【课堂新坐标】2017届高三理科数学(通用版)二轮复习练习：2.1.2数形结合思想.doc

突破点5 数列的通项与求和(对应学生用书第167页)若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在使用这个关系式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.(1)n ＋1n 列．②形如a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．(2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式．(3)叠乘法：形如a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1，求其通项公式．(4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再转化为等比数列求解．(5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，构造新数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解．(6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法．回访1 a n 与S n 的关系1．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________.－1n [∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.又S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，即S n ＝－1n .]2．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.(－2)n －1 [当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， ∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.]3．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.12 [∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.]回访2 数列求和4．(2015·全国卷Ⅰ改编)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，则(1){a n }的通项公式为__________； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________． (1)a n ＝2n ＋1 (2)n3(2n ＋3)[(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).]5．(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根，则(1){a n }的通项公式为__________；(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为__________．(1)a n ＝12n ＋1 (2)2－n ＋42n ＋1 [(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12， 从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.](对应学生用书第167页)热点题型1 数列中的a n 与S n 的关系题型分析：以数列中a n 与S n 间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.数列{an }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a na n S n －S 2n ＝1(n ≥2)．求数列{a n }的通项公式．【导学号：67722024】[解] 由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n ＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n ＝1，2分即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12.4分又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列，6分所以1S n＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.8分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1).10分因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.12分给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .提醒：在利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求通项公式时，务必验证n ＝1时的情形． [变式训练1] (1)(2016·合肥三模)已知数列{a n }前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n ，则S n ＝__________.(2)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且2S n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则a n ＝__________.(1)n ·2n (n ∈N *) (2)2×3n －1(n ∈N *) [(1)由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．(2)因为2S n ＋2＝3a n ，① 所以2S n ＋1＋2＝3a n ＋1，②由②－①，得2S n ＋1－2S n ＝3a n ＋1－3a n ，所以2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1a n ＝3.当n ＝1时，2＋2S 1＝3a 1，所以a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．] 热点题型2 裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和.(2016·威海二模)设单调数列{an }的前n 项和为S n,6S n ＝a 2n ＋9n －4，a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝6n －1(3n ＋1)2·a 2n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由已知6S n ＝a 2n ＋9n －4可得，当n ≥2时，6S n －1＝a 2n －1＋9(n －1)－4， 两式相减得6a n ＝a 2n ＋9n －a 2n －1－9(n －1)＝a 2n －a 2n －1＋9，2分 整理得(a n －3)2＝a 2n －1，即a n －a n －1＝3或a n ＋a n －1＝3，n ≥2.3分∵{a n }为单调数列，∴a n ＋a n －1＝3(舍去)，即{a n }为等差数列．当n ＝1时，6a 1＝a 21＋5，解得a 1＝1或a 1＝5.4分若a 1＝1，则a 2＝a 1＋3＝4，a 6＝a 1＋15＝16，满足a 1，a 2，a 6成等比数列； 若a 1＝5，则a 2＝a 1＋3＝8，a 6＝a 1＋15＝20，不满足a 1，a 2，a 6成等比数列.5分∵a 1＝1，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2(n ∈N *)．∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.6分(2)由已知，a n ＝3n －2，b n ＝6n －1(3n ＋1)2(3n －2)2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(3n －2)2－1(3n ＋1)2.9分 设{b n }的前n 项和为T n ，T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－142＋142－172＋172－…＋1(3n －2)2－1(3n ＋1)2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(3n ＋1)2＝n (3n ＋2)(3n ＋1)2(n ∈N *).12分裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，常见的裂项方式有：(1)1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋k＝1k (n ＋k －n )．提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数．[变式训练2] 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.[解] (1)由已知及等差数列的性质得S 5＝5a 3，∴a 3＝14，1分 又a 2，a 7，a 22成等比数列，即a 27＝a 2·a 22.2分 由(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )且d ≠0， 解得a 1＝32d ，∴a 1＝6，d ＝4.4分故数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2，n ∈N *.6分 (2)证明：由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝2n 2＋4n ，1S n ＝12n 2＋4n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，8分∴T n ＝141－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.10分又T n ≥T 1＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＝16，所以16≤T n <38.12分热点题型3 错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练.(2016·山东高考)已知数列{an }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，1分 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，2分 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .3分由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，5分 可解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.6分(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.7分 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，8分2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋211分 ＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.12分运用错位相减法求和应注意：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }中一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，一般先乘以公比，再把前n 项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；三是相减，相减时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心．