第八章 数学与哲学PPT课件

≤数学与哲学≥一、“万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论1、毕达哥拉斯学派：数是万物的本原。

数产生万物，数的规律统治万物。

万物皆数，就是万物皆可用自然数或分数表示。

2、毕达哥拉斯（也许是他的门徒）发现，2既不是自然数，也不是分数。

2又是什么?他是不是数？不是数，它为什么能表示确定的集合量？是数，为什么求不出它的准确值。

3、任何两个分数无论多么近，居然还不能表示出线段上某些点的长度。

数的万能的力量被否定，这便是所谓第一次数学危机。

（人们发现了无理数，又不敢承认它是数）4、电影实际上是由许多不同的画面构成的，它不是连续变化的，但因为相继的两个画面相差甚微，我们便以为它是连续的了。

莱布尼茨提出“连续性定律”，认为世界上的连续性是用无穷小量来定义的一个理想概念。

5、戴德金与康托几乎同时提出了实数理论。

6、辩证法认为一切事物都包含着矛盾，即“一分为二”.也许，这正是因为事物的变化归根结底可以用数量的变化来描述。

而数量变化，分解到每一维上，无非是增加与减少。

表现出来，当然是矛盾的双方，而不是三方或多方。

二、那种几何才是真的1、选择一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题。

把这些基本命题叫做公理或公设。

公理是许多学科都用到的量的关系，如“与同一物相等的一些物，它们彼此相等”，“全量大于部分”，等等。

而公设则是专门为了几何对象而提出的。

有五条公理和五条公设。

2、公设：①从一点到另一点可作一条直线；②直线可以无限延长；③已知一点和一距离，可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；④所有的直角彼此相等；⑤若一直线与其他两直线相交，以致该直线一侧的两内角之和小于两直角，则那两直线延伸足够长后笔相交与该侧。

三、变量∙无穷小∙量的鬼魂1、赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。

他用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中。

但严格讲起来，概念上却是不清楚的。

数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。

这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。

马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。

它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。

因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。

这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。

1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。

在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。

在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。

因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。

而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。

法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。

数学的信仰、内在统一性与哲学思量记得当年刚接触高等数学时，赵育林教授曾在班里问过：你们觉得数学是科学吗？显然当时我并没能领会这个问题的深刻含义，即使时至今日，我仍然没有能力来充分论述这个问题。

现代研究手段主要有：论证、实验与科学计算。

研究手段决定了任何一门学科，只要有明确的可具体界定的可实证的研究对象，能够建立起完整严密的逻辑体系，都可以成为科学。

虽然探索过程中的不够完整缜密会成为某些异见人士攻击的借口（数学三次危机即是明佐），但无数前辈同仁们在曲折中不断进取、去伪存真的过程中，还是逐渐建立了现代科学大厦。

现在把眼光放回至数学，现代数学所研究的对象自然是明确而众多的，我们的公理化系统建立在定义、公理和未定义项上，而后繁衍。

而公理可谓是上帝禁区，没人染指。

莱布尼茨（Leibniz）曾说：“对于那些试图证明一切，甚至连最初的原则也想加以证明的人们的努力，我给予很同的评价，而且我自己也常常参与其事。

但是我不赞同因过分的细密而阻碍了创造的技巧，或者在这种借口下抛弃了最好的创造而剥夺其结果。

”由此我们可见数学研究的某些特征，这些特征导致了GH 哈代（Hardy）所言的“证明只不过是指指点点”的客观性。

因此，我更倾向于认为数学是一种信仰，信仰其体系的公正性，信仰其研究的有效性和必要性，信仰其核心价值－－剥离抽象以保其强大的生命力与通用价值。

对数学的热爱与追求，源于对其操作手法及其带来的思想冲击的认同与维护。

在上述的说明下，我们来讨论一下数学的统一性，首先必须阐明的是，颇具影响力的数学统一性研究可能需要查看Hilbert在上世纪三十年代左右所从事的数学大统一的探索，作为二十世纪数学进展的执牛耳者，正如物理学巨擘爱因斯坦（Einstein）也追求大统一一样，希尔伯特（Hilbert)亦想在若干简练的公理体系下建立起现代枝繁叶茂的数学大厦。

