北京市朝阳区2019届高三数学第二次5月综合练习二模试卷文【word版】.doc

北京市朝阳区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++Q 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.2．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B 【解析】 【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】共有22623321C C C ++=， 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.3．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A ．33B ．72C 3D 7【答案】C 【解析】 【分析】易得||2AF a =，||4BF a =，又1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形， 所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =，故||2AF a =，||4BF a =，1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r，所以2221(41624)4c a a a a =+-⨯，即223c a =，故离心率为3e =故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题.4．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.5．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B. 【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.6．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是A ．(0,1)[5,)+∞UB ．6(0,)[5,)5+∞U C ．(1,5] D ．6(,5]5【答案】A 【解析】 【分析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意； 1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞U .本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥【答案】A 【解析】 【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.9．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.10．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．42D ．43【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.π又122r r a -=.故212416rr b ==， 所以12121sin 4323AF F S r r π==V . 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D 【解析】 【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【点睛】12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题 文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =( )A. {|0}x x >B. {|12}x x <<C. {|12}x x ≤<D. {|0x x >且1}x ≠【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x ＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可． 【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x ＜2}， 又有A={x|x ＞1}，则A ∪B={x|x ＞0}． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．2.复数(1)i i +的虚部为（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 【答案】C 【解析】 【分析】将复数化简成a+bi 的形式，从而可得到复数的虚部.【详解】i(1+i)=i 11+i －＝－， 所以复数的虚部为1，故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数的有关概念，属于简单题.3.已知3log a e =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c a b >> B. c b a >> C. a b c >> D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.【详解】32.7182o 8l g e x y ⋯＝，＝是增函数， 所以33log e >log 2，即a c ＞，33log e <log 31a ==， ln 3log 3log 1e e b e ==>=，所以b a c ＞＞, 故选：D 【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答.4.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s 的值为（ ）A. 4B. 83C.5215D.304105【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】第一次，4,1,3s k k ==≥否，第二次，484,2,333s k k =-==≥否， 第三次，8452,3,33515s k k =+==≥是， 程序终止，输出s=5215，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础．5.已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=（ ）A. 3 C. 7【答案】B 【解析】【分析】将a b +平方,利用向量的数量积公式计算可得答案. 【详解】22221||||||2||||cos14212332a b a b a b π⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以a b +=故选:B.【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，考查向量的模的求法，属于简单题.6.已知等差数列{}n a 首项为1a ，公差0d ≠. 则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，从充分性与必要性的角度分析“139,,a a a 成等比数列”和“1a d =”的关系，综合即可得答案． 【详解】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即（a 1+2d ）2=a 1•（a 1+8d ），变形可得：a 1=d ，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的充分条件；若a 1=d ，则a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的必要条件；综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”充要条件； 故选：C ．【点睛】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题．7.已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. (),1-∞D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需()0,a ∈-∞，从而得到a 的范围. 【详解】指数函数20xy =>，没有零点，y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点，须()()f x x x a =-<有零点，即()0,a ∈-∞， 则0a >， 故选：B.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.8.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图． 所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1， 在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE， 在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2． 故选：D ．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.函数()2sin cos cos2f x x x x =+的最小正周期为______. 【答案】π 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简，然后由正弦函数的周期公式可得答案.【详解】函数()sin 2cos 2222224f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,所以，最小正周期22T ππ==， 故答案为：π【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数周期的求法，属于简单题.10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为：2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.11.圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是______.1 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值. 【详解】圆C 的圆心为C(0,1)，半径为1R ＝，圆心C 到直线的距离为：d ==11【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r ，最小值为d-r.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.【答案】92π+【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,由柱体体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为1，故体积为：13319V ⨯⨯＝＝， 圆柱的底面圆直径为1，高为2，故体积为：221V 222ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所求体积为12V 92V π+=+，故答案为：92π+【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解．13.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是_________. 【答案】()2,2（答案不唯一） 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．【详解】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y 的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）． 故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．14.设全集{1,2,3,,20}U =，非空集合A ，B 满足以下条件：①A B U ⋃=，A B ⋂=∅；②若x A ∈，y B ∈，则x y A +∉且xy B ∉当7A ∈时，1______B （填R ∆或∉），此时B 中元素个数为______.【答案】 (1). R ∆ (2). 18 【解析】 【分析】先假设1∈A ，推出与条件矛盾，得1∈B ，然后根据条件以及进行讨论求解即可． 【详解】（1）因为A B U ⋃=，A B ⋂=∅；所以，11A B ∈∈，有且只有一个成立， 若1A ∈，对于任一个x B ∈， 1·x x B =∈，与若x A ∈，y B ∈，则xy B ∉矛盾， 所以，1A ∈不成立，只有1B ∈； （2）因为7,1B A ∈∈， 所以，718B,717A +=∈⨯=∈，若6A ∈，则617B +=∈与7A ∈矛盾，所以，6B ∈， 由7A,6B ∈∈，可得：7613B +=∈， 同理71320B +=∈，若2A ∈，因为8B ∈，所以，2810B,21020A +=∈⨯=∈，与20B ∈矛盾，所以，2∈B ， 因为2∈B ，所以，729B,7816B,2714A +=∈+=∈⨯=∈，7A,10B ∈∈，可推得：3B,71017B ∈+=∈，若4A ∈，由3B ∈，可得：437B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，4B ∈， 所以，7411B,71118B +=∈+=∈，若5A ∈，由2∈B ，可得：527B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，5B ∈， 所以，7512B,71219B +=∈+=∈， 所以，A {7,14}=，B {1,2,8,4,5,6,,8,,19,20}=，共有18个。