提醒：为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．[变式训练3] (2016·潍坊模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1，数列{b n }满足b n ·b n ＋1＝3a n ，且b 1＝1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a n b 2＋a n －1b 4＋…＋a 1b 2n ，求T n . [解] (1)∵S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1，① S n ＋S n －1＝a 2n (n ≥2)，② ①－②得：a n ＋1＋a n ＝a 2n ＋1－a 2n ，∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0， ∵a n ＋1＞0，a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n ＝1(n ≥2).2分又由S 2＋S 1＝a 22，得2a 1＋a 2＝a 22，即a 22－a 2－2＝0，∴a 2＝2，a 2＝－1(舍去)． ∴a 2－a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n .3分又∵b n ·b n ＋1＝3a n ＝3n ，③ b n －1b n ＝3n －1(n ≥2)，④ ③④得：b n ＋1b n －1＝3(n ≥2).4分又由b 1＝1，可求b 2＝3，故b 1，b 3，…，b 2n －1是首项为1，公比为3的等比数列，b 2，b 4，…，b 2n 是首项为3，公比为3的等比数列，∴b 2n －1＝3n －1，b 2n ＝3·3n －1＝3n ，6分 ∴b n ＝ 7分(2)由(1)得：T n ＝3a n ＋32a n －1＋33a n －2＋…＋3n a 1，⑤3T n ＝32a n ＋33a n －1＋34a n －2＋…＋3n ＋1a 1， ⑥8分⑥－⑤得：2T n ＝－3a n ＋32(a n －a n －1)＋33(a n －1－a n －2)＋…＋3n (a 2－a 1)＋ 3n ＋1a 1，由a n ＝n ，∴2T n ＝－3n ＋32＋33＋…＋3n ＋3n ＋1 ＝－3n ＋32(1－3n )1－3＝－3n －92＋12·3n ＋2，11分 ∴T n ＝3n ＋24－3n 2－94.12分专题限时集训(五) 数列的通项与求和[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2A [由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.]2．数列{a n }满足a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a 5＝( )A.15B.16 C ．5D ．6A [因为a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a n a n －1＝n －1n ，所以a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1，即a 5＝45×34×23×12×1＝15.故选A.] 3.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( ) A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2) C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2C [∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.] 4．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 013C [等差数列中，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d2＝2 002，d2＝1，所以S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1] ＝2 014，选C.]5．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 014等于( ) A.4 0282 015 B.4 0242 013 C.4 0182 012D.2 0102 011A [令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 因此1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 014＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 014－12 015＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 015＝4 0282 015.故选A.] 二、填空题6．(2016·西安模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，a n ＝4S n －3，则S 4＝__________. 【导学号：67722025】2027 [∵a n ＝4S n －3，∴当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1，当n ≥2时，∵4S n ＝a n ＋3，∴4S n －1＝a n －1＋3，∴4a n ＝a n －a n －1，∴a n a n －1＝－13，∴{a n }是以1为首项，－13为公比的等比数列，∴S 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1341＋13＝8081×34＝2027.] 7．(2016·广州二模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N*)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.] 8．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，n ∈N * [由S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1a n ＝32(n ≥2，n ∈N *)．又由a 1＝1及S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得a 2＝12，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列， 故当n >1，n ∈N *时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2， 所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，n ∈N *.]三、解答题9．(2016·太原二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .[解] (1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，1分当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2，4分∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，a n ＝2n －2(n ∈N *).6分 (2)∵b n ＝log 2a 2n ＋1×log 2a 2n ＋3＝log 222n ＋1－2×log 222n ＋3－2 ＝(2n －1)(2n ＋1)，8分 ∴1b n＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，10分 ∴T n ＝121－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分10．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2，2分即c n ＋1－c n ＝2.3分 又c 1＝a 1b 1＝1，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.5分 (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，7分 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，8分 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，9分相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，11分 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( )A.911B.1011C.811D.1211B [y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)， 即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列， ∴a n ＝n ，∴b n ＝1n (n ＋1)，∴T 10＝1－111＝1011，故选B.]2．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．3 105B [∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列，∴a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63.令a n ≤0，得n ≤21，∴前20项都为负值．∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30＝－2S 20＋S 30.∵S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765，故选B.]3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B.2n (n ＋1)C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3B [由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1).故选B.]4．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 二、填空题5．(2016·山西四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2016＝__________.【导学号：67722026】3×21 008－3 [∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 016＝1－21 0081－2＋2×(1－21 008)1－2＝3×21 008－3.]6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝__________，S 5＝__________.1 121 [∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3. 又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.] 三、解答题7．