西南大学2019秋[0178]《高数选讲》辅导资料

【西南大学】[0178]《高数选讲》试卷总分:100 得分:100第1题,【单项选择题】设是的一个原函数，则 [ ]A.B.C.D.正确答案:第2题,【单项选择题】设A为3阶方阵，，则A.6B.18C.36D.54正确答案:第3题,【单项选择题】设随机变量ξ的数学期望和方差均为λ，则有 [ ]A. E（3ξ）= 9λB. E（3ξ -1）= 3λ - 1C.D.正确答案:第4题,【单项选择题】已知函数，则 [ ]A. 不存在B. 2C. 1D. 0正确答案:第5题,【单项选择题】矩阵的秩为A.1B.2C.3D.4正确答案:第6题,【单项选择题】在(-1, 1)内的和函数为 A、 B、 C、D、A.AB.BC.CD.D正确答案:第7题,【单项选择题】矩阵A与矩阵B相似，则下列论断错误的是 [ ]A. A与B有相同的特征向量B. A与B有相同的特征多项式C. A与B有相同的特征值D. A与B的秩相同正确答案:第8题,【单项选择题】已知，则[ ]A.B.C.D.正确答案:第9题,【单项选择题】设为非零向量，且，则必有 [ ]A.B.C.D.正确答案:第10题,【单项选择题】设二维随机变量（ξ，η）的联合密度函数和分布函数分别为，则下式不成立的是 [ ]A. 对任意的，有B. 对任意的，有C.D.正确答案:第11题,【单项选择题】已知 n 个向量线性无关，从这个向量组去掉一个向量，剩下的 n-1 个向量 [ ]A. 线性相关B. 线性无关C. 可相互线性表示D. 无法确定线性关系正确答案:第12题,【单项选择题】设随机变量ξ的分布函数与密度函数分别为, ，则下式成立的是A. 对任意的，有B. 对任意的，有C.D.A.AB.BC.CD.D正确答案:第13题,【单项选择题】设A、 B、 C、D表示四个事件，则表示A.A、 B、 C、D中有一个不发生B. A、 B、 C、D中有一个发生C.A、 B、 D都发生，而C不发生D.A、 B、 C、D中至多有三个发生正确答案:第14题,【单项选择题】直线 L：与平面π：的关系是 [ ]A. 平行B. 直线 L 在平面π上C. 垂直相交D. 相交但不垂直正确答案:第15题,【单项选择题】齐次线性方程组的基础解系的向量个数 [ ]A. 5B. 4C. 3D. 2正确答案:第16题,【单项选择题】已知，则[ ]A. -1B. 1C. 0D.正确答案:第17题,【单项选择题】[ ]A.B. 0C. 2D. 1正确答案:第18题,【单项选择题】[ ]A.B.C.D.正确答案:第19题,【单项选择题】微分方程的阶数 [ ]A. 3B. 2C. 1D. 0正确答案:第20题,【单项选择题】级数的收敛半径是A.1B.2C.0D.∞正确答案:第21题,【单项选择题】当时，，均为无穷小量，则 [ ]A. 是的高阶无穷小量B. 是的低阶无穷小量C. 和是同阶但非等价无穷小量D. 和是等价无穷小量正确答案:第22题,【单项选择题】若，则 [ ]A.B.C.D.正确答案:第23题,【单项选择题】有50个产品，其中46个正品，4个次品，现从中抽取5次，每次任取1个（取后不放回）产品，则取到的5个产品都是正品的概率为 [ ]A.B.C.D.正确答案:第24题,【单项选择题】下列函数中，在区间 [-1， 5] 上是严格单调增加的是 A、 B、 C、D、A.AB.BC.CD.D正确答案:第25题,【单项选择题】已知函数，则在点处存在是在点处可微的 [ ]A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案:第26题,【单项选择题】设函数在点处可导，，则 [ ]A. AB. 2AC. 0D. -2A正确答案:第27题,【单项选择题】设，则A.1B.2C.3D.4正确答案:第28题,【单项选择题】设A、 B、 C均为n阶方阵，下列各式不成立的是A. B.C. D.A.BB.CC.DD.A正确答案:第29题,【单项选择题】交换二重积分的积分次序，则[ ]A.B.C.D.正确答案:第30题,【判断题】积分A.√B.×正确答案:第31题,【判断题】函数展开的傅里叶余弦级数为A.√B.×正确答案:第32题,【判断题】设向量组线性无关，则向量组线性相关。