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）2019．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =A.{|0}x x >B.{|12}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为A.B. 1C. 0D. 1-3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算. 根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制 的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4B.83C.5215D.3041054.在△ABC 中，6B π=，4c =，cos 3C =,则b =A. B. 3 C.32 D. 435. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A.(),0-∞B.(),1-∞C. ()1,+∞D. ()0,+∞7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32 B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值28.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=, 2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,则AQ 在BC 方向上投影的最大值是A.13B. 12C. D.23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 中最小的是 .10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是 . 11.圆cos ,:1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的点P 到直线12,:1x t l y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的距离最小值是 .12. 已知实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值为4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 .13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.B14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H .线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当[,]312x ππ∈-时，求证：()f x ≥16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求()E X 与()E Y 的值； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分. 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分. 请直接写出x 与122x x +的大小关系.0.5a 0.2 789 10 评分O频率组距17.（本小题满分14分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =(Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ； (Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ； (Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a的离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明：直线BD 过x 轴上的定点.B 1B20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合A ,定义集合(){,}S A a b a A b A =+∈∈∣, 记集合()S A 的元素个数为(())d S A . 定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A AS A=. （Ⅰ）若{}0,1,2A =, 求(),()S A T A ;（Ⅱ）若集合A 有n 个元素，证明:“(())21d S A n =-”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”; （Ⅲ）若{1,2,3,4,5,6,7,8}A ⊆且{1,2,3,,25,26}(())T T A ⊆，求元素个数最少的集合A .北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()2sin cos f x x x x =+-sin 2x x =+2sin(2)3x π=+所以()f x 的最小正周期2T ωπ==π.………….6分（II ）因为[,]312x ππ∈-，即2+[,]332x πππ∈-, 所以()f x 在[,]312ππ-上单调递增.当2+=33x ππ-时，即=3x π-时，min ()=f x所以当[,]312x ππ∈-时， ()f x ≥ ………….13分 16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12. ………….3分 （Ⅱ）X 的可能取值为2,3.2141353(X 2)5C C P C ===；34352(X 3)5C P C ===. 所以X 的分布列为所以3212()23555E X =⨯+⨯=. 由题意可知，1~(3,)2Y B ，所以3()2E Y np ==. ………….10分（Ⅲ）122x x x +<. ………….13分 17．(本小题满分14分)(I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB . 又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D , 所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D，连接1DD .显然DA ，DC ，1DD两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -, 则(0,0,0)D，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C ,E ,(0,2,0)C.所以1(0,DB =-，DA =，1BC =. 又因为12300400BC DA ⋅=+⨯+⨯=，1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥. 又因为1DADB D =，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分（Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，B又(AC =-，1(0,4,B C =-，由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得20,40.y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 设1x =，则y =，z =，则2=n .所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n . 设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以cos θ=. ………….14分 18． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分 （Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得14a a--=，解得2a =-+2a =--因为10a -<<，所以2a =.④当0a >时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=， 解得2a =-+2a =--，故不成立.综上所述2a =-+.………….13分 19． (本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2213x y +=.………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0).证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A ，(1,B ，D . 此时，直线BD 的方程为：2)y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y . 由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=.所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++. 直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=- 212213y y x y y -=- 2122143x x x x x --=- 2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合{}0,1,2A =, 则{}()()0,1,2,3,4S A T A ==. ….3分（Ⅱ）令12{,,}n A x x x =.不妨设12n x x x <<<.充分性：设{}k x 是公差为d ()0d ≠的等差数列.则111(1)(1)2(2)(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n ≤+≤.所以i j x x +共有21n -个不同的值.即(())21d S A n =-.必要性：若(())21d S A n =-.因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1,2,,1)i n =-.所以()S A 中有21n -个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -+++.任意i j x x +(1,i j n ≤≤) 的值都与上述某一项相等.又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1,2,,2i n =-. 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明: 1A ∈. 假设1A ∈/, A 中的元素均大于1, 从而1()S A ∈/, 因此1()T A ∈/, 1(())S T A ∈/, 故1(())T T A ∈/, 与{}1,2,3,...,25,26(())T T A ⊆矛盾, 因此1A ∈.设A 的元素个数为n , ()S A 的元素个数至多为2n C n +, 从而()T A 的元素个数至多为2(3)2n n n C n n +++=. 若2n =, 则()T A 元素个数至多为5, 从而(())T T A 的元素个数至多为58202⨯=, 而(())T T A 中元素至少为26, 因此3n ≥. 假设A 有三个元素, 设23{1,,}A a a =, 且2318a a <<≤, 则223322331,2,,1,,1,2,,2(),a a a a a a a a T A +++∈从而1,2,3,4(())T T A ∈.若25a >, (())T T A 中比4大的最小数为2a ,则5(())T T A ∈/, 与题意矛盾, 故25a ≤.集合(())T T A 中最大数为34a , 由于26(())T T A ∈, 故3426a ≥, 从而37a ≥. (i)若2{1,,7}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,7,8,2,7,14()a a a a T A ++∈, 则有81422,21428(T T A +=⨯=∈, 在22与28之间可能的数为2214+2,21a a +.此时23,24,25,26不能全在(())T T A 中, 不满足题意.(ii)若2{1,,8}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,8,9,2,8,16()a a a a T A ++∈, 则有16925(()T T A +=∈, 若26(())T T A ∈, 则216226a +=或216(8)26,a ++=解得25a =或22a =.当{1,2,8}A =时, 15,21,22,23(())T T A ∈/, 不满足题意.当{1,5,8}A =时,(()){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},T T A = 满足题意.故元素个数最少的集合A 为{}1,5,8 ………….13分。