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① 所以当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②2分①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2).4分在①中，令n ＝1，得a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n (n ∈N *).6分 (2)由(1)知a n ＝13n ，故b n ＝na n＝n ×3n .则S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，③ 3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，④8分 ③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋34＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1，11分所以S n ＝34＋(2n －1)×3n ＋14(n ∈N *).12分8．(2016·烟台二模)已知函数f (x )＝x2x ＋1，数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S n ＋1＝f (S n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S 21＋S 22＋…＋S 2n ，当n ≥2时，求证：4T n ＜2－1n .[解] (1)由题意可知，S n ＋1＝S n 2S n ＋1，两边取倒数得：1S n ＋1＝2S n ＋1S n ＝1S n＋2，即1S n ＋1－1S n ＝2，又1S 1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列.3分故1S n＝2＋2(n －1)＝2n ，所以S n ＝12n ，5分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1).7分所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.8分(2)证明：由(1)可知，S 2n ＝14n 2，当n ≥2时，14n 2＜14n (n －1)，10分所以T n ＜14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即4T n ＜2－1n .12分。

填空专项集训(二)1．(2016·苏北四市联考)已知集合A ＝{0，a }，B ＝{0,1,3}，若A ∪B ＝{0,1,2,3}，则实数a 值为________．2 [∵A ＝{0，a }，B ＝{0,1,3}， 又A ∪B ＝{0,1,2,3}，故a ＝2.]2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________. －3 [∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， 由题意可知a －2＝2a ＋1，∴a ＝－3.]3．命题“∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＜1”的否定是________命题．(填“真”或“假”)假 [∵∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＜1是真命题，∴∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥1是假命题．]4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________． 25 [设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P ＝410＝25.]5．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 [由题意f ′(x )＝x 2－x ＋c 中Δ＝1－4c >0，解得c <14.故c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14.]6．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.1 [在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . ∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴bc ＝1.]7．如图1，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长AA 1＝8，若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高度为________．图16 [设所求液面的高度为x ，由题意知水的体积为34S △ABC ·AA 1，故有34S △ABC ·AA 1＝S △ABC ·x ，∴x ＝34AA 1＝34×8＝6.]8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为43，则p ＝________.【导学号：19592077】4 [由已知得e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y＝±3x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2.在△AOB 中，|AB |＝3p ，O 到AB 的距离为p2.因为S △AOB ＝43，所以12×3p ×p2＝43，p ＝4.]9．某市为增强市民节约粮食的意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图2所示，若用分层抽样的方法从第3,4,5组中共抽取了12名志愿者参加10月16日的“世纪粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________．图24 [由直方图可知，第3,4,5组的人数比为0.06∶0.04∶0.02＝3∶2∶1，所以从第4组中抽取的人数为12×23＋2＋1＝12×26＝4.]10．执行如图3所示的程序框图，则输出的n 为________．图34 [执行程序框图可知：n ＝1，s ＝0，p ＝30，s ＜p 成立；s ＝3，n ＝2，s ＜p 成立；s ＝3＋9，n ＝3，s ＜p 成立；s ＝3＋9＋27，n ＝4，s ＜p 不成立，因此输出的n 的值为4.]11．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]12．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λB C ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________.56[以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB 2→＋λAD 2→＋(1＋λμ)AB →·AD →＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC →＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56.]13．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．2x －y ＝0 [设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.] 14．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2 α＋4cos 2 α的最大值为________．12 [因为sin 2αsin 2 α＋4cos 2 α＝2sin αcos αsin 2 α＋4cos 2 α＝2tan αtan 2 α＋4，所以2tan αtan 2 α＋4＝2tan α＋4tan α≤12(当且仅当tan α＝2时，等号成立)，所以原式的最大值为12.]。

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。

数学思想集训(一) 函数与方程思想 题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8的值为________．64 [由题意可知a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∴S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64.] 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0 [构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0.] 3．已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a n n 的最小值为________．【导学号：19592071】292[由a n ＋1－a n ＝2n ，得 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60＝n 2－n ＋60.∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n －1.令f (x )＝x ＋60x －1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．又n ∈N *，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝292.又292＜1027，故a n n 的最小值为292.]4．已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a ≥0. (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值；(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立．[解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1. 3分所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，所以两方程联立消元得12x 2＋ax ＝a ＋x －1，即12x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0， 5分所以Δ＝(a －1)2－4×12×(1－a )＝0，得a 2＝1.因为a ≥0，所以a ＝1. 8分(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立．令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1. 12分令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，所以φ(x )＞φ(1)＝0. 14分又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立，即x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立. 16分题组2 利用函数与方程思想解决几何问题5．设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________．y 2＝4x 或y 2＝16x [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M＝15p －9p 24，故以MF 为直径的圆的方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5＋3p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0. ∴y M ＝2＋15p 8－9p 232＝2＋y 2M 8⇒y M ＝4，p ＝43或163.∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]图16．