《不等式》学案

学案不等式性质.ppt不等式的基本性质昌邑市实验中学孙雪梅学习目标：1、经历不等式三条基本性质的探索过程。

2、能利用不等式的三条基本性质对不等式进行简单的变形。

3、提高运用类比法研究数学问题的能力。

4、培养积极的参与意识和竞争意识。

课前预习：自学课本第163页到第165页内容，思考下列问题：1、结合学习目标，思考通过预习课本内容，学到了哪些知识？2、对于不等式的基本性质1，课本从两个方面进行了探究，你能参考这两个方面，给同学们进行讲解吗?3、对于不等式的基本性质2，课本也是从两个方面进行了探究，你能参考这两个方面，给同学们进行讲解吗?那不等式的基本性质3呢？4、课本165页的例1主要是学习利用不等式的三条基本性质对不等式进行简单的变形。

你能结合例1中任意一道小题，为同学们进行讲解如何利用不等式的三条基本性质对不等式进行简单的变形吗？预习展示：小组代表讲解不等式的三条基本性质的探究过程。

师生共同总结不等式的基本性质：▪不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

▪不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

▪不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。

课内探究：活动一：填表。

（自主探究让我们来查漏补缺）在上表中没有运用不等式的那个基本性质呢？在运用这个性质时，特别要注意什么呢？/p-91806718.html试一试：▪1、若-2x＜6，两边同除以-6，得————▪2、若-9x＞-0.3，两边同乘-0.3，得---------- ▪3、m＞-3，则-3 m 9.▪4、若a ≥ b，则2 a 2 b▪5、若-a ＜ -b，则a -b考考你0＞4，怎么回事？▪已知m ＞ n，▪两边都乘4，得 4m＞4n▪两边都减去4m，得0＞ 4n- 4m即0＞ 4（n- m）▪两边都除以n- m，得0＞4思考：已知m ＞ n，则n- m是正还是负？巩固练习：一、用适当的不等号填空，并在小括号内填上依据。

基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________． 答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

7.1不等式及其基本性质(1)一、教学目标：1.通过实际问题中数量关系的分析,体会到现实世界中有各种各样的数量关系存在,不等关系是其中的一种。

2.了解不等式及其概念;会用不等式表示数量之间的不等关系。

二、教学重、难点：1.本节课的重点是不等式的概念。

2.本节课的难点是正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示。

三、教具准备:多媒体课件四、学情分析：对于等量关系是学生比较熟悉的,会用等式(方程)进行.表达不等关系虽然大量存在,但用数学方法表达学生还比较陌生.需要引导学生通过对实际问题的认真观察,仔细分析,抓住反映不等关系的关键词语(如多于、少于、不高于、不低于、最多、最少等)，结合已有的数的大小比较、方程等知识，用不等式正确反映实际问题中的不等关系。

五、教学过程：1.回顾与提问:什么是等式？你能举个表示等式关系的例子吗？等式用什么符号连接？2.情境引入：[问题1]用适当的符号表示下列关系：（1）2x与3的和不大于-6；（2）x 的5倍与1的差小于x 的3倍；（3）a与b的差是负数。

[问题2]雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。

设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？[问题3]一种药品每片为0.25g，说明书上写着：“每日用量0.75~2.25g，分3次服用”。

设某人一次服用 x 片，那么 x 应满足怎样的关系？通过两个实际问题：太阳表面温度和药品问题让学生体会到实际生活中广泛存在的不等关系。

3.新课讲解:（1）不等式的定义：用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式注意：不大于，即小于或等于，用“≤”表示（“≤” 也可以说成“至多”“不多于”；不小于，即大于或等于，用“≥”表示(“≥”也可以说成“至少”“不少于”）。

（2）知识巩固:判断下列式子是不是不等式：（1）3>0；（2）4x+3y=0；（3）x=3；（4） x-1；（5）x+2 ≤3；（6）a≠54.深化提高例1：列不等式(1)x的5倍与y的一半的差不大于1(2)x的4倍不大于x的3倍与7的差(3)代数式2y-3的值至少比y-2大3例2：爆破施工时导火索的燃烧速度是0.06米/秒，人离开的速度是4.8米/秒。

2.2 不等式的基本性质导学案课题 2.2 不等式的基本性质课型新授课学习目标1.通过探索发现并掌握不等式的三条基本性质;2.会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形．重点难点会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形感知探究一、自自主学习阅读课本40、41页，回答下列问题：已知x>y，则x-1________y-1 3x________3y -x________-y二、自自学检测1、下列四个不等式：；；；，一定能推出错误!未找到引用源。

