2015中考压轴题专练10

江苏省13市2015年中考数学压轴题1. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】A. 第24天的销售量为200件B. 第10天销售一件产品的利润是15元C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等D. 第30天的日销售利润是750元2. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为【】A. 133B.92C.4133D. 253. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为【】A．4km B．()22+km C．22km D．()42-km4. （2015年江苏泰州3分）如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交 AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等的三角形的对数是【 】A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90º，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为【 】A.35 B. 45 C. 23 D. 326. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【 】A. <2xB. >2xC. <5xD. >5x7. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为【 】A. B. C. D.8. （2015年江苏扬州3分）已知x =2是不等式(5)(32)0x ax a --+≤的解，且x =1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是【 】A. 1a >B. 2a ≤C. 12a <≤D. 12a ≤≤9. （2015年江苏常州2分）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【 】A.833cm 2 B.8 cm 2 C. 1633cm 2 D. 16cm 2 10. （2015年江苏淮安3分）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若32=BC AB ，DE =4，则EF 的长是【 】A.38 B. 320 C. 6 D. 10 11. （2015年江苏南通3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则AE 的长为【 】A. 2.5B. 2.8C. 3D. 3.212. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数2y x=的图象上，若△P AB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为【 】 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个13. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB''=．已知关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，在以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，则k t ⋅的值等于【 】A.34B. 1C. 43D. 321. （2015年江苏连云港3分）如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为 ▲ ．2. （2015年江苏南京2分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1，y 2的图象在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x=，则y 2与x 的函数表达式是 ▲ ．3. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．4. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为 ▲ ．5. （2015年江苏无锡2分）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 ▲ 元．6. （2015年江苏徐州3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 ▲ ．7. （2015年江苏盐城3分）设△ABC 的面积为1，如图①将边BC 、AC 分别2等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB 的面积记为1S ；如图②将边BC 、AC 分别3等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB 的面积记为2S ；……， 依此类推，则n S 可表示为 ▲ ．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)8. （2015年江苏扬州3分）如图，已知△ABC 的三边长为a b c 、、，且<<a b c ，若平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为123s s s 、、，则123s s s 、、的大小关系是 ▲ （用“<”号连接）.9. （2015年江苏常州2分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ▲ ．10. （2015年江苏淮安3分）将连续正整数按如下规律排列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第5行17181920………若正整数565位于第a 行，第b 列，则b a +＝ ▲ ．11. （2015年江苏南通3分）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ▲ ．12. （2015年江苏宿迁3分）当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，则x =m +n 时，代数式223x x -+的值为 ▲ ．13. （2015年江苏镇江2分）如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB =AC =3cm ，BC =2cm ，将△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D 1B 1C 1，连接AC 1，BD 1．如果四边形ABD 1C 1是矩形，那么平移的距离为 ▲ cm ．1. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与A G在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，将线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．2. （2015年江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线214y x 交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过线段AB 上一点P ，作P M ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？3. （2015年江苏南京8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB．（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．4.（2015年江苏南京10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单元：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？5. （2015年江苏苏州10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为 ▲ °； （2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6. （2015年江苏苏州10分）如图，在矩形ABCD中，AD=a cm，AB=b cm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了▲cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．7. （2015年江苏泰州12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值.8. （2015年江苏泰州14分）已知一次函数42-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数图像上， P 到x 轴、y 轴的距离分别为1d 、2d . （1）当P 为线段AB 的中点时，求21d d +的值；（2）直接写出21d d +的范围，并求当321=+d d 时点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使421=+ad d （a 为常数）， 求a 的值.9. （2015年江苏无锡10分）一次函数34y x=的图像如图所示，它与二次函数24y ax ax c=-+的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图像的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．10. （2015年江苏无锡10分）如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，OC ＝6，N 为边OB 上异于点O 的一动点，P 是线段05上一点，过点P 分别作PQ ∥OA 交OB 于点Q ，PM ∥OB 交OA 于点M ． （1）若∠AOB =60º，OM =4，OQ =1，求证：05⊥OB ；（2）当点N 在边OB 上运动时，四边形OMPQ 始终保持为菱形； ①问：11OM ON的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由； ②设菱形OMPQ 的面积为S 1，△NOC 的面积为S 2，求12S S 的取值范围．11. （2015年江苏徐州8分）为加强公民的节水意识，合理利用水资源。