如图1所示，在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值是________． 2＋2 [设A 1P ＝x (0≤x ≤2)．在△AA 1P 中， AP ＝12＋x 2－2×1×x ×cos 45°＝x 2－2x ＋1， 在Rt △D 1A 1P 中，D 1P ＝1＋x 2.于是令y ＝AP ＋D 1P ＝x 2－2x ＋1＋x 2＋1， 下面求对应函数y 的最小值．将函数y 的解析式变形，得y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－222＋(x －0)2＋[0－(－1)]2，其几何意义为点Q (x,0)到点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22与点N (0，－1)的距离之和，当Q ，M ，N 三点共线时，这个值最小，且最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋ 2.]7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求椭圆E 的方程；(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →·OB →＝125？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)由e ＝c a ＝32且3a 2＋14b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. 4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m ⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0.(*)所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2－45，y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45，14分由OA →·OB →＝125得(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2－4×5(4m 2－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2. 16分8．如图2，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BE EB ′＝λ. (1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′－CDE 的体积最小，并求出最小体积．图2[解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点. 2分又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B . 5分∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB .∵三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 7分又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE .∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE . 10分(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4， 12分 ∴V A ′－CDE ＝V C －A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－3x －12(6－x )x －3(6－x )·h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′－CDE 有最小值18. 16分。

专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题[建议用时：45分钟]1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°.图15-4(1)求椭圆C 的方程；(2)如图15-4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．[解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.5分因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.6分 因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)， 令x ＝3，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分直线PF 2的斜率为k ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2－03－1＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2k ·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k 4k 2－124k 2＋3－2·8k 24k 2＋3＋4＝－34k ， 所以k ·k ′为定值－34.12分2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点P (a ，b )与F 1，F 2围成等腰三角形，且S △PF 1F 2＝ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线x ＝－4与QA ，QB 分别交于M ，N 两点．(i)当QF 1→＝λMN →时，求Q 点坐标；(ⅱ)过点M ，N ，F 1三点的圆是否经过x 轴上不同于点F 1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．[解] (1)F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题意可得F 1F 2＝PF 2，∴(a －c )2＋b 2＝4c 2.1分由S △PF 1F 2＝3可得，12·2c ·b ＝bc ＝ 3.2分两式联立解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)(ⅰ)∵QF 1→＝λMN →，∴QF 1∥MN ，∴QF 1⊥x 轴.5分由(1)知，c 2＝1，∴F 1(－1,0)．设Q (－1，y )，则有14＋y 23＝1，∴y ＝±32，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，±32.7分 (ⅱ)设Q (x 0，y 0)，则k QA ＝y 0x 0＋2，直线QA 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)． 令x ＝－4得M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－4，－2y 0x 0＋2.9分同理k QB ＝y 0x 0－2，直线QB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)， 得N 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－4，－6y 0x 0－2，10分 MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6y 0x 0－2－－2y 0x 0＋2＝3(x 0＋4)|y 0|.11分 设圆心坐标为O (m ，n )，若x 轴上存在定点E (λ，0)满足条件，则有m ＝λ－12，n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6y 0x 0－2＋－2y 0x 0＋2＝3(x 0＋1)y 0.12分 由题意可得(m ＋4)2＋MN 24＝n 2＋EF 214，13分 代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42＋14·9(x 0＋4)2y 20＝9(x 0＋1)2y 20＋(λ＋1)24. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42－(λ＋1)24＝36(x 0＋1)2－9(x 0＋4)24y 20＝9(3x 20－12)4y 20＝－9， 整理得λ＝－7，∴x 轴上存在点E (－7,0)满足题意.14分3．(2016·淄博二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64是等轴双曲线C ：y 2a 2－x 2a 2＝1上一点，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 的一个焦点重合．图15-5(1)求抛物线的方程；(2)若点P 是抛物线上的动点，点A ，B 在x 轴上，圆x 2＋(y －1)2＝1内切于△P AB ，求△P AB 面积的最小值．[解] (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64代入双曲线可得，38a 2－14a 2＝1， 解得a 2＝18，c 2＝a 2＋a 2＝14，2分由题意可知，p 2＝12，p ＝1，所以抛物线方程为x 2＝2y .4分(2)设P (x 0，y 0)，A (m,0)，B (n,0)，不妨设n ＞m .直线P A 的方程：y ＝y 0x 0－m(x －m )，化简得y 0x ＋(m －x 0)y －my 0＝0.6分又圆心(0,1)到P A 的距离为1，|m －x 0－my 0|y 20＋(m －x 0)2＝1， 上式化简得(y 20－2y 0)m 2＋2x 0y 0m －y 20＝0，同理有(y 20－2y 0)n 2＋2x 0y 0n －y 20＝08分所以m ＋n ＝－2x 0y 0y 20－2y 0＝－2x 0y 0－2，mn ＝－y 20y 20－2y 0＝－y 0y 0－2， 则(m －n )2＝4x 20＋4y 20－8y 0(y 0－2)2.10分 因P (x 0，y 0)是抛物线上的点，有x 20＝2y 0，则(m －n )2＝4y 20(y 0－2)2，易知y 0＞2，所以n －m ＝2y 0y 0－2. 所以S △P AB ＝12(n －m )·y 0＝y 0y 0－2·y 0＝(y 0－2)＋4y 0－2＋4≥24＋4＝8.12分 当(y 0－2)2＝4时，上式取等号，此时y 0＝4，x 0＝±2 2. 因此S △P AB 的最小值为8.13分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22.图15-6(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 【导学号：67722057】[解] (1)由题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c ＞0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，5分 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.6分 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，7分 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0.8分 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.9分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2，且m 2≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，10分 |PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)，11分所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2)＜m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)， 故△OPQ 面积的取值范围为(0,1).12分。