“疫情+高考”考生家长该怎么做？【“疫情+高考”双压之下考生家长该怎么做？来听郑外校长赠送的七个“锦囊”】耐心倾听孩子的倾诉；尊重孩子的想法；做孩子需要的事情，而不是自己需要的事情......受疫情影响，今年参加高考的学子即将迎来人生的一场大考。

作为学生家长该怎么做？4月1日，郑州外国语学校校长王丽娟通过网络说了一段走心的话，给广大学生家长赠送了七个“锦囊”，引导家长正确帮助孩子度过关键时期。

◆锦囊一希望家长尝试去理解学生现在的焦虑，现阶段学生有焦虑、担忧和压力，这是很正常的。

因为大家知道，毕竟最后走到考场的是学生，我们家长要尽量尝试去理解为什么孩子会有现在的想法和焦虑，要敞开心扉多听孩子倾诉，多走进孩子的内心。

家长要做孩子的倾听者，这样会有助于孩子释放压力，有助于学习状态的调整。

家长朋友们，要知道，其实现在孩子们更多的时候是需要倾诉，做好倾听者，什么也不用说，可能孩子倾诉完之后，烦恼就解除了很多。

◆锦囊二希望家长把孩子当成大人，高三的学生18岁了，很多孩子对自己的生涯规划、职业发展是有一定主见的，那么在这样的情况下，孩子们更渴望的是被尊重、被认同，所以希望家长们能够多听孩子的想法，能够尊重孩子的意见，不要把自己的意见和想法强加给孩子，要明白孩子的想法都是有原因的，并非无理取闹。

