2021届山东省青岛市黄岛区高三上学期期中考试数学试题 PDF版

山东省青岛市黄岛区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知O 为坐标原点，点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ-，()()()cos ,sin C αβαβ++，()1,0D ，则OA OB ⋅=（）A ．OC OD⋅ B ．OA OC ⋅ C ．OA OD ⋅ D ．OB OC⋅ 2．如图，正方形ABCD 的边长为a ，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续5个正方形面积之和为31，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知平面向量,a b 满足||2||2b a == ，若()a ab ⊥- ，则a与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．设集合{}2320,{2}A xx x B x a x a =-+≤=<<+∣∣，则0a >是A B ⊆的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）AB C ．D ．26．如图，已知函数()()cos f x x ωϕ=+，点A ，B 是直线12y =与函数=的图象的两个交点，若π3AB =，则=（）A．2-B．2-C ．12-D ．127．2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（）A ．36种B ．60种C ．96种D ．180种8．定义在R 上的函数()f x 满足：1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11f =，()()152f x f x =，当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则()10f =（）A ．2B ．1C ．12D ．0二、多选题9．已知二项式61x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则其展开式中（）A ．42x y -的系数为15B ．各项系数之和为1C ．二项式系数最大项是第3项D ．系数最大项是第3项或第5项10．数列{}n a 满足11a =，11n n a a n +=++，则（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．()12n n n a +=C ．20241140482025i i a ==∑D ．()ln !n a n n≥+11．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，c =已知点O 是ABCV 所在平面内一点，点P 在BC 上，点Q 为AC 中点，230OA OB OC ++=，则（）A ．若()0AB AC BC +⋅=，则ABC V 的面积为2B ．若CA 在CB 方向上的投影向量为CB ，则PQC ．若点P 为BC 中点，则20OP OQ +=D ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则()8AP AB AC ⋅+= 三、填空题12．已知函数ln(1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩为R 上增函数，写出一个满足要求的()g x 的解析式13．记n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，1nn n a T a =-，则2024T =.14．某警察学院体育比赛包括“射击”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“伤员搬运”、“400米障碍”六个项目，规定：每个项目前三名得分依次为a ，b ，c ，其中()*,,,N a b c a b c >>∈，选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每个项目的前三名，在六个项目中，已知甲最终得分为26分，乙最终得分为12分，丙最终得分为10分，且丙在“射击”这个项目中获得了第一名，那么a =，“游泳”这个项目的第二名是.四、解答题15．已知函数()()2112sin sin2cos42f x x x x =-+.(1)求()f x 的最大值及相应x 的取值集合；(2)设函数()()(0)g x f x ωω=>，若()g x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求ω的取值范围.16．记数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a 是1a 和4a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足：111b a =-，233b a =+，213210n n n b b b ++=--，（ⅰ）求证：{}110n n b b +--为等比数列；（ⅱ）求n b 取最大值时n 的值.17．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，cos sin 0a C C b c --=.(1)求A ；(2)若4b c ==，D 为BC 中点，E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，()090CDF θθ∠=︒<<︒，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值.18．已知函数()e 1axf x x =--.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：当01a <<时，函数()f x 只有两个零点；(3)若对任意的实数k ，b ，曲线()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“A 函数”.当1a =时，若函数()()e 1xg x f x x m =-++⎡⎤⎣⎦是“A 函数”，求m .19．给定正整数(),2m n m n ≤≤，设1a ，2a ，…，m a 是1，2，…，n 中任取m 个互不相同的数构成的一个递增数列.对{}1,2,,i m ∀∈⋅⋅⋅，如果i 是奇数，则i a 是奇数，如果i 是偶数，则i a 是偶数，就称1a ，2a ，…，m a 为“W 数列”.(1)若3m =，5n =，写出所有“W 数列”；(2)对任意“W 数列”1a ，2a ，…，m a ，1k m ≤≤，证明：1,2,,22k a k m n +⎧+⎫⎡⎤∈⋅⋅⋅⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.（注：[]x 表示不超过x 的最大整数）；(3)确定“W 数列”的个数.。

山东省青岛市2021-2022学年高三上学期期初教学质量检测数学试题一、单选题1．已知复数1i z =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则zz=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i -D ．i2．已知集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集的元素之和等于9，则123a a a ++=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．63．已知双曲正弦函数()2x xe ef x --=，则（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减C ．()f x 没有零点D ．()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增4．《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ） A ．8B ．11C ．14D ．165．已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据15，此时样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．15x >，23s < B ．15x <，23s > C ．15x =，23s > D ．15x =，23s <6．已知2214a x x=+，0.1b π-=，3log [(2)]c t t =-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．a c b >>7．为调查新冠疫苗接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．36种D ．54种8．将函数2([3,3])y x =∈-的图象绕点(3,0)-逆时针旋转(0)ααθ≤≤，得到曲线C ，对于每一个旋转角α，曲线C 都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为（ ）A ．32B ．23C ．1 D二、多选题9．已知平面向量(1,2)a =，(2,1)b =-，(2,)c t =，下列说法正确的是（ ） A ．若()//a b c +，则6t = B ．若()a b c +⊥，则23t = C ．若1t =，则4cos ,5a c 〈〉=D ．3a c +<10．在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别为线段1AA 、11A C 、11C B 、1BB 的中点，下列说法正确的是（ ）A ．E 、F 、G 、H 四点共面B ．平面//EGH 平面1ABC C ．直线1AA 与FH 异面D ．直线BC 与平面AFH 平行11．已知椭圆221:14x C y +=过双曲线22222:1(,0)x y C a b a b -=>的焦点，1C 的焦点恰为2C 的顶点，1C 与2C 的交点按逆时针方向分别为A ，B ，C ，D ，O 为坐标原点，则（ ）A ．2CB ．1C 的右焦点到2C C ．点A 到2C 的两顶点的距离之和等于4D ．四边形ABCD 12．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值等于12-D ．将()sin 2g x x =的图象向右平移12π个单位可得到3x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象三、填空题13．已知tanα＝3，π＜α32＜π，则cosα﹣sinα＝_____．14．函数y =(1,1)处的切线方程为___________.15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =则三棱锥P ABC -的外接球的体积为___________.16．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.四、解答题17．在①2sin tan b A a B =，②222a b ac c -=-，cos 1B B =+这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为α，b ，c ，且___________. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，ABC ABC 的周长. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，F 为PC 的中点.（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）求平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值.19．已知等差数列{}n A 的首项1A 为4，公差为6，在{}n A 中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1k a ，2k a ，…，n k a ，…是从{}n a 中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，11k =，25k =，令22n n b nk n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金､32银､18铜､打破4项世界纪录､创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查· （1）从混合的乒乓球中任取1个. （i ）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii ）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.21．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与圆22:5O x y +=交于M ，N 两点，抛物线C 与圆O 交于M '，N '两点，且MN M N ''=. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）动点G 在抛物线C 的准线上，直线AB 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线A B ''与抛物线C 交于A '，B '两点，AB 与A B ''的交点为G ，且2GA GB GA GB =⋅'⋅'.设直线AB ，A B ''的斜率分别为1k ，2k ，证明：221212k k -为定值. 22．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =--+，R a ∈. （1）若0a ≤，求证：()0f x ≥； （2）若()f x 有且只有两个零点1x ，2x （i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：12110ln ln x a x a+>--.参考答案：1．C先根据共轭复数的概念写出z ，然后根据复数的除法运算求解出结果. 解：因为1i z =+，所以1i z =-， 所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ----====-++-， 故选：C. 2．C写出集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集，然后相加即可得出答案. 