《高等数学讲义》（上、下册）--目录---樊映川《高等数学讲义》（上、下册）樊映川等编第一篇解析几何第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化第五章极坐标1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例12.平面束的方程第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I.常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T-函数II.函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。

===================================================================================================1：[论述题]《数学分析选讲》第一次主观题作业答案一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确） 二、 选择题1、A2、A3、B4、B5、C6、C7、D8、D三、计算题解 1、902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x 2、211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x→∞--+- 264e e e-==. 3、解：因2n ≤++≤+1n n==， 故 21n n →∞++=+。

4、 当0x <时，有221()lim lim 11x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题===================================================================================================证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

高数选讲课程教学大纲课程编码：12120602303 课程性质：专业选修课课时： 36 学分： 2开课学期： 6 先修课程：微积分、线性代数、概率论数理统计适用专业：物流工程课程简介：《高数选讲》是淮南师范学院物流工程本科专业开设的一门专业选修课。

高数选讲的授课的主要内容是研究生升学考试的数学课程考试的主要内容。

包括：微积分、线性代数、概率论与数理统计。

设置这门课的主要目的是为物流工程专业考研同学作为一门专业选修课开设的。

为部分考研同学明确考研方向，理清考研思路，明确教学内容有很大帮助。

一、课程教学目标通过开设高数选讲这门课程为部分考研同学明确考研方向，理清考研思路，明确教学内容，掌握数学知识。

能够为同学们前期的考研准备打下坚实基础，为同学们考研中期的学习准备指点迷津，能够为学生考研后期的学习坚定信心。

同时帮助学生树立终身学习观念和思想，培养学生独立思考问题和解决问题的能力。

二、课程重点、难点在本课程在教学过程中的重难点主要有函数、极限、连续，一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程、行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型、随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量的分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计。

三、整体课时分配章节序号章节名称理论学时实验学时第一章一、函数、极限、连续 3 0 第二章二、一元函数微分学 3 0 第三章三、一元函数积分学 3 0 第四章四、多元函数微积分学 3 0 第五章五、无穷级数 3 0 第六章六、常微分方程与差分方程 3 0第七章一、行列式二、矩阵三、向量四、线性方程组6 0第八章 五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型4 0 第九章 一、随机事件和概率二、随机变量及其分布三、多维随机变量的分布四、随机变量的数字特征4 0 第十章 五、大数定律和中心极限定理六、数理统计的基本概念七、参数估计 4 0四、课程内容安排微积分一、函数、极限、连续教学内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →= 1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质教学要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学教学内容导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值教学要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日( Lagrange )中值定理，了解泰勒（Taylor ）定理、柯西（Cauchy )中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学教学内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用教学要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学教学内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分教学要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数教学内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式教学要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解e x ，sin x ，cos x ，ln(1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程教学内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用教学要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式教学内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理教学要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵教学内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算教学要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量教学内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法教学要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组教学内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解教学要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量教学内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵教学要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型教学内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性教学要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率教学内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验教学要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布教学内容随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布教学要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数{}()F x P X x =≤（x -∞<<+∞）的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为e ,0()0,0x xf x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若 5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布教学内容多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布教学要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N μμσσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev ）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质教学要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理教学内容切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli ）大数定律 辛钦（Khinchine ）大数定律 棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre －Laplace ）定理 列维—林德伯格（Levy －Lindberg ）定理教学要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念教学内容总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 2χ分布 t 分布 F 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布教学要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1ni i S X X n ==--∑ 2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布的上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计教学内容点估计的概念 估计量和估计值 矩估计法 最大似然估计法1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．五、教材与学习资源（一）参考教材：同济大学编，高等数学，第6版，高等教育出版社。