2015中考物理复习题能量及其转化综合练习1.重力灯是英国的里弗斯设计的一款概念环保灯,如图所示.设计师为这款灯找到了“可再生能源”,它就是通过一定的装置将重力势能转化为电能.已知重物质量为20千克,每次被举高2米,LED灯的额定功率为1瓦.(g取10牛/千克)⑴重物每被举高一次,人至少对重物做多少焦的功?⑵重物重力做的功有50%转化为电能,每举高一次重物能使该灯正常照明多长时间?2.有一种太阳能路灯,光控开关S1白天与触点a接触,太阳能电池板为蓄电池充电,晚上,与触点b接触,给路灯供电。

时控开关S2晚上12点前与触点c接触,主灯发光,12点后与触点 d接触,副灯发光。

主灯为“24V 15W”的节能灯,副灯为“24V 10W”的节能灯,平均每天各工作6小时。

⑴路灯正常工作一天消耗的电能是多少?⑵已知太阳能电池板的面积为0.5m2,每平方米平均收集功率为1.5KW,若太阳光照射10小时能使路灯正常工作5天,求太阳能电池板光电转化效率。

⑶请举出这种太阳能路灯的其中一个优点。

3.上海大众向2010年世博会提供了一种混合动力轿车.轿车使用燃料作动力,在一段平直的公路上匀速行驶5.6km,受到的阻力是3.0×103N,消耗燃油1.5L(假设燃油完全燃烧,燃油的密度ρ=0.8×103 kg/m3,热值q=4×107J/kg),求:⑴此时该混合动力轿车牵引力所做的功是多少?⑵该混合动力轿车的热机效率是多少?⑶轿车使用超级电池作动力,电池最多能提供8×107J的电能.它以45km/h的速度沿平直公路匀速行驶时,每行驶1m要消耗200J的能量来克服阻力做功.若电源提供的能量只有60%用于克服阻力做功.这辆车以45km/h的速度匀速直线行驶的最远路程是多少?⑷这辆车以45km/h的速度匀速直线行驶时,克服阻力做功的功率是多少?⑸当电池组能量耗尽后,用充电器给电池组充电.若充电器工作电压为220V,平均电流为15A,充电过程中没有能量损失,则给电池组充满一次电所需的时间是多少?4.诞生于19世纪后10年的汽车,曾经是速度和效率的象征.进入21世纪,伴随着汽车的普及,现实中的交通事故、交通堵塞、能源紧张、环境污染等问题开始困扰着我们,回归传统和自然的呼声越来越高,“骑上你的自行车”成为倡导“国际无车日”(9月22日)活动的宣传用语.“国际无车日”活动并不是拒绝汽车,而是唤起民众对自身生活方式的反思.⑴在能源危机日趋严峻的今天,开发安全、洁净的新能源是解决能源危机的重要途径.日本的核泄露事件再次给人类敲响了警钟.核能在我们国家现阶段是新能源,核电站是利用原子核的 (“裂变”或“聚变”)来释放核能,并把核能转化为 能.⑵节能也是解决能源危机的途径之一.如何走出既有速度和效率又能减少拥堵和污染这个两难的境地,一种新的交通工具--电动自行车应运而生了.如图所示为某品牌电动自行车的结构图.该电动自行车的部分技术参数中,电池标有“32Ah48V”字样,输出电压48V.该电池一次充满电后储存的电能是 KW•h.该电池对外供电时将 能转化为电能.⑶若电动自行车的效率为80%,行驶过程中所受阻力为车总重的0.06倍.若人车总质量为160Kg,求车以4m/s 的速度在平直公路上匀速行驶时的工作电流(g 取10N/kg).5.电动自行车是倍受人们青睐的一种交通工具,如图所示.其主要结构就是在原来的普通自行车的基础上,增加了电动机及供电、传动设备,它可以电动骑行,亦可以脚踏骑行.电动骑行时,蓄电池为车上的电动机供电,电动机为车提供动力;脚踏骑行时,与普通白行车相同.下表是某型号电动白行车主要技术参数.⑴当一个质量为50kg 的初三学生骑着电动自行车在平直的公路上匀速行驶时,轮胎与地面的总接触面积为40cm2,此时路面受到的压强为多大?(g=10N/kg)⑵电动自行车以额定功率行驶时通过电动机线圈的电流是多大?⑶在蓄电池充足电后为电动机供电的过程中,当把储存能量的80%提供给电动机后就应进行充电.若电动机工作时将电能转化为对自行车输出机械能的效率为75%,电动自行车在平直的公路上匀速行驶时受到的阻力为30N,则蓄电池充一次电最多能完全依靠储存的电能连续行驶多远?整车 整车质量 40kg最高车速 ≤30km/h最大噪声 ≤62dB蓄电池 电压 48V 容量 12A•h电动机额定电压 48V 额定功率 240W6.目前,一种可移动的太阳能红绿灯开始在不少城市的十字路口“站岗”。