当然，凡是高瞻远瞩者，有此构想，理属自然。

而结果也是大家所明了的：爱因斯坦的助手、奥地利年轻的逻辑学家和数学家哥德尔（Godel）关于不完备性的证明着实将希尔伯特的梦想打得粉碎。

数学、哲学与数学哲学摘要本文探讨了数学和哲学之间的关系，数学对哲学的影响，以及当代数学哲学发展的困境，并指出了数学哲学发展的新途径。

关键词数学哲学数学哲学一、早期的数学家为什么都是哲学家？在古希腊，哲学家都格外重视数学。

最早的唯物主义哲学家泰勒斯，提出了原子唯物论的德谟克利特，最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都曾到埃及学习几何。

毕达哥拉斯学派认为世界的本源是数：“万物皆数”，虽然这个看法现在看来可笑，但毕达哥拉斯学派是第一次抽象的处理数学概念的人，使得数学理论从大地测量、计算等活动中抽象出来，他们在研究中发现了毕达哥拉斯（九章算术称勾股定理）定理，发现了不能表示为分数的数的无理性。

虽然这个发现令他们恐慌不已。

比毕达哥拉斯学派更广为人知的是柏拉图学院，该院学生以亚里士多德最为出名。

这些学生大多是那个时代最出名的数学家、哲学家和天文学家。

他们的研究偏重纯数学，忽视应用，但是他们的研究极大地丰富了各种知识体系。

后来这许多学派和个人的工作，被欧几里得总结在《几何原本》中，在《几何原本》中，欧几里得从几条公理出发，演绎了500多条希腊大师的定理、结论。

欧几里得的《几何原本》，给哲学家们提供了一条认识真理的方法：从少数几条公理的前提出发，用逻辑推理的方法证明结论。

这一思想对哲学家们产生了重要影响。

唯理论的两位大家-----笛卡尔和莱布尼茨正是两位数学大家。

勒奈·笛卡尔（1596～1650）,伟大的哲学家、物理学家、数学家。

解析几何的创始人。

人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。

” 1628年，他从巴黎移居荷兰，开始了长达20年的潜心研究和写作生涯，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。

1634年写了《论世界》，书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的看法。

1641年出版了《行而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等。

数学是表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。

在数学中，不仅各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也都是约定俗成、极少歧义的概念。

特别是几何方法，能用清晰、直观的坐标或图形，表达比较复杂的逻辑关系。

在学校的学习中，我们常常把各门学科的应用题，用几何的方法描述出来，以便清晰地看出其中各个因素的相互逻辑关系，然后列出适当的数学公式，解出要求的问题。

形式逻辑可以用几何图形，表示各种概念复杂的逻辑关系。

哲学也是一门科学，它当然也可以使用这种科学的方法来进行表述。

形式逻辑要求概念都是确定的，以便它进行正常的推理和运算。

辩证法认为，任何概念都是在一定的条件下确定的，不同的条件可能导致不同的结果，所以它必须研究确定概念的不同条件和不同结果。

而具体研究几个不同条件和不同结果，也只能是运用有限的手段，遵循形而上学的方法，一个一个去研究。

简单一点说，辩证法的本质就是指出事物在不同条件下的不同结果。

确定概念的条件和被确定的概念之间的关系，类似于数学中的函数关系。

y = f ( x )用数学的术语，马克思这样表述。

“一个变量的函数是另外一个变量，它的值随着前者的值而变化，也就是依赖于前者。

” 我们可以具体举例用公式来表述上述概念。

比如在Y=X+1中，当X大于1时，那么Y大于2。

在Y=X+1中，当X小于1时，那么Y小于2。

在Y=X+1中，当X等于1时，那么Y等于2。

在上述三句话中，每一句都是形而上学的表述，在确定的条件下，表述确定的概念。

当我们把上述三个形而上学的表述放在一起分析时，就有了质的变化。

我们说这既是形而上学的表述，又是辩证的表述。

因为它指出了事物在不同条件下的不同结果。

我们还可以说，Y 在有的条件下大于2，在有的条件下小于2，在有的条件下等于2。

这也是一种辩证的表述。

可见有些所谓辩证的表述，不过是省略了几个形而上学表述中具体的条件，而用一个不确定的概念取而代之而已。

数字中的哲学黛色参天二千尺北宋著名科学家沈括 , 曾有过这样一次失误 , 当引以为戒。

事情是这样的 : 唐朝诗人杜甫在《古柏行》中写到 :" 苍皮溜雨四十围 , 黛色参天二千尺。

" 沈括根据《九章算术》推断这棵古树直径只有 7 尺 , 而高却有2000尺。

于是他责问杜甫道 :" 四时围乃径七尺 , 无乃细乎 ?"[ 评析 ]辩证唯物主义认为 , 物质决定意识 , 意识对物质具有能动作用 ,意识的能动作用首先表现在意识不仅能够正确反映客观事物的外部现象 , 而且能够正确反映事物的本质和规律。