◆锦囊三做孩子需要的事情，而不是自己需要的事情，有时候家长认为的“我都是为你好”不见得符合孩子的实际，也就是说孩子不见得领情，也许有时候，我们认为的“我都是为你好”只是我们的一厢情愿而已。

◆锦囊四学生在家期间，家长做好监督、约束和陪伴，这是家长要尽到的责任，但是我们又希望家长不要过多地打扰孩子的学习和生活，相信孩子是在按照自己的计划去学习的，让孩子独立自主地去学习。

因为我们知道，高三的学习、高三的解题需要深度的思考，没有规律的叨扰有时候会影响孩子们的学习状态，耽误时间。

有时候，孩子碰到难题，冥思苦想，刚有了思路，正在奋笔疾书，这时候家长推门而入，那么可以想象孩子会是一种什么样的心情。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2019.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U=R，集合A={x︱0<2x<1},B={x︱log3x>0},则A∩(C U B)=(A){x︱x>1} (B){x︱x>0} (C){x︱0<x<1} (D){x︱x<0}（2）设x,y∈R那么“x>y>0”是“xy>1”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为（A）8 （B）4 （C）43（D）3（4）已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为(A)1 (B)3(C)2 (D)4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。

现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A）120个（B）80个（C）40个（D）20个（6）点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A（0,–1）的距离与到直线x=–1的距离和最小值是（A）5（B）3（C）2 （D）2（7）已知棱长为1的正方体ABCD–A1 B1 C1 D1中，点E,F分别是棱BB1 ，DD1上的动点，且BE=D1 F=λ（0＜λ≤12）。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）2019.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|12}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D）3. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）c a b >> （B ） c b a >> （C ）a b c >> （D ） b a c >> 4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 （A ）4（B ）83（C ）5215 （D ）3041055. 已知平面向量,a b 的夹角为2π3，且1,2==a b ，则+=a b （A ）3 （B（C ）7 （D6. 已知等差数列{}n a 首项为1a ，公差0d ≠. 则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（A ）(),0-∞ （B ）()0,+∞ （C ）(),1-∞ （D ）()1,+∞8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 函数()2sin cos cos2f x x x x =+的最小正周期为 .10. 已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p = ；点M 到抛物线C 的焦点的距离是 .11. 圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是 .B12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .13.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 . 14. 设全集{1,2,3,,20}U =，非空集合A ，B 满足以下条件：①AB U =，A B =∅；② 若x A ∈，y B ∈，则x y A +∉且xy B ∉.当7A ∈时，1______B （填∈或∈/），此时B 中元素个数为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，已知132412,18a a a a +=+=,n *∈N .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求3693...n a a a a ++++.侧视图正视图俯视图如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =BD =（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．17. （本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下图.（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.方案一：计算所有专家与观众评分的平均数x 作为该选手的最终得分； 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分.请直接写出x 与122x x +的大小关系.0.5a 0.2789 10 评分O频率 组距 A DCB如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ,90BAD ∠=, 4AB =，2AD =，3DC =,点E 在CD 上，且2DE =，将△A D E 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）. G 为AE 中点.（Ⅰ）求证:DG ⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.20. （本小题满分14分）已知函数()(1)ln ()f x m x x m =++∈R .（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数211()+()2g x x f x x=-在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值 范围.图1 图2GEDCA EDCBA北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）答案2019.5一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15． （本小题满分13分）解：（I ）因为{}n a 是等差数列，132412,18a a a a +=+=,所以112212,2418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,3d a ==.则3(1)33n a n n =+-⨯=,n *∈N . ………….7分（II）3693,,,...,n aa a a 构成首项为3=9a ,公差为9的等差数列.则36931 (9)1)92n a a a a n n n +++++-⨯29=()2n n +. (13)分 16． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠． 因为60A ∠=︒，AD =BD =所以sin sin sin 604AD ABD A BD ∠=⨯∠=︒=．