必修4 三角函数图像性质

高一数学辅导三角函数（四）【三角函数的图像与性质】考点1求与三角函数有关的函数的定义域【例１】(１)求下列函数的定义域:①y=错误!+错误!；②y＝错误!；③y＝lgｓin(cos x)．（2）已知ｆ(x)的定义域为［0，１）,求ｆ(ｃos x)的定义域.解析:(1)①错误!未定义书签。

错误!0<x<错误!或错误!未定义书签。

≤４,所以函数的定义域是错误!未定义书签。

∪[π，4］．②siｎ(cos x)≥00≤cos x≤12kπ-错误!未定义书签。

≤x≤2ｋπ＋错误!未定义书签。

,k∈Ｚ，所以函数的定义域是错误!未定义书签。

.③由siｎ(cosｘ)>02kπ＜coｓｘ＜2kπ＋π(k∈Ｚ）,又∵-1≤cos x≤1，∴0＜cos x≤１，∴所求定义域为错误!未定义书签。

,k∈Z.(2)0≤co ｓ x ＜12k π-＼f （π，２）≤x ≤2k π＋错误!未定义书签。

，且ｘ≠２k π(k ∈Z ）,∴所求函数的定义域为错误!未定义书签。

∪(2ｋπ,2k π＋错误!]，ｋ∈Z.考点2 求三角函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间:（１)ｙ=＼ｆ(1,２)ｓｉｎ错误!; （2）ｙ=－错误!未定义书签。

．解析:(1）∵ｙ＝错误!sin 错误!未定义书签。

=－错误!未定义书签。

ｓi ｎ错误!,且函数ｙ＝sin x 的单调递增区间是错误!未定义书签。

,单调递减区间是错误!未定义书签。

(k ∈Z).∴由2k π－＼f(π,2)≤错误!未定义书签。

-π4≤2k π+错误!未定义书签。

3k π－错误!未定义书签。

≤x ≤3ｋπ+9π8(k ∈Z)， 由2k π＋错误!≤错误!-错误!≤２k π+错误!未定义书签。

3k π＋错误!未定义书签。

≤ｘ≤3k π＋＼f （２１π,8)(错误!Z),即函数的单调递减区间为[3k π－3π8,3k π＋9π８](k ∈Ｚ)，单调递增区间为［3k π+9π８,3k π+错误!]错误!(2）作出函数y =－错误!未定义书签。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

专题二 三角函数的图象与性质一、三角函数的性质函数x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 R R⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域 最值 []1,1-当22ππ+=k x 时，1max =y当22ππ-=k x 时，1min =y []1,1-当πk x 2=时，1max =y当ππ+=k x 2时，1min =yR无最大值与最小值奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 最小正周期：π2 最小正周期：π2 最小正周期：π单 调 性在]22,22[ππππ+-k k 单调递增在]232,22[ππππ++k k 单调递减在]2,2[πππk k -上单调递增 在]2,2[πππ+k k 上单调递减在)2,2(ππππ+-k k 上单调递增对称性对称中心：)0,(πk 对称轴：2ππ+=k x对称中心：)0,2(ππ+k 对称轴：πk x =对称中心：)0,2(πk 无对称轴注：表中 【典例精析】题型一、三角函数定义域与三角不等式 例1. 下列函数的定义域(1)1sin 2+=x y (2))2tan 1lg(x y +=题型二、三角函数的奇偶性 例2. 求下列函数的奇偶性(1)判断函数x x x y sin )2cos(3--=π的奇偶性。

(2)判断函数1tan 1tan lg -+=x x y 的奇偶性。

➢ 变式训练：若函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=6)(2sin )(πθx x f 是偶函数，求θ的一个值。

题型三、三角函数的单调性 例3. 求函数1)23sin(+-=x y π的单调减区间。

变式：求函数1)6cos(2++=πx y 的单调增区间。

例4. 求下列函数的值域(1)3)32cos(2++=πx y (2))63(,3)32sin(2πππ≤≤-++=x x y二、三角函数的图象【知识要点】1. 三角函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像特征。

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第23讲 三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

