形式是A . y =- 1 （x +1）²- 4B . y =- 1 （x -1）²+ 45 5 5 5 C . y =- 1 （x -1）²- 4 D . y =- 1 （x +1）²+ 45 5 5 56. 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高 y （m ）与水平的距离 x （m ）之间的函数关系式为 1y=-12x²+ 23x+ 5 3，则该运动员的成绩是A. 6m B . 12m C . 8m D . 10m7.△A B C 的顶点坐标分别是 A （4,6），B （5,2），C （2,1），如果将△A B C 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°，得到A’B’C’，那么点 A 的对应点 A’的坐标是 A . （-3,3） B . （3,-3）C . （-2,4）D . （1,4）8. 在下列4 个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有①设正方形的边长为 x ，面积为 y ，则 y 与 x 的函数关系；②x 个球队参加比赛，每两个对之间比赛一场，则比赛的场次数 y 与 x 之间的函数关系 ③设正方形的棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 与 x 的函数关系④若一辆汽车以 120k m /h 的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程 y （k m ）与行驶时间 x （h ）的函数关系 A. 1 个 B . 2 个C . 3 个D . 4 个9. 已知二次函数 y =（x -m ）²-1，当 x ≤3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 A . m =3B . m ＞3C . m ≥3D . m ≤3中点y=+ 10. 函数 y=-x²+1 的图像大致为A.B .C .11.如图，将△A B C 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到△A D E ，此时点 C 恰好在线段 D E 上，若∠B =40°，∠C A E =6则∠D A C 的度数为A . 15°B . 20°C . 25°D . 30°12. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm ，3dm ，2dm ，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是dA. 20B. 25 C . 20 D . 25二、填空题（6×3=18） 13. 若 y=（a+2）x²-3x+2是二次函数，则 a 的取值范围是14.如图是抛物线 y =a x ²+b x +c （a ≠0）图像的一部分，已知抛物线的对称轴是直线 x =2，与 x 轴的一个交点是（-1,0），有下列结论：①a b c ＜0；②4a +b =0；③抛物线与 x 轴的另一个交点是（5,0）；④若点（-21，），y （5， y 2）都在抛物线上，则有 1y ＜y 2，请将正确选项的序号都填在横线上15. 若抛物线 y =（x -m ）²+（m +1）的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为16.如图所示，A ，B 分别是 6×6 正方形网格上的两个抽对称图形（阴影部分），其面积分A 别，为S B （S 网格中最小的正方形面积为 1 个平方单位），请观察图形并解答下列问题。
2017-2018 年度南开区初三期中考试数学试卷一、选择题（3×12=36）1. 关于x 的一元二次方程x²+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的可以取的数值为 A. 49 B. 47 C. 9 D. 72. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是A. B. C. D.3. 对于二次函数y=-（x-1）²+2的图像与性质，下列说法正确的是A. 对称轴是x=1，最大值是2B. 对称轴是x=1，最小值是2C. 对称轴是x=-1，最大值是2D. 对称轴是x=1，最小值是24. 不论x 为何值，函数y=ax²+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是A. a＞0，△＞0B. a＞0，△＜0C. a＜0，△＜0D. a＜0，△＞05. 如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，B 是弧AC 的中点，M 是半径OD 上任意一点，若BDC=40°，则∠AMB 的度数不可能是A. 45°B. 60°C. 75°D. 85°6. 下列命题中，正确的是A. 圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B. 三点确定一个圆C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D. 弦的垂直平分线必经过圆心7. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点O 重合，AF∥x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O顺时针旋转n 次，每次旋转60°，当n=2017时，顶点A 的坐标为A. （4,0）B. （-4,0）C. （2，23）D. （-2，23）8. 如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，点M 为BC 中点，点N 为DE 中点，则∠MON 的大小为A. 108°B. 144°C. 150°D. 166°9. 已知⊙O 的半径为R，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c 的值为A. 1：2：3B. 3：2：1 C 1:2:3 D. 3:2:110. 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，将射线AC 绕点A 按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360）得到射线AE，点M 是点D 关于射线AE 的对称点，则线段CM 的最小值为11. 在同一平面坐标系中，函数y=mx+m 和y=-mx²+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图像可能是A. B. C. D.12. 如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax²+bx+c 的图像都经过y 轴上D 点，抛物线与x 轴交于A、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD，直线y=kx+c 与x 轴交于点C（点C 在点B 的右侧），则下列命题中正确命题的个数是：①abc＞0；②3a+b＞0；③-1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（3×6=18）13. 点P（2，-1）关于原点的对称点坐标为（-2，m），则m=14. 二次函数y=x²+3x-2，当x 满足 时，y 随x 的增大而增大15. 将二次函数y=x²+1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数解析式为16. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A’B’C，M 是BC 的中点，P 是A’B’的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是17. 受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元，则该企业从2014年到2016年利润的平均增长率为 ；若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润 （填“能”或“不能”）超过3.4亿元18. 已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD 交AB 于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E 做弦GF⊥BC 交圆于G、F 两点，连接CF，BG，则下列结论：①CD⊥AB；②PC 是⊙O 的切线；③OD∥GF；④ 弦CF 的弦心距等于21BG，则其中正确的是 （只需填序号）三、解答题（66分）19. （8分）按要求解一元二次方程（I）（3x-1）²=（x+1）²（适当方法） （II）x²-x-47=0（配方法）20. （8分）已知m、n是方程x²-4x-12=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图像经过点A （m，0），B（0，n）（I）求该抛物线的解析式（II）将抛物线图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？21. （10分）已知△ABC内接于⊙O，过点A做直线EF（I） 如图①，AB是直径，要使EF是⊙O的切线，还须添加一个条件是（只需写出三中情况）（I） ；（II） ；（III） ；（II）如图②，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，则EF是⊙O的切线吗？为什么？22. （10分）如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC、AB分别相切于C、D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M（I）求证：点M是CF的中点（II）若E是弧DF的中点，BC=2，求⊙O的半径23. 某校拟在操场围建一生物种植活动区，活动区的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料课建围墙的总长为50m，设活动区的长为x（m），占地面积为y（m²）（I）如图1，问活动区的长x为多少时，占地面积y最大？（II）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使活动区的占地面积最大，小敏说：“只要活动区的长比（I）中的长多2m就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确24. （10分）如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°）得到正方形OA1B1C1，设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，B1A1的延长线与OA的延长线交于点E，连接MN（I）求证：△OC1M≌△OA1E（II）试说明：△OMN的边MN上的高为定值（III）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，请求出p的值25. （10分）如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于点A（-1,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的对称轴为直线l（I）求这条抛物线的解析式，并写出其对称轴和顶点M的坐标（II）如果直线CM与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形 （III）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CM相切，求点P的坐标。