………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin 4ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以cos cos(90)sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2CD =，BD =所以2462BC BC =+-，即 232=0BC BC -+， 解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =． ………….13分17． （本小题满分13分）解：（Ⅰ）0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12． ………….3分 （Ⅱ）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q ．因为基本事件有AB ，AC ,AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE共10种，事件Q 的对立事件只有CD 1种， 所以19()11010P Q =-=. ………….9分 （Ⅲ）122x x x +<． ………….13分18． （本小题满分13分） 解： （Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ． ………….4分 （Ⅱ）在直角三角形ADE中，易求AE =则AD DEDG AE⋅== 所以四棱锥D ABCE -的体积的体积为1(14)232D ABCE V -+⨯=⨯． …………8分（Ⅲ） 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =．GEDC过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ,则:1:3DP PB =． 又因为//CF AE ， AE ⊂平面ADE ,CF ⊄平面ADE , 所以//CF 平面ADE ． 同理//FP 平面ADE ． 又因为CFPF F =，所以平面//CFP 平面ADE ． 因为CP ⊂平面CFP ， 所以CP //平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，且34BP BD =． ………….13分19． （本小题满分14分）（Ⅰ）由题意可得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0)N .证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A，(1,B，D . 此时，直线BD的方程为：2)y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分 20． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1m =时，()2ln f x x x =+， 所以1()2f x x'=+，(1)3f '=． 又(1)2f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为310x y --=．………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 1(1)1()1m x f x m x x++'=++=， （1） 当10≥m +即1≥m -时，因为(0,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞．（2） 当10m +<，即1m <-时，令()0f x '=，得11x m =-+． 当101x m <<-+时，()0f x '>； 当11x m >-+时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+． 综上，当1≥m -时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞；当1m <-时，()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+．………….9分（Ⅲ）因为2+11()(1)ln 2g x x m x x x=-+-， 所以322211(1)1()(1)=x m x x g x x m x x x-+--'=--+-. 令32()(1)1h x x m x x =-+--，2()32(1)1h x x m x '=-+-.若函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点, 则函数()h x 在区间(1,2)内存在零点. 又(0)10h '=-<，所以()h x '在()0,+∞内有唯一零点0x . 且()00,x x ∈时，()0;h x '<()0,x x ∈+∞时，()0,h x '>则()h x 在()00,x 内为减函数，在()0,x +∞内为增函数.又因为(0)10,h =-<且()h x 在()1,2内存在零点,所以(1)0,(2)0.h h <⎧⎨>⎩ 解得124m -<<. 显然()h x 在()1,2内有唯一零点，记为1x .当()11,x x ∈时，()0h x <，()1,2x x ∈时，()0h x >，所以()h x 在1x 点两侧异号，即()g x '在1x 点两侧异号，1x 为函数()g x 在区间(1,2)内唯一极值点.当2m ≤-时，(1)20,h m =--≥又(1)0,()0h h x ''>>在(1,2)内成立,所以()h x 在(1,2)内单调递增，故()g x 无极值点. 当14m ≥时，(2)0,(0)0,h h ≤<易得()1,2x ∈时,()0,h x <故()g x 无极值点. 所以当且仅当124m -<<时，函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点. …….14分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（文史类） 2019.5一、选择题：（满分40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C B A A C二、填空题：（满分30分） 题号 9 10 11 12 13 14答案 10 72- 12,210x y --=2x =-,5 (,2][0,1)-∞- 21960n n -+-,5 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为21cos 212sin 3A A =-=-， 所以6sin 3A =． 因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a c A C=，解得32a =． …………………6分(Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=.解得5b =或3b =-（舍）.152sin 22ABC S bc A ∆==. …………………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）79+84+88+89+93+95==886x 甲，78+83+84+86+95+96==876x 乙. …………………4分（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个.从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个.其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），（95,96）共6个.则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61122p ==.………13分17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)因为2a ，4a ，9a 成等比数列，所以9224a a a ⋅=.将11=a 代入得 )81()1()31(2d d d +⋅+=+, 解得0=d 或 3=d .因为数列}{n a 为公差不为零的等差数列，所以3=d .