2015年中考A 卷压轴题专题一：等腰三角形的存在性问题1、如图， 在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，动点P 以2个单位⁄秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位⁄秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时停止运动。

在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求时间t 的值。

2、（14重庆）已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320，AE ⊥BD ，垂足为E ，点F 是点Ｅ关于AB 的对称点，连接AF 、BF 。

（1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段的长度），当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的ｍ的值；（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°<α<180°），记旋转中的△ABF为△A'BF'，在旋转过程中，设A'F'所在直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由。

3、（14杭州模拟）如图，在一个边长为9㎝的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，连接DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于点H，交AD于点N。

设点M从点C出发，以1㎝⁄s的速度沿CD向点D运动；点E同时从点A出发，以2㎝⁄s的速度沿AC向点C运动，运动时间为t(t>0).（1）当点F是AB的三等份点时，找出对应的时间t；（2）当点F在AB边上时，连结FN、FM。

①是否存在t值，使FN=MN？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②是否存在t值，使FN=FM？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由。

几何部分压轴题3．（2013•江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=12AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 与ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．思路分析：操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论； 数学思考：作AB 、AC 的中点F 、G ，连接DF ，MF ，EG ，MG ，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG 是平行四边形，从而得出△DFM ≌△MGE ，根据其性质就可以得出结论；类比探究：作AB 、AC 的中点F 、G ，连接DF ，MF ，EG ，MG ，DF 和MG 相交于H ，根据三角形的中位线的性质K 可以得出△DFM ≌△MGE ，由全等三角形的性质就可以得出结论； 解：●操作发现：∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形， ∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° ∵在△ADB 和△AEC 中，ADB AEC ABD ACE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADB ≌△AEC （AAS ）， ∴BD=CE ，AD=AE ，∵DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ， ∴AF=BF=DF=12AB ，AG=GC=GE=12AC ． ∵AB=AC ， ∴AF=AG=12AB ，故①正确； ∵M 是BC 的中点， ∴BM=CM ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE ， 即∠DBM=∠ECM ． ∵在△DBM 和△ECM 中BD CE DBM ECM BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DBM ≌△ECM （SAS ）， ∴MD=ME ．故②正确；如图，连接AM ，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM 对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确． ∵AB=AC ，BM=CM ， ∴AM ⊥BC ，∴∠AMB=∠AMC=90°， ∵∠ADM=90°，∴四边形ADBM 四点共圆， ∴∠AMD=∠ABD=45°． ∵AM 是对称轴，∴∠AME=∠AMD=45°， ∴∠DME=90°，∴MD ⊥ME ，故④正确， 故答案为：①②③④●数学思考：MD=ME ，MD ⊥ME ．理由：如图，作AB 、AC 的中点F 、G ，连接DF ，MF ，EG ，MG ， ∴AF=12AB ，AG=12AC ． ∵△ABD 和△AEC 是等腰直角三角形， ∴DF ⊥AB ，DF=12AB ，EG ⊥AC ，EG=12AC ， ∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF ，GE=AG ．∵M 是BC 的中点， ∴MF ∥AC ，MG ∥AB ，∴四边形AFMG 是平行四边形，∴AG=MF ，MG=AF ，∠AFM=∠AGM ．∴MF=GE ，DF=MG ，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE ，∴∠DFM=∠MGE ．∵在△DFM 和△MGE 中，MF GE DFM MGE DF MG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴DM=ME ，∠FDM=GME ． ∵MG ∥AB ，∴∠GMH=∠BHM ． ∵∠BHM=90°+∠FDM ， ∴∠BHM=90°+∠GME ， ∴∠BHM=90°+∠GME ， ∵∠BHM=∠DME+∠GME ， ∴∠DME+∠GME=90°+∠GME ， 即∠DME=90°， ∴MD ⊥ME ．∴DM=ME ，MD ⊥ME ；●类比探究：∵如图3，点M 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，∴MF ∥AC ，MF=12AC ，MG ∥AB ，MG=12AB ， ∴四边形MFAG 是平行四边形，∴MG=AF ，MF=AG ．∠AFM=∠AGM ∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形，∴DF=AF ，GE=AG ，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°∴MF=EG ，DF=MG ，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE ， 即∠DFM=∠MGE ． ∵在△DFM 和△MGE 中MF EG DFM MGE DF MG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴MD=ME ，∠MDF=∠EMG ． ∵MG ∥AB ，∴∠MHD=∠BFD=90°， ∴∠HMD+∠MDF=90°，∴∠HMD+∠EMG=90°， 即∠DME=90°，∴△DME 为等腰直角三角形． 8．（2013•盐城）阅读材料如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连结BF 、CD 、CO ，显然点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明△BOF ≌△COD ，则BF=CD ． 解决问题（1）将图①中的Rt △DEF 绕点O 旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC 与△DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BFCD的值（用含α的式子表示出来）8．解：（1）猜想：BF=CD ．理由如下： 如答图②所示，连接OC 、OD ．