的有错误!未找到引用源。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、若错误!未找到引用源。

，则下列各式中一定成立的是错误!未找到引用源。

A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

3、若错误!未找到引用源。

，则下列结论：错误!未找到引用源。

；错误!未找到引用源。

；错误!未找到引用源。

；错误!未找到引用源。

；错误!未找到引用源。

其中一定成立的个数是错误!未找到引用源。

A. 1B. 2C. 3D. 4三、合合作探究探究一：如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流.完成下列填空：2 < 3；2 × 5 __________3 × 5；2 × __________3 ×；2 × (- 1) _______3 × (- 1)；2 × (- 5) _______3 × (- 5)；2 × ( -) _______3 ×( -)你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流．不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______．不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______．探究二：你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：（1）x - 5 > - 1；（2）-2 x > 3．四、当堂检测1、已知a，b，c均为实数，错误!未找到引用源。

课题：9.1.1不等式及其解集【学习目标】1．了解不等式、一元一次不等式等概念． 2．初步学会在数轴上表示不等式的解集． 【活动方案】活动一 了解不等式、一元一次不等式等概念阅读课本P 121至倒数第二行，画出不等式的概念，并在关键词下做上记号，依照不等式的概念完成下列问题：1．自己举出五个不等式:2．用不等式表示:(1)a 是正数； (2)a 是非负数；(3)a 与4的和不大于2； (4)a 的一半小于4．小组交流：从符号上看，不等式的形式有何特征． 活动二 初步学会在数轴上表示不等式的解集阅读课本P 121-123，画出不等式的解及解集的概念，并完成下列问题： 1．下列哪些数值是不等式x 2＜8的解？哪些不是？ －1 5 3.9 4.1 －3 4 －22．把不等式x 2＜8的解集在数轴上表示出来．小组交流：在(2)中，数轴上表示4的点画空心圈,表示什么意思?【检测反馈】1．下列数值哪些是不等式63>+x 的解？哪些不是？ －4 －2.5 0 1 2.5 3 52．用不等式表示：（1）a是负数（2）a与2的差小于－1 （3）a的4倍大于8 （4）a的一半小于33．直接写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来．（1）x+3＜5 (2) 2x＞8 (3) x-2＞0课题：9.1.2不等式的性质⑴【学习目标】1．通过对比等式的基本性质，认识不等式的基本性质； 2．学会初步运用不等式的性质．【活动方案】活动一 回顾等式的基本性质，认识不等式的基本性质阅读课本P 123-124，完成课本中思考的空格，画出不等式的三个基本性质，并在关键词下做上记号．依照不等式的性质完成下列问题： 设m ＞n 用“＞”或“＜”填空：(1)5__5m n --； (2)4___4m n ++； (3)6___6m n ； (4)11__33m n --； (5)32___32m n ----.小组交流：先比较性质2与性质3有什么不同，再比较等式的性质与不等式的性质，它们有什么联系?活动二 会用不等式的基本性质解简单的不等式阅读课本P 125-126，完成例题1中，第(2)，(4)题的空格．依照例题1的解题方法和格式完成下题：用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．(1) x ＋5＞－1 (2) 4x ＜3x －5 (3) 2x －4＞0 (4)－31x ＋2＞5小组交流：1．不等式的解集如何在数轴上表示？2．解不等式时，每一步要注意什么？【检测反馈】1．利用不等式的性质，填”＞”,＜”．(1)若a ＞b ,则a －1 b －1; (2)若a ＞b ,则2a ＋1 2b ＋1;(3)若a＞b,则－2a＋8 －2b＋8;(4)若－1.25y＜10,则y－8;2．用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．(1) x＋2＜6 (2) －2x＞－6课题：9.1.2不等式的性质⑵【学习目标】1．复习不等式的基本性质．2．会用“移项”，“未知数系数化为1”解简单的不等式. 【活动方案】活动一 复习不等式的基本性质 用不等号填空：若a b >，则1．2___2a b ++；2．___a b --；3．2___2a b -+-+；4．___0a b -. 小组交流：运用了哪些不等式的性质？活动二 会用“移项”，“未知数系数化为1”解简单的不等式再看课本P 125例1中(2)(4)小题的解题，画出含有“移项”,“ 未知数系数化1”方法的语句，并在关键字下做上记号．再利用此方法解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： 1．726x ->； 2．321x x <+； 3．2503x >； 4．43x ->.小组交流：1．在黑板上展示答案2．“移项”,“ 未知数系数化为1”的依据分别是什么？注意点分别是什么？【检测反馈】解下列不等式，并在数轴上表示解集：1．51x +>-； 2．435x x <-；13．-8x＞10；4．－x＋2＞5．3课题：9.1.2不等式的性质⑶【学习目标】1．知道像a ≥b 或a ≤b 或a ≠b 这样的不等式，也常用来表示两个数量的大小关系； 2．会用a ≥b 或a ≤b 这样的不等式表示实际问题中的不等关系； 3．会用不等式的性质变形得出等价的新结论. 【活动方案】活动一 知道像a ≥b 或a ≤b 或a ≠b 这样的不等式，也常用来表示两个数量的大小关系 1．2009年12月18日南通的最低气温是-4℃，最高气温是4℃，若t 表示温度，请你用不等式表示这一天的温度.2．某长方体形状的容器长5cm ，宽3cm ，高10cm ，容器内原有水的高度为3cm ，现准备向它继续注水，用V cm 3表示新注入水的体积，写出V cm 3的取值范围，并且在数轴上表示.小组交流：将不等式的解集在数轴上表示时，空心圆圈与实心圆圈各表示什么意思？活动二 会用不等式的性质变形得出等价的新结论例：三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？小组交流：在三角形ABC 中，边AB 、AC 的长分别是2和5，求边BC 的取值范围？【检测反馈】1．用不等式表示下列语句：（1）x 的3倍大于或等于1 （2）x 与3的和不小于6 （3）y 与1的差不大于0abc（4）y的2倍小于或等于－22．解不等式x＋3≤6，并在数轴上表示解集：3．小明就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始．小明家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小明上午几点从家里出发才能保证不迟到？课题：9.2实际问题与一元一次不等式⑴【学习目标】1．能根据具体问题中的数量关系，列一元一次不等式，解决实际问题；2．知道解一元一次不等式的步骤，会解一元一次不等式．【活动方案】活动一会用一元一次不等式描述实际问题中的不等关系甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。