重庆南开（融侨）中学初2018届九年级（上）期末考试数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑．1．实数12-的相反数是（ ▲ ）A. 12-B ．2-C ．2D ．122．如图是由5个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ▲ ）3．下列各组中是同类项的是（ ▲ ）A. 22与2xB ．2abc 与3ac -C ．23mn 与6nm - D ．2x y 与24xy4．为了了解我校参加中考的1500名学生的视力情况，现从中随机抽取200名学生的视力进 行分析，下面说法正确的是（ ▲ ） A. 1500名学生是总体 B ．每名学生是个体 C ．200名学生的视力是总体的一个样本 D ．以上调查是普查 5．已知m为整数，且11m m <+，则m 的值为（ ▲ ）A. 4 B ．3 C ．2 D ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，且:2:5BE CE =，连接DE 交AB 于F ，则ADF ∆与BEF ∆的面积之比为（ ▲ ） A. 9:4 B ．4:9 C ．3:2 D ．25:47有意义，则x 的取值范围为（ ▲ ） A. 2x ≥-且1x ≠ B ．2x >- C ．1x ≠ D ．2x ≥-第2题图A.B.C. D.第9题图 A D F E B C 第6题图8．若()23120x y -++=，则y x 的值为（ ▲ ）A. 9- B ．9 C ．19-D ．199．如图，在矩形ABCD中，AB =6BC =，以点A 为圆心，AD 为半径画弧交BC 点E ，连接DE ，则图中阴影部分的面积为（ ▲ ）A. 6π- B ．39π- C．6π D．9 10．下列图形都是由相同的★按一定规律组成的，其中第①个图中共有1个★，第②个图中共有6个★，第③个图中共有12个★，…，照此规律排列下去，则第⑧个图中★的个数为（ ▲ ）A. 49 B ．52 C ．57 D ．5811．明明上周末到三峡广场旁的南开中学参观，进入大门，首先映入眼帘的是位于林荫路尽头的毛主席像，明明想测量这尊毛主席像的高度．如图，他首先在A 处测得毛主席像的头顶M 的仰角为30，脚底N 的仰角为18，然后往前走10米到达B 处，在B 处测得脚底N 的仰角为22．若A ，B ，M ，N 在同一个平面内，且MN AB ⊥，请根据明明的测量数据，算出毛主席像的高度MN 约为（ ▲ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin 180.3≈，cos 180.95≈，tan 180.32≈，sin 220.37≈，cos 220.93≈，tan 220.4≈，1.732≈）A. 11.5 B ．12.3 C ．12.9 D ．13.212．从4-，2-，0，1，2，3，4这七个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 既使关于的分式方程11233a x x-+=---有正数解，又使函数()2271y x a x =--+的顶点在第三象限，那么这七个数中所有满足条件的a 的个数为（ ▲ ）A. 2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题．．卡．中对应的横线上． 13．“中国，一点都不能少！”钓鱼岛是中国固有的领土，面积约为4.3838平方公里，约占中国国土面积的0.00 000 046，将数据0.00 000 046用科学记数法表示为 ▲ ． 14．计算：()20182151π⎛⎫---= ⎪⎝⎭ ▲ ．第11题图AB MN★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★★★★ ★★★★★★★★★★ …★★ ★★★★ ★★★★★★① ② ③ ④15．如图，ABC ∆是圆O 的内接三角形，过O 作OD BC ⊥于D ，其中60BAC ∠=︒，半径2OB =，则弦BC = ▲ ． 16．近日，市教委发布《关于加强中小学管理规范办学行为的通知》，对中小学的招生、作业、考试提出明确要求．为此我校教务处对1000名初三学生完成作业所需的时间进行了问卷调查，并绘制出如下不完整的扇形统计图，若这1000名初三学生完成作业所需的时间的众数为3小时和4小时，则其平均数为 ▲ 小时．17．一艘货轮从乙地逆流匀速驶向甲地，同时另一艘“长江号”邮轮从甲地出发顺流匀速驶向乙地，行至某处，发现邮轮上的救生艇不知何时落入水中，邮轮立即原地调头沿原路返回，遇到救生艇并打捞上来（打捞救生艇的时间忽略不计）后立刻调头继续顺流驶向乙地，结果邮轮比货轮早到目的地．已知邮轮每次原地调头需耗时15分钟，救生艇漂流的速度与水速相同，邮轮和货轮在静水中的速度相同．在整个过程中，邮轮和货轮之间的距离()y km 与行驶时间()t h 之间的函数关系如图所示，则救生艇在水中漂流的时间为▲ 小时．18．如图，在正方形ABCD 中，E 、G 分别为CD 、AD 上的点，且DE DG =，连接AE ，BG ，其中BG 交对角线AC 于N ，交AE 于H ，过D 作D F AE ⊥于F ，连接GF ，将△GFH 沿AE 翻折得到△MFH ，连接CF ，CM ．若9AF EF =， 1255HN =，则△CMF 的面积为 ▲ ．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19．如图，直线a ∥b ，点A ，点B 在直线a 上，点C ，点D 在直线b 上，连接AC ，BD 交于点E ，其中BD 平分ABC ∠，80BCD ∠=︒，110BEC ∠=︒，求BAC ∠的度数．A EBaCb第19题图GC第17题图 )964803.520．重庆中考体育考试有“立定跳远”、“掷实心球”、“一分钟跳绳”三个项目．南开（融侨）中学的体育老师对照得分标准给出了每个项目对应的A 、B 、C 、D 四个等级．本月初三某班45名同学进行了一次测试，为了更全面的分析学生体育成绩，男女生各项成绩分开记录，老师按照给定的等级绘制了如下两幅不完整的统计图表．其中，表2中女生B 等级人数所占女生总数的百分比与表1中男生B 等级人数所占男生总数的百分比相同；表2中女生D 等级人数是B 等级人数的121．（1）表1中=a ▲ ； （2）补全表2折线统计图； （3）“立定跳远”A 等级的男生中只有1人的“一分钟跳绳”是D 等级；“掷实心球”A 等级的女生中只有2人的“一分钟跳绳”是D 等级．现分别从“立定跳远”A 等级的男生和“掷实心球”A 等级的女生中各抽取1人进行专项训练，请用树状图或列表的方法求出，抽取的2人中至少有1人的“一分钟跳绳”是D 等级的概率．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡．．．中对应的位置上． 21．化简：（1）()()()222x y x y x y --+-； （2）22131222x x x x x ++⎛⎫+÷-+ ⎪++⎝⎭．22．如图，直线1+=kx y 与双曲线xmy =相交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．若10=AD ，10103sin =∠ODC ． ()1求反比例函数的解析式和k 的值； ()2将点B 向下平移3个单位长度至点E ，点P 在x 轴上且满足CE CP =，求点P表1 男生“立定跳远”各等级人数占男生总人数的频率分布表表2 女生“掷实心球”各等级人数的折线统计图人数23．随着“互联网+”时代的到来，传统的教学模式也在悄然发生着改变．某出国培训机构紧跟潮流，对培训课程采取了线上线下同步销售的策略．为了让客户更理性的选择，该机构推出了甲、乙两个课程体验包：甲课程体验包价值660元含3节线上课程和2节线下课程；乙课程体验包价值990元含2节线上课程和5节线下课程．()1分别求出该机构每节课的线上价格和线下价格；()2该机构其中一个销售团队上个月的销售业绩为：线上课程成交900节，线下课程成交1000节．为回馈客户，本月该机构针对线上、线下每节课程的价格均作出了调整：每节课线上价格比上个月的价格下调%a ，线下价格比上个月的价格下调%21a ，到本月底统计发现，该销售团队线上成交的课程数比上个月增加了%31a ，线下成交的课程数上升到1080节，最终团队的月销售总额线上比线下少了54000元，求a 的值．24．如图1，AC 是菱形ABCD 的对角线，E 是BC 上的点，连接AE 且=AE AC ．()1若30D ∠=︒，4BE =，求AC 的长； ()2如图2，过C 作CH AB ⊥于H ，F 为CD 上一点，连接AF ，若D AF BAE ∠=∠，D F AH =，求证：3AH AB =．ADECF HB第24题图2ADEBC第24题图1五、解答题：（本大题2个小题，其中25题10分，26题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡．．．中对应的位置上． 25．若一个自然数从左到右各数位上数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称一个数是另一个数的镜反数．即：若121n n A a a a a -=(其中10a ≠，0n a ≠)，则它的镜反数()121n n F A a a a a -=．例如：()1306226031F =．()1若M 是一个四位数，求证()M F M +能被11整除；()2已知任意四位数P 均可唯一分解为2100P a b c =++的形式（其中a ，b ，c 均为非负整数，09b ≤≤且21c b <+），规定()2a cG P a b-=+．例如：20181002018=⨯+ 21002042=⨯++，所以()20292018202414G -==+⨯．若N 是一个四位数，其中千位比百位大1，十位比个位小1，且存在大于1的整数k ，使得()2F N k N =，求()G N 的最大值．26．如图1，抛物线233y x x =--x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于C 点，过C 作直线CD ∥x 轴交抛物线于D 点，连接AD ．()1 求B 点坐标和直线AD 解析式；()2 若E ，F 为线段AD 上不同的两点（E 在F 的右侧），且EF =，过E 作'EE ∥y 轴交抛物线于'E 点，过F 作'FF ∥y 轴交抛物线于'F 点．当四边形''EE F F 面积最大时，有一个动点I ，满足1IE =，在直线CD 上找一个K 点，使得IK KF +的值最小，求此时K 点坐标和IK KF +的最小值； ()3如图2，在()2问的条件下，过K 作x KM ⊥轴于M 点，连接KE 并延长交x 轴于N 点，现将KMN ∆绕平面内某点逆时针旋转 90，能否使得KMN ∆的两个顶点同时落在x 轴上方的抛物线上，若能，请直接写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由.第26题图1第26题备用图第26题图2表2 女生“掷实心球”各等级人数初2018级九（上）期末考试数学参考答案及评分标准一. 选择题DBCCB AABAC CB 二．填空题：13． 74.610-⨯ 14． 2 15． 16． 2.9 17．7318． 665三．解答题19. BD 平分ABC ∠ A B D C B D ∴∠=∠………………………..………………2分又AB ∥CD A B D B D C ∴∠=∠………………………..