解：解：集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集为：{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,a a a a a a a a a ，则所有非空真子集的元素之和为：()12312132312339a a a a a a a a a a a a ++++++++=++=，所以1233a a a .故选：C. 3．DA. 利用奇偶性的定义判断；BD.利用导数法判断； C. 令()02x xe ef x --==求解判断.解：A. 因为()()22x x x xe e e ef x f x -----==-=-，所以()f x 为奇函数，故错误；B.因为 ()022x x x xe e e ef x ---+'==>，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，故错误；D 正确；C. 令()02x xe ef x --==，解得0x =，所以()f x 有零点，故错误；故选：D 4．B由题意可知，数列{}n a 是以3-为公差的等差数列，然后结合等差数列的求和公式可求1a ，然后代入可求．解：解：由题意可知，数列{}n a 是以3-为公差的等差数列， 因为91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=， 解可得，135a =，所以338n a n =-+， 则911a =，所以这位公公最年幼的儿子的岁数为11岁. 故选：B ． 5．C根据平均数和方差的计算公式分别进行分析即可. 解：设10个数据为129,,...,,15x x x ， 因为151015159x ⨯-==，所以15x =； 又因为()()()22212921515 (159)x x x s -+-++-=，且()()()()22221291515...15+1515310x x x -+-++--=，所以23039s =>， 故选：C. 6．A利用基本不等式得到1a ≥，再根据指数函数、对数函数的性质判断可得；解：解：因为20x >所以22114a x x =+≥，当且仅当2214x x =时取等号，100.10ππ-<<=，即01b <<，()2333log [(2)]log 11log 10c t t t ⎡⎤=-=--+≤=⎣⎦， 所以a b c >>， 故选：A 7．D分①甲乙两人去一人，②甲乙两人都去两种情况讨论，再按照分类、分步计数原理计算可得；解：解：①甲乙两人去一人，则有12323336C C A =种；②甲乙两人都去，则有21323318C C A =种，综上一共有361854+=种， 故选：D 8．B先画出函数2([3,3])y x ∈-的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点(3,0)-逆时针方向旋转角大于MAB ∠时，曲线C 都不是一个函数的图象，求出此角即可．解：解：由2([3,3])y x ∈-，得0y ≥，()22213x y ++=，则函数的图像是以(0,2)M -为圆心的圆的一部分，先画出函数2([3,3])y x ∈-的图象, 这是一个圆弧AB ，圆心为(0,2)M -,如图所示，由图可知当此圆弧绕点(3,0)-逆时针方向旋转角大于MAB ∠时， 曲线C 都不是一个函数的图象， 即当圆心(0,2)M -在x 轴上时， 所以θ最大值即为MAB ∠， 3t n 2a MAB ∠=，所以θ最大时的正切值为23.故选：B.9．BC根据向量共线的坐标表示即可判断A ； 根据向量垂直的坐标表示即可判断B ； 根据向量的坐标求出夹角的余弦值即可判断C ；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的最值即可判断D. 解：解：()1,3a b +=-，若()//a b c +，则60t --=，所以6t =-，故A 错误； 若()a b c +⊥，则230t -+=，所以23t =，故B 正确； 若1t =，则44cos ,55a c a c a c⋅〈〉===⨯⋅，故C 正确； ()3,2a c t +=+，则(93a c +=+，故D 错误.故选：BC. 10．ABC证明出//FG EH ，可判断A 选项；利用面面平行的判定定理可判断B 选项；利用线线的位置关系可判断C 选项；利用线面平行的性质可判断D 选项.解：对于A 选项，因为11//AA BB 且11AA BB =，E 、H 分别为1AA 、1BB 的中点， 则11//A E B H 且11A E B H =，所以，四边形11A B HE 为平行四边形，则11//A B EH ， 因为F 、G 分别为11A C 、11B C 的中点，所以，11//FG A B ，//FG EH ∴， 故E 、F 、G 、H 四点共面，A 对； 对于B 选项，连接1AC 、1BC ，E 、F 分别为1AA 、11A C 的中点，则1//EF AC ，EF ⊄平面1ABC ，1AC ⊂平面1ABC ，//EF ∴平面1ABC ，因为四边形11AA B B 为平行四边形，则11//A B AB ，11//EH A B ，则//EH AB ， EH ⊄平面1ABC ，AB平面1ABC ，//EH ∴平面1ABC ，EF EH E =，∴平面//EGH 平面1ABC ，B 对；对于C 选项，由图可知FH 不与1AA 相交， 若1//FH AA ，又因为11//BB AA ，则1//FH BB ，这与1FH BB H =矛盾，故FH 与1AA 异面，C 对；对于D 选项，延长AH 、11A B 交于点N ，连接FN 交11B C 于点P ，连接PH ，若//BC 平面AFH ，BC ⊂平面11BB C C ，平面11BB C C 平面AFH PH =，//PH BC ∴，事实上，PH 与BC 相交，故假设不成立，D 错. 故选：ABC.11．ACD根据条件先求解出双曲线方程中,,a b c 的值，由此可求双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可判断选项A 和选项B ；根据椭圆的定义判断选项C ；计算出椭圆和双曲线的交点坐标，由此可求四边形ABCD 的面积.解：如下图所示，设双曲线的焦距为2c ，由题意可知：2c =，a ==2C的离心率为c e a ===，故A 正确； 1C的右焦点)，2C方程中1,b a ==2C的渐近线方程为y x =，不妨取渐近线y x =，所以)到y=B 错误；根据椭圆定义可知：214AF AF +=，故C 正确；联立22221413x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2224717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22ABCD S ⎛== ⎝四边形D 正确； 故选：ACD. 12．ABD先根据条件等式以及极值点个数列出关于ω的等式与不等式，由此确定出ω的取值，从而()f x 的解析式可求，然后逐项分析最小正周期、单调增区间、在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值、图象的变换.解：因为(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 262ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2,266k k Z πππωπ-=+∈或52,266k k Z πππωπ-=+∈， 所以24,3k k Z ω=+∈或24,k k Z ω=+∈； 因为()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，且,6626x ππππωω⎛⎫⎛⎫-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以572262ππππω<-≤，所以162233ω<≤， 所以24,k k Z ω=+∈时，1k =满足条件，所以6ω=，()sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；A.23T ππω==，故正确； B.令262,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，所以,31839k k x k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确； C.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以46,663x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()min 4sin 3f x π== D. ()sin 2g x x =图象向右平移12π个单位得到sin 2sin 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为sin 236x y f x π⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；故选：ABD.【点睛】思路点睛：求解形如()()()sin 0f x A x B A ωϕ=++>的函数的单调递增区间的步骤如下：（1）先令2,2+,22x k k k Z ππππωϕ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦+∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递增区间.13 根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值.解：∵tanα＝3，π＜α32＜π，∴cosα=sinα==则cosα﹣sinα=+=【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 14．210x y --=先求解出函数的导函数y '，然后计算出1x =处的导数值，再根据直线的点斜式方程求解出切线方程.解：因为()4y x '==12x y ='=，所以切线方程为：()121y x -=-，即为210x y --=， 故答案为：210x y --=. 15．43π取PB 中点O ，作出图示，根据垂直关系得到OA OB OC OP ===，由此确定出球心位置，先求解出外接球的半径，则外接球的体积可求. 解：如图所示，取PC 中点O ，连接,OA OB ，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，所以OP OA OB ==， 又因为,PA BC AC BC ⊥⊥，PAAC A =，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以OP OC OB ==， 所以OA OB OC OP ===，所以三棱锥P ABC -的外接球的球心为O 点，所以外接球的半径112r OA PB ===， 所以外接球的体积为24433V r ππ==， 故答案为：43π.16．7分析()|cos |,y x f x y π==的对称性，将问题转化为()|cos |,y x f x y π==图象交点横坐标之和，采用数形结合法求解出结果.解：因为()()2f x f x =-，所以()()()2f x f x f x +=-=， 所以()f x 是一个周期为2的周期函数，且关于直线1x =对称，令()|cos |h x x π=，所以()()()()2cos 2cos 2cos h x x x x h x ππππ-=-=-==， 所以()h x 关于直线1x =对称，在同一平面直角坐标系中作出()|cos |,y x f x y π==的图象，如下图所示：由图象可知：()|cos |,y x f x y π==的图象共有7个交点， 其中6个点关于1x =对称，还有一个点横坐标为1， 所以交点的横坐标之和为62172⨯+=，所以()g x 在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为7，故答案为：7.【点睛】思路点睛：求解函数零点之和的问题，可以转化为求解函数图象交点的横坐标之和，利用数形结合的思想能高效解答问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 17．(1)3B π=(2)2（1）选条件① ：由正弦定理化边为角，可得1cos 2B =，即得解； 选条件② ：由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，结合题干条件，即得解；选条件③ ：利用正弦、余弦的二倍角公式展开可得tan 2B =（2）利用面积公式1sin 2ABC S ac B =△，可得2ac =，结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得a c +=，即得解（1）选条件① ：2sin tan b A a B =，由正弦定理可得 2sin sin sin tan B A A B =，由(0,)sin 0A A π∈∴≠整理可得：1cos 2B =，由(0,)B π∈ 3B π∴=选条件② ：222a b ac c -=-，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，由(0,)B π∈3B π∴=选条件③ cos 1B B =+22sincos 2cos 222B B B =，由于(0,)B π∈，(0,)cos 0222B Bπ∈∴≠tan 2∴=B (0,)2226B B ππ∈∴=3B π∴=（2）由（1），选择三个条件中任何一个都可得3B π=由2b =，3B π=，ABC故1sin 22ABCSac B ac === 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+- 22224()3()6a c ac a c ac a c ∴=+-=+-=+-a c ∴+=故三角形的周长2l a b c =++=18．（1）证明见解析；（2（1）通过AE AD ⊥、PA AE ⊥证明AE ⊥平面PAD ，结合面面垂直的判定定理可证明平面AEF ⊥平面PAD ；（2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面AEF 与平面PCD 的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值求解出平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值.