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江苏苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答案纸相应的位置．1.已知集合{}{}|02,|11A x x B x x =≤≤=-<≤，则AB =__________．2.若命题:p x R ∃∈，使210x ax ++<则：:p ⌝____________．3.函数y =___________． 4.曲线cos y x x =-在点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为___________． 5.已知4tan 3α=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 6.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列{}2log n a 的前9项之和为__________． 7.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8xf x =，则193f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222,sin 3sin a b bc C B -==，则A =________． 9.已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________． 10.若函数cos 21tan 0sin 22y θπθθθ+⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则函数y 的最小值为___________．11.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于___________．12.已知数列{}n a 满足：()1111,1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=，则数列{}n b 的前10项的和10S =__________．13.设ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，若,,A B C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值范围是____________． 14.已知函数()()2x af x x a -=+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得()()21f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是____________．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分） 已知函数()()33xxf x R λλ-=+∈．（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[]0,2x ∈恒成立，求实数λ的取值范围． 16.（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,S n n n n n b a a b b b ==+++，求使1262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值．17.（本题满分15分） 已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()2,3f A b c ===，求()cos A B -的值．18.（本题满分15分）如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，0120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米．（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．19.（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ． 20.（本题满分16分）已知()()32310f x ax x a =-+>，定义()()(){}()()()()()(),max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪==⎨<⎪⎩． （1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()()0h x x >的零点个数．（附加题）21.【选做题】本题包括A B C D 、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） （本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点,E EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =-B.（矩阵与变换） （本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点()1,3-变换为()0,8．（1）求矩形M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程． C.（极坐标与参数方程） （本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2sin 2x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r >）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin 104πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围． D.（不等式选讲） （本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证：2222111115a b c d a b c d +++≥++++． 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A B C 、、三个测试项目，假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B C、的概率均为()01a a<<，且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望()E X（用a表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．23.（本小题满分10分）在如图所示的四棱锥S ABCD-中，SA⊥底面(),90,,30ABCD DAB ABC SA AB BC a AD a a∠=∠=====>，E为线段BS上的一个动点.（1）证明：DE和SC不可能垂直；（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S CD E--的余弦值．：。
江苏省无锡市2017届普通高中高三上学期期中基础性检测考试数学试卷答 案1．真 2．103．[]12， 4．1112，，⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 5．2 6．07．13 8．120︒9．1-10．79-11．[0,2ln 2)+12．2-131415．（1）4；（2）13λμ+=．（1）因为(2,1)AB =，(1,2)AC =．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以224AB AC ⋅=+=．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）因为0AP AB =，所以AP AB ⊥，因为(2,1)AB =，设(,2)AP a a =-，．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为3AP AC =，所以(,2)(1,2)3,43,1a a a a a -⋅=-==-，．．．．．．．．．．．8分 (1,2)AP =-，因为(1,2)AC =，所以(1,2)(2,1)(1,2)λμ-=+，．．．．．．．．．．10分 所以1222λμλμ-=+⎧⎨=+⎩，则13λμ+=．．．．．．．．．．．．．．14分16．证明：（1）连BD 交AC 于O ，连EO ，因为O 为BD 的中点，E 为1DD 的中点，所以1//EO BD ．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又,平面平面BD EAC EO EAC ⊄⊂， 所以1//平面BD EAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为1,AC BD DD ⊥⊥平面ABCD ，所以11,DD AC BDDD ⊥于D ，所以AC ⊥平面1BDD ，所以1AC BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 同理可证11AB BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 又1ACAB 于A ，所以1BD ⊥平面1AB C ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分因为1//EO BD ，所以EO ⊥平面1AB C ， 又EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面1AB C ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分17．（1）π3B =；（2）5π12． （1）因为sin sin a bA B=，所以sin sinB b A a =，又sin cos b A B =cos sin B a B =，．．．．．．．．．．3分即tan B =π3B =．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为cos sin A C =2πcos sin()3A A -=，．．．．．．．．．．8分2111cos21cos sin )sin cos sin 22224A A A A A A A A ++=+=+=， 所以π1sin(2)32A +=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因为2π03A <<，所以ππ5π2(,)333A +∈，所以π7π5π2,3612A A +==．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18．（1）by ax c x=++；（2）13.875．（1）若用模拟函数1：by ax c x=++，则有1012221333a b c b a c b a c ⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩，解得125,3,22a b c ==-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 即32522x y x =-+，当4x =时，13.75y =．．．．．．．．．．．．．．5分 若用模拟函数2：x y m n s =+，则有23101213mn s mn s mn s=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得18,,142m n s =-==，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即3142x y -=-，当4x =时，13.5y =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以选用模拟函数1好．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分（2）因为模拟函数3251:22x y x =-+是单调递增的函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分模拟函数32:142x y -=-，也是单调递增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数32:142x y -=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 当6x =时，3614213.875y -=-=，所以预测6月份的产量为13.875万件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 19．（1）因为数列{}n b 为等差数列，且1397208,41S S S =-=，即13797981320841S b S S b b ==⎧⎨-=+=⎩，解得716b =公差为3，．．．．．．．．．2分所以12b =-，得35n b n =-．．．．．．．．3分 又121a b ==，334a b ==， 所以12()N n n a n -*=∈．．．．．．．．．5分 （2）111222112(35)2n n n n T a b a b a b n -=+++=-⨯+⨯++-⨯，．．．．．．．．．①则222212(35)2n n T n =-⨯+⨯++-⨯，．．．．．．．．．．．．．．②将①—②得：2123(222)(35)23(22)(35)22(83)28n nn n n n T n n n --=-+⨯+++--⨯=⨯---⨯-=-⨯-所以*(3828()N ）n n T n n =-⨯+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）因为12,35,n 为奇数为偶数n n n c n -⎧=⎨-⎩，当1m =时，1231238114812,3(18）c c c c c c ⋅⋅+=⋅⋅+=++=，不等，．．．．．．．．．．．9分当2m =时，2348147836c c c ⋅⋅+=⋅⋅+=，2343(3(147)36）c c c ++=++=成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分当3m ≥且为奇数时，2,m m c c +为偶数，1m c +为奇数，所以128m m m c c c ++⋅⋅+为偶数，123()m m m c c c ++++为奇数，不成立，．．．．．．．．．．．．．