………………………4分DBC CDB ∴∠=∠又180DBC CDB BCD ∠+∠+∠=︒且80BCD ∠=︒180502BCDCBD ︒-∠∴∠==︒……………………….…………6分 50ABD CBD ∴∠=∠=︒又BEC BAC ABD ∠=∠+∠且110BEC ∠=︒1105060BAC BEC ABD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒……………………8分 20.（1）a 2 ； …1分 （2）…3分（3）设“立定跳远”A 等级2名的男生为1a ，2a ，其中1a 为跳绳D 等级的同学；“掷实心球”A 等级的3名女生为1b ，2b ，3b ，其中1b ，2b 为跳绳D 等级的同学.列表得：…6分所有等可能情况有6种，其中满足条件的情况有5种，则65=P …8分四．解答题21. （1） ()()()222x y x y x y --+-解：原式()2222442x xy y x xy y =-+-+-……………………………………4分256xy y =-+…………………………………………………..………5分（2）22131222x x x x x ++⎛⎫+÷-+ ⎪++⎝⎭解：原式()2211122x x x x +-=+÷++…………………………………..……2分 ()()()2121211x x x x x ++=+⨯++-………………………………………………..……4分111x x +=+-21xx =-…………………………………………………………….…………….…5分20. (1)过A 点做y AF ⊥轴，CDO ADF ∠=∠10103sin sin =∠=∠∴CDO ADF……………….…………….…1分在AFDRt ∆中，10103sin ==∠AD AF ADF 且10=AD 3=∴AF ……………….…………….…2分122=-=∴AF AD DF1+=kx y ，令0=x ，得1=y ，()1,0D ∴即1=OD 2=+=∴DF OD OF()2,3-∴A ……………….…………….…3分将()2,3-A 代入x m y =得32-=m ，6-=∴m ∴反比例函数解析式xy 6-=………….…………….…4分将()2,3-A 代入1+=kx y 得132+-=k ，31-=∴k ….……….…5分（2）在1+=kx y 中令0=y ，得3=x ，()0,3C ∴……………………….…6分联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=x y x y 6131得⎩⎨⎧=-=2311y x 或⎩⎨⎧-==1622y x ()1,6-∴B …………………….…7分由题意得，()4,6-E ()()5403622=++-=∴CE 5=∴CP ……………….……….…8分设()0,a P 得53=-a ，2,821-==∴a a 即()0,81P 或()0,22-P …….…………….…10分 22.(1)设每节课线上价格为x 元，线下课程为y 元，.……….…1分F由题意得：⎩⎨⎧=+=+9905266023y x y x .……….…3分 解得⎩⎨⎧==150120y x .……….…4分答：每节课的线上价格为120元，线下课程为150元.……….…5分（2）由题意得：()1080%21115054000%311900%1120⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-a a a .…….…7分 解得 ()25.0%,0%21==∴m m 舍25=∴a .……….…9分 答：a 的值为25.……….10分24.(1)过E 作EM AB ⊥于M ,菱形ABCD 且30D ∠=︒AB BC CD AD ∴=== 30B D ∠=∠=︒…..………………1分180752BBCA BAC ︒-∠∴∠=∠==︒…2分又AC AE =75BCA ACE ∴∠=∠=︒又AEC BAE B ∠=∠+∠45BAE ∴∠=︒…..………………3分又EM AB ⊥90AEM BEM ∴∠=∠=︒又30B ∠=︒122EM BE ∴==…..………4分45BAE ∠=︒sin 45EMAE ∴==︒AC ∴=..………………5分(2) 菱形ABCDAB BC CD AD ∴=== AB CD ,B D ∠=∠又D AF BAE ∠=∠，D F AH =，∴△ADF ≌△ABE …..………………1分 DF BE ∴=,AF AE =,CF CE =又=AE AC ,D F AH =AF AC AE ∴==,D F AH BE ==…..………………2分 过E 作AN CD ⊥于N ,又CH AB ⊥ AN CH ∴又AB CD∴四边形ABCD 为平行四边形，…..………………3分CN AH ∴=又AF AC =,AN CD ⊥CEBDFN（2）问图A CDEMB（1）问图初2018届九年级（上）期末考试 第11页 共13页CN NF ∴=…..………………4分 CN AH DF NF ∴===3AB CD AH ∴==…..………………5分25.（1）设1234M a a a a =(其中10a ≠，()091,2,3,4i a i ≤≤=且为整数)则()4321F M a a a a =， .................1分()12344321M F M a a a a a a a a ∴+=+12344321100010010100010010a a a a a a a a =+++++++ 123410011101101001a a a a =+++()12341191101091a a a a =+++...............3分 123491101091a a a a +++为整数()M F M ∴+能被11整除 ...............4分（2）设N 的百位为x ，十位为y ，则千位为1x +，个位为1y +()2F N k N =2010,k ∴<<又整数k 大于1，23k =或[]21000(1)1001011000(1)100101y y x x k x x y y ∴+++++=+++++()21009110091y x k x y ∴++=++................5分 当2k =时，()10091410091y x x y ++=++13332910x y -+= 554332x y x -=++,x y 均为整数，1,7x y ∴==2178N ∴= ................6分2217810021814=⨯++，()211472178212837G -∴==+⨯；................7分 当3k =时，()10091910091y x x y ++=++ 899917280x y -+= 1110891xy x =+-,x y 均为整数，0,8x y ∴==1089N ∴= ...............8分210891001098=⨯++，()10811089102914G -∴==+⨯；................9分713714>()G N ∴的最大值为737................10分 26.（1）在3332332+--=x x y 中，令0=y ，得03332332=+--x x ， 解得11=x 或32-=x ()0,1A ∴,()0,3-B ..........1分令0=x ，得3=y ()3,0C ∴ .........2分 x CD // 轴，3==∴C D y y 代入抛物线解析式得33323332+--=x x ()3,2-∴D . ........3分 设直线AD 的解析式为b kx y +=代入()0,1A ，()3,2-D初2018届九年级（上）期末考试 第12页 共13页得⎩⎨⎧=+-=+3320b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3333b k 3333+-=∴x y .........4分（2）过E 点做'''FF EE ⊥交'FF 延长线于''E 点，在F EE Rt ''∆中，EF =1''=∴EEy EE //' 轴，∴设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3333,t t E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--333233,2't t t E 轴且y FF EE //1'''= ∴()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---33133,1t t F 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--33233,1t t F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----3)1(332)1(33,12't t t F 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--33433,12't t F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--=33333332332't t t EE 33233332+--=t t⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=33233334332't t FF 33233332++-=t t2)(''''EE FF EE S ⨯+=∴2133233333323333(22⨯++-+--=t t t t21)334332(2⨯+-=t 332332+-=t.........6分当0=t 时，S 有最大值，此时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0E.........7分 作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,1F 关于直线CD 3=y 的对称点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-334,1''F .........8分连接'',F E 与直线CD 的交点即为所求的K 点.易求直线''EF 的解析式为333+-=x y ， ⎪⎭⎫⎝⎛-∴3,32K .........9分此时最小值为()1121333341022=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=d.........10分（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---2431961,243765或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---43332,4365 .........12分初2018届九年级（上）期末考试第13页共13页。
南开（融侨）中学2016-2017学年度（上）初2018届期中数学试题（全卷共五个答题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代还为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将对应题目的正确答案填到答卷上。