意识能够正确反映客观事物 ,不等于人们的意识都是一样的。

人们总是根据实践的需要 ,带有一定的价值取向和要求 ,抱着一定的动机和目的去选择和反映对象 ,人的反映具有选择性 , 正所谓 " 仁者见仁 , 智者见智 " 。

杜甫对古柏的反映 , 用的是形象思维的夸张手法 , 并非要对古柏作精确描述 , 因此不宜用精确标准加以评判。

沈括用科学思维的标准去评判杜甫的文学想象 ,是不恰当的。

6 狮不敌 1 牛黑龙江省第一家非洲狮林园在亚布力林业局正式建立。

开园之日 , 威风凛凛的非洲狮一 --5 只母狮、1 只公狮 ,在刚刚返青的山林中时隐时现。

然而 , 当工作人员将 150 公斤左右的小黄牛放入园中 ,对非洲狮进行野化训练时 , 这 6 只 1 岁左右的狮子忙活了两个多小时 ,却没有将小黄牛咬死。

受伤的小黄牛甩蹄剖土 ,眼睛血红 ,低头冲向非洲狮 ,吓得狮子纷纷后退。

最后 ,5 只母狮合力才将这头小牛扑倒 ,在旁边看着的公狮 ,这时才跑上前来 , 吼叫了几声。

过了一会儿 , 受伤的黄牛竟然又站了起来 , 怒视着非洲狮 ,非洲狮晃来晃去 , 再也不愿进攻了。

据非洲狮林园的工作人员介绍 ,这 6 只非洲狮系人工养大 ,因此捕杀猎物的能力较弱。

[ 评析 ]唯物辩证法认为 ,任何事物都包含着既对立又统一的关系 ,对立统一的矛盾双方在一定的条件下相互依存 ,并且依据一定的条件相互转化。

数学与哲学高 2014 级供给纲要：数学和哲学相联合，一定具备两个条件：一是精晓哲学，二是精通数学。

而恩格斯作为马克思主义数学哲学的首创人之一，对数学有着深刻的认识，在两部著作中对数学哲学进行了深刻而精粹的论述，事实上好多大师在研究数学的过程用也运用了哲学的方法论。

本论文联合古今数学思想以及此中包含的哲学思潮侧重于以三个方面：数学哲学的萌芽，后现代数学的危机来商讨数学哲学的发展与应用。

这两个方面能够很好的指出数学哲学的历史进度，此中主要议论了精通数学的哲学大师们与应用哲学的数学家们的多次争辩，这也是本文商讨的主要基础。

一．数学哲学的萌芽很早以来，在米索不达米亚的巴比伦和埃及就已经对与数学有了必定的认识，但是并未与哲学相联系，不过是数的运算与几何的简单认知。

等到了希腊期间，人们的思虑更为深入，将数学与思辨进行了历史上的第一次交融。

人来把数学的抽象化科学归功于希腊人，这一重要贡献有其不行估计的意义和价值。

在古希腊罗马期间，哲学还没有与其余学科明确分开，很多哲学家自己就是自然科学家，哲学与数学是一个学科，无疑它们是联系在一同的。

并且这期间的哲学家商讨的主假如自然哲学和本体论问题，为了搞清客观世界及其原由和规律终究是什么，人们创建了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思想的萌芽期间。

所以，西方哲学在古希腊出生的同时也就是西方科学精神的出生。

与此同时，这些哲学家们在思虑自然科学识题的时候也就自但是然产生了哲学的看法。

同时这些看法是以学派的形式产生的，比如pathagoras 学派 ,plato 学派,eudoxus 学派 ,aristotle 学派，爱奥尼亚学派，巧辩学派等等。

在这里我们这要集中在柏拉图以及毕达哥拉斯学派的思想研究上，因为这两个学派一方面在哲1 / 6xx的数学思想是：把数学看法当成抽象物，不依靠与经验而自有其实在性；重申数学的抽象化和逻辑化，重申了看法和推理；重视演绎结构；对剖析和归纳的方法也赐予了充足注意。