7.1 不等式及其基本性质-学案池州市第十六中学汪重班级姓名【学习目标】1.了解不等式的概念，探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别。

3.感受生活中的不等关系，理解生活中有一些描述不等关系的词语，例如：最大（小），最高（低），超过，低于，不超过，不低于，以上，以下，少于，不少于…会由题意列出最简单的不等式。

【学习重点】不等式的概念及其基本性质【学习难点】不等式的基本性质的掌握和应用，特别是不等式基本性质3的理解与应用。

【学习方法指导】1.类推探究法。

即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质。

2.采用的是“启发、引导、合作探究”的教学方法。

根据学生的认知规律，创设符合学生实际的情境，引导学生自主探索，积极参与课堂活动，培养学生的探究能力。

【学习过程】一、课前导学在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中。

从今天起，你们将学习一类新的数学知识：不等式。

用适当的式子表示下列关系（1）2x与3的和不大于-6；（2）x的5倍与1的差不小于x的3倍；（3）a与b的差是负数；（4）x的2倍与y的值不相等。

二、探究新知(一)不等式概念的探究1.情境创设雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。

设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？2．概括总结．像2x+3≤-6，5x-1≥3x，a-b＜0，2x≠y，4.5t＜28000等，用表示不等关系的式子叫不等式。

常用的不等号有：。

3.跟踪练习：1.判断下列式子哪些是不等式？为什么？(1)3＞2 (2)a2+1＞0 (3)3x2+2x(4)x＜2x+1 (5)x=2x-5 (6)x2+4x＜3x+1(7)a+b≠c2.甲市某天的最低气温是-1℃，最高气温是5℃，设这天气温为t℃，则t 满足的条件是。

3.某段长为30km的公路AB，对行驶汽车限速为（不超过）60km/h，一辆汽车从A到B的行驶时间为t小时，求t满足的数量关系。

不等式的解法及应用★★★高考在考什么【考题回放】 1．不等式112x <的解集是（ D ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞2．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的（ A ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件 3．已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( A )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定4．不等式0121>+-x x的解集是 1(1,)2- . 5．已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 46．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．【专家解答】（Ｉ）设椭圆方程为22221y x a b+=（0a b >>），半焦距为c, 则21||a MA a c=-,11||A F a c =-,由题意，得 22222()24a a a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得 2,1a b c ===故椭圆方程为22143y x += （II ）设P(0,),||1m y m >, 当00y =时，120F PF ∠=当00y ≠时, 12102F PF PF M π<∠<∠< ∴只需求12tan F PF ∠的最大值即可。