1．下列四个数中，最大的是（ ）A ．1-B ．5C ．0D ．22．以下各组数为三角形的边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．1，4，8B ．3，4，6C ．5，12，13D ．6，8，9 3．若m 为任意实数，则点2(1,1)P m +-在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四4．下列计算正确的是（ ）A ．235+=B ．632= C ．236⋅= D ．2(3)3-=-5．若,x y 是方程组233327x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解，则x y -的值是（ ）A ．4-B ．10-C ．4D ．106．若点A 的坐标(,)m n 满足条件2(3)|2|0m n -++=，则A 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）A ．(3,2)B ．(3,2)-C ．(3,2)-D ．(3,2)--7．若关于x 的函数23(2)5my m x -=++是一次函数，则m 的值是（ ）A ．2±B ．2C ．2-D ．18．一次函数(0)y kx k k =-≠的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．为纪念重庆南开中学建校80周年，校友特向津南公司订制了一系列纪念品，其中包括男士的领带和袖扣。
已知津南公司有95名工人，一名工人每小时可制作8条领带或22个袖扣，两个袖扣和一条领带为一套。
现在要求工人每小时制作的领带和袖扣正好配套且没有剩余，若设安排x 名工人制作领带，y 名工人制作袖扣，则列出的二元一次方程组为（ ）A ．958220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．954220x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．9516220x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．9516110x y x y +=⎧⎨-=⎩10．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 的延长线上，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，EF 交AC 于G ，且//EF BC ，若5CG =，则22CE CF +等于（ ）A ．75B ．100C ．120D ．12511．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为2，其中点(2,1)B ，点(4,3)D ，若直线:l y kx =与正方形ABCD 的边有交点，则k 的值可能是（ ）A ．12-B ．15C ．52 D ．4312．数学半期考试结束以后，小伟和小华意犹未尽，在走廊里玩起了数学游戏。
天津市南开中学2023届高三阶段性测试（三）数学试题一、选择题（每题5分，共45分）1.设i 为虚数单位，则复数21i z =+的虚部是（）A.i- B.1- C.iD.12.集合{}24A x x =>，{}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.{}52x x -<<- B.{}22x x -<< C.{}21x x -<< D.{}21x x -≤<3.已知直线()1:120l a x ay -+=，()()2:22110l a x a y -+++=，则1a =是12//l l 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是（）A.135-B.135C.1215D.1215-5.已知2log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c<< B.a c b<< C.a b c<< D.b<c<a6.将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.()g x 的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()g x 的图象关于直线π6x =对称C.()g x 过点π,28⎛⎫⎪⎝⎭D.()g x 在区间π0,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增7.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，C 上一点B ，满足直线FB 与y 轴正半轴交于点M ，且B 在F ，M 之间，若2FB BM =，且点B 到抛物线准线的距离为43，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.32D.8.已知双曲线()2222:10,0x y H a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A ，B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅= ，32BF FC =，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.375C.2D.39.已知函数(),42426xx x f x x ⎧-<<⎪+⎪=≤<，若方程()20f x ax +=有5个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A.1,43⎛⎫⎧⎫-∞-- ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ B.11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.12,34⎡⎢⎣⎦D.21,43⎛⎫⎧⎫+∞⋃ ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭二、填空题（每题5分，共30分）10.某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________11.一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则1533P ξ⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭______．12.等差数列{}n a 中，31a =，5672a a a -+=，则数列(){}cos πn a 的前2023项和为______.13.已知a ，b 都是正数，则222a ba b a b+++的最小值是______.14.已知圆C 的圆心为()2,1C ，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420l x y λ-+=与C 交于,A B 两点，120ACB ∠= ，则实数λ=__________．15.如图，在ABC 中，3B π=，2AB =，点M 满足13AM AC = ，43BM AC ⋅= ，O 为BM 中点，点N在线段BC 上移动（包括端点），则OA ON ⋅的最小值是______.三、解答题（共75分，16题14分，17-19题每题15分，20题16分）16.在ABC ，中，记角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos a cC C b++=.（1）求角B ；（2）已知点D 在AC 边上，且4=AD，BD =6AB =，求ABC 的面积.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，2PA BC ==，1AB =，PB =（1）求证：PB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长.18.已知椭圆C 中心在原点，右焦点()2,0F ，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为1A 和2A ，B 为椭圆位于第二象限的一点，在y 轴上存在一点N ，满足BF NF ⊥，设12A A B △和1A FN △的面积分别为1S 和2S ，当12:3:2S S =时，求直线1A B 的斜率.19.已知公差不为零的等差数列{}n a ，{}n b 为等比数列，且满足11a b =，442b a =，2352b b a +=+，2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()94N *2n nn T n λ++≥-∈恒成立，求实数λ的取值范围.20.已知函数()e sin xf x k x =-.（1）当1k =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在极值点α.①求实数k 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内存在唯一的β，使()1fβ=，并比较β与2α的大小，说明理由.天津市南开中学2023届高三阶段性测试（三）数学试题一、选择题（每题5分，共45分）1.设i 为虚数单位，则复数21i z =+的虚部是（）A.i - B.1- C.iD.1B【分析】利用复数的除法化简复数z ，结合复数的定义可得出合适的选项.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，因此，复数z 的虚部为1-.故选：B.2.集合{}24A x x =>，{}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.{}52x x -<<- B.{}22x x -<< C.{}21x x -<< D.{}21x x -≤<D【分析】解出集合A ，利用补集和交集的含义即可得到答案.【详解】24x >，则2x >或<2x -，则{2A xx =<-∣或2}x >，R {22}A x x =-≤≤∣ð，{51}B x x =-<<∣，则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ð，故选：D.3.已知直线()1:120l a x ay -+=，()()2:22110l a x a y -+++=，则1a =是12//l l 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要A【分析】根据12//l l 求出实数a 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若12//l l ，则()()()11222a a a a -+=-，解得1a =或15a =-，当1a =时，直线1l 的方程为0y =，直线2l 的方程为12y =-，此时12//l l ；当15a =-时，直线1l 的方程为30x y +=，直线2l 的方程为12450x y ++=，此时12//l l .因为{}11,15⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，因此，1a =是12//l l 充分不必要条件.故选：A.4.623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是（）A.135-B.135C.1215D.1215-B【分析】由二项展开式通项公式确定常数项的项数，从而得结论.【详解】由二项展开式通项公式可得()66316623C C 3rr r r rr r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=解得2r =，所以常数项()2236C 3135T =-=，故选：B5.