12分 当4m ≥，且m 为偶数时，若121283()m m m m m m c c c c c c ++++⋅⋅+=++，即(35)2(31)83(35231)m m m m m m -⋅⋅++=-+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 得2(9128)21820m m m m --⋅=-．．．．．．．．．．．．．（*）因为24(9128)2(36128)21820m m m m m m --⋅≥--⋅>-，所以（*）不成立．．．．．．．15分 综上得2m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分20．（1）π4x =或5π4x =；（2）最大值为(0)1g =，最小值为π2π1()2g e=-；（3）π2π2e a e ---<<或3π2a e -=．（1）因为sin cos '()x x x xf x e e=-+，．．．．．．．．．．．1分 所以cos sin ()0x x x x g x e e =-=，解得π4x =或5π4x =；．．．．．．．．．．．3分（2）因为()cos sin sin cos cos 2x x x x x x x x x xg x e e e e e'=--+-=-，．．．．．．．．．．．4分令()0g x '=，解得πx =或3πx =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分πππ3π3π3π所以()g x 的最大值为(0)1g =，所以()g x 的最小值为π2π1(2）g e=-．．．．．．．．．7分（3）因为sin cos ()()x x x xF x a g x a e e'=-+-=-， 所以函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，等价于()0g x a -=在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即()y g x =与y a =的图象恰有两个交点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由（2）知π2ππ(0)(0)1,()()22F g a a F g a e a -''=-=-=-=--，3π2π23π3π()(),(2π)(2π)22a F g a e F g a e a ---''=-==-=-，若π(02）F '≥，则3ππ()()022F F ''>>， 所以()0F x '=至多只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以只有π()02F '<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分若3π()02F '<，则(2π)0F '<，所以()0F x '=只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．12分 所以3π()02F '≥．．．．．．．．．．．．．．．．13分若3π()02F '=，即3π2a e -=，在3π2x =处同号，不成立；若(2π)0F '≤，则()0F x '=有3个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 所以只有(2π)0F '>．所以满足的条件为：π22πππ()()022(2π)(2π)0F g a e a F g a e a --⎧'=-=--<⎪⎨⎪'=-=->⎩， 解得π2π2e a e ---<<或3π2a e -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分江苏省无锡市2017届普通高中高三上学期期中基础性检测考试数学试卷解 析1．2．试题分析:由题设乙类产品抽取的件数为260101245⨯=+++,故应填答案10．3．由题设可得101220x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩,故应填答案[]12，． 4．由题设122a =,则1a =-,又12B ∈,则12b =,故A B =1112，，⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故应填答案1112，，⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 5．6．因为20i +≠,所以1(1)0x y i -++=,故1,1x y ==-,则0x y +=,故应填答案0．7．抽取的所有能有(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,1),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2)共九种,其中(1,2),(2,1),(3,3)的数字之和都是3的倍数,所以两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为3193P ==,故应填答案13． 8．因为2(2)12a b -=,即44412a b -⋅+=,也即1cos 2a b <⋅>=-,所以a 与b 的夹角为120︒,故应填答案120︒．9．10．由题设可得1cos()243απ-=,即cos sin 223αα-=,也即272cos sin 1229αα-=-=．7sin 9α=-,故应填答案79-．11．12．由题设()2*427n n S a n n n N =-+∈可得21142(1)7(1)n n S a n n --=--+-,将以上两式两边相减可得1422217n n n a a a n -=--++,即14n n a a n -=--+,所以14n n a a n -+=-+,又因为13a =,所以23241a =--+=-,故31243a =-+=,依次可推得112a =-,应填答案2-． 13．因为1412a b +++11413(2)4(1)[(1)3(2)]()[13]14121412b a a b a b a b++=++++=++++++≥14．本题考查雄安新区的设立对白洋淀旅游业的影响。
2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是命题（填“真”或“假”）2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为．3．函数y=+的定义域为．4．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B= ．5．执行如图所示的流程图，则输出的M应为6．若复数[x-1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y=7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为．8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为．9．已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为．10．已知f（x）=cos（﹣），若f（α）=，则sinα= ．11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 的范围为．12．设数列{an } 的前n项和为Sn，已知4Sn=2an-n2+7n（n∈N*），则a11= ．13．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则+的最小值为．14．已知正实数x，y满足+2y-2=lnx+lny，则x y= ．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点， =λ+μ，且•=0，•=3．（1）求•；（2）求λ+μ的值．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点．求证：（1）BD 1∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面AB 1C ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinA=acosB ．（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A 的值．18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m •n x +s ．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量．19．已知数列{a n } 为等比数列，等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 13=208，S 9﹣S 7=41，a 1=b 2，a 3=b 3．（1）求数列{a n }，{b n } 的通项公式；（2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n （n ∈N * ），求T n ；（3）设c n =，问是否存在正整数m ，使得c m •c m+1•c m+2+8=3（c m +c m+1+c m+2）．20．已知函数f （x ）=，定义域为[0，2π]，g （x ） 为f （x ） 的导函数． （1）求方程g （x ）=0 的解集；（2）求函数g （x ） 的最大值与最小值；（3）若函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是真命题（填“真”或“假”）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由自然对数的定义及性质可以判定a＞b＞0的关系，从而判定命题的真假．【解答】解：∵lna＞lnb，由自然对数的定义及性质可则a＞b＞0，所以命题是真命题．故答案：真2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为10 ．【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，∴用分层抽样的方法从中抽取60，则乙类产品抽取的件数为60×=10故答案为：103．函数y=+的定义域为[1，2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解得1≤x≤2，即定义域为[1，2]．故答案为：[1，2]．4．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B= {﹣1，，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．【解答】解：由A∩B={}得，2a=⇒a=﹣1，b=，∴A={1， }，B={﹣1， }，∴A∪B={1，﹣1， }故答案为：{﹣1，，1}．5．执行如图所示的流程图，则输出的M应为 2【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．【解答】解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M==﹣1，i=2，满足条件，则M==，i=3，满足条件，则M==2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：26．若复数[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y= 0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得方程组，求解即可得答案．【解答】解：由[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，得2x﹣y﹣3+（x+2y+1）i=0，即，解得．则x+y=0．故答案为：0．7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：易得共有3×3=9种等可能的结果，两次记下的数字之和为2的有3种，所以概率是．故答案为．8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为120°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算律将已知等式展开，利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夹角的余弦，求出夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，∵||=2，||=1，|﹣2|=2，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||•||cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12，即cosθ=﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案为：120°．9．已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为﹣1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值，代入M=4m求得实数a的值【解答】解：解：由 x，y 满足作出可行域如图，联立，解得：A（a，a），联立，解得：B（1，1），化目标函数为直线方程斜截式y=﹣3x+z，由图可知，当直线过A（a，a）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为m=4a，当直线过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为M=4，由M+m=0，得a+4=0，即a=﹣1．故答案为：﹣110．已知f（x）=cos（﹣），若f（α）=，则sinα= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值可求cos+sin=，两边平方后利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα的值．