解：（1）因为底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 为等边三角形， 所以AE 平分BAC ∠，所以()6018060902EAD ︒∠=︒-︒-=︒，所以AE AD ⊥， 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AE ⊥，且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PAD ；（2）据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为2PA AB ==，所以())())()0,0,0,,0,0,2,,0,2,0A E P CD ，所以1,12⎫⎪⎪⎝⎭F ，设平面AEF 一个法向量为()1111,,x n y z =，平面PCD 一个法向量为()2222,,n x y z =， 因为()31AE 3,0,0,AF ,,122⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，1100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 所以111020y z =+=⎪⎩，取12y =，所以11z =-，所以()10,2,1n =-，又因为()()0,2,2,3,1,0PD CD =-=-，2200PD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222200y z y -=⎧⎪-=，取21x =，所以22y z =(2n=，所以121212cos ,5nn n n n n ⋅<>=== 所以平面AEF 与平面PCD 19．（1）22n a n =+；（2）()2131nn T n=-⋅+.（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据在{}n A 中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，求得首项和公差，即可得解；（2）根据题意可求得等比数列{}n k a 的公比，从而得到143n n k a -=⋅，又22n k n a k =+，即可求得1231n n k -=⋅-，从而可求得数列{}n b 的通项，再利用错位相减法即可得出答案.解：解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则11244,10a A A a ====， 所以41241a a d -==-， 所以22n a n =+；（2）由11k =，25k =，则114k a a ==，2512k a a ==， 所以等比数列{}n k a 的公比为3，所以143n n k a -=⋅，又因n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项， 所以22n k n a k =+， 所以14322n n k -⋅=+，所以1231n n k -=⋅-，所以12243n n n b nk n n -=+=⋅，则()214123333n n T n -=+⨯+⋅++⋅，()23134********n n n T n n -⎡⎤=+⨯+⋅++-⋅+⋅⎣⎦，两式相减得()211324133334313n n nn n T n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭所以()2131nn T n =-⋅+.20．（1）（i ）0.944；（ii ）141236；（2）分布列见解析，()0.8E X =. （1）（i ）利用全概率公式计算“取出的1个乒乓球是合格品”的概率；（ii ）利用贝叶斯公式计算“在取到合格品的前提下，它取自第一批乒乓球”的概率；（2）先分析X 的取值，然后计算出X 的不同取值对应概率，由此得到X 的分布列并计算出数学期望.解：设事件B =“任取一个乒乓球是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”，事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且12,A A 互斥；（1）（i ）由全概率公式可知：()()()()()1122||P B P A P B A P A P B A =+， 所以()()()0.610.060.410.050.944P B =⨯-+-=； （ii ）由贝叶斯公式可知：()()()()()111|0.610.06141|0.944236P A P B A P A B P B ⨯-===；（2）由条件可知：X 的可取值为0,1,2，()00.60.60.36P X ==⨯=，()1210.60.40.48P X C ==⨯⨯=，()20.40.40.16P X ==⨯=，所以X 的分布列为：所以()00.3610.4820.160.8E X =⨯+⨯+⨯=. 21．（1）24y x =；（2）证明见解析.（1）计算出圆与抛物线交点的横坐标，然后根据MN M N ''=得到p 的等量关系，由此求解出p 的值，则抛物线方程可求；（2）设出G 点坐标，分别写出,AB A B ''的方程，联立直线与抛物线得到对应韦达定理形式，结合点到点的距离公式表示出2GA GB GAGB =⋅'⋅'，由此通过化简证明出221212k k -为定值. 解：（1）因为22225y pxx y ⎧=⎨+=⎩，所以x p =-或x p =-舍)， 又因为MN M N ''=，所以2pp -=，所以2p =， 所以抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()1,G m -，()1:1AB y k x m =++，()2:1A B y k x m ''=++， 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y A x y B x y ''，联立()1214y k x m y x⎧=++⎨=⎩，2114440k y y m k -++=，所以()112121144=,m k y y y y k k ++=，所以12,GA m GB m --， 所以()212122111GA GB y y m y y m k ⎛⎫⋅=+-++ ⎪⎝⎭， 所以()()1222211114141114m k GA GB m m m k k k k +⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 联立()2214y k x m y x⎧=++⎨=⎩，2224440k y y m k -++=，所以()234342244=,m k y y y y k k ++=，所以34,GA m GB m ''=-=-， 所以()222114GA GB m k ⎛⎫''⋅=++ ⎪⎝⎭，因为2GA GB GA GB =⋅'⋅'，所以()()2222121114214m m k k ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又240m +>，所以221211121k k ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2212121k k -=，所以221212k k -为定值1. 22．（1）证明见解析；（2）（i ）0a >；（ii ）证明见解析； （1）对a 分类讨论，即可求解；（2）（i ）先通过导函数，得到原函数的单调性，再证明函数最小值小于0，以及零点两侧异号即可.（ii ）利用基本不等式，即可证明. 解：解：（1）当0a =时，()(1)ln f x x x =- 若()0,1x ∈，则10x -<，ln 0x <，()0f x >； 若1,(1)0x f ==；若()1,x ∈+∞，则10x ->，ln 0x >，()0f x >； 所以当0a =时，()0f x ≥， 当0a <时，()(1)ln 0f x x x >-≥， 所以当 0a <时，()0f x ≥， （2）（i ）由（1）知0a ≤不合题意，当0a >时，1'()ln 1f x x a x=-+-，令()'()g x f x =，所以21'()0x g x x+=>恒成立，所以()g x 在()0,∞+单调递增，且(1)0<g ，()0a g e >， 所以存在()01,ax e ∈使得00()'()0g x f x ==，所以当()00,x x ∈时，0'()0f x <，()f x 在()00,x 上单调递减； 所以当()0,x x ∈+∞时，0'()0f x >，()f x 在()0,x +∞上单调递增； 因为0()()0f x f x <<，31313131()3(1)(1)2(2)0a a a a f e a e a e a e ++++>--+=->,()31111()31(1)(1)2(12)0a f e a e a e a e ----->+--+=->,所以，()f x 在310(,)a ex --和310(,)a x e +各恰有一个零点， 所以a 的取值范围是0a >，（ii ）因为1()()f x f x x =，所以，若()0f x =，则1()0f x =，所以121x x =，即121=x x ，又因为111222(1)ln (1)0,(1)ln (1)0,x x a x x x a x --+=--+=， 所以1212221,1ln ln a ax x x a x a=+=+--，所以121222112ln ln a ax x x a x a+++=+>--，所以12110ln ln x a x a+>--.。

山东省青岛胶州市2021届高三数学上学期期中试题本试卷4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1{|cos ,0}2A x x x π=≥<<，集合2{R |}B x x x =∈≤．则A B =（ ）A ．(0,]3πB ．[0,]3πC ．(0,)3πD ．(0,1)2．已知数列{}n a 各项均大于1，*N n ∈，“31n n a a +=”是“数列{lg }n a 成等比数列”的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件3．已知角θ终边经过点)P a ，若6πθ=-，则a =（ ）AB ．3C ．D ．4．已知向量(1,2),(2,1),(,1),R AB BD BC t t ==-=∈，若//AD CD ，则实数t 的值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．435．在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若a β⊥，αβ⊥，则//a αC ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥D ．若//a α，αβ⊥，则a β⊥6．已知函数ln ,0,(),0.x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0R x ∃∈，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞B ．1(,]e-∞C ．[1,)-+∞D ．1[,)e-+∞7．已知函数2()(sin )f x x x =+（[0,]2x π∈），则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．[0,]6π B ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．[0,]2π8．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，3()31f x x x =-+-；当2x ≥时，()3(2)f x f x =-．记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,n a a a ，并记相应的极大值为12,,,,n b b b ，则11221818a b a b a b ⋅+⋅++⋅的值为A ．191831⨯+B ．181831⨯+C ．171731⨯+D ．181731⨯+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省青岛市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分）设集合，则=（）A . [5,7]B . [5,6)C . [5,6]D . (6,7]2. （2分）已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A . ∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B . ∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C . ∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0D . 不存在x∈R，x3﹣x2+1＞04. （2分） (2019高一上·静海月考) 已知，，则是的（）条件A . 充分非必要B . 必要非充分C . 充分必要D . 既非充分又非必要5. （2分）已知{}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，为{}的前n项和，n∈N ﹡，则S10的值为（）A . －110B . －90C . 90D . 1106. （2分）(2017·襄阳模拟) 运行如下程序框图，如果输入的t∈[0，5]，则输出S属于（）A . [﹣4，10）B . [﹣5，2]C . [﹣4，3]D . [﹣2，5]7. （2分） (2017高二下·温州期末) x，y 满足约束条件，若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（）A . 或﹣1B . 2 或C . 2 或1D . 2 或﹣18. （2分） (2017高一下·安庆期末) 向量．满足| |=1，| ﹣ |= ，与的夹角为60°，则| |=（）A .B .C .D .9. （2分）如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）A . 36（π+）B . 36（π+2）C . 108πD . 