不等式选讲1.绝对值不等式：例1.（2013年高考福建）设不等式2x a -<（*a N ∈）的解集为A ，且32A ∈，12A ∉. （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值.演变1.（2011年高考福建）设不等式|21|1x -<的解集为M ．（1）求集合M ；（2）若a b M ∈、，试比较1ab +与a b +的大小．演变2.（2014年高考辽宁）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（1）求M ；（2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.例2.设函数()|24|1f x x =-+（1）若关于x 的不等式()f x t ≥恒成立，求t 的取值范围；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围演变1.（2012年高考辽宁）已知()|1|f x ax =+（a R ∈），不等式()3f x ≤的解集为 {|21}x x -≤≤.（1）求a 的值；（2）若|()2()|2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围.例3.设函数()||3f x x a x =-+，其中0a ≠（1）当2a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集包含{|1}x x ≤-，求a 的取值范围演变1.（2012年高考新课标）已知函数()|||2|f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围例4.（2013年高考新课标1）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.演变1.设函数()|2||2|f x x x a =++-（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；（2）当4a <-时，若存在2x ≤-，使得()4f x x -≤成立，求实数a 的取值范围例5.已知函数()|1||23|f x x x =--+（1）若()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）对于任意非零实数m ，不等式|21||1|||()m m m f x -+-≥⋅恒成立，求实数x 的取值范围演变1.设函数()12f x x x =-+-（1）求不等式()2f x ≤的解集；（2）若不等式||||||()a b a b a f x ++-≥⋅（0a ≠，a b R ∈，）恒成立，求实数x 的取值范围2.柯西不等式：例1.（2014年高考新课标1）若0a >，0b >，且ab b a =+11 （1）求33b a +的最小值；（2）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.演变1.（2013年高考新课标2）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ca ++≤；（2）2221a b c b c a++≥.例2.已知a 、b 为正实数（1）求证：22a b a b b a+≥+； （2）若函数22(1)1x x y x x-=+-（01x <<）的最小值为t ，x y z t ++=，求22223x y z ++的最小值.演变1.已知a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，求证：（1）9111≥++cb a ； （2）222111100()()()3a bc a b c +++++≥.演变2.已知a 、b 、c 为实数，且220a b c m +++-=，222111049a b c m +++-= （1）求证：222211()4914a b c a b c ++++≥； （2）求实数m 的取值范围3.综合应用：例1.已知函数()|2||1|f x x x =+--（1）求()f x 的值域；（2）设233()ax x g x x-+=（0a >），若对任意(0,)s ∈+∞，任意t R ∈，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围演变1.（2014年高考新课标2）设函数()1f x x x a a=++-（0a >） （1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围.例2.已知函数()|21||2|f x x x =---，不等式()0f x ≤的解集为M（1）若关于x 的不等式()f x m ≤有解，求m 的取值范围；（2）设a b M ∈，，221a b +=，若34a b t +≥恒成立，求t 的取值范围演变1.（2014年高考福建）已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .（1）求a 的值； （2）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .演变2.（2012年高考福建）已知函数()|2|f x m x =--，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-（1）求m 的值；（2）若,,a b c R ∈，且11123m a b c ++=，求证：239a b c ++≥。