已知2log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c << B.a c b<< C.a b c<< D.b<c<aC【分析】利用对数函数与指数函数的性质，以及指数幂的运算公式即可求解.【详解】由题知，2220log 1log log 1=<，即：01a <<，又0.40221b =>=，所以b a >；()15150.462264b ===，1515315511324333c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴1515b c <，∴b c <，所以：a b c <<.故选：C.6.将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.()g x 的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()g x 的图象关于直线π6x =对称C.()g x 过点π,28⎛⎫⎪⎝⎭D.()g x 在区间π0,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D【分析】利用函数图象变换可求得函数()g x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；计算出π8g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断C 选项；利用正弦型函数的单调性可判断D 选项.【详解】将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，可得到函数π2sin 43y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向左平移π6个单位，可得到函数()πππ2sin 42sin 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于A 选项，7π3π2sin 2242g ⎛⎫==-⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，π2sin π06g ⎛⎫==⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，ππππ2sin 2cos 18233g ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，当π024x <<时，πππ4332x <+<，所以，函数()g x 在区间π0,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 对.故选：D.7.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，C 上一点B ，满足直线FB 与y 轴正半轴交于点M ，且B 在F ，M 之间，若2FB BM =，且点B 到抛物线准线的距离为43，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.32D.D【分析】作1BB 垂直于准线于1B ，根据线段比例关系得到6B px =，则14623p p BB =+= ，解出p 值，则得到B 点坐标，则可求出M 点纵坐标.【详解】如图所示,作1BB 垂直于准线于1B ,由已知得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,由2FB BM =，则2FB BM =,得B 的横坐标为236p p =,则14623p p BB =+= ，则2p =，故抛物线方程为：24y x =，所以13B x =，代入抛物线方程得233B y =，所以123,33B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据2FB BM =，则33233223M B y y ==⨯=故选：D .8.已知双曲线()2222:10,0x y H a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A ，B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅= ，32BF FC =，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.2B.375C.102D.233B【分析】令双曲线左焦点F '，利用给定条件证得四边形AFBF '为矩形，再利用双曲线定义结合勾股定理列式求解作答.【详解】令双曲线右焦点(c,0)F ，则其左焦点(,0)F c '-，连接,,AF BF CF '''，如图，显然AB 与FF '互相平分于点O ，即四边形AFBF '为平行四边形，又0AF FB ⋅=，则90AFB ∠= ，因此四边形AFBF '为矩形，令||BF m =，由32BF FC =得3||2CF m =，由双曲线定义知，3||2,||22BF a m CF a m ''=+=+，在Rt ' BCF 中，222||||||CF BC BF ''=+，即22235(2)()(2)22a m m a m +=++，解得25m a =，在Rt BFF '△中，122||,||,||255BF a BF a FF c ''===，而222||||||FF BF BF ''=+，于是得222212(2)()()55c a a =+，解得c =，所以双曲线的离心率5c e a ==.故选：B9.已知函数(),42426xx x f x x ⎧-<<⎪+⎪=≤<，若方程()20f x ax +=有5个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A.1,43⎛⎫⎧⎫-∞-- ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ B.11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.12,34⎡⎢⎣⎦D.21,43⎛⎫⎧⎫+∞⋃ ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭A【分析】分析可知0x =满足方程()20f x ax +=，当0x ≠时，分析可知0a ≠，由()20f x ax +=可得出()()4,4014,0226x x x x x x a x ⎧-+-<<⎪-=+<<⎨≤<，令()()()4,404,0226x x x g x x x x x ⎧-+-<<⎪=+<<⎨≤<，则直线1=-y a 与函数()g x 的图象有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】0x =满足方程()20f x ax +=，当0x ≠时，若0a =，由()0f x =可得0x =，不合乎题意，故0a ≠，由()20f x ax +=可得()1,4002426x x x x a x ⎧-<<<<⎪+⎪-=⎨≤<或，即()()4,4014,026x x x x x x a x ⎧-+-<<⎪-=+<<⎨≤<，令()()()4,404,0226x x x g x x x x x ⎧-+-<<⎪=+<<⎨≤<，当26x ≤<时，()g x =因为内层函数()239u x =--+在[)2,3上单调递增，在()3,6上单调递减，外层函数y =在其定义域上为增函数，、所以，函数()g x 在[)2,3上单调递增，在()3,6上单调递减，且当26x ≤<时，由y =可得()2239x y -+=，由题意可知，直线1=-y a与函数()g x 的图象有4个交点，如下图所示：由图可知，当10a <-<或13a -=时，即当4a <-或13a =-时，直线1=-y a与函数()g x 的图象有4个交点，故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（每题5分，共30分）10.某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________30【分析】利用分层抽样各层比例相同列出方程，从而得解.【详解】根据题意，设应抽取高一年级学生的人数为x ，则50500300x=，解得30x =，所以应抽取高一年级学生的人数为30.故答案为：30.11.一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则1533P ξ⎛⎫≤≤=⎪⎝⎭______．47【分析】设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有2k个，总数为72k ，从而可得概率，进而得分布列后可求解.【详解】设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有2k个，总数为72k ，则随机变量ξ的分布列为：ξ123P472717()1541337P P ξξ⎛⎫≤≤=== ⎪⎝⎭．故答案为：4712.等差数列{}n a 中，31a =，5672a a a -+=，则数列(){}cos πn a 的前2023项和为______.12##0.5【分析】利用等差数列的基本性质求出6a ，进而求出数列{}n a 的通项公式，设()cos πn n b a =，对任意的N k ∈，计算出616263646566k k k k k k b b b b b b +++++++++++的值，进而可求得数列(){}cos πn a 的前2023项和.【详解】由题意可得5676622a a a a a -+=-=，则62a =，所以，等差数列{}n a 的公差为631633a a d -==-，所以，()333n n a a n d =+-=，所以，()πcos πcos 3n n a =，令πcos3n n b =，对任意的N k ∈，616263646566k k k k k k b b b b b b +++++++++++()()π2π4π5πcos 2πcos 2πcos 2ππcos 2πcos 2πcos 2π2π3333k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111102222=---++=，因为202363371=⨯+，则数列(){}cos n a π的前2023项和为()2023123456111337337022S b b b b b b b =++++++=⨯+=.故答案为：12.13.已知a ，b 都是正数，则222a ba b a b+++的最小值是______.1-【分析】设2a b x +=，2a b y +=，解出1(2)3a y x =-，1(2)3b x y =-，代入化简得14233y xx y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可求出最值.【详解】因为,a b 均为正实数，故设2a b x +=，2a b y +=，则0,0x y >>联立解得1(2)3a y x =-，1(2)3b x y =-，21(2)(2)23322y x x y a b a b a b x y--∴+=+++14221421331333y x x y y xx y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+=+-≥= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当42y x x y =，即x =，即)22a b a b +=+时取等号，1-.14.