2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表： 附：参考公式及数据： （1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。

数学思想集训(三) 分类讨论思想题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n －1(P 是常数)，则数列{a n }是________．(填序号)①等差数列；②等比数列；③等差数列或等比数列；④既不是等差数列也不是等比数列．④ [∵S n ＝P n －1，∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)P n －1(n ≥2)． 当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列； 当P ＝1时，{a n }是等差数列；当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．]2．(2016·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，x ≤1，2ax －5，x ＞1.若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．(－∞，4) [当－a －2＜1，即a ＜2时，显然满足条件；当a ≥2时，由－1＋a ＞2a －5得2≤a ＜4， 综上可知a ＜4.]3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)＞1的解集为________．图1(－3，－2)∪(2,3) [由导函数图象知，当x ＜0时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数，当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，故－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为________．32或5 [由题意可知，m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4. (1)当m ＝4时，曲线为双曲线x 2－y 24＝1.此时离心率e ＝ 5.(2)当m ＝－4时，曲线为椭圆x 2＋y24＝1.此时离心率e ＝32.]5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________．(－1,0)∪(0，＋∞) [因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0，即1－q n 1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n >0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，②由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________．【导学号：19592073】(－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x ＞1时，y ＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ·1lg x ＝2，当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1lg x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－lg x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2(－lg x )·1(－lg x )＝－2，当且仅当lg x ＝1lg x ，即x ＝110时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]题组2 由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为________．(－∞，－1] [因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②得a ≤－1.]8．已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1y ≥0，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为________．(－∞，－3]∪[3，＋∞) [满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3.∴k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点．] 9．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性． [解] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. 3分①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减. 8分③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减. 14分综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减. 16分题组3 根据图形位置或形状分类讨论10．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________．54或53 [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54；若双曲线的焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.]11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．43或833[若侧面矩形的长为6，宽为4，则 V ＝S 底×h ＝12×2×2×sin 60°×4＝4 3. 若侧面矩形的长为4，宽为6，则 V ＝S 底×h ＝12×43×43×sin 60°×6＝833.]12．已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77OB .图2(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．如图2，已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长MN的取值范围．[解](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∴直线AB的方程为x－a ＋yb＝1，2分∴F1(－1,0)到直线AB的距离d＝|b－ab|a2＋b2＝77b，a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝3，故椭圆C的方程为x24＋y23＝1. 5分(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为x212＋y29＝1，①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得MN＝2 6. 7分②若切线l不垂直于x轴，可设其方程y＝kx＋b，将y＝kx＋b代入椭圆C的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，∴Δ＝(8kb)2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝48(4k2－3－b2)＝0，即b2＝4k2＋3，(*) 10分记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝kx＋b代入椭圆C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－36＝0，此时x1＋x2＝－8kb3＋4k2，x1x2＝4b2－363＋4k2，|x1－x2|＝43(12k2＋9－b2)3＋4k2，∴MN＝1＋k2×43(12k2＋9－b2)3＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2.13分∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋13＋4k2≤43，即26＜261＋13＋4k2≤4 2.综合①②得：弦长MN的取值范围为[26，42]. 16分。

专题十二 高考中的数列题型一| 等差、等比数列的判定与证明(2013·江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.[证明] (1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .1分 又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4， 2分即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .4分 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *， 有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .6分 (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1， 即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1). 8分令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎨⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③10分由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.14分若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.16分【名师点评】 证明(或判断)数列是等差(比)数列的基本方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 是非零常数)⇒{a n }是等比数列；(2)等差(比)中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)⇒{a n }是等比数列.(2016·南通三模)已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝n2，求a 4的值；(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列；(3)若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.[解] (1)由a 1＝1，b n ＝n2，知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8.3分(2)证明：法一：因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，所以a 1q nb n ＝a 1(1－q n)1－q ＋1，所以q nb n ＝11－q ＋1a 1－q n1－q，即b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n －11－q ， 5分所以存在实数λ＝11－q，使得b n＋λ＝⎝⎛⎭⎪⎫11－q＋1a1⎝⎛⎭⎪⎫1qn，又因为b n＋λ≠0(否则{b n}为常数数列与题意不符)，所以当n≥2，b n＋λb n－1＋λ＝1q，此时{b n＋λ}为等比数列，所以存在实数λ＝11－q，使{b n＋λ}为等比数列. 