【解答】解：∵f（x）=cos（﹣），若f（α）=，∴cos （﹣）=（cos +sin ）=，解得：cos +sin =，∴两边平方可得：1+sin α=，解得：sin α=﹣．故答案为：﹣．11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 范围为 [0，2+ln2] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a 的范围．【解答】解：当x ≤0时，y=x 2﹣a ≥﹣a ，函数是减函数，x ＞0时，y=x ﹣a+lnx 是增函数，在区间（﹣2，2）上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得a ∈[0，2+ln2]．故答案为：[0，2+ln2]．12．设数列{a n } 的前n 项和为S n ，已知4S n =2a n ﹣n 2+7n （n ∈N *），则a 11= ﹣2 ．【考点】数列递推式．【分析】由4S n =2a n ﹣n 2+7n （n ∈N *）⇒4S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（n ﹣1）2+7（n ﹣1），n ≥2，两式相减可得a n +a n ﹣1=4﹣n （n ≥2），进一步整理可得数列{a n } 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，从而可得答案．【解答】解：∵4S n =2a n ﹣n 2+7n （n ∈N *），①∴4S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（n ﹣1）2+7（n ﹣1）（n ≥2，n ∈N *），②①﹣②得：4a n =2a n ﹣2a n ﹣1﹣2n+8，∴a n +a n ﹣1=4﹣n （n ≥2），③a n+1+a n =4﹣（n+1），④ ④﹣③得：a n+1﹣a n ﹣1=﹣1．又4a 1=2a 1﹣12+7，∴a 1=3．∴数列{a n } 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，∴a 11=3+（6﹣1）×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．13．已知正实数a ，b 满足a+3b=7，则+ 的最小值为 ． 【考点】基本不等式． 【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正实数a ，b ，即a ＞0，b ＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14则，那么：（+ ）（）= ≥=当且仅当2（a+1）=（b+2）时，即取等号．∴+ 的最小值为：，故答案为：．14．已知正实数x，y满足+2y﹣2=lnx+lny，则x y= ．【考点】对数的运算性质．【分析】令f（x）=﹣lnx﹣2，令g（y）=lny﹣2y，问题转化为求f（x）的最小值和g（y）的最大值，从而求出对应的x，y的值，从而求出x y的值即可．【解答】解：令f（x）=﹣lnx﹣2，则f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）≥f（2）=﹣ln2﹣1，令g（y）=lny﹣2y，则g′（y）=，令g′（y）＞0，解得：y＜，令g′（y）＜0，解得：y＞，∴g（y）在（0，）递增，在（，+∞）递减，∴g（y）≤g（）=﹣ln2﹣1，∴x=2，y=时，﹣lnx﹣2=lny﹣2y，∴x y==，故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点， =λ+μ，且•=0，•=3．（1）求•；（2）求λ+μ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）求出的坐标，代入向量的坐标运算公式计算数量积；（2）用λ，μ表示出的坐标，根据向量的数量积公式列方程组求出λ+μ．【解答】解：（1）=（2，1），=（1，2），∴=2×1+1×2=4．（2）=λ+μ=（2λ+μ，λ+2μ），∵，∴，即，两式相加得：9λ+9μ=3，∴λ+μ=．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点．求证：（1）BD 1∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面AB 1C ．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ．连接EO ，BD 1．根据中位线可知BD 1∥OE ，又OE ⊂平面EAC ，BD 1⊄平面EAC ，根据线面平行的判定定理可知BD 1∥平面EAC ；（2）根据BB 1⊥AC ，BD ⊥AC ，BB 1∩BD=B ，满足线面垂直的判定定理，则AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BD 1⊂平面BB 1D 1D 则BD 1⊥AC ，同理BD 1⊥AB 1，从而BD 1⊥平面AB 1C ．根据（1）可得BD 1∥OE ，从而EO ⊥平面AB 1C ，又EO ⊂平面EAC ，根据面面垂直的判定定理可知平面EAC ⊥平面AB 1C ．【解答】证明：（1）连接BD ，交AC 于O ．连接EO ，BD 1．因为E 为DD 1的中点，所以BD 1∥OE ．又OE ⊂平面EAC ，BD 1⊄平面EAC ，所以BD 1∥平面EAC ；（2）∵BB 1⊥AC ，BD ⊥AC ．BB 1∩BD=B ，BB 1、BD 在面BB 1D 1D 内∴AC ⊥平面BB 1D 1D 又BD 1⊂平面BB 1D 1D ∴BD 1⊥AC ．同理BD 1⊥AB 1，∴BD 1⊥平面AB 1C ． 由（1）得BD 1∥OE ，∴EO ⊥平面AB 1C ．又EO ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面AB 1C ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinA=acosB ．（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A 的值． 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得asinB=acosB ，可求tanB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin （2A+）=﹣，结合A 的范围，可得2A+∈（，），从而可求A 的值． 【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵由正弦定理可得：bsinA=asinB ，又∵bsinA=acosB ，∴asinB=acosB ，∴tanB=，∵B ∈（0，π），∴B=…6分 （2）∵cosAsinC=，∴cosAsin （﹣A ）=，∴cosA （cosA+sinA ）=×+sin2A=，∴sin （2A+）=﹣，∵A ∈（0，），可得：2A+∈（，），∴2A+=，可得：A=…14分18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m•n x+s．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）用待定系数法，求出函数的解析式，即可得出结论；（2）确定用模拟函数2好，再进行预测即可．【解答】解：（1）模拟函数1：y=ax++c，，∴a=，b=﹣3，c=，∴y=，∴x=4，y=13.75；模拟函数2：y=m•n x+s，，∴m=﹣8，n=，s=14，∴y=14﹣23﹣x，∴x=4，y=13.5，∴用模拟函数1好；（2）模拟函数1：y=，是单调递增函数，x=12时，生产量远多于他的最高限量；模拟函数2，单调递增，但生产量y＜14，不会超过15万件，所以用模拟函数2好，x=6，y=13.875，即预测6月份的产量为13.875万件．19．已知数列{an } 为等比数列，等差数列{bn} 的前n 项和为Sn（n∈N*），且满足：S13=208，S 9﹣S7=41，a1=b2，a3=b3．（1）求数列{an}，{bn} 的通项公式；（2）设Tn =a1b1+a2b2+…+anbn（n∈N*），求Tn；（3）设cn =，问是否存在正整数m，使得cm•cm+1•cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列的前n项公式和S9﹣S7=41，即可求出an．再利用a1=b2，a3=b3，可知公比，进而可得{bn} 的通项公式；（2）通过错位相减法即可求出前n项和，（3）分类讨论，计算即得结论．【解答】解：（1）等差数列{bn } 的前n 项和为Sn（n∈N*），且满足：S13=208，S9﹣S7=41，即 解得b 7=16，公差为3∴b 1=﹣2，b n =3n ﹣5，∵a 1=b 2=1，a 3=b 3=4，数列{a n } 为等比数列，∴a n =2n ﹣1，n ∈N*（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =﹣2×1+1×2+…+（3n ﹣5）2n ﹣1，①∴2T n =﹣2×2+1×22+…+（3n ﹣5）2n ，②①﹣①得T n =﹣2+3（2+22+…+2n ﹣1）-（3n-5）2n =3×（2n ﹣2）-（3n ﹣5）2n =（8-3n ）2n -8， ∴T n =（3n ﹣8）2n +8，n ∈N *（3）∵设c n =，当m=1时，c 1•c 2•c 3+8=1×1×4+8=12，3（c 1+c 2+c 3）=18，不相等，当m=2时，c 2•c 3•c 4+8=1×4×7+8=36，3（c 2+c 3+c 4）=36，成立，当m ≥3且为奇数时，c m ，c m+2为偶数，c m+1为奇数，∴c m •c m+1•c m+2+8为偶数，3（c m +c m+1+c m+2）为奇数，不成立，当m ≥4且为偶数时，若c m •c m+1•c m+2+8=3（c m +c m+1+c m+2），则（3m ﹣5）•2m •（3m+1）+8=3（3m ﹣5+2m +3m+1），即（9m 2﹣12m ﹣8）2m =18m ﹣20，（*）∵（9m 2﹣12m ﹣8）2m ≥（9m 2﹣12m ﹣8）24＞18m ﹣20，∴（*）不成立，综上所述m=2．20．已知函数f （x ）=，定义域为[0，2π]，g （x ） 为f （x ） 的导函数．（1）求方程g （x ）=0 的解集；（2）求函数g （x ） 的最大值与最小值；（3）若函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f ′（x ）=﹣+，由方程g （x ）=0 得=0，由此能求出方程g （x ）=0 的解集．（2）+﹣=﹣2×，令g ′（x ）=0，解得x=或x=，由此利用导数性质能求出g （x ）的最值．（3）函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于y=a 的图象恰恰有两个交点，由此利用分类讨论思想能求出实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=，定义域为[0，2π]，∴f ′（x ）=﹣+，∵g （x ） 为f （x ） 的导函数，∴由方程g （x ）=0 得=0，解得，或x=，∴方程g （x ）=0 的解集为{， }．（2）∵+﹣=﹣2×， 令g ′（x ）=0，解得x=或x=， ）∴g （x ）的最大值为g （0）=1，∴g （x ）的最小值为g（）=﹣． （3）∵﹣a=g （x）﹣a，∴函数F （x）=f（x）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g （x ）﹣a=0在定义域外上恰有两个零点且零点处异号，即y=a 的图象恰恰有两个交点，由（2）知F ′（0）=g （0）﹣a=1﹣a ， F ′（2π）=g （2π）﹣a=e ﹣2π﹣a ，，F ′（2π）=g （2π）﹣a=e ﹣2π﹣a ，若，则F ′（2π）＜0，∴F ′（x ）=0只有一个零点，不成立．∴．若，即a=在x=处同号，不成立； 若F ′（2π）≤0，则F ′（x ）=0有3个零点，不成立．∴只有F ′（2π）＞0，∴满足条件为：，解得＜a ＜e ﹣2π或a=．∴实数a 的取值范围是{a|＜a＜e﹣2π或a=}．。
2017 届江苏无锡市普通高中高三上期中数学试卷考试时间： 100 分钟；命题人：xxx学校 :___________ 姓名： ___________班级： ___________考号： ___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．命题“若ln a ln b ，则 a b ”是____________命题（填“真”或“假”）．2．某工厂生产甲、乙、丙、丁 4 类产品共计1200 件，已知甲、乙、丙、丁 4 类产品的数量之比为1：2： 4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60 件，则乙类产品抽取的件数为 _____________．3．函数y x 1 2 x 的定义域为___________．4．已知集合 A 1,2a , B a, b ，若 A B 1，则A B____________ ．25．执行如图所示的流程图，则输出M 的应为____________．6．若复数x 1y 1 i 2 i0x, y R ，则 x y _____________．7．已知盒中有 3 张分别标有1， 2， 3 的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为 3 的倍数的概率为___________ ．8．已知向量a, b满足a2, b1, a2b 2 3 ，则 a 与 b 的夹角为____________．y x9．已知x, y满足x y 2 ，若 z3x y的最大值为 M ，最小值为m，且 M m0 ，x a则实数 a 的值为_____________．10．已知f x cos x，若 f1，则 sin____________．11 x2a, x 0，在区间2,2 上有两个零点，则实数a 的取值范．若函数 yln x, xx a 0围为 __________．12 ． 设 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n ， 已 知 4S n 2a n n27n n N*， 则 a 11______________ ．13 ．已知正实数 a, b 满足 a3b 7 ，则14 的最小值为 ___________．a 21b14 ．