不等式认识不等式：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤.2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.例1、用不等式表示： ⑴ a 是正数；⑵ b 不 是负数；⑶ c 是非负数； ⑷ x 的平方是非负数；⑸ x 的一半小于-1；⑹ y 与4的和不小于３.例2、用不等式表示： ⑴ a 与1的和是正数；⑵ x 的2倍与y 的3倍的差是非负数；⑶ x 的2倍与1的和大于—1；⑷a 的一半与4的差的绝对值不小于a.例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？注：检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.练习：1．下列各式：(1)5(2)0.0010(3)9(4)320(5)1(6)5x y x y a x +>=->≠≤.其中,不等式有( )个A 3B 4C 5D 62.下列各数,是不等式32x -<的解的有( )个23,2,2,5,0,1,6,1003---A 5B 6C 7D 83.y 与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）Ａ．1302y +> Ｂ．1302y +< Ｃ．1(3)02y +< Ｄ．1(3)02y +> 4．不等式23x +>-的非正整数解是（ ） Ａ．1-，2- Ｂ．0，1-，2-，3-，4- Ｄ．1-，2-，3- Ｄ．1-，2-，3-，4-5.下列说法正确的是( )A 1x =是不等式21x <的解B 不等式21x <的解是0x =C 12x =是不等式21x <的解 D 所有负数都是不等式21x <的解 6．用不等式表示：①“3a -是不大于3-的数”为________；②“x 的21与y 的2倍的和是非负数”为________. ③ “长为a +b ，宽为a 的长方形面积小于边长为3a -1的正方形的面积”为________.7．下列各数12,2,3,2,43--中,______________是不等式370x -≥的解,___________不是不等式30x +<的解.8.用“<”或“>”填空 103___53,104___54,10___5x x ++--++ 9.用不等式表示数量关系 (1)x 的相反数与13的和是正数 (2)a 不是一个负数 (3)y 的2倍加3小于5(4)y 的绝对值与2的差不大于9 (5)x 大于2-且不小于2 (6)一个数x 的平方不大于这个数的相反数不等式的解集如图：请你在数轴上表示：(1)小于3的正整数；(2)不大于3的正整数；(3)绝对值小于3大于1的整数；(4)绝对值不小于--3的非正整数； 概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. （2）、求不等式的解集的过程，叫做解不等式.（3）、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边.当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≤”“≥”时用实心圆圈.例1、将下列不等式的解集在数轴上表示出来.（1）x<221 （2）x 2-≥ （3）-121<x 3≤练习：写出如图所示的不等式的解集．解一元一次不等式1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1.像这样的不等式叫做 一元一次不等式2．不等式性质1，如果a>b ，那么a ±b______b ±c ，如果a<b ，那么a ±c_____b ±c ． 这就是说：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 b________．3．不等式性质2，如果a>b ，并且c____0，那么ac>bc ． 4．不等式性质3，如果a>b ，并且c_____0，那么ac<bc ．这就是说：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向______；•不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向________． 基础训练1.设a<b,用“〈”或“〉”号填空:(1)a+1 b+1; (2)a-3 b-3; (3)3a 3b; (4)-a _-b; (5)a+2 a+3; (6)-4a-5 -4a-3 （7）则a-2 b-1 2.(1)若m+2<n+2,则有m-1 n-1,-5m -5n ；（2）若ac 2>bc 2,则a b,-a-1 -b-1. （3）若a>b,则ac bc(c ≤0),ac 2bc 2(c ≠0). 3．不等式2x ≥4的解集是________． 4．当x_______时，不等式x+3>6成立． 5．x<1是_______的解集？A ．2x-1>0B ．x+3<4C ．x+3<-4D ．-x+2<06．不等式x-1>2的解集为x>3，如图，用数轴上表示这个解集正确的是（ ）7.能使不等式x-7≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．x>8 B ．x ≤8 C ．x ≥8 D ．x ≤7 拓展练习：1、不等式（m-2）x>1的解集为x<21m ，则（ ）A ．m<2 B. m>2 C. m>3 D.m<3.2、写出不等式x+3<6的正整数解.课堂检测1．（1）若x>3，那么x-m_____3-m；（2）若a<b，那么a+6_______b+6；（3）a<-b，那么a+b______0；（4）若7a-2m<7b-2m，那么7a____7b．2．不等式3+x≥6的解集是（）A．x=3 B．x≥3 C．所有大于3的数 D．大于或等于3的整数3．若代数式x-3的值为负数，则（）A．x<3 B．x<0 C．x>3 D．x>04．下列说法正确的是（）A．方程4+x=8和不等式4+x>8的解是一样的; B．x=2是不等式4x>5的唯一解C．x=2是不等式4x>15的一个解;D．不等式x-2<6的两边都加上1，则此不等式成立5．若a>b，且c不为0，则（）A．ac>bc B．ac<bc C．ac2>bc2 D．ac2≥bc26．若a<0，关于a的不等式ax+1>0的解集是（）A．x<1aB．x>1aC．x<-1aD．x>-1a7．