108（π+2）10. （2分） (2016高二上·沙坪坝期中) 双曲线的渐近线方程是（）A . y=±xB .C .D .11. （2分）《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概率，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面，书的第6卷19题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量成等差数列），则其余两节的容量共多少升（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·上饶期中) 函数f（x）= x2﹣lnx的递减区间为（）A . （﹣∞，1）B . （0，1）C . （1，+∞）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·湖北模拟) （x2+2x﹣1）5的展开式中，x3的系数为________（用数字作答）14. （1分） (2015高一下·普宁期中) 抛物线y2=12x上一点M到抛物线焦点的距离为9，则点M到x轴的距离为________15. （1分） (2017高一下·徐州期末) 某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，若从中任选两人去参加学校的数学竞赛，则至少选中一名女生的概率为________．16. （1分） (2017高一上·新疆期末) 已知向量，，，满足 + + =0，且| |=| |=| |=1，则| |=________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2017·昆明模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若D为AB中点，CD=1，延长CD到E，使CD=DE，设∠ACD=α，将四边形AEBC的面积S用α表示，并求S的最大值．18. （10分）(2020·安阳模拟) 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位:十箱）与成本y（单位:千元）的关系如下:x13467y5 6.577.58 y与x可用回归方程 (其中，为常数)进行模拟.（1）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）（2）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元，若未发车，则每辆车每天平均亏损200元｡试比较和时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设，则线性回归直线中，， .19. （15分） (2016高二下·洛阳期末) 在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：BD⊥EG；（3）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．20. （10分）(2017·山南模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，1），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）从x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与x轴、y轴分别交于M、N 两点时，求|MN|的最小值．21. （5分） (2017高三上·安庆期末) 已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+ ）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥ 恒成立，求实数t的取值范围．22. （10分）(2013·辽宁理) 在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1 ，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2 ．（1）求C1与C2交点的极坐标；（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．23. （10分） (2016高三上·珠海模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略22-1、答案：略22-2、23-1、答案：略23-2、答案：略。

青岛市黄岛区2020- 2021 学年度第一学期期中学业水平检测高三数学试题 2020.11本试卷4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2.作答选择题时:选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合1,0|2A x cosx x π=≥<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，集合{}2|B x R x x =∈≤.则A B ⋃=（ ） A ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,1 2. 已知数列{}n a 各项均大于1，*n N ∈，“31n n a a +=”是“数列{}n lga 成等比数列”的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件3. 已知角θ终边经过点)Pa ，若6πθ=-，则a =（ ）A B C ．- D ． 4. 已知向量()()1,2,2,1AB BD ==-，(),1,BC t t R =∈，若//,AD CD ，则实数t 的值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．435. 在空间中，a b 、是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若//,//a b a α，则//b αB ．若,a βαβ⊥⊥，则//a αC ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若//,a ααβ⊥，则a β⊥ 6.已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0,x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7.已知函数()()2,0,2f x sinx x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足:当02x ≤<时，()331f x x x =-+-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，...，并记相应的极大值为12,,...,n b b b ..，则11221818...a b a b a b ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．191831⨯+B ．181831⨯+C ．171731⨯+D ．181731⨯+二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 在ABC ∆中，2,1AB AC ==，2,AB AC AP +=则（ ） A ．0PB PC ⋅> B ．0PB PC += C ．1122PB AB AC =- D ．34AP BP +=-10. 已知函数()()(0,0,0)f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><<的最小正周期为4，其图象的一个最高点为1,23A ⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ） A ．ωπ= B ．3πϕ=C ．将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到()h x 图象；再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得到函数26y sin x ππ=+⎛⎫⎪⎝⎭的图象 D ．() y f x =的图象关于1x =对称11. 在三棱柱111ABC A B C -中，E F G 、、分别为线段111AB A B AA 、、的中点，下列说法正确的是（ ） A ．平面1//AC F 平面1B CE B ．直线//FG 平面1B CE C ．直线CG 与BF 异面D ．直线CF 与平面CGE 相交12. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，(),f x x =关于函数()()()g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在()1,2上单调递增C ．()g x 不是周期函数D ．()g x 的最大值为2二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数1,1z i i i =++为虚数单位，则z =_ ． 14.已知22034sin a a π=<<，，则sina cosa -= ．15.已知256,15a log b log ==，2c π-=，则,,a b c 的大小关系为 (用“<”连接). 16.在四面体P ABC -中，PA ⊥底面,1ABC PA =，ABC PBC PAC PAB ∆∆∆∆、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3,则该()1四面体外接球的表面积为 ； ()2该四面体体积的最大值为 ．(第一空2分，第二空3分)四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.17. 在()2B C asin A C bsin ++=①，2221cos A cos B cos C sinBsinC +=++②两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知_ .()1求A ； ()2已知函数()(),140,24f x cos x A x π⎡⎤⎢⎥⎣=∈⎦-，求()f x 的最小值. 18. 如图，在半圆柱W 中，AB CD 、分别为该半圆柱的上、下底面直径，E F 、分别为半圆弧,AB CD 上的点，AD BC EF 、、均为该半圆柱的母线，2AB AD ==.()1证明:平面DEF ⊥平面CEF ；()2设02CDF πθθ∠=<<⎛⎫⎪⎝⎭，若二面角E CD F --的余弦值为55，求θ的值. 19. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为2*111,1,,n n n n S a S S a n N ++=+=∈.()1求{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足:1122222...22n n n n a b a b a b a b +++++=-，求数列221log n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T . 20. 已知关于x 的函数(),0f x alnx xlna a =->.()1讨论()f x 的极值点；()2若()0f x ≤恒成立，求a 的值.21. 如图1，在平面四边形ABDC 中，2,1,5,90AB AC CD A ===∠=︒，15cos BCD ∠=()1求sinD ；()2将BCD ∆沿BC 折起，形成如图2所示的三棱锥,2D ABC AD -=.()i 三棱锥D ABC -中，证明:点D 在平面ABC 上的正投影为点A ；()ii 三棱锥D ABC -中，点,,E F G 分别为线段,,AB BC AC 的中点，设平面DEF 与平面DAC 的交线为,l Q 为l 上的点.求DE 与平面QFG 所成角的正弦值的取值范围.22. 已知函数()0xf x lna xeasinx a -=⋅+>,.()1若0x =恰为()f x 的极小值点.()i 证明:112a <<； ()ii 求()f x 在区间(,)π-∞上的零点个数；()2若1a =，()1111111233f x x x x x xx x x n n πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又由泰勒级数知:()()2246*11,2!4!6!2!nn x x x x cosx n N n -=-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∈ 证明:2222211111236n π+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=2020-2021学年度第一学期期中学业水平检测高三数学参考答案.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.1-5:BDCAC 6-8:DAD二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.9.BCD10.BC11.AC12.ACD三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.214.-15. c b a << 16. ()19π()223四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解:()1若选择①； 因为()2B Casin A C bsin ++= 所以22asinB bsin A π-=⎛⎫⎪⎝⎭即2A asinB bcos= 由正弦定理得:2A sinAsinB sinBcos =. 由于B 为ABC ∆的内角， 所以0sinB ≠所以 2A sin A cos=， 即2222A A sin cos cos π=由于A 为ABC ∆的内角，02Acos∴≠， 所以122A sin =又因为,()0A π∈， 所以26A π=若选择②；因为2221cos A cos B cos C sinBsinC +=++ 所以22sin B sin C sinA sinBsinC +-=. 由正弦定理得:222b c a bc +-=在ABC ∆中，由余弦定理知:222122b c a cosA bc +-== 所以3A π=()2由()1知:()(4)123f x cos x π=- 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以14123co s x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 所以当2433x ππ-=即4x π=时，()min 144f x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭= 18. 