已知正实数 x, y 满足x2 y2 ln xln y ，则 xy___________．215 ．已知三点 A 1, 1 , B 3,0 ,C 2,1 , P ，为平面 ABC 上的一点， AP ABAC且AP AB 0, AP AC 3 .（ 1）求 AB AC ；（2）求的值.16．如图，在正方体 ABCD A BC D 中， E 为棱 DD 的中点 .1 1 111求证：（ 1） BD 1 / / 平面 EAC ；（ 2）平面 EAC平面ABC.117．在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 b sin A3a cosB .（1）求 B ；（ 2）若 cos Asin C3 1 ，求 A .418．某工厂第一季度某产品月生产量依次为 10 万件， 12 万件， 13 万件，为了预测以后每个月的产量，以这3 个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份 x 的关系 . 模拟函数 1: y axb c ；模拟函数 2: y m nss .x（ 1）已知 4 月份的产量为万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？19．已知正项数列a n为等比数列，等差数列b n的前n项和为S n n N *，且满足：S13208,S9S741,a1b2 , a3b3.（ 1）求数列a n， b n的通项公式；（ 2）设T n a1b1 a2b2a n b n n N *，求 T n；a n, n为奇数（ 3 ）设c n，问是否存在正整数 m ，使得b n, n为偶数c m c m 1 c m 28 3 c m c m 1 c m 2.20．已知函数（ 1）求方程f xsin x的定义域为0,2,g x为 f x的导函数．e xg x0 的解集；（ 2）求函数g x 的最大值与最小值；（ 3）若函数F x f x ax 在定义域上恰有 2 个极值点，求实数 a 的取值范围.参考答案1．真【解析】试题分析 :因为函数y ln x 是单调递增函数, 故由ln a ln b 可得 a b ,故应填答案真.考点 : 命题真假的判定．2．10【解析】试题分析 : 由题设乙类产品抽取的件数为考点：分层抽样的计算．3．1，2260 10 ,故应填答案 10 . 1245【解析】x102 ,故应填答案， .试题分析 : 由题设可得1x2x0 1 2考点：函数的定义域及不等式的解法．14．1， 1，2【解析】试题分析:由题设2a 11,又1B ,则 b11, 故应填答, 则a2,故A B1， 1，222案1 1，1，.2考点：集合的交集并集运算．5．2【解析】试题分析 : 当i1, M2时, M1,i 2 4 ；当 i 2, M1时, M 1, i 3 4 ；2当 i 3, M 12,i 44.故应填答案 2.时 , M2考点：算法流程图的识读和理解．6．0【解析】试题分析 : 因为2i 0,所以 x 1 ( y 1)i 0 ,故 x 1, y1,则 x y0 ,故应填答案0 .考点：复数的概念及运用．7．13【解析】试题分析 : 抽取的所有能有(1,1), (1,2), (1,3), ( 2,2), (2,1), (2,3), (3,3), (3,1), (3,2) 共九种 , 其中(1,2), (2,1), (3,3) 的数字之和都是 3 的倍数 , 所以两次抽得的数字之和为3 的倍数的概率为3 1 1 .P3, 故应填答案93考点：古典概型公式及运用．8． 120试题分析 : 因为( 2 ) 2 12, 即, 也即1 , 所以 与 bab4 4a b 412cos a b2a的夹角为 1200 , 故应填答案 1200.考点：向量的数量积公式及运用． 9． 1【解析】y x试 题 分 析 : 画 出 不 等 式 组x y2 表 示 的 区域 如 图 , 结 合 图 形可 以 看 出 当 动 直 线x ay3x z 经过点 A(a,a) 和 B(1,1) 时 , z3xy 分别取最小值 m 4a 和最大值 m 4 ,由题设可得 4a4 0 , 所以 a1, 故应填答案1.y=-3x+zyx+y=2x=ay=x21B(1,1)A(a,a)xO12考点：线性规划的知识及运用．10．7 9【解析】试题分析 : 由题设可得cos(4)1, 即cos2sin 2 ,2323也即 2 cos sin 1 (2 )27. sin7, 故应填答案7.223999考点：二倍角的正弦及同角平方关系的运用．【易错点晴】三角变换公式及诱导公式是中学数学中的重要内容和工具, 也高考和各级各类考试的重要内容和考点. 本题以函数的解析式f x cos x和 f1为背景 ,考243查的是三角变换的公式及转化化归的数学思想等有关知识和方法的综合运用. 解答本题时要充分利用题设中提供的条件信息求出 f ( )1建立方程 cos sin2, 然后运用两3223边平方及正弦二倍角公式求出 sin 7从而使得问题获解 . ,911．0,2 ln 2【解析】试题分析 : 由题设可知函数y x 2 a 与函数y x a ln x 在给定的区间(2,0] 和区间a0a0(0,2)内分别有一个根,结合图象可得4a0, 即a4, 所以2a ln 2 0a2ln 20 a 2 ln 2 ,故应填答案0,2ln 2 .考点：函数的图象及零点的确定．【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式x2a, x0y背景的零点个数x a ln x, x0的综合应用问题. 其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力 . 解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息和图形信息, 将问题等价转化为两个函数 y x 2a与函数y x a ln x 在给定的区间( 2,0]和区间 (0,2) 内分别有一个零a 0点的问题 . 然后数形结合建立不等式组4a0, 通过解不等式组从而获得答案 .2a ln 2012．2【解析】试题分析 : 由题设4S n2a n n27n n N *可得4S n 12a n 1 (n1) 27(n 1) ,将以上两式两边相减可得 4a n2a n2a n 12n 1 7 ,即 a n an 1n4,所以an an 1n 4 ,又因为a1 3 ,所以 a2324 1 ,故a3 1 243,依次可推得 a11 2 ,应填答案 2 .考点：数列的递推式及运用．【易错点晴】数列的前 n 项和与数列的通项公式之间的关系等有关知识是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一. 本题设置的目的意在考查数列的通项a n与其前 n 项和 S n的关系 a n S n S n 1 (n1) 及数列中的列举法归纳法等有关知识的灵活运用. 求解时先依据题设条件4S n2a n n27n n N *, 进而得到4S n2a n n27n n N *,然后逐一验证探求得到a11 2 ,从而使得问题巧妙获解.13．13 4 314【解析】试题分析:因 为1 41 a2b1[ a( b1 1 ) 13 4 b( a1 21)3]((214aba2b4113 4 3 , 故应填答案 13 4 3 .1314考点：基本不等式及灵活运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一 . 本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力 . 求解时先将已 知变形为1 41 a2 b1[( a 1)3(2 b)]( 1 4 )1[133( 2 b) 4(a 1) ]13 4 3 , 然 后141 a2 b 14a 12 b13再运用基本不等式最后达到获解之目的.14．2【解析】试题分析 : 由题设可得 ln xyx2y2 2xy2( 当且仅当x4 y 时取等号 ), 即2x 4 yx2ln xy2 xy2 ,1 , 所以 x y2 ,2 .也即2 xy 2y故应填答案ln xy 2考点：函数方程思想及基本不等式的运用条件．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一 . 本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力 . 求解时先将已知x 2 y 2 ln x ln y 变形为 ln xyx 22 y 2 , 然后再运用基本不等式得2x 4yx 2到 ln xy2 xy1 2 , 再用取得等号时的条件, 使得问题获ln xy 2 xy 2y2解 .15． (1) 4 ；(2)1.3【解析】试题分析： (1) 借助题设条件运用向量的数量积公式求解； (2) 借助题设运用向量的坐标形式运算建立方程组探求 . 试题解析：（ 1）因为 AB2,1 , AC 1,2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分所以 AB AC224．．．．．．．．．．．．．．． 4 分（ 2）因为AP AB0，所以 AP AB，因为 AB2,1，设 AP a,2a，．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分因为 AP AC 3 ，所以a, 2a1,23,a4a 3,a1，．．．．．．．．．．．8分AP1,2 ，因为 AC1,2，所以1,22,11,2 ，．．．．．．．．．．10分12，则1所以2．．．．．．．．．．．．．． 14 分23考点：向量的数量积公式及坐标形式的运算公式等有关知识的综合运用．16． (1) 证明见解析； (2)证明见解析 .【解析】试题分析： (1) 借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2) 借助题设运用面面垂直的判定定理推证 .试题解析：证明：（1）连BD交AC于O，连EO，因为 O 为 BD 的中点， E 为DD1的中点，所以EO / /BD1．．．．．．．．．．．．3分又 BD1平面 EAC ,EO平面 EAC ，所以BD1/ / 平面EAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（ 2）因为AC BD , DD1平面ABCD，所以 DD1AC,BD DD1于D，所以 AC平面BDD1，所以 AC BD1，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分同理可证AB1BD1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又 AC A B1于A，所以 BD1平面 ABC1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分因为EO / / BD1，所以EO平面 ABC1，又EO 平面 EAC ，所以平面EAC平面 ABC1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14 分考点：线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理等有关知识的综合运用．17． (1)B5；(2). 312【解析】试题分析： (1)借助题设条件运用正弦定理建立方程求解；(2) 借助题设运用三角变换公式建立方程探求 .试题解析：（ 1）因为a b，所以b sin A a sinB ，sin A sin B又 bsin A3a cosB ，所以3a cosB a sin B ，．．．．．．．．．．3分即 tan B 3 ，所以角B．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分3（2）因为cos Asin C31，所以 cos Asin2A31，．．．．．．．．．． 8 分434cos A 3cos A1sin A3cos2A1sin A cos A 3 1cos2 A1sin 2A 3 1 22222244，所以sin 2 A1，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分32因为 0A 2,5，，所以 2A3333所以 2A37, A5．．．．．．．．．．．．．． 14 分612考点：正弦定理及三角变换的公式等有关知识的综合运用．18． (1)y ax b13.875 .c ；(2)x【解析】试题分析： (1) 借助题设条件运用已知建立方程组分析探求；(2) 借助题设运用函数的思想分析探求 .试题解析：（ 1）若用模拟函数1：y ax bc ，则有x10a b c122a b c，解得 a 1, b3,c25，．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分222133a bc 3即 y x3254 时， y13.75 ．．．．．．．．．．．．．．5分2x，当 x2若用模拟函数2：y m n x s ，则有10mn s1, s12mn2s ，解得 m8, n14 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分13mn3s2即 y1423 x，当x 4 时， y13.5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以选用模拟函数 1 好．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 分（ 2）因为模拟函数1：y x325是单调增的函数，所以当x12 时，生产量远大于2x2他的最高限量，．．．．．．．．．13分模拟函数 2：y1423x ，也是单调增，但生产量y 14 ，所以不会超过15 万件，所以应该选用模拟函数2：y1423x好．．．．．．．．．．． 15 分当 x 6 时，y14 23613.875，所以预测 6 月份的产量为13.875 万件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：函数思想、函数求值及分析探求思想等有关知识的综合运用．19． (1) a n2n 1n N *； (2) T n3n 82n8 n N *； (3)m 2 .【解析】试题分析： (1) 借助题设条件运用等差数列的有关知识建立方程组求解；(2)借助题设运用错位相减法求和； (3)依据题设运用分类整合思想分析推证和探求.试题解析：（ 1）因为数列b n为等差数列，且S13208, S9S7 41，即S1313b7208，解得 b716 ，公差为3，．．．．．．．．．．．．． 2 分S7b9b8S941所以b12，得bn3n5．．．．．．．．．．．．．．3分又 a b1,a b 4 ，1233所以 a n 2n 1 n N *．