三角函数的图像和性质课 题 三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还 不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。

教学目标与 考点分析 1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。

教学方法导入法、讲授法、归纳总结法1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．函数)3cos(π+=x y ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数)4tan(x y -=π的定义域为( )． A ．},4|{Z k k x x ∈-≠ππ B ．},42|{Z k k x x ∈-≠ππ C ．},4|{Z k k x x ∈+≠ππD ．},42|{Z k k x x ∈+≠ππ3．)4sin(π-=x y 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0)B ．)0,43(π-C ．)0,23(πD ．)0,2(π4．函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的周期【例1】►求下列函数的周期：(1))23sin(x y ππ-=；(2))63tan(π-=x y考向二 三角函数的定义域与值域(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；②形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例2】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x )4|(|π≤x 的最大值与最小值．【训练2】 (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2))1cos 2lg(sin )4tan(--=x xx y π的定义域(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[，求)(cos x f 的定义域.考向三 三角函数的单调性求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】►求下列函数的单调递增区间．(1))23cos(x y -=π，(2))324sin(21x y -=π，(3))33tan(π-=x y .【训练3】 函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12(2)若0＜α＜π2，)42sin()(απ++=x x g 是偶函数，则α的值为________．【训练4】 (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ))2|(|πϕ<的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．【示例】► 已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为]12,125[ππππ+-k k (k ∈Z )，单调递减区间为]127,12[ππππ++k k (k ∈Z )，则ω的值为________．练一练：1、已知函数)33sin()(π+=x x f（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，则=ϕ______．课后练习：三角函数的图象与性质·练习题一、选择题(1)下列各命题中正确的是 [ ](2)下列四个命题中，正确的是 [ ]A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)(3)下列命题中，不正确的是 [ ]D．函数y=sin|x|是周期函数(4)下列函数中，非奇非偶的函数是 [ ](5)给出下列命题：①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b以上命题中正确命题的个数是 [ ]A．1B．2C．3D．4[ ] A．sinα＜cosα＜tgαB．cosα＞tgα＞sinαC．sinα＞tgα＞cosαD．tgα＞sinα＞cosα(7)设x为第二象限角，则必有 [ ][ ]二、填空题(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．的值是______．(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．(12)给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ其中正确命题的序号是______．三、解答题(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．答案与提示一、(1)B (2)D (3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D提示(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．(5)①=-y(sinx+2)2+3 sinx=-1时，y max=2②当cosx=-1时，f(x)max=a-b∴cosα＜sinα＜tgα二、(9)[-2，2] (10)2或3 (11)y=arctg(x+2) (12)③④提示(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴y=arctg(x+2)由390°＞45°，但tg390°=tg30°＜tg45°，故⑤不正确．综上，③④正确．三、。

三角函数的图像和性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将重点讨论三角函数的图像和性质，并通过具体的例子来说明。

一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，它在[-π/2, π/2]区间内单调递增，在[π/2, 3π/2]区间内单调递减。

在整个定义域[-∞, ∞]上，正弦函数的值域为[-1, 1]，且具有奇对称性。

例如，我们考虑正弦函数y = sin(x)在[0, 2π]上的图像。

根据正弦函数的性质，当x=0时，y=0；当x=π/2时，y=1；当x=π时，y=0；当x=3π/2时，y=-1；当x=2π时，y=0。

连接这些点，我们可以得到正弦函数在[0, 2π]上的图像，即一条上下波动的连续曲线。

二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个基本的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。

与正弦函数相比，余弦函数的图像在水平方向上发生了平移，它在[0, 2π]区间内单调递减，在[-π/2, π/2]和[3π/2, 5π/2]区间内单调递增。

在整个定义域[-∞, ∞]上，余弦函数的值域为[-1, 1]，且具有偶对称性。

以余弦函数y = cos(x)在[0, 2π]上的图像为例，当x=0时，y=1；当x=π/2时，y=0；当x=π时，y=-1；当x=3π/2时，y=0；当x=2π时，y=1。