∵△ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AB 的中点， ∴OB=OC ，∠BOC=90°．∵△DEF 为等腰直角三角形，点O 为斜边EF 的中点， ∴OF=OD ，∠DOF=90°． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ， ∴∠BOF=∠COD ．∵在△BOF 与△COD 中，OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BOF ≌△COD （SAS ）， ∴BF=CD ． （2）答：（1）中的结论不成立．如答图③所示，连接OC、OD．∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，∴OBOC=tan30°=33，∠BOC=90°．∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，∴OFOD=tan30°=33，∠DOF=90°．∴OB OFOC OD==33．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD．在△BOF与△COD中，∵OB OFOC OD==33，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，∴33 BFCD=．（3）如答图④所示，连接OC、OD．∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，∴OBOC=tan2α，∠BOC=90°．∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，∴OFOD=tan2α，∠DOF=90°．∴OB OFOC OD==tan2α．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD ． 在△BOF 与△COD 中， ∵OB OF OC OD ==tan 2α，∠BOF=∠COD ， ∴△BOF ∽△COD ， ∴2BF CD α=． 10．（2013•衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN ．求证：∠ABC=∠ACN ． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA=BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN=∠ABC ．连结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．10．（1）证明：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ）， ∴∠ABC=∠ACN ．（2）解：结论∠ABC=∠ACN 仍成立．理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ）， ∴∠ABC=∠ACN ．（3）解：∠ABC=∠ACN ．理由如下：∵BA=BC ，MA=MN ，顶角∠ABC=∠AMN ， ∴底角∠BAC=∠MAN ， ∴△ABC ∽△AMN ， ∴AB ACAM AN=， 又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC ，∠CAN=∠MAN-∠MAC ， ∴∠BAM=∠CAN ， ∴△BAM ∽△CAN ， ∴∠ABC=∠ACN ．例5 （2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，点B （10，0），C （7，4）．直线l 经过A ，D 两点，且sin ∠DAB=22．动点P 在线段AB 上从点A 出发以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D 的方向向点D 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线A→D→C 相交于点M ，当P ，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ． （1）点A 的坐标为 ，直线l 的解析式为 ；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围； （3）试求（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值；（4）随着P ，Q 两点的运动，当点M 在线段DC 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ，试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．思路分析：（1）利用梯形性质确定点D 的坐标，利用sin ∠DAB=22特殊三角函数值，得到△AOD 为等腰直角三角形，从而得到点A 的坐标；由点A 、点D 的坐标，利用待定系数法求出直线l 的解析式； （2）解答本问，需要弄清动点的运动过程： ①当0＜t≤1时，如答图1所示；②当1＜t≤2时，如答图2所示； ③当2＜t ＜167时，如答图3所示． （3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S 表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S 的最大值；（4）△QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解． 解：（1）∵C （7，4），AB ∥CD ， ∴D （0，4）． ∵sin ∠DAB=22， ∴∠DAB=45°， ∴OA=OD=4， ∴A （-4，0）．设直线l 的解析式为：y=kx+b ，则有4-40b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：k=1，b=4， ∴y=x+4．∴点A 坐标为（-4，0），直线l 的解析式为：y=x+4．（2）在点P 、Q 运动的过程中： ①当0＜t≤1时，如答图1所示：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5． 过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则BE=BQ•cos ∠CBF=5t•35=3t ． ∴PE=PB-BE=（14-2t ）-3t=14-5t ， S=12PM•PE=12×2t×（14-5t ）=-5t 2+14t ； ②当1＜t≤2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM•PE=12×2t×（16-7t）=-7t2+16t；③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如答图3所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM•MQ=12×4×（16-7t）=-14t+32．（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647；③当2＜t＜167时，S=-14t+32∵k=-14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：①如答图4所示，点M在线段CD上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=209；②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．故当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．8．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3，∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．（2）在△AED向右平移的过程中：（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，即∠BCB1=30°，∴α=30°；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，即∠BCB1=75°，∴α=75°．9．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．9．解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．∴根据勾股定理，得22AC BC +=5cm ．