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 分（2）T n a1b1a2b2a n b n2 1 1 23n 52n 1，．．．．．．．．．①则2T n221223n52n，．．．．．．．．．．．．．．②将①—②得：T n232222n 13n 5 2n3 2n23n 5 2n 2 8 3n 2n8所以 T3n 82n8 n N *n 1为奇数（ 3）因为 c n2 , n ，3n 5,n 为偶数当 m 1时，c 1 c 2 c 3 811 4 8 12,3 c 1c 2 c 318 ，不等，．．．．．．．．．．． 9 分当m 2时， c 2 c 3 c 4 8147 8 36，3 c 2c 3 c 43 14 736 成立，．．．．．．．．．．．．．．． 10 分当 m 3 且为奇数时， c m 2 , c m 为偶数，c m1 为奇数，所以c m c m 1 c m 28 为偶数， 3 c m c m 1 c m 2 为奇数，不成立， ．．．．．．．．．．．．．12 分当 m4，且 m 为偶数时，若 c m c m 1 c m 2 8 3 c mc m 1cm 2，即 3m 5 2m3m 18 3 3m 5 2m3m 1 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13 分得 9m 212m 8 2m18m 20 ．．．．．．．．．．．．．（* ）因为 9m 2 12m 8 2m36m 12m 82418m 20 ，所以（ * ）不成立． ．．．．．． 15分综上得 m 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 16 分考点：等差数列的有关知识及错位相减法求和等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以等差数列等比数列的前n 项和与通项的关系式为背景 , 考查的是运用数 列、不等式等有关知识进行推理论证的思维能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力 . 第一问求解时充分借助题设条件中的有效信息利用等差数列的通项公式及前n 项和之间的关系建立方程组进行求解 . 第二问则运用错位相减法求和法进行求解；第三问分类整合的思想进行分析推证探求 , 从而使得问题获解 .20 ． (1) x5 ； (2) 最 大 值 为 g 01 ， 最 小 值 为 g14 或 x； (3)42e2e23e2a或 ae 2.【解析】试题分析： (1) 借助题设条件运用导数的知识建立方程求解；(2) 借助题设运用导数的知识求解； (3)依据题设运用导数的知识分析探求.试题解析：（ 1）因为 fx sin x cos x ，．．．．．．．．．．．．．．．．1 分e xex所以 g xcos x sin x 0 ，解得 x或 x5exex；．．．．．．．．．．．．．．． 3 分44（ 2）因为 g xcos x sin xsin x cos x2cos x，．．．．．．．．．．． 4 分e x e x e x e xex令 g x0，解得 x或 x32，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分2x00,3332 22,2, 2222g x00g x13e 2 e2e2所以 g x 的最大值为g 01，所以 g x 的最小值为g21．．．．．．．．． 7 分e2（ 3）因为F x sin x cos xa g x a ，e x e x所以函数 F x f x ax 在定义域上恰有 2 个极值点，等价于g x a 0 在定义域上恰有 2 个零点且在零点处异号，即y g x 与y a 的图象恰有两个交点．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9 分由（ 2）知F 0g 0 a 1 a, F g a e 2 a ，223g 33aa e 2F a e 2g 2 a ，, F 222若F0，则 F3F0，222所以 F x0 至多只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分所以只有F20 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分若30，则F20，所以 F x0只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．． 12 F2分所以F30．．．．．．．．．．．．．．．．13 分233若 F，即 a e 22，在 x3处同号，不成立；2若 F 20，则 F x 0 有3个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分所以只有 F20．F g a e 所以满足的条件为：22F 2g 2a e22a 0，a 0a e 23解得 e 2或 a e 2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16 分a e 2或 a 3注：利用图像直接得出 e2 e 2扣4分．考点：导数的知识及分析推证法等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具. 本题就是以函数解析式f x sin x为背景 , 考查的是导数知识在研究函数单调性和最值等方面的综合e x运用和分析问题解决问题的能力. 第一问求解时直接运用导数的求导法则建立求出x或54；第二问求解时 , 直接运用导数和函数的单调性之间的关系求出其最值；第三问则是x4a 的取值范围是运用函数的零点之间的关系建立等式, 然后分析推证的方法求出参数e23e 2a或 a e 2.。
江苏省无锡市2017届普通高中高三上学期期中基础性检测考试数学试卷答 案1．真 2．103．[]12， 4．1112，，⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 5．2 6．07．13 8．120︒9．1-10．79- 11．[0,2ln 2)+12．2-13．1314+1415．（1）4；（2）13λμ+=．（1）因为(2,1)AB =u u u r ，(1,2)AC =u u u r．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以224AB AC ⋅=+=u u u r u u u r．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）因为0AP AB =u u u v u u u v g ，所以AP AB ⊥u u u v u u u v ，因为(2,1)AB =u u u v ，设(,2)AP a a =-u u u v，．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为3AP AC =u u u v u u u vg ，所以(,2)(1,2)3,43,1a a a a a -⋅=-==-，．．．．．．．．．．．8分(1,2)AP =-u u u v ，因为(1,2)AC =u u u v，所以(1,2)(2,1)(1,2)λμ-=+，．．．．．．．．．．10分所以1222λμλμ-=+⎧⎨=+⎩，则13λμ+=．．．．．．．．．．．．．．14分16．证明：（1）连BD 交AC 于O ，连EO ，因为O 为BD 的中点，E 为1DD 的中点，所以1//EO BD ．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又,平面平面BD EAC EO EAC ⊄⊂， 所以1//平面BD EAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为1,AC BD DD ⊥⊥平面ABCD ，所以11,DD AC BD DD ⊥I 于D ， 所以AC ⊥平面1BDD ，所以1AC BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 同理可证11AB BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又1AC AB I 于A ，所以1BD ⊥平面1AB C ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 因为1//EO BD ，所以EO ⊥平面1AB C ， 又EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面1AB C ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分17．（1）π3B =；（2）5π12． （1）因为sin sin a bA B=，所以sin sinB b A a =，又sin cos b A B =cos sin B a B =，．．．．．．．．．．3分即tan B π3B =．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为cos sin A C ，所以2πcos sin()3A A -=，．．．．．．．．．．8分2111cos21cos sin )sin cos sin 22224A A A A A A A A ++=+=+=， 所以π1sin(2)32A +=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因为2π03A <<，所以ππ5π2(,)333A +∈，所以π7π5π2,3612A A +==．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18．（1）by ax c x=++；（2）13.875．（1）若用模拟函数1：by ax c x=++，则有1012221333a b c b a c b a c ⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩，解得125,3,22a b c ==-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 即32522x y x =-+，当4x =时，13.75y =．．．．．．．．．．．．．．5分 若用模拟函数2：x y m n s =+g ，则有23101213mn s mn s mn s=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得18,,142m n s =-==，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即3142xy -=-，当4x =时，13.5y =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以选用模拟函数1好．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 （2）因为模拟函数3251:22x y x =-+是单调递增的函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 模拟函数32:142xy -=-，也是单调递增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数32:142xy -=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分当6x =时，3614213.875y -=-=，所以预测6月份的产量为13.875万件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 19．（1）因为数列{}n b 为等差数列，且1397208,41S S S =-=，即13797981320841S b S S b b ==⎧⎨-=+=⎩，解得716b =公差为3，．．．．．．．．．2分所以12b =-，得35n b n =-．．．．．．．．3分 又121a b ==，334a b ==，所以12()N n n a n -*=∈．．．．．．．．．5分（2）111222112(35)2n n n n T a b a b a b n -=+++=-⨯+⨯++-⨯L L ，．．．．．．．．．①则222212(35)2nn T n =-⨯+⨯++-⨯L ，．．．．．．．．．．．．．．②将①—②得：2123(222)(35)23(22)(35)22(83)28n n n n n n T n n n --=-+⨯+++--⨯=⨯---⨯-=-⨯-L所以*(3828()N ）n n T n n =-⨯+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）因为12,35,n 为奇数为偶数n n n c n -⎧=⎨-⎩，当1m =时，1231238114812,3(18）c c c c c c ⋅⋅+=⋅⋅+=++=，不等，．．．．．．．．．．．9分当2m =时，2348147836c c c ⋅⋅+=⋅⋅+=，2343(3(147)36）c c c ++=++=成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分当3m ≥且为奇数时，2,m m c c +为偶数，1m c +为奇数，所以128m m m c c c ++⋅⋅+为偶数，123()m m m c c c ++++为奇数，不成立，．．．．．．．．．．．．．12分 当4m ≥，且m 为偶数时，若121283()m m m m m m c c c c c c ++++⋅⋅+=++，即(35)2(31)83(35231)m mm m m m -⋅⋅++=-+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分得2(9128)21820mm m m --⋅=-．．．．．．．．．．．．．（*）因为24(9128)2(36128)21820m m m m m m --⋅≥--⋅>-，所以（*）不成立．．．．．．．15分综上得2m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分20．（1）π4x =或5π4x =；（2）最大值为(0)1g =，最小值为π2π1()2g e=-；（3）π2π2e a e ---<<或3π2a e -=．（1）因为sin cos '()x x x xf x e e=-+，．．．．．．．．．．．1分 所以cos sin ()0x x x x g x e e =-=，解得π4x =或5π4x =；．．．．．．．．．．．3分（2）因为()cos sin sin cos cos 2x x x x x x x x x xg x e e e e e'=--+-=-，．．．．．．．．．．．