2013年考研数学二试题[卷]及的答案解析

2013考研数二真题答案本文为2013年考研数学二真题的答案解析。

首先，我们来看第一道选择题。

1. 题目内容：已知椭圆C的长轴与坐标轴的夹角是π/6，短轴所对的顶点为(3,0)，则椭圆的标准方程为（）。

解析：根据题目所给信息，我们可以知道椭圆的短轴所对的顶点为(3,0)，这个点在椭圆的短轴上。

由于题目已经告诉我们短轴的夹角为π/6，我们可以得出短轴的斜率为tan(π/6) = 1/√3。

因此，我们可以知道椭圆的短轴方程为y = x/√3。

由于这个点属于椭圆，所以我们可以得到椭圆的标准方程为(x^2)/a^2 + (y^2)/(a^2 - b^2) = 1。

代入已知条件，我们可以解得椭圆的标准方程为(x^2)/3 + (y^2)/2 = 1。

接下来，我们来看第二道选择题。

2. 题目内容：设f(x) = 2x + 1, g(x) = 3^x - 1，则满足f(g(x)) = g(f(x))的x的取值范围是（）。

解析：首先我们根据题目给出的函数表达式可以得到f(g(x)) = f(3^x - 1) = 2(3^x - 1) + 1 = 2*3^x - 1。

同样地，我们可以得到g(f(x)) = g(2x + 1) = 3^(2x + 1) - 1。

要使f(g(x)) = g(f(x))成立，我们需要解方程2*3^x - 1 = 3^(2x + 1) - 1。

化简后得到2*3^x = 3^(2x + 1)，继续化简可得x = 0或x = -1。

因此，满足f(g(x)) = g(f(x))的x的取值范围为{x ∈ R | x = 0 或 x = -1}。

最后，我们来看第三道选择题。

3. 题目内容：求曲线y = (lnx)/√x在点x = e处的切线方程。

解析：要求曲线在点x = e处的切线方程，我们需要求该点处的斜率和过该点的直线方程。

首先，我们求斜率。

曲线的导数为(dy/dx) = [(1/√x - ln x/2√x)]/x = (1 - ln x)/2x√x。

2021考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，那么当0x →时，()x α是〔 〕〔A 〕比x 高阶的无穷小 〔B 〕比x 低阶的无穷小 〔C 〕与x 同阶但不等价的无穷小 〔D 〕与x 等价的无穷小〔2〕设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，那么2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦〔 〕〔A 〕2 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕2- 〔3〕设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，那么〔 〕〔A 〕x π= 是函数()F x 的跳跃连续点 〔B 〕x π= 是函数()F x 的可去连续点〔C 〕()F x 在x π=处连续但不可导 〔D 〕()F x 在x π=处可导〔4〕设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，假设反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，那么〔 〕〔A 〕2α<- 〔B 〕2α> 〔C 〕20α-<< 〔D 〕02α<< 〔5〕设()yz f xy x=，其中函数f 可微，那么x z z y x y ∂∂+=∂∂〔 〕 〔A 〕2()yf xy ' 〔B 〕2()yf xy '- 〔C 〕2()f xy x 〔D 〕2()f xy x- 〔6〕设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的局部，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，那么〔 〕〔A 〕10I > 〔B 〕20I > 〔C 〕30I > 〔D 〕40I > 〔7〕设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，假设,B AB C =则可逆，则 〔A 〕矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价〔B 〕矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 〔C 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 〔D 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价〔8〕矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为〔A 〕a 0,b 2== 〔B 〕为任意常数b a ,0= 〔C 〕0,2==b a 〔D 〕为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，那么()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，那么L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于1t =的点处的法线方程为 ．(13)321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．〔14〕设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，假设ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕〔此题总分值10分〕当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