解:()1因为EF 为半圆柱的母线， 所以EF ⊥平面,CDF 又因为CD 为直径， 所以,DF CF ⊥ 因为,DF EF F ⋂= 所以CF ⊥平面,DEF又因为CF ⊂平面CEF ，所以平面DEF ⊥平面CEF()2以F 坐标原点，分别以FD FC FE 、、为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，所以()(),2,0,00,2,0D cos C sin θθ，()0,0,2E 设平面CDE 的法向量()1,,n x y z =因为()()1,,2,2,00n CD x y z cos sin θθ⋅=+-=，()()1,,0,2,20n CE x y z sin θ⋅=--=所以220220cos x sin y sin y z θθθ⋅-⋅=-⋅+=⎧⎨⎩取1,y =解得,x tan z sin θθ==所以平面CDE 的法向量()1,1,n tan sin θθ= 取平面CDF 的法向量()20,0,1n =由题知:121255n n n n ⋅=22551sin tan θθ=++ 所以()221sin cos θθ=， 即()221sin θ=所以21sin θ=或21sin θ=-(舍) 所以，此时4πθ=19. 解:()1由题知:22111(,2)n n n n n n S S a S S a n ++-+=+=≥两式相减得:2211n n n n a a a a +++=-；所以()22110n n n n a a a a ++--+=所以()11()10n n n n a a a a ++--+=； 所以112()n n a a n +-=≥又因为1222S S a +=，所以2212a a a +=因为11a =，解得:22a = 所以211a a -=适合*式所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以()111n a n n =+-⨯=()2由()1得:123223...22n n n b b b nb +++++=-①； 所以()12311123 (122)(2)n n n b b b n b n --+++++-=-≥②-①②得:2()2n n nnb n =≥，所以(2)12n n b n =≥又由①式得，112b =适合上式所以*()12n n b n N =∈所以()2211111log 222n n a b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭所以11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+++- ⎪-++⎝⎭()()31142122n n =--++ 20. 解:()1由题知:()ln af x a x'=-若01,a <≤ 则()'ln 0af x a x=-> 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 无极值点. 若1,a >则()'0af x lna x=-=， 解得ln a x a=. 所以，当0,ln a x a ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当,ln a x a ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在,ln a a +∞⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 所以，当1a >时，()f x 存在唯一极大值点ln ax a=. ()2若1a =，由()1知:()f x lnx =，不满足题意若01a <<，由()1知: ()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()10f lna =-> 所以01a <<时，也不合题意. 若1a >，由()1知:()1ln n 1ln 1l a f x f a n a n ln e a a l a a a ⎡⎛⎫≤=-=- ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎝⎣⎭⎦⎦⎪ 所以1lna a e≥ 令()()2ln 1ln ,'a ag a g a a a-== 所以，当()0,a e ∈时，()'0g a >，()g a 在()0,e 上单调递增； 当,()a e ∈+∞时，()'0g a <，()g a 在(),e +∞上单调递减； 所以()()1g a g e e≤=； 即1lna a e ≤ 所以1lna a e=，a e =综上，若()0,f x ≤则a e =21. 解:()1在Rt ABC ∆中:BC ==在BCD ∆中由余弦定理:5BC CD ==，222125BC CD BD cos BCD BC CD +-∠==⋅所以22BD =在BCD ∆中由正弦定理:BC BDsinD sin BCD =∠，26sin BCD ∠=所以15sinD =()()2i 在DAB ∆中，因为2,2,22AB AD BD ===，所以222,BD AB AD AD AB =+⊥在DAC ∆中，因为1,2,5AC AD CD ===，所以222,CD AC AD AD AC =+⊥又因为,AB AC A ⋂=所以AD ⊥平面,ABC所以点D 在平面ABC 上的正投影为点A()ii 因为//,EF AC EF ⊄平面DAC ，AC ⊂平面DAC ，所以//EF 平面DAC ，平面DEF 与平面DAC 的交线为1,所以//,l AC以A 坐标原点，分别以AB AC AD 、、为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，所以()()0,0,0,0,0,2A D ，()111,0,0,1,,0,0,,022E F G ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()0,,2Q t .设平面QFG 的法向量(),,n x y z =因为()1,,1,,20,2n FQ x y z t ⎛⎫ ⎪⎝⋅=⋅--⎭=()1,,0,,202n GQ x y z t ⎛⎫⋅=⋅-= ⎪⎝⎭ 所以12021202x t y z t y z ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎩取2,y = 解得10,2x z t ==-所以，平面QFG 的一个法向量为10,2,2n t ⎛-⎪=⎫⎝⎭因为()1,0,2DE =-，设DE 与平面QFG 所成角为θ， 所以5DE n sin DE n θ⋅==若12t =，则0sin θ= 若12t ≠，则55sin θ=所以DE 与平面QFG 所成角的正弦值的取值范围为⎡⎢⎣⎭22. 解:()()1i 由题意得:()()1x f x lna x e acosx -'=-+ 因为0x =为函数()f x 的极值点所以，()'00f lna a =+=令()()0g x lnx x x =+>，则()1'10g x x =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增.因为()10,g >111ln 0222g ⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭所以()()0g x lnx x x =+>在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点a . 所以112a <<()ii 由()i 知:()(),x lna a f x a sinx xe -=-=-，()()1x f x a cosx x e -'=--⎡⎤⎣⎦①当),(0x ∈-∞时，由0,11,11,1x a cosx x e ->-≤≤->> 得:()'0f x <所以()f x 在(0),-∞上单调递减，()()00f x f >=所以()f x 在区间(0),-∞上不存在零.②当,()0x π∈时，设()()1x h x cosx x e -=--，则()()'2x h x x e sinx -=--，1︒若0,2x π⎛∈⎤⎥⎝⎦，令()()2x m x x e sinx -=--，则()()'30x m x x e cosx -=--<，所以()m x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，因为()22012002,2e m m πππ-⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭> 所以存在0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()0m a =当()0,x a ∈时，()()'0m x h x =>，()h x 在()0,a 上单调递增； 当,2x a π⎛∈⎤⎥⎝⎦时，()()'0m x h x =<，()h x 在,2a π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；2︒若,22x π⎛∈⎤ ⎥⎝⎦，令()()2x q x x e -=-，,22x π⎛∈⎤⎥⎝⎦，则()()'30x x x e ϕ-=-<，所以()x ϕ在区间,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()21(222)e e x πππϕϕ-⎛⎫<=-⎪⎭< ⎝ 又因为(12)262sinx sin sin sin ππ≥=->=所以()()'20x h x x e sinx -=--<，()h x 在,22π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减3︒若()2,x π∈，则()()'20x h x x e sinx -=--<，()h x 在(2,)π上单调递减.. 由123︒︒︒得，()h x 在()0,a 上单调递增，()h x 在(),a π单调递减因为()()00h a h >=，1()()10h e πππ-=--<所以存在(),a βπ∈使得()0h β=，所以，当,()0x β∈时，()()0f x h x '=>，()f x 在(0,)β上单调递增，()()00f x f >=当,()x βπ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在(),βπ上单调递减，因为()()00,(0)f f f βπ>=<，所以()f x 在区间(),βπ上有且只有一个零点 综上，()f x 在区间(,)π-∞上的零点个数为2个 ()2因为2222222222111143x x x x x sin n x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭① 对()()224611,2!4!6!2!nnx x x x cosx n -=-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅两边求导得:()()213511!3!5!21!nn x x x x sinx n ---=-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-()()1213511!3!5!21!n n x xx x sinx n ---=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以()()12124113!5!21!n n x sinx x x x n ---=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-② 比较①②式中2x 的系数，得:222221111113123n π⎛⎫-=-+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭！ 所以2222211111236n π+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=。

2021届（山东、海南等新高考地区）高三上学期期中考试试卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|13}A x x =-<<，{|ln 1}B x x =<，求A B =（ ）A ．{|1}x x e -<<B ．{|01}x x <<C ．{|0}x x e <<D ．{|3}x e x <<2．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何?”意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人?在上述问题中，需从西乡征集的人数是（ ） A ．102B ．112C ．130D ．1363．若复数112i z =+，24i z m =+，且12z z ⋅∈R ，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．4-C ．2D ．44．若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．25．设θ∈R ，则“π03θ<<”是“3sin cos 21θθ+>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流值一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（ ）A ．甲B ．丙C ．戊D ．庚7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差2d =-，321S =，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．58．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（a ）的立方成正比”，即3V ka =，欧几里得未给出k 的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V ka =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3V ka =求体积（在等边圆柱中，a 表示底面圆的直径；在正方体中，a 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k =（ ） A ．2π:3π:6B ．3π:2π:6C ．2π:3π:12D ．3π:2π:129．设变量x ，y 满足约束条件342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则|3|z x y =-的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1010．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（ ）A ．2(2)(3)(log )af f f a <<B ．2(3)(log )(2)af f a f <<C ．2(log )(3)(2)af a f f << D ．2(log )(2)(3)af a f f <<11．已知椭圆22195x y +=的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点(0,23)A ，当APF △的周长最大时，APF △的面积为（ ） A ．114B ．1134C ．214D ．213412．已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--++在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则M m +=（ ） A ．4B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1)OA =-，(0,2)OB =．若0OC AB ⋅=，AC OB λ=，则实数λ的值为________． 15．若将函数1()sin(2)cos(2)(0π)22f x x x ϕϕϕ=+++<<的图象向左平移π4个单位长度， 平移后的图象关于点π(,0)2对称，则函数()sin()2g x x ϕ=+-在π[],2π6-上的最小值为_______．16．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中[1,5]λ∈，若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，2223b c abc a +-=．（1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC △的面积．18．（12分）唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔．唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立。