10分法二：因为a n＋1b n＝S n＋1，①所以当n≥2时，a n b n－1＝S n－1＋1，②①－②得，当n≥2时，a n＋1b n－a n b n－1＝a n，③由③得，当n≥2时，b n＝a na n＋1b n－1＋a na n＋1＝1q b n－1＋1q，5分所以b n＋11－q ＝1q⎝⎛⎭⎪⎫b n－1＋11－q，又因为b n＋11－q≠0(否则{b n}为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝11－q，使{b n＋λ}为等比数列. 10分(3)证明：因为{b n}为公差为d的等差数列，所以由③得，当n≥2时，a n＋1b n －a n(b n－d)＝a n，即(a n＋1－a n)b n＝(1－d)a n，因为{a n}，{b n}各项均不相等，所以a n＋1－a n≠0,1－d≠0，所以当n≥2时，b n1－d＝a na n＋1－a n，④当n≥3时，b n－11－d＝a n－1a n－a n－1，⑤由④－⑤，得当n≥3时a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝b n－b n－11－d＝d1－d，⑥12分先证充分性：即由d＝12证明a2，a3，…，a n，…成等差数列，因为d＝12，由⑥得a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝1，所以当n≥3时，a na n＋1－a n－1＝a n－1a n－a n－1，又a n ≠0，所以an ＋1－a n ＝a n －a n －1， 即a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列．再证必要性：即由a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列证明d ＝12，14分因为a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列，所以当n ≥3时，a n ＋1－a n ＝a n －a n －1， 所以由⑥得，a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝a n a n －a n －1－a n －1a n －a n －1＝1＝d1－d，所以d ＝12，所以a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.16分题型二| 数列中的新定义问题(2014·江苏高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”； (2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．[解] (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”.4分(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d . 因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ， 即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 6分 因为d <0，所以m －2<0， 故m ＝1.从而d ＝－1.7分 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n (3－n )2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n (3－n )2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.10分(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *). 12分下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n (n ＋1)2a 1(n ∈N *)． 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n (n ＋1)2， 使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”. 14分 同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.16分 【名师点评】 本例先给出“H 数列”的定义，在此基础上，借助a n 与S n 的关系及等差数列的有关知识对所给命题进行论证，重在考查学生接受新知识及应用已知知识解决问题的能力.(2016·南通调研)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ①求数列{a n }的通项公式；②试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2)已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”．[解] (1)①由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以a n －1＝2n －1.所以，数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1＋1. 3分②数列{a n}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n}是“等比源数列”，则存在三项a m，a n，a k(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．因为a n＝2n－1＋1，所以a m＜a n＜a k.所以a2n＝a m·a k，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾．所以，数列{a n}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n}不是“等比源数列”. 6分(2)不妨设等差数列{a n}的公差d≥0.当d＝0时，等差数列{a n}为非零常数数列，数列{a n}为“等比源数列”．当d＞0时，因为a n∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{a n}中必有一项a m ＞0. 12分为了使得{a n}为“等比源数列”，只需要{a n}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得a2n＝a m a k成立，14分即[a m＋(n－m)d]2＝a m[a m＋(k－m)d]，即(n－m)[2a m＋(n－m)d]＝a m(k－m)成立．当n＝a m＋m，k＝2a m＋a m d＋m时，上式成立．所以{a n}中存在a m，a n，a k 成等比数列．所以，数列{a n}为“等比源数列”. 16分题型三| 数列的综合应用已知数列{a n}满足a1＝x，a2＝3x，S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和．(1)若数列{a n}为等差数列．①求数列的通项a n；②若数列{b n}满足b n＝2a n，数列{c n}满足c n＝t2b n＋2－tb n＋1－b n，试比较数列{b n}前n项和B n与{c n}前n项和C n的大小．(2)若对任意n∈N*，a n<a n＋1恒成立，求实数x的取值范围．[解](1)①因为S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，所以S3＋S2＋S1＝14，即a3＋2a2＋3a1＝14，又a1＝x，a2＝3x，所以a3＝14－9x，又因为数列{a n}成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，即6x＝x＋(14－9x)，解得x ＝1，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*). 4分②因为a n＝2n－1(n∈N*)，所以b n＝2a n＝22n－1>0，其前n项和B n>0，又因为c n＝t2b n＋2－tb n＋1－b n＝(16t2－4t－1)b n，所以其前n项和C n＝(16t2－4t－1)B n，所以C n－B n＝2(8t2－2t－1)B n，6分当t<－14或t>12时，C n>B n；当t＝－14或t＝12时，C n＝B n；当－14<t<12时，C n<B n. 9分(2)由S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)知S n＋2＋S n＋1＋S n＝3(n＋1)2＋2(n∈N*)，两式作差，得a n＋2＋a n＋1＋a n＝6n＋3(n≥2，n∈N*)，11分所以a n＋3＋a n＋2＋a n＋1＝6(n＋1)＋3(n∈N*)，再作差得a n＋3－a n＝6(n≥2，n∈N*)，12分所以，当n＝1时，a n＝a1＝x；当n＝3k－1时，a n＝a3k－1＝a2＋(k－1)×6＝3x＋6k－6；当n＝3k时，a n＝a3k＝a3＋(k－1)×6＝14－9x＋6k－6＝6k－9x＋8；当n＝3k＋1时，a n＝a3k＋1＝a4＋(k－1)×6＝1＋6x＋6k－6＝6k＋6x－5；当n＝3k＋2时，a n＝a3k＋2＝a5＋(k－1)×6＝6＋3x＋6k－6＝6k＋3x.因为对任意n∈N*，a n<a n＋1恒成立，所以a1<a2且a3k－1<a3k<a3k＋1<a3k＋2，所以⎩⎨⎧x <3x ，6k ＋3x －6<6k －9x ＋8，6k －9x ＋8<6k ＋6x －5，6k ＋6x －5<6k ＋3x ，解得1315<x <76，故实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1315，76.16分【名师点评】 1.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是函数与数列的联系，二是不等式与函数的联系.2.关注两个转化(1)函数条件的转化.直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x 换成n 即可；(2)数列向函数的转化.可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解，但要注意自变量取值范围的限制.对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解.(2016·苏锡常镇调研一)已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和，若12S n <S n＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3)若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)的公差．[解] (1)由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ， 所以34<x <3，x2<4<2x ，解得x ∈(2,3).3分(2)由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴12q n －1<q n <2q n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12>0，q n －1()q －2<0，∴q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.又∵12S n <S n ＋1<2S n ，∴而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意.6分当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－qn ＋11－q <2·1－q n 1－q，∴①当q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，⎩⎨⎧q n (q －2)>－1，q n (2q －1)<1，⎩⎨⎧q 1(q －2)>－1，q 1(2q －1)<1，解得q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1；②当q ∈(1,2)时，⎩⎨⎧q n (q －2)<－1，q n (2q －1)>1，⎩⎨⎧q 1(q －2)<－1，q 1(2q －1)>1，无解．