2013年考研数学二真题及答案2013 年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．１ ．设 cos x 1 x sin (x ), (x ) ，当 x 0 时， x （） 2（ （ A ）比 x 高阶的无穷小 C ）与 x 同阶但不等价无穷小 （B ）比 x 低阶的无穷小 （D ）与 x 等价无穷小1 1详解】显然当 x 0 时 cos x x x x1 sin ( ) ~2 , s in ( ) ~ x x x ，故应该选（~( ) 【 2 2 22 ．已知 y f x是由方程cos xy ln y x1确定，则lim n f 1 （ ）nn（ A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2【 【 分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义． y '详解】将 x0代入方程得 y f (0) 1，在方程两边求导，得 sin(xy )(y xy ')yx 0, y 1，知 y ' (0) f ' (0)1．2f ( ) f (0) 2 n n lim n f 1 2 lim 2 f '(0) 2 ，故应该选（A ）． 2nn nsin x , x [0, )x ３ ．设 f (x )， F (x )f (t )dt 则（ ） 2, x [,2 ]（ （ Ａ） x为 F (x )的跳跃间断点． （Ｂ） x 为 F (x )的可去间断点． Ｃ） F (x )在 x 连续但不可导． （Ｄ） F (x )在 x可导．x 【 详解】只要注意 x 是函数 f (x ) 的跳跃间断点，则应该是 F (x )f (t )dt 连续点，但不可选（Ｃ）．1(x 1) 11 , 1 x ef x dx 收敛，则（ ４ ．设函数 f (x ) ，且反常积分 ） , x ex ln 1 x （ A ） 2 （B ） a 2（C ） 2 a 0 （D ） 0 21111而第二个反常积分dx ln x |1，当且仅当 a 0 才收敛．x ln 1 x lim ln xexf x dx 才收敛，故应选（Ｄ）．从而仅当 02时，反常积分 y x zzy xy５ ．设函数 zf xy，其中f 可微，则 （ ）x 22（ A ） 2yf '(xy ) （B ） 2yf '(xy ) （C ）f (xy ) （D ）f (xy ) xxxz z y xy x y y y 21【 详解】f (xy ) f '(xy ) f (xy ) yf '(xy ) 2yf '(xy ) ．应该选（A ）．x 2 xx( , ) | D x y xy1的第 k 象限的部分，记 I (y x )dxdy ，则（ ）．设 D 是圆域2 26 k k Dk（ A ） I 0 （B ） I 0 （C ） I 0（D ） I 01234【 详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k1k13I (y x )dxdy d (sincos )r2dr(sinsin)d22 kk 1 (k1)Dk2 2k1sincos |2 k 1322 2 所以 I I0, I, I ，应该选（B ）． 13 24 3 37 ．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ （ （ （ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．B ）矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． 【 详解】把矩阵 A ，C 列分块如下： A , , , , C , , ,，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知1 2 n 1 2 nbbb (i 1,2, ,n ) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同i 1 1i 22inni时由于 B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 0 08 ．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 1 0 0 0（ A ） a0, b 2 （B ） a 0 ，b 为任意常数（ C ） a 2, b 02 0 0（D ） a 2， b 为任意常数1 a 12 0 0【 详解】注意矩阵0 b 0是对角矩阵，所以矩阵 A= a b a 与矩阵0 b相似的充分必要0 0 0 1 a 1 0 0 0条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a E A aba( a 11 2(b 2) 2b2a2 )1 从而可知 2b 2a 2b ，即 a0 ， b 为任意常数，故选择（B ）．2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1 ln(1 x)x9． lim 2．xxx(x1 x2 o (x2 ) 11 xln(1x )ln(1 x)x ln(1 x ) 2 1 xxlim lim【 详解】 lim 2lim 1 e xx 2e xx 2e ． 2x 0 x x 0 x dx x te dt，则 yf (x )的反函数 x f1 (y ) 在 y0处的导数10．设函数 f (x )1|．y 01dy【 详解】由反函数的求导法则可知dx dy 11|． ydy 1e 1|x 1dx611．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos3t 为参数，则 L 所围成的平面图形的面积 6为【 ．