4分令()0g x '=，解得π2x =或3π2x =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分πππ3π3π3π所以()g x 的最大值为(0)1g =，所以()g x 的最小值为π2π1(2）g e=-．．．．．．．．．7分（3）因为sin cos ()()x x x xF x a g x a e e'=-+-=-， 所以函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，等价于()0g x a -=在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即()y g x =与y a =的图象恰有两个交点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由（2）知π2ππ(0)(0)1,()()22F g a a F g a e a -''=-=-=-=--，3π2π23π3π()(),(2π)(2π)22a F g a e F g a e a ---''=-==-=-，若π(02）F '≥，则3ππ()()022F F ''>>， 所以()0F x '=至多只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以只有π()02F '<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分若3π()02F '<，则(2π)0F '<，所以()0F x '=只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．12分 所以3π()02F '≥．．．．．．．．．．．．．．．．13分若3π()02F '=，即3π2a e -=，在3π2x =处同号，不成立；若(2π)0F '≤，则()0F x '=有3个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 所以只有(2π)0F '>．所以满足的条件为：π22πππ()()022(2π)(2π)0F g a e a F g a e a --⎧'=-=--<⎪⎨⎪'=-=->⎩， 解得π2π2e a e ---<<或3π2a e -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分江苏省无锡市2017届普通高中高三上学期期中基础性检测考试数学试卷解 析1．2．试题分析:由题设乙类产品抽取的件数为260101245⨯=+++,故应填答案10．3．由题设可得101220x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩,故应填答案[]12，． 4．由题设122a =,则1a =-,又12B ∈,则12b =,故A B =U 1112，，⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故应填答案1112，，⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 5．6．因为20i +≠,所以1(1)0x y i -++=,故1,1x y ==-,则0x y +=,故应填答案0．7．抽取的所有能有(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,1),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2)共九种,其中(1,2),(2,1),(3,3)的数字之和都是3的倍数,所以两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为3193P ==,故应填答案13． 8．因为2(2)12a b -=r r ,即44412a b -⋅+=r r ,也即1cos 2a b <⋅>=-r r ,所以a r与b r 的夹角为120︒,故应填答案120︒．9．10．由题设可得1cos()243απ-=,即cos sin 223αα-=,也即272cos sin 1229αα-=-=．7sin 9α=-,故应填答案79-．11．12．由题设()2*427n n S a n n n N =-+∈可得21142(1)7(1)n n S a n n --=--+-,将以上两式两边相减可得1422217n n n a a a n -=--++,即14n n a a n -=--+,所以14n n a a n -+=-+,又因为13a =,所以23241a =--+=-,故31243a =-+=,依次可推得112a =-,应填答案2-．13．因为1412a b +++11413(2)4(1)[(1)3(2)]()[13]14121412b a a b a b a b ++=++++=++++++≥14．本题考查雄安新区的设立对白洋淀旅游业的影响。
实用文档2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是命题（填“真”或“假”）2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为．．3．函数y=+的定义域为a A∪B= ．，}，B={ab}，若A∩B={}4．已知集合A={1，2，则．执行如图所示的流程图，则输出的M应为 5），则x+y= ）2+i=0，（x，y∈R6．若复数[x-1+（y+1）i]（的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字，2，37．已知盒中有3张分别标有1的倍数后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3 的概率为．．，则，满足||=2，||=1，|﹣2|=2与的夹角为 8．已知向量，，y 满足，且M+m=0的最大值为若z=3x+y M，最小值为m，9．已知x ．a 则实数的值为．= f（α）=，则sinα）．已知10f（x）=cos（﹣，若．）上有两个零点，则实数11．若函数y=，在区间（﹣2，2a 的范围为*2{a} 的前n项和为）．=∈N ，则a=2aS，已知4S-n+7n（n12．设数列11nnnn．+．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则的最小值为13y．x+2y-2=lnx+lny，则 = y14．已知正实数x，满足 .）解答应写出必要文字说明、小题，二、解答题：（本大题共6共计90分．证明过程或演算步骤，且P）1，为平面ABC上的一点，+λμ =，（，03B），﹣（．已知三点15A11，（，）C2 =0?，．=3 ?μ+）求λ（；?1（）求2 的值．实用文档的中点．求证：为DDBCD中，E16．如图，在正方体ABCD﹣A11111；∥平面EAC（1）BD1．ABC （2）平面EAC⊥平面1．acosB，c，已知bsinA=，B，C 所对的边分别为a，bA17．在△ABC 中，角的值．B ）求角的值；（2）若cosAsinC=，求角A（1万件，为了预测以后每个月的万件，12万件，1318．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10的个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 产量，以这3x万件，月份的产量为13.7 +s．（1）已知4：关系．模拟函数1y=ax++c ；模拟函数2：y=m?n 万件，）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15问选用哪个函数作为模拟函数好？（2 6月份的产量．请选用合适的模拟函数预测*，=208 ），且满足：S∈} 为等比数列，等差数列{b} 的前n 项和为S （nN．已知数列19{a13nnn，{b} 的通项公式；}a=b，a=b．（1）求数列{a，S﹣S=41n13273n9* T；（n∈N ），求b+a2（）设T=abb+…+a nnn1212n．（c?c+8=3c3（）设c=+c+c）?，问是否存在正整数m，使得c m+2m+1m+1mnm+2m）（gx 的导函数．）（为fx，π，，定义域为）（．已知函数20fx=[02] 的最大值与最小值；x2）g（x=0 的解集；（）求函数g（））求方程（1 2ax x=fxF3（）若函数（）（）﹣在定义域上恰有个极值点，求实数a 的取值范围．实用文档学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学2016-2017试卷）请把答案填写在答题卡相应位置上.5分，共70分.一、填空题（本大题共14小题，每小题）命题（填“真”或“假”b”是真lna1．命题“若＞lnb，则a＞命题的真假判断与应用．【考点】的关系，从而判定命题的真假．＞0由自然对数的定义及性质可以判定a＞b【分析】真命题．b＞0，所以命题是，由自然对数的定义及性质可则【解答】解：∵lna＞lnba＞故答案：真类产品的数量之比件，已知甲、乙、丙、丁4．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计12002 10 ．，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为 1：2：4：5为【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．类产品的数量之件，已知甲、乙、丙、丁44类产品共计1200【解答】解：∵甲、乙、丙、丁 5，：4：比为1：2=10×60，则乙类产品抽取的件数为60∴用分层抽样的方法从中抽取10 故答案为：．+的定义域为 [1，2] 3．函数y=函数的定义域及其求法．【考点】，解不等式即可得到所求定x≥0﹣函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2【分析】义域．有意义，【解答】解：函数y=+ ≥0，且2﹣x≥0，1只需x﹣ 2]，．，2]．故答案为：[12解得1≤x≤，即定义域为[1a，1} B= A∩B={}，则A∪{﹣1，．，若，4．已知集合A={12，}B={a，b}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．【解答】解：由A∩B={}得，2a=?a=﹣1，b=，∴A={1， }，B={﹣1， }，∴A∪B={1，﹣1， }故答案为：{﹣1，，1}．实用文档2 M应为 5．执行如图所示的流程图，则输出的【考点】程序框图．不满足条件，退出循环，的值，当i=4，【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的Mi 2．输出M的值为【解答】解：由题意，执行程序框图，可得，M==M=i=1，满足条件，则=﹣1，i=2，满足条件，则 2．故答案为：i=4，满足条件，则M==2，不满足条件，退出循环，输出M的值为2i=3 ∈R），则x+y= 0 ，i]．若复数[x﹣1+（y+1）（2+i）=0，（xy6【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得方程组，求解即可得答案．）=0，i]【解答】解：由[x﹣1+（y+1）（2+i ，i=02x得﹣y﹣3+（x+2y+1）．0，解得即．则x+y=0．故答案为：的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再2，317 ．已知盒中有3张分别标有，．的倍数的概率为随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【考点】【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：易得共有3×3=9种等可能的结果，两次记下的数字之和为2的有3种，所以概率是．故答案为．实用文档．与的夹角为 120°| 8．已知向量，满足||=2，|=1，|﹣2|=2，则【考点】平面向量数量积的运算．利用向量的运算律将已知等式展开，利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的【分析】平方，求出向量夹角的余弦，求出夹角．【解答】解：设与的夹角为θ， |=2，，|﹣2，∵||=2||=1222 cosθ=12，∴|﹣2|=||×+4|||﹣4|?||cosθ=4+4﹣42×1×°．0即cosθ=﹣，∵°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案为：120的M+m=0，则实数a ，最小值为，若满足z=3x+y 的最大值为Mm，且 9．已知x，y1 ．值为﹣简单线性规划．【考点】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立【分析】 M=4m方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值，代入求得实数a的值 y 满足作出可行域如图，，【解答】解：解：由 x）（B1，1，）（联立，解得：Aa，a，联立，解得：化目标函数为直线方程斜截式，y=﹣3x+z m=4a ya由图可知，当直线过A（，a）时，直线在轴上的截距最小，z有最小值为，当直线过有最大值为M=4，zy1B（1，）时，直线在轴上的截距最大，1 1a+4=0由M+m=0，得，即a=﹣．故答案为：﹣．= ﹣α，则（α），若﹣=cosxf10 ．已知（）（）f=sin【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值可求cos+sin=，两 sinα的值．边平方后利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求（α），若﹣=cos xf 【解答】解：∵（）（）f=，实用文档，+sin==∴cos（﹣）=（cos+sin），解得：cos．∴两边平方可得：1+sinα=，解得：sinα=﹣故答案为：﹣．， [0）上有两个零点，则实数a 范围为11．若函数y=，在区间（﹣2，2．2+ln2]函数零点的判定定理．【考点】的范围．【分析】利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a2，函数是减函数，a≥﹣≤0时，y=xa﹣解：当【解答】x ，2）上有两个零点，时，0y=x﹣a+lnx是增函数，在区间（﹣2x＞可知分段函数，两个区间各有一个零点，．，2+ln2]．故答案为：[0，2+ln2][0可得，解得a∈*2 a= ﹣2 项和为12．设数列{a} 的前nS，已知4S=2a﹣n．+7n（n∈N），则11nnnn【考点】数列递推式．