连接这些点，我们可以得到余弦函数在[0, 2π]上的图像，即一条波动的连续曲线。

三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它描述了斜率的变化。

正切函数的图像具有周期性，其周期为π。

正切函数在定义域的每个周期内，都有无穷多个渐近线，即x=π/2+kπ，其中k为整数。

正切函数的值域为(-∞, ∞)。

以正切函数y = tan(x)在[-π/2, π/2]上的图像为例，当x=-π/4时，y=-1；当x=0时，y=0；当x=π/4时，y=1。

高一数学辅导三角函数(四）【三角函数的图像与性质】考点1 求与三角函数有关的函数的定义域【例1】（1)求下列函数的定义域:①y=错误!+错误!;②y＝错误!未定义书签。

；③y＝lg siｎ(cos x).（２)已知ｆ(x)的定义域为[0，1)，求f（cosｘ）的定义域.解析：(1)①错误!错误!0<x<错误!或错误!未定义书签。

≤4，所以函数的定义域是错误!∪［π，4]．②sｉn（cｏs x）≥０0≤cos ｘ≤12kπ-错误!未定义书签。

≤ｘ≤2kπ＋错误!,k ∈Z，所以函数的定义域是错误!.③由ｓin(cos x）>０2kπ<cos x<２kπ＋π（k∈Ｚ)，又∵－1≤cos x≤1，∴0<cos x≤1,∴所求定义域为错误!未定义书签。

,k∈Ｚ．(2)０≤ｃo ｓ ｘ<12k π－＼f （π,２)≤ｘ≤２k π＋π2，且x ≠2k π(k ∈Ｚ)，∴所求函数的定义域为错误!未定义书签。

∪(2k π，２ｋπ+＼ｆ(π,2)］，k ∈Z. 考点2 求三角函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间：(1)ｙ=错误!sin 错误!未定义书签。

； (2)y=-错误!未定义书签。

.解析：(1)∵ｙ=＼f (１,２)sin 错误!未定义书签。

＝－错误!未定义书签。

s ｉｎ错误!未定义书签。

,且函数y ＝sin x 的单调递增区间是错误!未定义书签。

，单调递减区间是错误!(k ∈Z)．∴由2k π－π2≤错误!未定义书签。

-π4≤2k π＋错误!3ｋπ－错误!≤ｘ≤３k π+错误!(k ∈Z ）,由2k π+π2≤错误!未定义书签。

-错误!≤2k π＋错误!未定义书签。

3k π+错误!未定义书签。

≤ｘ≤3k π+错误!（错误!Z)，即函数的单调递减区间为[3k π-错误!未定义书签。

,3k π＋＼f （9π,８)］(k ∈Z)，单调递增区间为[３k π＋错误!，3k π＋错误!]错误!(２)作出函数y ＝-错误!未定义书签。

高中数学必修4三角函数的图像与性质高一数学辅导三角函数（四）【三角函数的图像与性质】考点1 求与三角函数有关的函数的定义域【例1】(1)求下列函数的定义域：①y＝2＋log1x＋tan x；②y＝2sin（cos x）；③y＝lg sin(cos x)．(2)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cos x)的定义域．解析：(1)①⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，tan x ≥0，x >0⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ， 0<x <π2或π≤x ≤4，所以函数的定义域是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2∪[π，4]．②sin(cos x )≥00≤cos x ≤12k π－π2≤x≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z . ③由sin(cos x )＞02k π＜cos x ＜2k π＋π(k ∈Z)，又∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1，∴所求定义域为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.(2)0≤cos x ＜12k π－π2≤x ≤2k π＋π2，且x ≠2k π(k ∈Z)，∴所求函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2k π－π2，2k π∪(2k π，2k π＋π2]，k ∈Z.考点2 求三角函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：(1)y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3； (2)y ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.解析：(1)∵y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x 3＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 3－π4，且函数y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)． ∴由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π23k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z)，由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π23k π＋9π8≤x ≤3k π＋21π8(k ∈Z)，即函数的单调递减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z)，单调递增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8]（k ∈Z ）. (2)作出函数y ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4的简图(如图所示)，由图象得函数的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z)，单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．考点3 求三角函数的最小正周期、最值(值域) 【例3】(1)求下列函数的值域。