数学思想与马克思哲学之联系应数0602 王浩锦 摘要：数学与哲学密切联系、相互促进。

一方面，数学家的哲学观点决定着他们研究的深度和方向；另一方面，数学理论的进步和完善改变着人们的哲学观点。

古今中外，许多学者既是数学家又是哲学家。

关键词：数学；哲学；马克思主义一个有趣的现象是，古今许多大哲学家往往也是大数学家，而许多大数学家往往也是大哲学家。

譬如：毕达哥拉斯、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、墨子、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、罗素、哥德尔……毕达哥拉斯说的“万物皆数也”就是一个哲学理念，牛顿的经典之作干脆就取名为《自然哲学的数学原理》，而写出辉煌巨著《数学原理》的罗素，也写出了同样辉煌的巨著《西方哲学史》。

这并不是偶然的，因为数学和哲学同属于人类思维科学的层面，它们都是关注世界的本源结构和事物之间的本质关系，都试图以抽象而深刻的方式去推演、表达世界的永恒真理。

用数学语言来说，二者是同构的，因此研究其中之一的人很容易走进另一个。

本文仅讨论一些数学思想中渗透的马克思哲学原理。

马克思主义认为自然界在漫长的历史演进中按其自身的规律不断地自发演化。

这些规律构成了整个世界的发展格局，为了认识世界必须要发现并运用这些规律。

数学就是发现这些规律的主要工具和重要手段。

而研究数学最重要的就是数学思想。

数学思想包罗万象。

从古 至今也在不断的发展变化。

包括逻辑推理、演绎等一系列的抽象思维。

而在古今的数学思想中始终渗透着一些哲学原理。

我们都知道数学是从人类文明出现之后就伴随人类发展的。

从简单到复杂，从低级到高级，这是数学思想的发展历程，同样也是人类在研究数学问题时运用的一种特殊方法。

另外还有一种数学思想是从特殊到一般。

在研究数学问题是我们总是习惯性的先研究问题的特殊性质。

再拓展到一般性质。

列宁指出：“从生动的直观到抽象的思维。

并从抽象的思维到实践．这就是认识真理、认识客观实在的辨证途径。

”从特殊到一般．从简单到复杂就是从生动的直观到抽象的思维．这就是数学思想中蕴含的认识的本质。

数学与哲学是两个看似迥然不同的领域，但它们却存在一种神奇的交汇。

数学是一门用逻辑和符号语言来研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学。

而哲学则是对人类思维和存在的一种探讨和思考。

然而，当我们深入研究数学和哲学时，会发现它们之间存在着深刻的联系和相互依赖。

首先，数学中的逻辑思维和证明方法在很大程度上受到哲学思想的影响。

哲学家们在研究人类思维和真理时，提出了许多关于逻辑和推理的理论。

这些理论为数学家们提供了思考和解决问题的方法。

例如，数学中经典的证明方法之一是归谬法，即通过推出与前提矛盾的命题来证明某个命题的真假。

这种证明方法的逻辑思路与哲学中的推理方法有着密切联系。

其次，数学和哲学都关注抽象和普遍性的原则。

哲学家们在思考人类存在和世界本质时，常常发现抽象和普遍性的规律。

这种思维方式和观察方法引发了数学家们对于抽象数学的思考。

数学通过抽象概念和符号语言来描述和研究各种问题，而这种抽象的方式与哲学类似。

此外，数学和哲学都追求真理和智慧。

数学家追求的不仅仅是解决具体问题，更是寻求普遍性的数学原理。

哲学家也希望通过思考和探讨揭示人类思维和存在的真理。

尽管数学和哲学在探索真理的途径上有所不同，但它们都追求着认识世界的真实本质。

最后，数学和哲学在形而上学问题上也存在交叉。

形而上学是哲学中关于实在、存在和本体性等问题的研究。

数学也有其形而上学的一面，例如数学中的集合论和无穷概念，这些概念涉及到数学对象的本质和起源。

数学家对于这些问题的思考有时候也需要借鉴哲学中的思想和方法。

总而言之，数学和哲学之间存在着深刻的交汇。

它们共同关注逻辑思维、抽象和普遍性原则、真理和智慧以及形而上学问题。

尽管数学和哲学在具体的研究对象和方法上有所不同，但它们相互启迪、互为补充，共同促进了人类对世界的认知和思考。

数学与哲学的交汇，不仅丰富了学术领域，也为人类思维的发展提供了新的视角。