（1）以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况： ①当△AMP ∽△ABC 时，AP AMAC AB=，即52445t t --=，解得t=32； ②当△APM ∽△ABC 时，AM AP AC AB =，即45245t t--=， 解得t=0（不合题意，舍去）； 综上所述，当t=32时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似；（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值． 如图，过点P 作PH ⊥BC 于点H ．则PH ∥AC ，∴PH BP AC BA =，即245PH t=， ∴PH=85t ，∴S=S △ABC -S △BPH ，=12×3×4-12×（3-t ）•85t ， =45（t-32）2+215（0＜t ＜2.5）． ∵45＞0， ∴S 有最小值．2.O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ； (1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3.如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．6.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.A BC D ER P H Q7.)如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值． 9.如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.13.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，C D A BE F NM求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．16.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标； （1） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．24.如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △；（3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．.25.已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．图1D CBA EF GG FE A B C D ① ②27.已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．例2 [2012·绥化] 已知，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，AB ＝3，BC ＝4，点P 为EC 上的一动点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R .(1)如图Z2－2(甲)，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR ＋PQ ＝125；(2)如图(乙)，当点P 为线段EC 上任意一点(不与点E 、点C 重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)如图(丙)，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.解：(2)图乙中结论PR ＋PQ ＝125仍成立．证明：如图1连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD ＝90°，∴BD ＝5. ∵S △BCD ＝12BC ·CD ＝12BD ·CK ，∴3×4＝5CK ，∴CK ＝125.方法一：∵S △BCE ＝S △BEP ＋S △BCP ，∴12BE ·CK ＝12PR ·BE ＋12PQ ·BC ，又∵BE ＝BC ，∴12CK ＝12PR ＋12PQ ，∴CK ＝PR ＋PQ ，即125＝PR ＋PQ .方法二：如图2，过点P 作PM ⊥CK 于M ，∴四边形PRKM 为矩形，∴DK ∥PM ，PM ∥RK ， ∴∠BEC ＝∠MPC .又∵BE ＝BC ，∴∠BEC ＝∠ECB ＝∠MPC . 又∵∠PMC ＝∠CQP ＝90°，PC ＝PC ， ∴△PMC ≌△CQP ， ∴MC ＝PQ ，∴CK ＝KM ＋MC ＝PR ＋PQ ＝125.B ADME C图13 B A DC 备用图(3)PR －PQ ＝125.压轴题答案2. (1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)， ∴381032OAB tan =-=∠， ∴︒=∠60OAB当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´， ∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥， ∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=︒-=，)t 10(21AT 21AP P A -==='， ∴2TPA )t 10(83TP P A 21S S -=⋅'=='∆， 当A ´与B 重合时，AT=AB=460sin 32=︒， 所以此时10t 6<≤.(2)当点A ´在线段AB 的延长线，且点P 在线段AB(不与B 重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E 是TA ´与CB 的交点)， 当点P 与B 重合时，A T=2AB=8，点T 的坐标是(2，0)又由(1)中求得当A ´与B 重合时，T 的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t 2<<.(3)S 存在最大值 ○1当10t 6<≤时，2)t 10(83S -=， 在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小，∴当t=6时，S 的值最大是32.○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ， ∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----=A ´A BPT EC OyA ´ AB TE COyPF34)2t (83)28t 4t (8322+--=++-=当t=2时，S 的值最大是34；○3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4， ∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅=综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<. 3. 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况： ①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=，6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===． tan QR BA C CR CA ==，366528x -+∴=，152x ∴=．ABCD ER PH QM 2 1 HA BCD E R PHQ综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形． 6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23，∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=解得33k =-,直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532,∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+= ∴D(532,72)(3)设OP=x,则由（2）可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为：133(2)224x x += 解得：23213x -±=所以P(23213-±,0)7. 