黄岛区2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷一、单项选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.全集为R ，集合{}2|20A x R x x =∈->，集合{}|ln 10B x x =-≤，那么()RA B =〔 〕 A. []0,2 B. (]0,2 C. []0,eD. (]0,e【答案】C 【解析】 【分析】分别由集合,A B 求出对应x 范围，先求A R，再求()R A B 即可【详解】{}{2202A x R x x A x x =∈-⇒=或者}0x <，{}02RA x x =≤≤{}{}|ln 10|0B x x B x x e =-≤⇒=<≤，那么(){}0RA B x x e ⋃=≤≤应选：C【点睛】此题考察集合的交并补运算，属于根底题 2.假设点44sin,cos 33M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，那么cos2=α〔 〕A. 12-B.12C. 【答案】B 【解析】 【分析】先将点44sin ,cos 33M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭化简，得122M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合同角三角函数先求出cos α，再结合二倍角公式求出cos2α即可 【详解】由24411sin ,cos ,cos cos 22cos 1332222x M M r ππααα⎛⎫⎛⎫⇒--⇒==-⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭应选：B【点睛】此题考察三角函数值的化简，同角三角函数的根本求法，二倍角公式的应用，属于根底题3.平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，假设//AB AC ，那么BC =〔 〕A. B. 20D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得2t =-,再根据BC AC AB =-求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，且//AB AC , 所以231(3)0t ⨯-⨯-=,解得2t =-, 所以(6,3)AC =,所以(62,31)(4,2)BC AC AB =-=--=所以||(4)BC ==应选:A【点睛】此题考察了向量平行的坐标表示,考察了求向量的模长,属于根底题.4.函数()()14,331,3xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，那么()31o 4l g f +=〔 〕A. 144B.13C.19D.136【答案】C【解析】 【分析】先判断括号内()342,31log ∈+，需代入第二段表达式，得()()331log 2l 4g 4o f f +=+，由()343,42log ∈+继续代入第一段表达式即可求解【详解】()()33332log log 9log log 36443314111log 42log 444333f f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭133log 36log 36143439--=⨯=⨯=应选：C【点睛】此题考察分段函数中详细函数值的求解，对数的根本运算，对数恒等式的使用，属于根底题5.假设先将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，那么3g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔 〕A. 1B.【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图像平移法那么求出()y g x =表达式，再代值运算即可 【详解】由题可知，2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后的表达式为： 22sin 22sin 22cos 26636y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将所有横坐标伸长为原来的2倍，表达式变为：2cos 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，那么()2cos 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，2cos 2cos 3366g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭应选：C【点睛】此题考察由函数图像的平移法那么求平移之后的解析式及详细的函数值，属于根底题6.函数()()23ln 44(2)x xf xx-+=-的图象可能是下面的图象( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为()()()()()2233ln44ln222x x xf xx x-+-==--，所以函数()f x的图象关于点〔2,0〕对称，排除A，B．当0x<时，()()23ln20,20x x->-<，所以()0f x<，排除D．选C．7.1cos33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么7sin26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭〔〕A.13B.13- C.79D.79-【答案】D【解析】【分析】可观察两个式子整体特征，一个为单倍角，一个为二倍角，那么考虑先对1cos33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭整体求二倍角，再根据诱导公式进展合理转化即可【详解】27cos22cos1339ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即27cos239πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，7sin 2sin 2sin 2sin 26666ππππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而226232ππααπ⎛⎫- ⎪⎛⎫-+= ⎝⎝⎭⎭⎪， 那么2272cos 23239in 2sin 6s ππαπαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎭⎛⎫⎭⎥⎝⎝⎭⎪⎣-⎦=⎝， 故97sin 672πα⎛⎫=⎪⎝⎭--应选：D【点睛】此题考察三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转化，纯熟运用诱导公式是解题的关键，属于中档题8.设α，β为两个平面，那么αβ⊥的充要条件是〔 〕 A. α内有一条直线与β垂直 B. α内有一条直线与β内两条直线垂直C. α与β均与同一平面垂直D. α与β均与同一直线垂直【答案】A 【解析】 【分析】结合面面垂直的断定定理即可求解【详解】对A ，符合面面垂直的断定定理描绘，正确；对B ，两平面斜交时，假设α内的直线垂直于两平面交线，而β内两条直线与交线平行时，符合描绘，但两平面不垂直，故错误；对C ，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误； 对D ，垂直于同一直线的两平面平行，故错误； 应选：A【点睛】此题考察面面垂直的性质与断定，属于根底题9.假设函数()()2sin 2sin 2cos cos cos 0x x f x ϕϕϕϕπ=+-<<的一个极大值点为6π，那么ϕ=〔 〕A. 0B. 6π C.4π D.3π 【答案】D 【解析】 【分析】先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解 【详解】()()22sin 2sin 2cos cos cos sin 2sin 2cos 1cos f x x x x x ϕϕϕϕϕ=+-=+-=()sin 2sin cos2cos cos 2x x x ϕϕϕ+=-，因为()f x 的一个极大值点为6π，所以cos 2166f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，故3πϕ=，应选：D【点睛】此题考察三角函数的化简求值，二倍角公式和两角差的余弦公式的使用，属于根底题10.英国数学家泰勒发现了如下公式：246cos 1121234123456x x x x =-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯.那么以下数值更接近cos0.4的是〔 〕 A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据表达式特点可写出通式，再分n 为奇数和偶数分类讨论即可 【详解】由题知()()()()2462123cos 111111212341234562!nnx x x x x n =+-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 题设要求准确到即可，当n 为奇数时，由于20.4110.080.9212-=-=⨯，460.40.401234123456->⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以2460.40.40.92123c 4120.4114os 0.54326-+>⨯⨯⨯⨯⨯⨯+-⨯⨯=⨯；当n 为偶数时，由于420.4110.4120.921342⨯⨯⨯-+>⨯，680.40.4012345612345678-+<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 48261c 0.40.40.40.92123412345612345678os .0.411204-++<⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+⨯综上所述，cos0.40.92≈ 应选：B【点睛】此题考察新定义的理解与使用，找出规律，学会分类讨论是解题的关键，属于中档题二、多项选择题：本大题一一共3小题，每一小题4分，一共12分.在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.以下结论正确的选项是〔 〕 A. 假设22a b >，那么11a b< B. 假设0x >，那么44x x+≥ C. 假设0a b >>，那么lg lg a b > D. 假设0ab >，1a b +=，那么114a b+≥ 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质举反例可判断A ；利用根本不等式可判断B ；由对数函数的单调性可判断C ；由根本不等式可判断D.【详解】对于A ，假设22a b >，那么a b >，当2a =，1b =-时，11a b<不成立，故A 错；对于B ，由0x >，那么44x x +≥=，当且仅当2x =取等号，故B 正确；对于C ，由lg y x =为单调递增函数，由0a b >>，那么lg lg a b >，故C 正确；对于D ，由0ab >，1a b +=，那么()1111224b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确； 应选：BCD【点睛】此题考察了根本不等式的性质、根本不等式以及对数函数的单调性，属于根底题. 12.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下直线或者平面与平面1ACD 平行的是〔 〕 A. 直线1A BB. 直线1BBC. 平面11A DCD. 平面11A BC【答案】AD 【解析】【分析】作出正方体，由线面平行的断定定理可判断A 、B ；由面面平行的断定定理可判断C 、D. 【详解】如图由11A B D C ，且1A B ⊄平面1ACD ，1D C ⊂平面1ACD ， 故直线1A B 与平面1ACD 平行，故A 正确；直线11BB DD ∥，1DD 与平面1ACD 相交，故直线1BB 与平面1ACD 相交，故B 错误； 由图，显然平面11A DC 与平面1ACD 相交，故C 错误； 由11A B D C ，11ACAC ，且1111A B A C A =，1AC D C C =，故平面11A BC 与平面1ACD 平行，故D 正确； 应选：AD【点睛】此题主要考察了线面平行、面面平行的断定定理，考察了学生的空间想象才能，属于根底题.13.