已知圆C 的圆心为()2,1C ，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420l x y λ-+=与C 交于,A B 两点，120ACB ∠= ，则实数λ=__________．1-或11-【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解.【详解】圆C 的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，∴该圆一定过原点，∴半径为r ==，又圆心为()2,1C ，故圆C 的方程为22(2)(1) 5.x y -+-=120,ACB CA CB ∠=== 圆心C 到直线l 的距离为1,2d r =2=，解得1λ=-或11λ=-．故答案为：-1或-1115.如图，在ABC 中，3B π=，2AB =，点M 满足13AM AC = ，43BM AC ⋅= ，O 为BM 中点，点N在线段BC 上移动（包括端点），则OA ON ⋅的最小值是______.2936-【分析】本题采用建系法，设(,0)C t ，利用向量共线得到223,33t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，再写出223,33t BM ⎛+= ⎝⎭，(1,AC t =- ，从而得到方程(2)(1)4233t t +--=，解出t 即可求出O坐标为5,63O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再设(),0N n ，03n ≤≤，写出1,63OA ⎛= ⎝⎭，5,63ON n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则OA ON ⋅ 的函数表达式，利用函数单调性即可求出最值.【详解】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系，设(,0)C t ，0t >，2,,3AB B A π==∴ ，设(,)M x y，(1,AM x y ∴=--，(1,AC t =-，13AM AC = ，11(1)3x t ∴-=-，23t x +=，1(3y -=⨯，3y =，223,33t M ⎛+∴ ⎝⎭，223,33t BM ⎛+∴= ⎝⎭，(1,AC t =- ，43BM AC ⋅= ，即(2)(1)4233t t +--=，解得3t =，523,33M ⎛∴ ⎝⎭，因为O 为BM 中点，53,63O ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0N n ，03n ≤≤，123,63OA ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，53,63ON n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ,152129663636OA ON n n ⎛⎫∴⋅=--=- ⎪⎝⎭ ,03n ≤≤ 所以当0n =时min1292963636n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即min29()36OA ON ⋅=- ，故答案为：2936-.三、解答题（共75分，16题14分，17-19题每题15分，20题16分）16.在ABC ，中，记角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos a cC C b++=.（1）求角B ；（2）已知点D 在AC 边上，且4=AD，BD =6AB =，求ABC 的面积.（1）π3；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C +=+,再利用sin sin()A B C =+，化简进而求出角B ；（2）设,CD x BC y ==，首先利用余弦定理求出7cos 14ADB ∠=，则cos 14BDC ∠=-，在BCD △和ABC 中分别利用余弦定理得到2222282(4)366y x xx y y⎧=++⎨+=+-⎩，解出,x y ，最后再利用三角形面积公式即可.【小问1详解】因为cos a cC C b++=,由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C +=+,因为A B C π=--,所以sin sin()A B C =+,sin cos sin sin B C B C C =+,因为sin 0C >,cos 1B B =+,即2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又0πB <<,所以ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故66B ππ-=，则3B π=.【小问2详解】设,CD x BC y ==，在ADB 中利用余弦定理得2227cos14ADB ∠==，cos cos 14BDC ADB ∴∠=-∠=-，在BCD △中，由余弦定理得2222cos y x BDC =+-⨯⋅∠，即22282y x x =++①在ABC 中，由余弦定理得()222π4626cos3x y y +=+-⨯⨯⋅即22(4)366x y y +=+-②将①式代入②式化简得8x y +=③联立①③解得26x y =⎧⎨=⎩，故6AB AC AC ===，故136622ABC S =⨯⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，2PA BC ==，1AB =，PB =（1）求证：PB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长.（1）见解析；（2）105；（3）73.【分析】（1）根据平面PAB ⊥平面ABCD ,得到BC ⊥平面PAB ，则BC PB ⊥，再利用勾股定理得到PB AB ⊥，最后利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系B xyz -,易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =,求出平面PCD 的一个法向量为3,3,2)m =,代入公式即可求解；（3）根据点E 在棱PA ,得到,[0,1]AE AP λλ=∈,又//BE 平面,PCD m为平面PCD 的一个法向量，代入数量积公式即可求解λ值.【小问1详解】平面PAB ⊥平面ABCD ,且平面PAB ⋂平面ABCD AB =,又 BC AB ⊥,且BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面PAB ，PB ⊂ 平面PAB ，BC PB ∴⊥.在PAB 中，2,3,1PA PB AB === ，222PA AB PB ∴=+，PB AB ∴⊥，AB BC B ⋂= ，且,AB BC ⊂平面ABCD ，PB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知,,PB BC AB 两两互相垂直，所以,建立空间直角坐标系B xyz -,如图所示：所以(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),(1,3,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,2,3)A B C D P CD PC --=-=-.易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =.设平面PCD 的一个法向量为(,,)m x y z =,则00m CD m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即23x y y z =⎧⎪⎨=⎪⎩,令2z =,则(3,3,2)m = .则210cos ,||||5334n m n m n m ⋅〈〉==⋅++,即平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值为105.【小问3详解】因为点E 在棱PA ,所以,[0,1]AE AP λλ=∈.因为3)AP = .所以(3),(1,0,3)AE BE BA AE λλλλ==+=-.又因为//BE 平面,PCD m为平面PCD 的一个法向量,所以0BE m ⋅= ,3(1)30λλ-+=,所以13λ=.所以23,0,33BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以7||3BE BE == .18.已知椭圆C 中心在原点，右焦点()2,0F ，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为1A 和2A ，B 为椭圆位于第二象限的一点，在y 轴上存在一点N ，满足BF NF ⊥，设12A A B △和1A FN △的面积分别为1S 和2S ，当12:3:2S S =时，求直线1A B 的斜率.（1）2211612x y +=（2）32【分析】（1）直接代入公式及性质即可求解；（2）设出坐标，利用面积关系求出坐标再求斜率即可.【小问1详解】由题知，2c =，12c a =，222a b c =+解得：4a =，b =，所以椭圆C 的标准方程为：2211612x y +=.【小问2详解】设(),B m n ，()0,N t ，则0m <，0n > BF NF ⊥，∴2BF n k m =-，2NF tk =-∴122n t m =--- ，化简得：()220m t n-=<.由112142S A A n n =⨯⨯=，()216212m S A F t n-=⨯⨯=，12:3:2S S =，化简得：()2492n m =-①，又因为B 为椭圆位于第二象限的一点,所以有：2211612m n +=②，联立①②解得：2m =-，3n =，即()2,3B -.所以，()1303242A B k -==---，因此，当12:3:2S S =时，直线1A B 的斜率为：32.19.已知公差不为零的等差数列{}n a ，{}n b 为等比数列，且满足11a b =，442b a =，2352b b a +=+，2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()94N *2n n n T n λ++≥-∈恒成立，求实数λ的取值范围.（1）2n a n =，2nn b =（2）1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用通项公式以及等比中项公式即可求解；（2）利用错位相减法求和，再利用导数讨论单调性求最值即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .11a b =，442b a =，2352b b a +=+，∴()31123b q a d =+①，211142b q b q a d +=++②，2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a = ，∴()()()211137a d a d a d +=++③，由①②③解得：12d a ==，12q b ==，∴2n a n =，2n n b =.