若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（）A．x>-43B．x≥-43C．x<-43D．x≤-438．解不等式:（1）12x>-3 （2）-2x<6 （3）3x-6≤0 （4）-12x-6>0课堂检测2：1．若a<b，用“>”或“<”号填空：（1）a+4_______b+4；（2）a-2______b-2；（3）25a_____25b；（4）-2a______-2b．2．在下列各题的“____”中填写不等号并写出理由：（1）因为x>5，所以-x____-5，理由是_______________．（2）因为4x>12，所以x_____3，理由是_____________．（3）-17x<-2，所以x_______14，理由是________________．3．若8+3a<8+3b，那么a，b的大小关系是（）A．a=b B．a<b C．a>b D．以上都不对4．由x<y，得ax>ay，则a应满足的条件是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a>0 D．a<05．求不等式x+4≥3x-2的非负整数解．6．利用不等式的性质，求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥1 （2）4x-15>3x-2 （3）2x-3x<0 （4）-13x≥17．（1）若（m+1）x< m+1的解集是x>1，求m的取值范围．（2）若关于x的方程x-3k+2=0的解是正数，求k的取值范围．一元一次不等式综合练习1．若x|a-1|>a+1，则a=_______．2．下列不等式中是一元一次不等式的是（）A．x+y<2 B．x2>3 C．-2x<1 D．2x>-3①2a-1=4a+9；②3x-6>3x+7；③1x<5；④x2>1；⑤2x+6>x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在解不等式22135x x+->的下列过程中，错误的一步是（）A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 5．使不等式x-5>4x-1成立的值中最大整数是（）A．2 B．-1 C．-2 D．06．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）3x+1≤2x+4 （2）5（x-1）>4（x+2）8．解不等式532123x x++-<，小兵的解答过程是这样的．解：去分母，得x+5-1<3x+2 ①移项得x-3x<2-5+1 ②合并同类项，得-2x<-2 ③系数化为1，得x<1 ④请问：小兵同学的解答是否正确？如果错误，请指出错在哪里？并给出正确的解答．1．当x_______时，代数式312x+的值是负数．2．不等式12123x x+-≥的正整数解为________．3．下列说法中，正确的是（）A．如果a>1，那么0<1a<1 B．若a<1，则1a>1C．若a2>0，则a>0 D．若-1<a<0，则a2>1A ．2（1-y ）+y<4y+2B ．x 2-2x-1<0 C ．12+13>16D ．x+3<x+4 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）4（x-1）<5（x-1）+1 1(2)132x x --≤5335212567(3)(4)123234x xx x x ---+-<-≥-7．（1）当x 取何值时，代数式43132x x +-与的值的差大于1？（2）当x 取哪些正整数时，代数式3-3543286x x --的值不小于的值？一元一次不等式组知识点：1．将_____个（或几个）一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组． 2．几个一元一次不等式的解集的________叫做由几个不等式所组成的一元一次不等式组的解集．例1、解不等式组()()31211282x x x ⎧->+⎨>⎩ 例2、解不等式组()()2111312x x ⎧+<-⎨-≤⎩练习1： 练习2：课堂检测 1．不等式组30,20x x +>⎧⎨-<⎩的解集是_________．2．下列各组合中，是一元一次不等式组的是（ ）．A ．22313513 (3425)72025x x y x x B C D y x y x x +<+=-<⎧+≤⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-<-=+>-<⎩⎩⎩⎩⎩⎨⎧-<++>-148112x x x x ()⎪⎩⎪⎨⎧->+≤--1321423x x x x3．不等式组102050xxx+<⎧⎪+<⎨⎪+>⎩的解集是（）A．x>-5 B．-5<x<-1 C．x<-2 D．-5<x<-24．如图8-3-1，不等式5234xx-<-⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上为（）5．不等式组204060xxx+>⎧⎪->⎨⎪-<⎩的整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．解下列不等式组（1）2102552310(2)46715320xa axa ax-≥⎧-<-⎧⎪+>⎨⎨-≥-⎩⎪-<⎩7．（注重书写过程）求同时满足不等式6x+3>4x+7和8x-3≤5x+12的整数x．课堂检测21．不等式2≤x-5<6的解集为________． 2．不等式31047x x ->⎧⎨<⎩的解集是_______，其中整数解是________．3．在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x ，y 满足x+y>0，则m 的取值范围在数轴上表示，应是（ ）4．不等式组841,x x x m+<-⎧⎨>⎩的解集为x>3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m=3C ．m<3D ．m ≤3 5．解下列不等式组．2110236(1)(2)31324122x x x x x -+<-⎧+>⎧⎪⎨⎨+-≤->⎩⎪⎩ 13103(3)2(1)(3)20(4)1212513x x x x x x x +>⎧--≥+⎧⎪⎪+>-⎨⎨-<⎪⎪-≤⎩⎩6．解不等式组523483x x x x -<+⎧⎪+⎨≥-⎪⎩，并求出它的非负整数解．。