假设函数()1xf x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公一共点，那么实数a 可能取值为〔 〕 A. 2 B. 0 C. 1D. 1-【答案】BCD 【解析】 【分析】作出()1xf x e =-的图像，利用数形结合可判断0a ≤满足恰有一个公一共点；当0a >时，需直线与曲线相切即可.【详解】由()1xf x e =-与()g x ax =恒过()0,0，如图，当0a ≤时，两函数图象恰有一个公一共点，当0a >时，函数()1xf x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公一共点，那么()g x ax =为()1xf x e =-的切线，且切点为()0,0，由()x f x e '=，所以()001a f e '===，综上所述，0,1a =-或者1. 应选：BCD【点睛】此题考察了指数函数图像、导数的几何意义，考察了数形结合在解题中的应用，属于根底题.第二卷三、填空题：本大题一一共4个小题，每一小题4分，一共16分.14.声强级I L 〔单位：dB 〕由公式1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强〔单位：2/W m 〕. 〔1〕平时常人交谈时的声强约为6210/W m -，那么其声强级为______dB ；〔2〕一般正常人听觉能忍受的最高声强为21/W m ，能听到的最低声强为12210/W m -，那么正常人听觉的声强级范围为______dB . 【答案】 (1). 60 (2). []0,120 【解析】 【分析】根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解；【详解】〔1〕当62110/I W m -=时，66121010lg 10lg106010I L --⎛⎫=== ⎪⎝⎭；〔2〕当221/I W m =时，1212110lg 10lg1012010I L -⎛⎫===⎪⎝⎭， 当122310/I W m -=时，12121010lg 010I L --⎛⎫== ⎪⎝⎭，那么正常人听觉的声强级范围为[]0,120dB故答案为：60；[]0,120【点睛】此题考察指数与对数的根本运算，属于根底题15.等差数列{}n a 满足：2355a a a +==，*n N ∈，那么数列sin 2n a π⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的前2021项和等于______. 【答案】0 【解析】 【分析】由2355a a a +==计算出数列{}n a 的通项公式，再根据新数列的周期性特点即可求解【详解】由2355a a a +==可得2311512351451n a a a d a a n a a d d +=+==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=+==⎩⎩，那么sin sin 22n a n ππ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭，当1n =时，sin 12π=，当2n =时，2sin 02π=，当3n =时，3sin12π=-，当4n =时，4sin 02π=，，通过列举发现新数列是一个周期为4的循环数列，记 {}sin 2n n b π⎧⎫⎛⎫=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，n S 为{}n b 前n 项和，那么12341,0,1,0,b b b b ===-=()201912341235040S b b b b b b b =++++++=故数列sin 2n a π⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的前2021项和等于0 故答案为：0【点睛】此题考察等差数列通项公式的求解，周期数列前n 项和的求解，三角函数的周期性，属于根底题16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，ABC ∆的面积S =c 的取值范围为______.【答案】2c ≥ 【解析】 【分析】结合正弦定理角化边及余弦定理，可得1cos 2C =，再由正弦定理面积公式求得4ab =，再结合余弦定理22222cos 22a b c ab c C ab ab+--=≥放缩即可求解 【详解】由题222222222sin sin sin sin sin 2cos A B C A B a b c ab a b c ab ab C +=+⇒+=+⇒+-==，求得1cos 2C =，又因为1sin 42S ab C ab ==⇒=，由余弦定理及不等式性质可得：22222cos 22a b c ab c C ab ab +--=≥，即21828c -≥，化简得2c ≥ 故答案为：2c ≥【点睛】此题考察正弦定理角化边，正弦的面积公式，余弦定理解三角形，不等式的根本性质，属于中档题17.三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，那么三棱锥P ABC-的外接球与内切球的半径比为______．【答案】()3312+【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进展求解.【详解】以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由2PA PB PC===，可知此长方体即为正方体.设外接圆半径为R，那么44432R++==设内切圆半径为r，那么内切圆的圆心到四个面的间隔均为r，由()1133ACP APB PCB ABC PCBS S S S r S AP+++⋅=⋅⋅，解得33r=+所以)3313233Rr==+，故答案为：)3312【点睛】此题主要考察了多面体的内切球外接球问题、等体法求间隔，考察了学生的空间想象才能，属于中档题.四、解答题：一共82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.18.在ABC∆中，E，F分别为线段BC，AC上的点，//EF AB，3AB=，2EF=，AE 23=，3BAC π∠=.〔1〕求EAC ∠； 〔2〕求BC 的长度. 【答案】〔1〕6π；〔2〕33【解析】 【分析】〔1〕先画出大致图像，在三角形AEF 中由正弦定理可得sin sin AE EFAFE EAF=∠∠，进而求出1sin 2EAF ∠=，结合三角形内角特点即可求解； 〔2〕由〔1〕的结论可得，AEF ∆为等腰三角形，求出2AF EF ==，再由相似三角形可求6AC =，对ABC ∆采用余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯⨯∠即可求解；【详解】〔1〕在ABC ∆中：//EF AB ，所以23AFE π∠=， 在AFE ∆中由正弦定理知：1sin sin sin 2AE EF EAF AFE EAF =⇒∠=∠∠， 又因为23AFE π∠=为钝角，所以6EAF π∠=.〔2〕因为23AFE π∠=，6EAF π∠=，所以6AEF π∠=，2AF EF ==，又因为//EF AB ，3AB =，2EF =，所以2CFAF=，即6AC =， 在ABC ∆中由余弦定理知：2222cos 27BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯⨯∠=，∴33BC =【点睛】此题考察等腰三角形性质，正弦定理，余弦定理解三角形，属于根底题19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1PA PD CD BC ====，面PAD ⊥面ABCD ，E 为AD 的中点.〔1〕求证：PA BD ⊥；〔2〕在线段AB 上是否存在一点G ，使得//BC 面PEG ？假设存在，请证明你的结论；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕存在，证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕可作AB 中点F ，连接DF ，通过底面梯形的性质可证四边形BCDF 为正方形，求出边2AD =2BD =，通过勾股定理可证BD AD ⊥，再结合面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，可证BD ⊥面PAD ，得到PA BD ⊥，即可得证；〔2〕可将问题转化，在底面找一点G 使得EG BC ∥，即可求证； 【详解】〔1〕取AB 中点F ，连接DF ， ∵//DC AB 且12DC AB =， ∴//DC BF 且DC BF =， 所以四边形BCDF 为平行四边形， 又∵AB BC ⊥，1BC CD ==， 所以四边形BCDF 为正方形.在Rt AFD ∆中，因为1DF AF ==，所以2AD = 在Rt BCD ∆中，因为1BC CD ==，所以2BD =，因为2AB =，所以222AD BD AB +=，BD AD ⊥， 因为BD ⊂面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，所以BD ⊥面PAD ， 因为PA ⊂面PAD ，所以PA BD ⊥.〔2〕线段AB 上存在一点G ，满足14AG AB =， 即G 为AF 中点时，//BC 面PEG ，证明如下：连结EG ，∵E 为AD 的中点，G 为AF 中点，//GE DF ， 又∵//DF BC ，所以//GE BC ， ∵GE面PEG ，BC ⊄面PEG ，∴//BC 面PEG .【点睛】此题考察线面垂直的性质，线线垂直的证明，由线面平行需找满足条件的点，属于中档题20.数列{}n a 满足：110a =，21n n a a +=，lg n n b a =，2log n n c b =，*n N ∈.〔1〕证明：数列{}n b 为等比数列； 〔2〕证明：数列{}n c 为等差数列；〔3〕假设数列12n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，数列1n T n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n W ，证明：n n W S >.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析；〔3〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕直接利用11lg lg n n n nb a b a ++=，由21n n a a +=代换即可求证； 〔2〕由〔1〕得1lg 2n n n b a -==，那么()2log lg 1n n c a n ==-，通过定义即可求证；〔3〕由题可求1122n n b =，由等比数列前n 项和公式可求112n n S ，由等差数列前n 项和公式可求()12n n n T -=，那么11121n T n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，结合裂项公式可求221n W n =-+，通过放缩即可求证；【详解】〔1〕因为211lg lg 2lg 2lg lg lg n n n nn n n nb a a a b a a a ++====， 又因为11lg 1b a ==，所以{}n b 是首项为1，公比2的等比数列.〔2〕由〔1〕得：1lg 2n n n b a -==，所以()2log lg 1n n c a n ==-， 所以()111n n c c n n +-=--=， 所以{}n c 是公差为1的等差数列.〔3〕由〔2〕知：1122n n b =，11112211212n n nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，因为()12n n n T -=，所以()1211211nT n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， 所以111111222122311n W n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪++⎝⎭， 所以22121111112n n n W S n n =-=+-≥>-=++. 【点睛】此题考察等差数列，等比数列的证明，等差数列，等比数列通项公式，前n 项和公式，裂项相消法，放缩法等的应用，综合性强，但难度不大，属于中档题21.图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH组成的一个平面图形，其中AB =1BE EH ==，π3ABC ∠=，π4ABE ∠=，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．〔1〕证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； 〔2〕求图2中点F 到平面BCE 的间隔 ； 〔3〕求图2中二面角E AB C --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析3【解析】 【分析】〔1〕证出CE BE ⊥、CE EF ⊥，利用线面垂直的断定定理以及面面垂直的断定定理即可证出.〔2〕证出AE BE ⊥，由〔1〕可得AE ⊥平面BCE ，求出AE 即可求出点F 到平面BCE 的间隔 .〔3〕以E 为坐标原点，分别以EB 、EC 、EA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，求出平面ABC 的法向量与平面ABE 的法向量，利用向量的夹角即可求出. 【详解】〔1〕由题知，在BEC △中，222BC EC BE =+， 所以CE BE ⊥．又在矩形EFGH 中，CE EF ⊥，且EF BE E =，所以CE ⊥平面ABEF ．又因为CE ⊂平面BCE ，所以平面BEC ⊥平面ABEF ． 〔2〕由〔1〕知：CE ⊥平面ABEF ，所以CE AE ⊥． 因为菱形ABCD 中的π3ABC ∠=，所以ABC 为等边三角形，2AC AB == 所以在Rt AEC △中，2221AE AC CE =-=，1AE =．所以在AEB △中，222AB AE BE =+，AE BE ⊥． 又因为平面BCE ⊥平面ABEF ，且平面BCE 平面ABEF BE =，所以AE ⊥平面BCE ．又因为AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的间隔 为1AE =．〔3〕以E 为坐标原点，分别以EB 、EC 、EA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -， 所以()0,0,0E ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1A ． 