解:(1)①,BG DE BG DE =⊥②,BG DE BG DE =⊥仍然成立在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形 ∴ BC CD =，CG CE =， 090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠ ∴BCG DCE ∆≅∆ （SAS ）yxHG E DBA OP∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠= ∴BG DE ⊥（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴BC CG bDC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠ ∴BCG DCE ∆∆ ∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= ∴22654BE DG += 9.13. 解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ∵ AB ∥CD ， ∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ． ∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）． ∴ AE ＝BF ．设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DG ME AG AE =．∴ ME ＝x 34． ∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649． （3）能．由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4．∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．C DA B E F N M G H C DA B E F N M G H16.解：（1）6OP t =-，23OQ t =+．（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1， 则53DQ QO ==，43QC =，1CD ∴=，(13)D ∴，．（3）①PQ 能与AC 平行． 若PQ AC ∥，如图2，则OP OA OQ OC =，即66233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤，149t ∴=． ②PE 不能与AC 垂直． 若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，则23335t QF OQ QFACOC +==．23QF t ⎫∴=+⎪⎭．EFQF QE QF OQ ∴=-=-2233t t ⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭21)1)3t =+．又Rt Rt EPF OCA △∽△，PE OCEF OA∴=， 63261)3t t -∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 3.45t ∴≈，而703t ≤≤， t ∴不存在．24.解：（1）∵点F 在AD 上， ∴AF ， ∴DFb =，∴2111()2222DBF S DFAB b b b ===-△××. （2）连结AF ， 由题意易知AF BD ∥， ∴212DBF ABD S S b ==△△.（3）正方形AEFG 在绕A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点A 为圆心，AF 为半径的圆.第一种情况：当b >2a 时，存在最大值及最小值；图1因为BFD △的边BD =，故当F 点到BD 的距离取得最大、最小值时，BFD △S 取得最大、最小值.如图②所示2CF BD ⊥时，BFD △S 的最大值=222,22BF Db ab ⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭△SBFD △S 的最小值=222,22BF Db ab ⎛⎫-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭△S第二种情况：当b =2a 时，存在最大值，不存在最小值；BFD △S 的最大值=222b ab+.（如果答案为4a 2或b 2也可）25. 解：（1）取AB 中点H ，联结MH ，M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2MH BE AD =+．···························· （1分） 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥． ································································ （1分）12ABM S AB MH ∴=△，得12(0)2y x x =+>；·································· （2分）（1分） （2）由已知得DE =． ························································· （1分） 以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，1122MH AB DE ∴=+，即11(4)222x ⎡+=⎣． ······················ （2分） 解得43x =，即线段BE 的长为43； ···························································· （1分）（3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似， 又易证得DAM EBM ∠=∠． ···································································· （1分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =； ··············································· （2分） ②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥，ADB DBE ∴∠=∠．DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，BED MEB ∴△∽△． DE BE BE EM ∴=，即2BE EM DE =，得2222(x x =+- 解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2． ··································· （2分） 综上所述，所求线段BE 的长为8或2． 27. 解：（1）由题意：BP ＝tcm ，AQ ＝2tcm ，则CQ ＝(4－2t)cm ， ∵∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∴AB ＝5cm∴AP ＝（5－t ）cm ，∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP ∶AB ＝AQ ∶AC ，即（5－t ）∶5＝2t ∶4，解得：t ＝107∴当t 为107秒时，PQ ∥BC （2）过点Q 作QD ⊥AB 于点D ，则易证△AQD ∽△ABC ∴AQ ∶QD ＝AB ∶BC∴2t ∶DQ ＝5∶3，∴DQ ＝65t∴△APQ 的面积：12×AP ×QD ＝12（5－t ）×65t ∴y 与t 之间的函数关系式为：y ＝2335t t -当面积被平分时有：2335t t -＝12×12×3×4，解得：t 当周长被平分时：（5－t ）＋2t ＝t ＋（4－2t ）＋3，解得：t ＝1∴不存在这样t 的值（4）过点P 作PE ⊥BC 于E易证：△PAE ∽△ABC ，当PE ＝12QC 时，△PQC 为等腰三角形，此时△QCP ′为菱形 ∵△PAE ∽△ABC ，∴PE ∶PB ＝AC ∶AB ，∴PE ∶t ＝4∶5，解得：PE ＝45t∵QC ＝4－2t ，∴2×45t ＝4－2t,解得：t ＝109∴当t ＝109时，四边形PQP ′C 为菱形此时，PE ＝89，BE ＝23，∴CE ＝73在Rt △CPE 中，根据勾股定理可知：PC ＝＝∴此菱形的边长为。