《数学分析专题选讲》课程教学大纲一、课程基本信息课程中文名称:数学分析专题选讲课程英文名称:Selective Lectures of Mathematic Analysis课程类别:选修课使用专业:数学与应用数学专业、计算与信息科学专业、物理学、计算机科学等开设学时：24学时使用年级:2007级、2008级预修课程:数学分析或高等数学一并修课程:课程简介:数学分析专题系统拓展和加深讲授极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 一元函数积分学, 数值级数与无穷积分, 多元函数微分学,函数级数与含参变量的无穷积分, 多元函数积分学这八个专题的核心内容.建议教材: 自编讲义参考书:[1].毛羽辉编著《数学分析选论》,北京:科学出版社(第二版).[2].胡小敏李承家编著《数学分析考研教案》,西安:西北工业大学出版社(第二版).[3].王戈平编《数学分析选讲》,西安:中国矿业大学出版社.[4].裘兆泰王承国章仰文编《数学分析学习指导》,北京:科学出版社.[5].孙本旺汪浩《数学分析中的典型例题和方法》,长沙:湖南科学技术出版社.[6].周中群主编《数学分析方法选讲》,重庆:西南师范大学出版社.[7].刘玉琏扬奎元吕风编《数学分析讲义学习指导书》(上),北京:高等教育出版社(第二版).[8].刘玉琏扬奎元吕风编《数学分析讲义学习指导书》(下),北京:高等教育出版社(第二版).[9].谢惠民恽自求易法槐钱定边编《数学分析习题课讲义》(上),北京: 高等教育出版社.[10].谢惠民恽自求易法槐钱定边编《数学分析习题课讲义》(下),北京: 高等教育出版社.[11].钱吉林编《数学分析解题精粹》,武汉:崇文书局.[12].牟俊霖李青吉《洞穿考研数学》,北京:航空工业出版社.二、课程性质、目的及总体要求课程的基本特性:数学分析专题选讲是数学与应用数学专业,计算与信息科学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程.课程的教学目标:该课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 一元函数积分学,数值级数与无穷积分, 多元函数微分学, 函数级数与含参变量的无穷积分, 多元函数积分学这八个专题的核心内容.课程的总体要求:通过本课程的学习,主要要求学生系统拓展和加深极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的极其应用, 一元函数积分学,数值级数与无穷积分, 多元函数微分学, 函数级数与含参变量的无穷积分, 多元函数积分学的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力.三、章节教学内容与要求（进度表）第一章极限理论的应用(6学时)总的要求:极限理论是数学分析的基础理论,它是学习微分理论、积分理论、级数理论等的奠基理论,极限理论的基本思想和方法贯穿于数学分析始终.在本章中,主要进一步学习解决极限问题的若干基本方法.通过学习,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和解决实际问题的能力,培养学生科学研究的初步能力。

第二讲 不等式选讲(选修4－5)[考情分析]不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得12≤x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23＜x ＜2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．含绝对值不等式的解法[方法结论]1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法：(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， 然后根据a ，b 的取值求解即可；(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[题组突破]1．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． 解析：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0 ＜x ＜1； 当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)， 即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．2．(2017·广州模拟)设函数f (x )＝|kx －1|(k ∈R )．(1)若不等式f (x )≤2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤1，求k 的值； (2)若f (1)＋f (2)＜5，求k 的取值范围． 解析：(1)由|kx －1|≤2，得－2≤kx －1≤2， ∴－1≤kx ≤3，∴－13≤k3x ≤1.由已知，得k3＝1，∴k ＝3.(2)由已知，得|k －1|＋|2k －1|＜5.当k ≤12时，－(k －1)－(2k －1)＜5，得k ＞－1，此时－1＜k ≤12；当12＜k ≤1时，－(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜5，此时12＜k ≤1； 当k ＞1时，(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜73，此时1＜k ＜73.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，73. [误区警示]利用零点分段讨论法，解绝对值不等式时易遗漏区间的端点值．不等式的证明[方法结论]证明不等式的5个基本方法 (1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[题组突破]1．已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1. (1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8； (2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)∵1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， ∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥2a ·2b ·2c ＝8abc ， ∵abc ＝1，∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8. (2)∵ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ，ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，上面三式相加得，2ab ＋2bc ＋2ca ≥2a ＋2b ＋2c ， 即ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c . 又1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ac ，∴a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.2．(2017·武汉调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解析：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0， 此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14.令g (x )＝－(x －12)2＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.3．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1， 这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 4．已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a . 证明：要证 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2.只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． [类题通法]不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．含绝对值不等式的恒成立问题[方法结论]绝对值不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．[典例] (2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， 所以g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． [类题通法]1．绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |或f (x )＝|x －a |－|x －b |的最值．2．不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .[演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1－3＜x ＜1，或x ≤－3，得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤－32}．(2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ， ∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m ＜3，又m ＞0，∴0＜m ＜34.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.。