2*2，两式相减可得≥2∈N=2a）?4S﹣（n﹣1）﹣+7（n1），n4S【分析】由=2a﹣n（+7nn1n﹣1n﹣nn为公差的等差数列，1na+a=4﹣（n≥2），进一步整理可得数列{a} 的奇数项是以3为首项，﹣nn1n﹣从而可得答案．*2）N（n ∈﹣【解答】解：∵4S=2an，①+7n nn*2），②∈（n≥2，nN﹣=2a∴4S﹣（n1）1+7（n﹣）1﹣n﹣n1）n（n≥2，③=4﹣=2a①﹣②得：4a﹣2a2n+8，∴a+a﹣1n﹣1nnn﹣n2=3．．又﹣﹣（a+a=4n+1），④④﹣③得：aa=﹣14a=2a﹣1+7，∴a11n+1﹣n1n+11n为公差的等差数列，{a∴数列} 的奇数项是以3为首项，﹣1n∴a=3+（6﹣．2=﹣2．故答案为：﹣1）×（﹣1）11．，则+ 的最小值为满足．已知正实数13a，b a+3b=7【考点】基本不等式．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正实数a，b，即a＞0，b＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14则，（）= +那么：（）（b+2）时，即取等号．==≥a+12当且仅当（）∴．+的最小值为：，故答案为：实用文档y．= +2y﹣2=lnx+lny，则x 14．已知正实数x，y满足对数的运算性质．【考点】）的x）的最小值和g（y（2，令gy）=lny﹣2y，问题转化为求f（）【分析】令f（x=﹣lnx﹣y的值，从而求出x的值即可．x最大值，从而求出对应的，y﹣2，【解答】解：令f（x）=﹣lnx）=，则f′（x令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）≥f（2）=﹣ln2﹣1，令g（y）=lny﹣2y，则g′（y）=，令g′（y）＞0，解得：y＜，令g′（y）＜0，解得：y＞，∴g（y）在（0，）递增，在（，+∞）递减，∴g（y）≤g（）=﹣ln2﹣1，∴x=2，y=时，﹣lnx﹣2=lny﹣2y，y==，故答案为：．∴x二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点， =λ+μ，且?=0，?=3．（1）求?；（2）求λ+μ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）求出的坐标，代入向量的坐标运算公式计算数量积；（2）用λ，μ表示出的坐标，根据向量的数量积公式列方程组求出λ+μ．【解答】解：（1）=（2，1），=（1，2），∴=2×1+1×2=4．（2）=λ+μ=（2λ+μ，λ+2μ），∵，∴，即，两式相加得：9λ+9μ=3，∴λ+μ=．实用文档DD的中点．求证：D中，E为16．如图，在正方体ABCD﹣ABC11111EAC；1）BD∥平面（1C．）平面EAC⊥平面AB（21【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质．BDBD．根据中位线可知O．连接EO，（1）连接BD，交AC于【分析】11，根据线面平行的判定定理可平面EAC，BD?∥OE，又OE?平面EAC1EAC；知BD∥平面1，满足线面垂直的判定定理，∩BD=BAC，BB）根据BB⊥AC，BD⊥（211BB?平面．根据CBD⊥平面ABAC，同理BD⊥BBDD，又BDAB，从而则DDBD⊥⊥平面则AC1111111111，根据面面垂直的判定定理可知平面EACEO?平面，从而EO⊥平面ABC，又（1）可得BD∥OE11．⊥平面ABCEAC1．EO，BD，交AC于O．连接【解答】证明：（1）连接BD1EAC，EAC，BD?平面为EDD的中点，所以BD∥OE．又OE?平面因为111EAC；所以BD∥平面1D 内BD在面BBD⊥AC．BB∩BD=B，BB、⊥（2）∵BBAC，BD11111BB平面?．∴D D又BDBD⊥ACDD∴AC ⊥平面BB111111．⊥平面ABC1）得BD∥OE，∴EO 同理BD⊥AB，∴BD⊥平面ABC．由（111111．⊥平面ABCEO?平面EAC，∴平面EAC又1acosB．，b，c，已知bsinA=ABC 17．在△中，角A，B，C 所对的边分别为a，求角2）若cosAsinC=A的值．（1）求角B 的值；（【考点】余弦定理；正弦定理．，0，π）∈（acosBasinB=，可求tanB=，结合范围B1【分析】（）由已知及正弦定理可得即可得解B的值．，（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A+﹣）=）结合A的范围，可得2A+∈（，，从而可求A的值．分）（本题满分为14【解答】 bsinA=asinB，1解：（）∵由正弦定理可得：，acosB，∴tanB=，∴又∵bsinA=acosB asinB=，π），∴B=6分…0∵B∈（）﹣cosAsincosAsinC=（A=，，∴（2）∵cosA+=（∴cosA）×﹣（，∴sin2A+sinA）=+sin2A=，），∴分…A=，0∈（A∵，∈（=，可得：14，可得：）2A+2A+实用文档18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x的x万件，13.7 ）已知4月份的产量为+s．（1关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m?n万件，15问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过月份的产量．请选用合适的模拟函数预测6 函数模型的选择与应用．【考点】）用待定系数法，求出函数的解析式，即可得出结论；（1【分析】好，再进行预测即可．）确定用模拟函数2（2，，c=﹣：y=ax++c，，∴a=，b=3【解答】解：（1）模拟函数1 y=13.75；∴y=，∴x=4，x m=﹣8，n=，s=14：模拟函数2y=m?n，+s，，∴x﹣3好；，∴用模拟函数1，∴∴y=14﹣2x=4，y=13.5时，生产量远多于他的最高限量；：y=，是单调递增函数，x=12（2）模拟函数1 ，不会超过＜1415万件，模拟函数2，单调递增，但生产量y 6月份的产量为13.875万件．所以用模拟函数2好，x=6，y=13.875，即预测*，S 的前n 项和为S（n∈N=208 ），且满足：{b19．已知数列{a} 为等比数列，等差数列} 13nnn）求数列=b．（1{a}，{b} 的通项公式；，SS﹣=41，a=ba n331n927* T；），求∈…b（2）设T=a+ab++ab（nN n2nn1n12．+c?，问是否存在正整数3）设c=m，使得c?cc+8=3（c+c）（m+2m+2nmm+1m+1m数列的求和；数列递推式．【考点】，可知a=b．再利用，即可求出aa=b，=41﹣）根据等差数列的前【分析】（1n项公式和SS32n9371{b公比，进而可得} 的通项公式；n n）通过错位相减法即可求出前项和，（2 ）分类讨论，计算即得结论．3（*=208，且满足：Nn Sn } {b1解：【解答】（）等差数列的前项和为（∈）S，S﹣S，=417nn139实用文档3，公差为b=16即解得71﹣n N* =2∈，n，=1a=b=4，数列{a} 为等比数列，∴a∴b=﹣2，b=3n﹣5，∵a=b n33n1n211﹣n5）2，①1+1×2+…+（3n﹣b（2）T=ab+a+…+ab=﹣2×nn1212nn2，②﹣5）×22+…+（3n﹣∴2T=2×2+1nnnnn﹣1n2-88-3n）2﹣5）2，（3n-5）2==3×（2（﹣2）①﹣①得T=﹣2+3（2+2-+…+2（3n）-n*n N，n3n﹣8）2∈+8∴T=（n，）∵设c=（3n，不相等，+c）=184+8=12，3（c+c?当m=1时，cc?c+8=1×1×321321）=36，成立，，3（c+c+c?当m=2时，c?cc+8=1×4×7+8=36442323为偶数，c为奇数，≥3且为奇数时，c，c当m m+1mm+2 +c+c）为奇数，不成立，+8为偶数，3（c∴c?c?c m+2m m+1m+2m+1m），+8=3（c+c+c?当m≥4且为偶数时，若cc?c m+2mmm+2m+1m+1mm）3m ﹣5+2，?2+3m+1?（3m+1）+8=3（则（3m﹣5）m2*）﹣20，﹣12m﹣8）2（=18m即（9m4m22，＞18m﹣9m﹣12m﹣8）220﹣∵（9m﹣12m8）2≥（．∴（*）不成立，综上所述m=2）的导函数．x）为f（x，定义域为．已知函数f（x）=[0，2π]，g（20 的最大值与最小值；g（2）求函数（x）（1）求方程g（x）=0 的解集； a 的取值范围．）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数x（3）若函数F（x）=f（【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．，由此能=0+，由方程x）=﹣g（x）=0 得f【分析】（1）′（ =0 的解集．（求出方程gx），x=解得g′（x）=0，x=或令﹣）（2+﹣=2×，）的最值．g由此利用导数性质能求出（x 的图象恰恰有两个交点，F）函数（x）=f（x）﹣个极值点，等价于y=aax在定义域上恰有2（3的取值范围．由此利用分类讨论思想能求出实数a]，π，定义域为[0，（（【解答】解：1）∵fx）=2）的导函数，（为），∵g（x ﹣）′（∴fx=+fx，或x=，∴由方程=0，解得g（x）=0 得∴方程 }，g（x）． =0 的解集为{实用文档×，﹣+（2）∵=﹣2 x=，）令g′（x=0，解得x=或x 0 ，（0 （，，（ 2π）π）2）﹣）﹣ 00 g′（xπ2﹣ e x（） 1↑↓↓ gg=（﹣）．）的最小值为（∴g（x）的最大值为g0）=1，∴g（x（x3a）∵）﹣﹣，a=g（∴函数F（x）=f（x）﹣ax在定义域上恰有2个极值点，等价于g（x）﹣a=0在定义域外上恰有两个零点且零点处异号，即y=a的图象恰恰有两个交点，由（2）知F′（0）=g（0）﹣a=1﹣a，﹣2π﹣a，=g（2π）﹣a=e π）F′（2，﹣2π﹣a2π）﹣a=e，′（F2π）=g（若，则F′（2π）＜0，．∴F′（x）=0只有一个零点，不成立．∴若，即a=处同号，不成立；在x=若F′（2π）≤0，则F′（x）=0有3个零点，不成立．∴只有F′（2π）＞0，∴满足条件为：，﹣2π或a=＜＜解得ae．实用文档﹣2π或a=ea＜的取值范围是∴实数a {a|＜}．。
无锡市第一中学2017—2018学年度第一学期期中试卷高一数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）2017年11月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M ＝{0，x }，N ＝{1，2}，若M∩N ＝{1}，则M ∪N ＝ ．2．已知幂函数()f x x α=的图象过(2，则()f x ＝ ．3．与1680°终边相同的最大负角是 ．4．函数1()()13x f x =-，[1x ∈-，1]的最大值是 ．5．半径为3cm ，圆心角为120°的扇形面积为 cm²．6．用“＜”将0.20.2-、 2.32.3-、0.2log 2.3从小到大排列是 ．7．已知函数log (3)(0a y x a =+>，1)a ≠的图象过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图象上，则3(log 2)f ＝ ．8．对a ，b R ∈，记max{}a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，，，，函数()max{12}()f x x x x R =+-∈，的最小值是 ．9．函数262y mx x =-+的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ． 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则满足不等式(1)2f x -≤的实数x 的取值范围是 ．11．已知函数y =R ，值域为[0，﹢∞)，则实数a 的取值集合为 ．12．定义在R 上的函数()f x 满足2log (3)0()(1)(2)0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，，，则(11)f ＝ ． 13．已知函数22()1f x x x kx =-++在区间(0，2)上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．14．设a R ∈，函数()f x x x a a =--，若对任意的x ∈[2，3]，()0f x ≥恒成立，则实数a的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）设全集U R =，函数()lg(3)f x a x =+-的定义域为集合A ，集合B ＝{x 14≤232}x ≤．（1）若3a =-，求A∩B ；（2）若A B U ⊆ð，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）（1）计算21232127()log 8(0.52)()38---+-⨯的值； （2）若13a a -+=，求1122a a --和3322a a --的值．17．（本小题满分14分）已知函数220()2(1)10x x f x x x ⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，，． （1）作出函数()f x 图象的简图，请根据图象写出函数()f x 的单调减区间；（2）求解方程1()2f x =； （3）若()f x a >恒成立，求实数a 的取值范围．已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+． （1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且D ⊆[﹣3，1]，求m 的取值范围．19．（本小题满分16分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律： 每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本＋生产成本）．销售收入()R x （万元）满足：20.4 4.2(05)()=11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？20．（本小题满分16分）已知函数2()45f x x x a =++-，1()427x g x m m -=⋅-+．（1）若函数()f x 在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，若对任意的1[1x ∈，2]，总存在2[1x ∈，2]，使12()()f x g x <成立，求实数m 的取值范围；（3）若()y f x =（[x t ∈，2]）的值域为D ，是否存在常数t ，使区间D 的长度为64t -？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p ，]q 的长度为q p -）．参考答案1．{0，1，2}2．12x3．﹣120°4．25．3π6． 2.30.20.2log 2.3 2.30.2--<<7．898．329．0或9210．[﹣1，3]11．{1}12．213．(72-，﹣1)14．(﹣∞，43]∪[92，﹢∞)15．（1）[﹣2，0)（2）(﹣∞，﹣5)∪(5，﹢∞)16．（1）92（2）±1，±417．（1）作图如下：函数的单调减区间为(0，1)（2）方程的解为：﹣1，1（3）1a <-18．（1）单调递增（2）1m =（3）[1-，1]19．（1）20.4 3.2 2.8(05) ()8.2(5)x x xf xx x⎧-+-≤≤=⎨-+>⎩（2）工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．20．（1）[0，9]（2）0m≠（3）4t=--52 t=-。