∴q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.10分(3)∵12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1， ∴12[1＋(n －1)d ]<1＋nd <2[1＋(n －1)d ]，n ＝1,2，…，k －1. ∴⎩⎨⎧d (n ＋1)>－1，d (2－n )<1，∴d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1.14分又∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴S k ＝d 2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2k ＝d 2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－d 2k ＝120，∴d ＝240－2k k 2－k ，∴240－2k k 2－k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1，解得k ∈(15,239)，k ∈N *， ∴k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.16分命题展望从近几年的高考试题看，数列作为江苏高考的压轴大题，难度始终较大，其考查方式主要立足相关数列的推理与证明，且基本数列(等差、等比数列)与新定义数列交替命题.2017年建议强化基本数列的证明问题.(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k 使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数例？并说明理由．[解] (1)证明：因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1,2,3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列.4分(2)不存在，理由如下：令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ， a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝da ，则1＝(1－t )(1＋t )3， 且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.6分将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44，依次构成等比数列.10分(3)不存在，理由如下：假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )，分别在两个等式的两边同除以a 2(n ＋k )1及a 2(n ＋2k )1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )·ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )·ln(1＋t )，则g ′(t )＝2[(1＋3t )2ln (1＋3t )－3(1＋2t )2ln (1＋2t )＋3(1＋t )2ln (1＋t )](1＋t )(1＋2t )(1＋3t ). 14分令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )，则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )·ln(1＋t )]．令φ1(t )＝φ′(t )，则φ′1(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ′1(t )，则φ′2(t )＝12(1＋t )(1＋2t )(1＋3t )＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列.16分[阅卷心语]易错提示(1)对等差数列与等比数列间的关系不明，导致第(1)问失分.(2)对探索性问题有畏惧感，推理运算不过关，导致(2)(3)问失分.防范措施(1)若数列{a n }是等差数列，则{2a n }成等比数列，可以采用由一般到特殊的方式证明第(1)问.(2)对探索性问题的处理，常常涉及反证法的有关知识，即先假设其存在，在此基础上推出矛盾，由于本题(2)(3)在运算中涉及函数与方程的转化思想，故运算中务必细心.1．设各项均为正数的数列{a n }满足S n a n＝pn ＋r (p ，r 为常数)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)若p ＝1，r ＝0，求证：{a n }是等差数列；(2)若p ＝13，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式； (3)若a 2 015＝2 015a 1，求p ·r 的值．【导学号：91632038】[解] (1)证明：由p ＝1，r ＝0，得S n ＝na n ，所以S n －1＝(n －1)a n －1(n ≥2)，两式相减，得a n －a n －1＝0(n ≥2)，所以{a n }是等差数列.3分(2)令n ＝1，得p ＋r ＝1，所以r ＝23，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋23a n ，所以S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋13a n －1(n ≥2)，两式相减， 得a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)， 8分 所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝31·42·53…n ＋1n －1，化简得a n a 1＝n (n ＋1)1·2(n ≥2)， 所以a n ＝n 2＋n (n ≥2)，又a 1＝2适合a n ＝n 2＋n (n ≥2)，所以a n ＝n 2＋n . 10分(3)由(2)知r ＝1－p ，所以S n ＝(pn ＋1－p )a n ，得S n －1＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，两式相减，得p (n －1)a n ＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，易知p ≠0，所以a n pn ＋1－2p ＝a n －1p (n －1)(n ≥2). 12分①当p ＝12时，得a n n ＝a n －1n －1(n ≥2)，所以a 2 0152 015＝a 2 0142 014＝…＝a 11， 满足a 2 015＝2 015a 1；②当p >12时，由p (n －1)a n ＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，又a n >0，所以p (n －1)a n <pna n －1(n ≥2)，即a n n <a n －1n －1(n ≥2)，所以a 2 0152 015<a 11，不满足a 2 015＝2 015a 1；14分 ③当p <12且p ≠0时，类似可以证明a 2 015＝2 015a 1也不成立．综上所述，p ＝12，r ＝12，所以pr ＝14.16分 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑i ＝1n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎨⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16.解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.3分 (2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k ＜4k，从而λ＜4k2k .设f(k)＝4k2k，则f(k＋1)－f(k)＝4k＋12(k＋1)－4k2k＝4k(3k－1)2k(k＋1). 6分因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ＜2.②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k.因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4.综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2. 10分(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12. 12分因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15.因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列.16分。

专题限时集训(十) 三角恒等变换与解三角形(建议用时：45分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. －17 [由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0知，sin α<0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－17.] 2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tan x ＝________.－7 [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45得sin x ＋cos x ＝325，sin x －cos x ＝425，从而sin x ＝7210，cos x ＝－210，所以tan x ＝sin xcos x ＝－7.] 3．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝________.34 [∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， ∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故cos 2θ≤0，∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos 2θ＝1－2sin 2θ，∴sin 2θ＝1－cos 2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916，∴sin θ＝34.]4．在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝2，A ＝π3，则B ＝________.π4 [由正弦定理可得，BC sin A ＝AC sin B ，即3sin π3＝2sin B ，解得sin B ＝22，因为B ＋C ＝π－A ＝2π3，所以0<B <2π3，则B ＝π4.]5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×116＝－78.]6．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． －142 [sin α＝12＋cos α，即sin α－cos α＝12，两边平方得，sin 2α＝34>22，而α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74， 所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α22(sin α－cos α)＝－7422×12＝－142.] 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积等于________．