【小问2详解】由（1）知：22n nn a nb =所以：312123n n na a a a Tb b b b =++++ ，即：12321222322222n n n T ⨯⨯⨯⨯=++++ ①，所以：23411212223222222n n n T +⨯⨯⨯⨯=++++ ②，由①-②得：1231122222222222n n n n T +⨯=++++- ，11111222212212n n n n T +⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎢⎥=⨯-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦化简得：1242n n n T -+=-()N*n ∈，由942n n n T λ++≥-，即19222n n n n λ-+++≥，所以1295222n n n n n n λ-++-≥-=.令()52x x f x -=()N *x ∈，则()ln 215ln 22xx f x -++'= ，由()0f x '=解得：15ln 2x =+()6,7∈，所以，10,5ln 2x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，15,ln 2x ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，又 N *x ∈，()()16764f f ==∴()()1764f x f ≤=，∴164λ≥.所以，若不等式()94N *2n n n T n λ++≥-∈恒成立，实数λ的取值范围为：1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.已知函数()e sin xf x k x =-.（1）当1k =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在极值点α.①求实数k 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内存在唯一的β，使()1f β=，并比较β与2α的大小，说明理由.（1）增区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，无减区间（2）①()1,+∞；②证明见解析，2βα<【分析】（1）当1k =时，利用导数符号与函数的单调性的关系可求得函数()f x 的单调区间；（2）①由()e cos cos x f x x k x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()ecos x g x x =，其中π02x <<，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用极值点的定义以及数形结合可得出实数k 的取值范围；②将问题转化为证明出函数()2esin 1xm x k x =--在区间()0,π内存在唯一的零点β，利用导数结合①中的结论，可以证明；表示出()2m α，构造函数()2e 2e sin 1xx h x x =--，其中π02x <<，利用导数分析函数()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得出()()00h x h >=，从而可得出()()20m m αβ>=，再利用函数()m x 的单调性，比较后可得出结论.【小问1详解】解：当1k =时，若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()e sin x f x x -=，则()e cos 1cos 0xf x x x '=->->，所以，函数()f x 的增区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，无减区间.【小问2详解】解：①因为π02x <<，()e e cos cos cos xxf x k x x k x ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，令()e cos xg x x =，其中π02x <<，则()()2e cos sin 0cos x x x g x x+'=>，所以，函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，作出函数()g x 与y k =的图象如下图所示：由图可知，当1k ≤时，对任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()e cos 0cos x f x x k x ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，则函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，不合乎题意；当1k >时，由图可知，直线y k =与函数()g x 的图象有且只有一个交点，设交点的横坐标为α，当0x α<<时，()e cos 0cos x f x x k x ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，当π2x α<<时，()e cos 0cos x f x x k x ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，此时函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭只有一个极值点，且为极小值点，综上所述，实数k 的取值范围是()1,+∞；②要证明存在唯一的()0,πβ∈，使得()1fβ=，令()()1e sin 1x m x f x k x =-=--，只需证明存在唯一的()0,πβ∈，使得()0m β=，因为()()e cos x m x k x f x ''=-=，由①可知，函数()m x 在()0,α上单调递减，在π,2α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又当ππ2x <<时，()e cos 0x m x k x '=->，所以，函数()m x 在()0,α上单调递减，在(),πα上单调递增，当0x α<<时，()()00m x m <=，且()()00m m α<=，又因为()ππe 10m =->，所以，函数()m x 在()0,α内无零点，在(),πα内存在唯一零点，即存在唯一的()0,πβ∈使得()0m β=，即()1fβ=，由①可知，e cos 1k αα=>，所以，()2222esin 21e 2sin cos 1e 2e sin 1m k k ααααααααα=--=--=--，令()2e 2e sin 1x x h x x =--，其中π02x <<，则()()()22e2e sin cos 2e e sin cos x x x x h x x x x x '=-+=--，令()e sin cos x p x x x =--，其中π02x <<，则()e cos sin 1cos sin 0x p x x x x x '=-+>-+>，所以，函数()p x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，故当π02x <<时，()()00p x p >=，故当π02x <<时，()0h x '>，所以，函数()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，因为π02α<<，()20m α>，所以，()()20m m αβ>=，因为()m x 在(),πα上为增函数，且()2,παα∈，(),πβα∈，所以，2βα<.【点睛】关键点点睛：本题要比较β与2α的大小关系，关键就是构造出合适的函数()g x ，转化为比较()2g α、()g β的大小关系，结合函数()g x 的单调性求解.。
2024-2025学年重庆市南开中学高三（上）第三次质检数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U =R ，集合A ={x|y =2x−x 2},B ={y|y =2x +1,x ∈R}，则“x ∈(∁U A)∪B ”是“x ∈{x|x ≠0}”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(cos π3,sin π3)，则cos (α−π6)=( )A. 0B. 12C.22D.323.已知函数f(x)为偶函数，其图像在点(1,f(1))处的切线方程为x−2y +1=0，记f(x)的导函数为f′(x)，则f′(−1)=( )A. −12B. 12C. −2D. 24.设函数f(x)=log 2|x|−x −2，则不等式f(x−2)≥f(2x +2)的解集为( )A. [−4,0]B. [−4,0)C. [−4,−1)∪(−1,0]D. [−4,−1)∪(−1,0)5.已知函数f(x)=x 2+2x +aln x ，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥0B. a <−4C. a ≥0或a ≤−4D. a >0或a <−46.设方程3x ⋅|log 3x|=1的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A. 0<x 1<1，x 2>3 B. x 1>1x 2C. 0<x 1x 2<1D. x 1+x 2>47.若a =0.001+sin0.001，b =ln1.001，c =e 0.001−1，则( )A. b >c >aB. c >a >bC. c >b >aD. a >c >b8.已知可导函数f(x)的定义域为R ，f(x2−1)为奇函数，设g(x)是f(x)的导函数，若g(2x +1)为奇函数，且g(0)=12，则∑10k =1k g(2k)=( )A. 132B. −132C. 112D. −112二、多选题：本题共3小题，共15分。
2018重庆市南开中学小升初招生数学真题卷（时间：70分钟 满分：100分）一、选择题（每小题3分，共15分）1、下列说法正确的是（ ）。
A. 角的大小与边的长度有关 B. 等腰三角形一定是锐角三角形 C. 圆的周长与它的直径成正比例 D. 1条射线长12厘米2、将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，则阴影部分的周长为（ ）。
A. 15.7厘米B. 18.7厘米C. 19.7厘米D. 22.7厘米3、某小学开展“阳光体育活动”，六年级（1）班全体同学分别参加了巴山舞、乒乓球、篮球三个项目的活动，陈老师统计了该班参加这三项活动的人数，并绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图。
根据这两个统计图，可以知道该班参加乒乓球活动的人数是（ ）。
A. 10人B. 15人C. 25人D. 50人3、在某一个月里，星期一多于星期二，星期天多于星期六，那么这个月的5号是（ ）。
A. 星期四B. 星期三C. 星期五D. 星期一 5、如图，已知A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、J 、K 是10个互不相等的非零自 然数，并且A=B+C ，B=D+E ，C=E+F ，D=G+H ，E=H+J ，F=J+K ，则A 的最小值为（ ）。
A. 15B. 30C. 22D. 20二、填空题（每小题3分，共30分）6. 比较大小：6665555477766665。
（填“＞”、“=”或“＜”）7. 如图，将一张正方形纸片依如图所示方式折叠：首先折叠线段CD 、线段BC 使之与对角线AC 重合，接着折叠点C 使它与点A 重合，则最后一幅图中∠EAF 的度数为 度。
CCD B EA A(C)8. 在英语句子“Wish you success ”(祝你成功)中任选一个字母，这个字母为“S ”的可能性是 。
9. 某商品的进价是1200元，按商品的标价九折出售时，利润率（商品利润与进价的比值）是20%，则商品的标价是 元。