江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x -- D.(1)1f x +-7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A. B.255C.427-D.4278.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.355二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D.若0a <，2ab a >，则22b a >11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.14.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成mn的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A xx B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====-+--++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2km B.3kmC.4kmD.5km【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96kk k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x =+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0a a ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0a a ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x --D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)ln ln 111x x x f x x x x x-++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln1x g x x x -=++，则()11ln 1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D 7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A .5-B.255C.427-D.427【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tan θ，进而求出tan 2θ.【详解】∵πsin 243θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴22cos 3θ==，∴sin 2tan cos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.5C.65D.5【答案】B 【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB 与AP的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB =+ ，两边平方2221618252525CP CA CB CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以5CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D .若0a <，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得ac bd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a <，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1a b ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x =-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x+'=-，由()0g x '=得x =，当(,x ∈-∞时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当(x ∈时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b =时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15a x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x--+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11a x x x ⎛⎫≤-++⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x xx ϕ∈-=-++，则332()x x x xϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x=-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x=-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()a h x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)31,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924a b c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c =.故答案为：614.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+= 易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nna -=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141n n n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫=⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）1010【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，将(1)c a b λλ=+-代入可得()210a b b λλ⋅+-=，再由数量积的定义求得1a b ⋅=-，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)c a b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1)562a a b b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c 最小为55，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ，又55510c b ⋅=⨯=，所以1105cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b 与c夹角的余弦值为1010.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x af x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x af x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得102a <<.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+= ⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tan tan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =，易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABC V 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213113sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E ，则2π3,2,3cos 2cos AE DBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DB CD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点()00,ex x ，将问题转化为0011e x t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，构造函数())()1e 0x m x x -=->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e 0e xx x m x m ->⇔>，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()e xxg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点()0,e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011e x t x =+-，令()e 1xh x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e xh x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a b a tb a b t --⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()ee 22e e 0xx x x H x h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e a aa t a t t --+-=⇒=+->，e e aAT bBTk k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1abAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex xxm x x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e1eaba b ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT >，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21nn c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12n n n c c +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m m n -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3n n n c c c +=+=，12nn n c c +∴-=，当2n ≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n --=+=+-，而13c =也满足上式，21n n c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m n n m m b a n n b c ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mm n m b a c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m m d d ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mm S m --=+++-⋅ ()241242(1)212m m m m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m m m m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m =时，左边0<，舍去，当4m =时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m =.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2m m S m =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。