2015年全国省市中考数学压轴题精选题2015年北京市2015年北京在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2CP CP r '+=，则称P '为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P '的示意图。

(1)当O 的半径为1时.①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？求其坐标； ②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围； (2)当C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P '在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

如图.抛物线y=x 2-4x 与x 轴交于O,A 两点,P 为抛物线上一点,过点P 的直线y=x+m 与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是 , 直线PQ 与x 軸所夹锐角的度数是 ,(2)若两个三角形面积满足PAQ POQ S S ∆∆=31，求m 的値: (3)当点P 在x 軸下方的抛物线上时.过点C(2，2)的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD+DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值.已知二次函数2ax y =的图象经过点（2，1）。

（1）求二次函数2ax y =的解析式；（2）一次函数4+=mx y 的图象与二次函数2ax y =的图象交于点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点 ①当23=m 时（图①），求证：△AOB 为直角三角形； ②试判断当23≠m 时（图②），△AOB 的形状，并证明； （3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论（不要求证明）。

2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。

2015中考压轴题突破 训练⽬标 熟悉题型结构，辨识题⽬类型，调⽤解题⽅法; 书写框架明晰，踩点得分(完整、快速、简洁)。

题型结构及解题⽅法 压轴题综合性强，知识⾼度融合，侧重考查学⽣对知识的综合运⽤能⼒，对问题背景的研究能⼒以及对数学模型和套路的调⽤整合能⼒。

考查要点常考类型举例题型特征解题⽅法 问题背景研究求坐标或函数解析式，求⾓度或线段长已知点坐标、解析式或⼏何图形的部分信息研究坐标、解析式，研究边、⾓，特殊图形。

模型套路调⽤求⾯积、周长的函数关系式，并求最值速度已知，所求关系式和运动时间相关分段：动点转折分段、图形碰撞分段; 利⽤动点路程表达线段长; 设计⽅案表达关系式。

坐标系下，所求关系式和坐标相关利⽤坐标及横平竖直线段长; 分类：根据线段表达不同分类; 设计⽅案表达⾯积或周长。

求线段和(差)的最值有定点(线)、不变量或不变关系利⽤⼏何模型、⼏何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三⾓形三边关系等。

套路整合及分类讨论点的存在性点的存在满⾜某种关系，如满⾜⾯积⽐为9:10 抓定量，找特征; 确定分类;. 根据⼏何特征或函数特征建等式。

图形的存在性特殊三⾓形、特殊四边形的存在性分析动点、定点或不变关系(如平⾏); 根据特殊图形的判定、性质，确定分类; 根据⼏何特征或函数特征建等式。

三⾓形相似、全等的存在性找定点，分析⽬标三⾓形边⾓关系; 根据判定、对应关系确定分类; 根据⼏何特征建等式求解。

答题规范动作 试卷上探索思路、在演草纸上演草。

合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。

作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案;同时⽅便修改。

作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。

23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点： ⼏何推理环节，要突出⼏何特征及数量关系表达，简化证明过程; ⾯积问题，要突出⾯积表达的⽅案和结论; ⼏何最值问题，直接确定最值存在状态，再进⾏求解; 存在性问题，要明确分类，突出总结。