332[∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]8．(2016·无锡期末)已知sin(α－45°)＝－210且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．725 [∵0°＜α＜90°，∴－45°＜α－45°＜45°.∴cos(α－45°)＝1－sin 2(α－45°)＝7210，∴cos 2α＝sin(90°－2α)＝2sin(45°－α)cos(45°－α)＝725.]9．(2016·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A ＝2tan B ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝________.1 [∵tan A ＝2tan B ，∴sin A cos A ＝2sin Bcos B ， ∴sin A cos B ＝2cos A sin B ， ∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc ， 整理得3a 2－3b 2＝c 2. 又a 2－b 2＝13c ，故c ＝c 2，解得c ＝1或0(舍去)．]10．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是________三角形．直角 [因为sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，又sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．]11．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________. π3 [因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，又因为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，所以sin α＝437，sin(α－β)＝3314，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，所以β＝π3.]12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 [由b a ＋c ＋c a ＋b ≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0<A <π)，所以0<A ≤π3.]13．(2016·济南模拟)在锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则ABAC 的范围是________．【导学号：19592031】(2，3) [设△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B .又∵C ＝2B <π2，∴B <π4. 又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B <π2， ∴B >π6，即π6<B <π4，∴22<cos B <32，2<2cos B < 3.]14．(2016·保定模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B ＝________. 2－3 [由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA→|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac ⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.]15．(2016·盐城三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫1，233 [∵b 2－a 2＝ac ，∴b 2＝a 2＋ac .又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c ＝2a cos B ＋a ，∴sin C ＝2sin A cos B ＋sin A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ＋sin A ， ∴sin(B －A )＝sin A ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴B －A ＝A ，即B ＝2A .由⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，0＜C ＜π2，可得π6＜A ＜π4，π3＜B ＜π2.∴1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B＝sin (B －A )sin A sin B＝sin A sin A sin B ＝1sin B ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，233.] 16．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．8 [在锐角三角形ABC 中，∵sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan Ctan B tan C －1.①∵A，B，C均为锐角，∴tan B tan C－1>0，∴tan B tan C>1，由①得tan B tan C＝tan A tan A－2.又由tan B tan C>1得tan Atan A－2>1，∴tan A>2.∴tan A tan B tan C＝tan2A tan A－2＝(tan A－2)2＋4(tan A－2)＋4tan A－2＝(tan A－2)＋4tan A－2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A－2＝4tan A－2，即tan A＝4时取得等号．故tan A tan B tan C的最小值为8.]。

填空专项集训(一)1．(2016·苏北三市三模)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |0＜x ＜5}，则A ∩B ＝________.{1,3} [∵A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |0＜x ＜5}． ∴A ∩B ＝{1,3}．] 2．复数2i1＋i的模是________． 2 [⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i 1＋i ＝|2i||1＋i|＝22＝ 2.]3．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．x 2－y 23＝1 [抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.]4．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． －e [设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.]5．(2016·镇江模拟)函数f (x )＝12－lg x 的定义域是________．(0，10] [由12－lg x ≥0得lg x ≤12，即0＜x ≤10.] 6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________． (－∞，－2] [∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＋2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.]7．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是________．【导学号：19592076】20 [a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.]8．设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.－105 [法一：由θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105.法二：如果将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105.] 9．从某校高中男生中随机抽取100名学生，将它们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图1)．若要从身高在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的概率为________．图11115 [身高在[60,70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70,80) 的人数为20，[80,90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a ，b ，c ；A ，B ；M .从这6人中选取2人共有15种结果，其中身高不在同一组内的结果有11种．故概率P ＝1115.]10．执行如图2所示的流程图，则输出的k 的值为________．图24 [第一次循环，k ＝1，S ＝1；第二次循环，k ＝2，S ＝2；第三次循环，k ＝3，S ＝6；第四次循环，k ＝4，S ＝15>6，结束循环，输出k ＝4.]11．(2016·泰州期末)已知直线y ＝kx (k ＞0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k ＝________.12 [圆心C (2,0)，半径r ＝1，∴圆心C 到直线y ＝kx (k ＞0)的距离d ＝|2k |1＋k2.由圆的几何性质可得d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝r 2，即4k 21＋k2＋15＝1， 解得k ＝12或k ＝－12(舍)．]12．(2016·盐城模拟)如图3，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝4，点P 是DC 边的中点，则P A →·PB →的值为________．图37 [∵P 是DC 的中点． ∴P A →＝－12(AD →＋AC →) ＝－12(AD →＋AD →＋AB →) ＝－12AB →－AD →. PB →＝－12(BD →＋BC →) ＝－12(BA →＋BC →＋BC →) ＝－12BA →－BC → ＝12AB →－AD →.∴P A →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →－AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD → ＝AD 2→－14AB 2→＝16－14×36 ＝7.]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]14．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a(x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 [因为函数f (x )在R 上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)，3－4a 2≥0，0＜a ＜1.解得13≤a ≤34.作出函数y ＝|f (x )|，y ＝2－x3的图象如图．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x3有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 3同样有且仅有一个解，所以3a ＜2，即a ＜23.综上可得13≤a ＜23，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23.]。