由〔1〕知平面ABE 的法向量为()0,1,0m EC ==，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，因为()1,0,1BA =-，()1,1,0BC =-，由00n BA n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，获得1x =，()1,1,1n =．所以3cos m n m nθ⋅==，即二面角E AB C -- 【点睛】此题主要考察了面面垂直的断定定理、点到面的间隔 以及用空间向量求二面角，考察了学生的推理才能和计算才能，属于中档题. 22.函数()()ln 1f x a x x a R =-+∈. 〔1〕求函数()f x 的极值； 〔2〕假设()0f x ≤，求a 的值.【答案】〔1〕0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，极大值ln 1a a a -+，无极小值；〔2〕1 【解析】 【分析】〔1〕先求导，得()()'10af x x x=->，再分为0a ≤和0a >两种情况详细讨论，进一步确定函数的极值；〔2〕由〔1〕可判断当0a ≤时，不满足所求条件，当0a >时，()()max f x f a =，那么所求问题转化为：()()ln 10f x f a a a a ≤=-+=，可构造函数()ln 1g a a a a =-+，得()'ln g a a =，令()'0g a =得1a =，可判断()g a 在1a =处取到最小值，且()10g =，故求得1a =；【详解】〔1〕由题知：()()'10af x x x=->， 当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在()0,+∞上单调递减，所以()f x 无极值， 当0a >时，()'0f x =得x a =， 当()0,x a ∈时，()0f 'x >，所以()f x 在()0,a 上单调递增；当(),x a ∈+∞时，()'0f x <，所以()f x 在(),a +∞上单调递减； 所以()f x 在x a =时获得极大值()ln 1f a a a a =-+， 综上：0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值()ln 1f a a a a =-+，无极小值. 〔2〕假设()0f x ≤恒成立，由〔1〕知当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在()0,+∞上单调递减，又因为()10f =， ∴()0,1x ∈时()0f x >， ()1,x ∈+∞时()0f x <，所以0a ≤时，不存在符合题意的a 值，假设0a >时，由〔1〕知：假设()0f x ≤恒成立，只需()()ln 10f x f a a a a ≤=-+=， 令()ln 1g a a a a =-+，那么()'ln g a a =，()'0g a =得1a =， 当()0,1a ∈时，()'0g a <，所以()g a 在()0,1上单调递减； 当()1,a ∈+∞时，()'0g a >，所以()g a 在()1,+∞上单调递增； 且()10g =，因此1a =.【点睛】此题考察利用含参导数分类讨论求极值，恒成立问题的等价转化，构造函数法求解参数取值，属于中档题23.自变量为x 的函数()()11ln ln 12x n n n e f n x n e x -=--++的极大值点为n x P =，*n N ∈，2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.〔1〕假设1n =，证明：()f x 有且仅有2个零点； 〔2〕假设1x ，2x ，3x ，…，n x 为任意正实数，证明：()14niiii f x P =<⎡⎤⎣⎦∑.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕当1n =时，()11ln 2x f x x e -=-+，求导得()'111x f x e x -=-，令()11x g x e x-=-，再次求导()121'0x g x e x-=--<，可判断()'f x 在()0,+∞单调递减，又()'110f =，故()1f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减；求得()()1111f x f ≤=，再判断()210f e -<，()210f e <，结合零点存在定理判断，()1f x 有且仅有2个零点；〔2〕对()n f x 求导可得()'x n n n f x e x -=-，又()'0n n n nnf n e -=-=，故可判断()0,x n ∈，()'0n f x >；(),x n ∈+∞，()'0n f x <，()n f x 在()0,n 上单调递增；在(),n +∞上单调递减；故n P n =且()()112n n n x n f f -≤=，所求问题转化为()1112n n i i i n i i n f x P -==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑，记112nn i n -=⎛⎫⎪⎝⎭∑为n W ，观察知n W 为等差乘以等比数列的形式，结合错位相减法化简即可求证； 【详解】解：〔1〕由题知：()11ln 2x f x x e -=-+，∴()'111x f x e x -=-，令()11x g x e x -=-，()121'0x g x e x-=--<， ∴()'f x 在()0,+∞单调递减，又∵()'11110x f e x-=-=，∴()0,1x ∈，()'10f x >，()1,x ∈+∞，()'10f x <，故()1f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减；所以()()1111f x f ≤=； 又因为()22110e f ee---=-<，()2221213314444240ef e e e e --=-<-=-<-=-<，所以()1f x 在()0,1，()1,+∞上各恰有零点，即()1f x 有且仅有2个零点.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 〔2〕由题知()'x n n n f x e x-=-， 因此()'0n n n nn f n e -=-=，()0,x n ∈，()'0n f x >；(),x n ∈+∞，()'0n f x <， 故()n f x 在()0,n 上单调递增；在(),n +∞上单调递减；因此n P n =且()()112n n n x n f f -≤=， ∵()112n n n f x -≤，所以()1112n n i i i n i i n f x P -==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑， 记112nn i n -=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑为n W ，所以01211232222n n n W -=+++⋅⋅⋅+， 12311231222222n n n W n n --=+++⋅⋅⋅++， 所以21111122222n n n W n -=+++⋅⋅⋅+-， 所以111222122212n n n n W n n ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭=-=--， 所以12442n n n W -+=-<， 因此()11142n n i i i n i i n f x P -==⎛⎫≤< ⎪⎝⎭∑∑，即()14n i i i i f x P =<⎡⎤⎣⎦∑. 【点睛】此题考察利用导数证明函数零点个数，利用导数研究函数极值点，放缩法证明不等式的应用，错位相减法求数列前n 项和，转化与化归才能，计算才能，属于难题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

青岛市黄岛区2020- 2021 学年度第一学期期中学业水平检测高三数学试题 2020.11一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合1,0|2A x cosx x π=≥<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，集合{}2|B x R x x =∈≤.则A B ⋃=（ ）A ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,12. 已知数列{}n a 各项均大于1，*n N ∈，“31n n a a +=”是“数列{}n lga 成等比数列”的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件3. 已知角θ终边经过点)P a ，若6πθ=-，则a =（ ）A B ．3C ．3- D ．4. 已知向量()()1,2,2,1AB BD ==-，(),1,BC t t R =∈，若//,AD CD ，则实数t 的值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．435. 在空间中，a b 、是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A ．若//,//a b a α，则//b αB ．若,a βαβ⊥⊥，则//a αC ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若//,a ααβ⊥，则a β⊥6.已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0,x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7.已知函数()()2,0,2f x sinx x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足:当02x ≤<时，()331f x x x =-+-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，...，并记相应的极大值为12,,...,n b b b ..，则11221818...a b a b a b ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．191831⨯+B ．181831⨯+C ．171731⨯+D ．181731⨯+二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 在ABC ∆中，2,1AB AC ==，2,AB AC AP +=则（ ） A ．0PB PC ⋅> B ．0PB PC += C ．1122PB AB AC =- D ．34AP BP +=- 10. 已知函数()()(0,0,0)f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><<的最小正周期为4，其图象的一个最高点为1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ） A ．ωπ=B ．3πϕ= C ．将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到()h x 图象；再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得到函数26y sin x ππ=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象 D ．() y f x =的图象关于1x =对称 11. 在三棱柱111ABC A B C -中，E F G 、、分别为线段111AB A B AA 、、的中点，下列说法正确的是（ ）A ．平面1//AC F 平面1B CEB ．直线//FG 平面1B CEC ．直线CG 与BF 异面D ．直线CF 与平面CGE 相交12. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，(),f x x =关于函数()()()g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在()1,2上单调递增C ．()g x 不是周期函数D ．()g x 的最大值为2二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数1,1z i i i =++为虚数单位，则z =_ ． 14.已知22034sin a a π=<<，，则sina cosa -= ． 15.已知256,15a log b log ==，2c π-=，则,,a b c 的大小关系为 (用“<”连接).16.在四面体P ABC -中，PA ⊥底面,1ABC PA =，ABC PBC PAC PAB ∆∆∆∆、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3,则该()1四面体外接球的表面积为 ； ()2该四面体体积的最大值为 ．(第一空2分，第二空3分)四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.17. 在()2B C asin A C bsin++=①，2221cos A cos B cos C sinBsinC +=++②两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知_ . ()1求A ；()2已知函数()(),140,24f x cos x A x π⎡⎤⎢⎥⎣=∈⎦-，求()f x 的最小值.18. 如图，在半圆柱W 中，AB CD 、分别为该半圆柱的上、下底面直径，E F 、分别为半圆弧,AB CD 上的点，AD BC EF 、、均为该半圆柱的母线，2AB AD ==.()1证明:平面DEF ⊥平面CEF ； ()2设02CDF πθθ∠=<<⎛⎫ ⎪⎝⎭，若二面角E CD F --的余弦值为5，求θ的值.19. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为2*111,1,,n n n n S a S S a n N ++=+=∈.()1求{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足:1122222...22n n n n a b a b a b a b +++++=-，求数列221log n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .20. 已知关于x 的函数(),0f x alnx xlna a =->. ()1讨论()f x 的极值点；()2若()0f x ≤恒成立，求a 的值.。