数列}{n a 的通项公式1(1)332n a n n =+-⋅=-.……………………………6分（Ⅱ）因为对任意n *∈N ，6n ≠时，都有6n S S <，所以6S 最大，则0<d ，6765,.S S S S >⎧⎨>⎩ 所以760,0.a a <⎧⎨>⎩则1160,50.a d a d +<⎧⎨+>⎩ 因此156d a d -<<-.又1a ，d ∈Z ，0<d ，故当1-=d 时， 156a <<， 此时1a 不满足题意.当2-=d 时，11012a <<， 则111a =，当3-=d 时， 11518a <<,116,17a =,易知3-≤d 时,116a ≥，则1a 的最小值为11. ………………………………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABE ∆为等边三角形，O 为BE 的中点，所以AO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE 平面BCDE BE =，AO ⊂平面ABE ，所以AO ⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以AO CD ⊥．……………………………………………………………4分（Ⅱ）连结BD ，因为四边形BCDE 为菱形，所以CE BD ⊥．因为,O F 分别为,BE DE 的中点，所以//OF BD ，所以CE OF ⊥．由（Ⅰ）可知，AO ⊥平面BCDE ．因为CE ⊂平面BCDE ，所以AO CE ⊥.因为AO OF O =，所以CE ⊥平面AOF ．又因为CE ⊂平面ACE ，所以平面AOF ⊥平面ACE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，//BP 平面AOF ．证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ，连结AN ,PM ．因为四边形BCDE 为菱形，,O F 分别为,BE DE 的中点， 所以12NM MC =． 设P 为AC 上靠近A 点的三等分点， 则12AP NM PC MC ==，所以//PM AN ． 因为AN ⊂平面AOF ，PM ⊄平面AOF ，所以//PM 平面AOF ．由于//BD OF ，OF ⊂平面AOF ，BD ⊄平面AOF ，所以//BD 平面AOF ，即//BM 平面AOF ．因为BM PM M =，所以平面//BMP 平面AOF ．因为BP ⊂平面BMP ，所以//BP 平面AOF . F OB C D A EPMN可见侧棱AC 上存在点P ，使得//BP 平面AOF ，且12AP PC =． …………………………………………………………………………14分19. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=. （1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a >，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a （，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x-'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，； 令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a ，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥. 令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增. 由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减. 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件；若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a<<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a 上单调递增,在1(,1)a 上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =， 依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1e f x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题2a λ=，222c λλλ=-=，所以椭圆C 离心率为222e λλ==.……………………………………………3分 （Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由0012x x y y +=，得02x x =，则02(,0)A x .令0x =，由0012x x y y +=，得01y y =，则01(0,)B y . 则OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=. 所以2002001222x y x y =+≥，即0022x y ≤，则0012x y ≥. 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥. 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，O A B ∆面积的最小值为2． ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）由220022102y x λλ=->，解得022x λλ-<<. ①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-.因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线.当(0,)P λ-时，也满足.②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1F Q 的中点为M ，则(,)22m n M λ-,代入直线l 的方程，得： 2000240x m y n x λλ+--=.设直线1F Q 的斜率为k ，则002y n k m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=.由2000000240220x m y n x y m x n y λλλ⎧+--=⎨-+=⎩，解得22002200244x x m y x λλλ+=-+，20002200484x y y n y x λλ+=+. 所以22200000222200002448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，222y λ=代入22002200244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为200F P y k x λ=-. 由022x λλ-≤≤，02x λ≠-.所以直线2F Q 的斜率为220002220000022222200000022004844824248224F Qx y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλλ+++==++---+ 20000000022222000000482(2)4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ+++===--+- 000000(2)()(2)y x y x x x λλλλ+==-+-.因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线.综上所述2,,Q P F 三点共线. ……………………………………………………………14分。