重庆南开（融侨）中学初2018届九年级（上）阶段测试（三）数学参考答案一、选择题：C A AD C C D B D C B C二、填空题：13．81049.1⨯14．2515．34°16．19817．22518．8825三、解答题：19．解：∵a ∥b ，∠ADC ＝40°∴∠DCE ＝∠ADC ＝40°，……………………………………（2分）∴∠ACD ＝2∠DCE ＝2×40°＝80°，∴∠ACE ＝∠ACD ＋∠DCE ＝80°＋40°＝120°，∴∠ACB ＝180°－∠ACE ＝180°－120°＝60°．……………（5分）∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，……………………………………（7分）∴∠BAC ＝60°．………………………………………………（8分）20．（1）选择“运动”和“其他”的人数都是14人，B 对应扇形的圆心角度数为84°；…（4分）（2）设从B 中抽选的两名男同学分别为1N 、2N ,从C 中抽选的一名男同学为3N ,两名女同学分别为1K 、2K ，则列表如下：…………………………………（5分）…………………………………（8分）∴共20种等可能结果，其中符合题意的结果有6种，∴P（选出同学恰好是两位男同学）103206==．…………………………………（10分）1N 2N 3N 1K 2K 1N (1N ，2N )(1N ，3N )(1N ，1K )(1N ，2K )2N (2N ，1N )(2N ，3N )(2N ，1K )(2N ，2K )3N (3N ，1N )(3N ，2N )(3N ，1K )(3N ，2K )1K (1K ，1N )(1K ，2N )(1K ，3N )(1K ，2K )2K (2K ，1N )(2K ，2N )(2K ，3N )(2K ，1K )四、解答题:21．化简下列各式：（1）2)2()3(b a b a a ---（2）⎪⎭⎫⎝⎛----÷-+-22432962x x x x x x 解：原式2223(44)a ab a ab b =---+…(4分)解：原式22(3)34422x x x =x x ---+÷--………（2分）24ab b=-………………（5分）2(3)22(3)x x =x x x --⋅--………………（4分）xx 3--=…………………………（5分）22．解：过A 作AE ⊥x 轴于E ，∵AOD S ∆＝421=⋅AE OD ，OD =2，∴AE =4，∴4=A y ………………………………………………（1分）∵AB ⊥y 轴，∴4==A B y y ∵C 为OB 的中点，∴221==B C y y ，即C （0，2）…………………………（2分）将C （0，2）和D （2，0）代入b ax y +=得⎩⎨⎧+==b a b 202，解之得：⎩⎨⎧=-=21b a ，∴一次函数为2+-=x y ……………（4分）将4=A y 代入2+-=x y ，得24+-=x ，解得2-=x ，∴点A 的坐标为A （－2，4），……………（5分）将A （－2，4）代入x k y =中，得k =－8，∴反比例函数为xy 8-=，……………………………（7分）24．解：(1)∵︒=∠90ACB ，BC AC =，∴︒=∠=∠454B ，∵︒=∠=∠90ACB ECD ，∴33∠-∠=∠-∠ACB ECD ，即21∠=∠∵在ACE ∆和BCD ∆中，∴ACE ∆≌BCD ∆(SAS )…………………………………（2分）∴︒=∠=∠455B ，BD AE =，∵︒=∠454，∴︒=∠+∠=∠9045EAD ，∵4=AE ，∴4==AE BD ，∵在ECD Rt ∆中，︒=∠90ECD ，225==CD CE ，∴522=+=CE CD DE ，……………（3分）∵在EAD Rt ∆中，︒=∠90EAD ，∴322=-=AE DE AD ，…………………………………（4分）∴743=+=+=BD AD AB ．…………………………………（5分）(2)证明：如图2，延长CF 至G ，使GF ＝CF ，连接AG ，作BC 延长线CH ．∵F 为AD 中点，∴DF ＝AF ，∵在CFD ∆和GFA ∆中，∴CFD ∆≌GFA ∆(SAS )…………………………………（7分）∴∠5＝∠G ，∴CD ∥AG ，∴∠GAC ＋∠ACD ＝180°∵︒=∠=∠90ECD HCA ，∴11∠-∠=∠-∠ECD HCA ，即ACD ∠=∠2∵∠ECB ＋∠2＝180°，∠GAC ＋∠ACD ＝180°，∴∠ECB ＝∠GAC ∵在ECB ∆和GAC ∆中，∴ECB ∆≌GAC ∆(SAS )…………………………………（9分）∴∠6＝∠7，∵︒=∠+∠=∠907FCB ACB ，∴︒=∠+∠=∠9068FCB ，∴CF ⊥EB ．…………………（10分）五、解答题25.解：（1）由题得：设任意三位数为A =abc ，∴A 1=cba ，则B =|abc －cba |=99|a-c|．．．．．．．（１分）∵由题意得|a-c|＝1，∴B 1＝B ＝99，∴C ＝99+99=198，即()198F abc =．．．．．．．．（2分）另一个是：1089；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）（2）由题可得S =31p ，T =4m nA BDE图1124543C⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC BC AC 21⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC GAC ECB CA BC ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF DF GF CF 43图2∵3﹣1=2，2>1，∴m ﹣n >1，m >n +1．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）∵3p +m +n =20，∴m =20﹣n ﹣3p ，∴20﹣n ﹣3p >n +1，∴1923np -<．．．．．．．．．．．．．．．（5分）∵T 是偶数，1≤n ≤9，∴n 只能取2，4，6，81当n =2时，p <5，|p －n|≤1，则p 可取1、2、3∵m =20﹣n ﹣3p ，当p =1时，m =15；当p =2时，m =12，不合题意，∴p 只能取3当p =3时，m =9∴S =331，T =942．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）942=1123157⨯⨯，∴Q （942）=11，)()(91)()(91T Q S F T Q S F k +-==1108911911089119+⨯-⨯56=．．．．．．．．．．．．．．（7分）2n =4时，p <113，|p －n|≤1，则p 只能取3当p =3时，m =7∴S =331，T =744．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）744=312331⨯⨯，∴Q （744）=31，)()(91)()(91T Q S F T Q S F k +-==1108931911089319⨯-⨯+4576=．．．．．．．．．．．．．．（9分）∵56>4576∴max 56k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）26.解：（1）把B （－1，0），C （0，3-）的坐标代入c bx x y ++=233，得到⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=c c b 3330，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3332c b ，∴二次函数的解析式为3332332--=x x y ，…………（2分）令y ＝0，得03332332=--x x ，即0322=--x x ，解得11-=x ，32=x ，∴点A 坐标为（3，0）……………………………………………………………………………………（4分）（2）设E （t ，0）则F （t ，3332332--t t ），其中0＜t ＜3．∵A （3，0），C （0，3-），∴直线AC 的解析式为333-=x y ，∴G （t ，333-t ），∵∠EGA =∠FGH ，∠GEA =∠GHF =90°，∴△AEG ∽△FHG ，∵△AEG 与△FHG 的面积相等，∴△AEG ≌△FHG ，∴AG =FG ，在Rt △AOC 中，33tan ==∠OA OC OAC ，∴∠OAC =30°，∴AG =2EG =FG ，∴333233333)333(22++--=+-t t t t ，解得t =2或3（舍去），∴F （2，3-），……………………………………………………………………………………………（6分）在x 轴上方作∠ABT =45°，过F 作FR ⊥BT 于R ，与x 轴的交点即为于点D ，最短时间为2BD +DF ＝RD +DF ＝FR ，………………………………………………………………………………（7分）∵△BRD 和△FED 都是等腰直角三角形，∴DE ＝EF ＝3，∴D （23-，0），2BD +DF ＝22)1(32+---＝322)1(32⨯+---=2623+∴最小短时间为2623+．………………………………………………………………………………（9分）（3）233+=m ，434+=m ，或332-＜m ≤1………………………………（12分）。
重庆南开（触侨）中学初 2018 届九年级（上）阶段测试（三）数 学 试 卷（全卷共五个大题，满分 150 分．考试时间 120 分钟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给给出了代号为A 、B 、 C 、D 的四个共案．其中只有一个是正睡的．请将答题卡．．．上对应的标号涂黑． 1. 以下四个选项表示12月份某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（ ） A.-2℃ B.0℃ C.-5℃ D.6℃ 2.下列平面图形，是中心对称但不是．．轴对称图形的是（ ）3.若分式2x 3+无意义，则x 的取值范围是（ ） A.x=-2 B.x≠-2 C.x ＞-2 D.x ＜-2 4.下列计算中，正确的是（ ）1553a a a .=•A 326a a a .=÷B 3432b a 6-b a 2.(=-）C 824a a .(=）D 5.已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.96.若△ABC∽△DEF,相似比为2:5，AB=3，则DE 的长是（ ） A.213 B.7 C.215D.8 7.下列说法正确的是（ ）A.随便抛一枚硬币，落地后正面一定朝上。
B.“a 是实数，则a ≥0”这一事件是不可能事件。
C.调查重庆市民对公立医院全面改革的看法，适合采用全面调查（普查）。
D.甲、乙两同学在5次数学测试中的平均成绩都是119，方差分别为0.5和1.2，则甲同学的成绩更稳定。
8.按下列图示的程序计算，若考试输入的值为x=3，则最后的输出结果是（ ）A.6B.21C.156D.2319.如图，矩形ABCD 中，AB=22,BC=1，以AB 为直径作⊙O,与CD 交于E 、F 两点，则图中阴影部分的面积为（ ） A.2-4π B.2-2π C.1-4π D.1-2π10.下列图形都是由同样大小的正方形“□”按照一定规律排列的，其中①中共有2个正方形，②中共有4个正方形，③中共有7个正方形，④中共有12个正方形，⑤中共有21个正方形，…，照此规律排列下去，则⑦图中正方形的个数为（ ）A.38 B.64 C.71 D.13511.进入12月，南开（融侨）中学的银杏树叶纷纷飘落，毫无杂色的黄足以绚烂整个阴冷萧瑟的冬季。