2 121 21 Ar 2 dcos 3d2 cos 2tdt 详解】 6 63 120 6 6所以．答案为． 1 2x arctan t1 2．曲线上 对应于t 1处的法线方程为 ．y ln 1 t 2t t 1 11 2 2 【 详解】当t 1时， x , y ln 2， y '| |1，所以法线方程为t 1t 1 4 21 t 1 1y ln 2 1(x )，也就是 y x ln 22 4 2 4y e 3xxe 2x , y e xxe 2x , y xe 2x 是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1 3．已知 123y (0) 0, y ' (0)1方程的解为 ．【 详解】显然 y y e 3x 和 yy e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由132 3yC e 3x C exe 2x ，其中C , C 为任意常数．把初始条件代入可得 x解的结构定理，该方程的通解为 1 2 1 2C 1,C 1，所以答案为 ye 3xe x xe 2x1 214 ． 设 Aa 是 三 阶 非 零 矩 阵 ，A 为 其 行 列 式 ， A 为 元 素 a 的 代 数 余 子 式 ， 且 满 足 ijijij A a 0(i , j 1,2,3)，则 A = ．ij ij详解】由条件 A a 0(i , j1,2,3)可知* 0 A A T，其中 A *为 A 的伴随矩阵，从而可知 【 ijijA * A *T A A ，所以 A 可能为 1或 0．3 1n ,r (A ) n但由结论 ( ) 1, ( ) 1 r A *r A n 可知，A A * T0可知 r (A ) r (A *) ,伴随矩阵的秩只能为 3，所以0 ,r (A ) n 1 A1.三、解答题1 5．（本题满分 10 分） 当 x0时，1cos x cos 2x cos 3x 与 axn 是等价无穷小，求常数 a ,n ． 【 【 分析】主要是考查 x0时常见函数的马克劳林展开式．1 1 详 解 】 当 x 0 时 ， cos x 1 x2 o (x ) 2 ， cos 2x 1 (2x ) 2 o (x 2 ) 1 2x 2 o (x ) ，222 1 9 cos 3x 1 (3x ) 2 o (x 2 ) 1 x 2 o (x ) ，22 21 9 所以1 cos cos2 cos 3x 1 (1 x x x 2 o (x))(1 2 2 x 2 o (x ))(1 2 x 2 o (x )) 7 2 x o (x 2 ) ， 22 2由于1cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a 7,n 2．1 6．（本题满分 10 分） 3x，直线 xa (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V ,V 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转x y设 D 是由曲线 y一周所形成的立体的体积，若10V V ，求 a 的值． x y【 详解】由微元法可知253a aVxy dx x dx a ；233 5 0 04 7 6 V2 axf (x )dx2x dx a；a33y7由条件10V V ，知 a7 7 ．x y 1 7．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x 3y , y 3x , x y8 所围成，求 x dxdy ． 2D【 详解】4 1 62dx3x 6dx8xx 2dxdy x 2 dxdy x 2 dxdy x 2 dy x 2 dy ． x x32 DDD331 2 1 8．（本题满分 10 分） 设奇函数 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，且 f (1)1，证明：（ 1）存在( 0,1) ，使得 f '1；（ 【 2）存在(1,1) ，使得 f () f ( ) 1．详解】证明：（1）由于 f (x ) 为奇函数，则 f (0) 0，由于 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存f (1) f (0)在( 0,1) ，使得 f '()1．1 0（ 2）由于 f (x ) 为奇函数，则 f '(x ) 为偶函数，由（1）可知存在( 0,1) ，使得 f '1，且 f'1，令 (x ) e ( f '(x ) 1)，由条件显然可知(x ) 在1,1上可导，且() ()0 ， x 由罗尔定理可知，存在 (,) (1,1)，使得' 0, 即 f () f() 1．1 9．（本题满分 10 分）x3 xyy 1(x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．3求曲线 【 【 分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法． 详解】构造函数 L (x , y )x 2 y 2 x ( 3xyy 1)3L2x (3x y ) 02x L 2y (3y ) 0 ，得唯一驻点 x1, y 1，即 M (1,1) ．12x 令y x 3 xyy 13考虑边界上的点， M (0,1),M (1,0)；2 3f (x , y ) x y 2 在三点的取值分别为 f (1,1) 2, f ( 0,1) 1, f (1, 0) 1，2 距离函数 所以最长距离为 2 ，最短距离为 1． 0．（本题满分 11） 2 1设函数 f (x )ln xx⑴ ⑵ 求 f (x ) 的最小值；1设数列x 满足ln x 1，证明极限 lim x 存在，并求此极限． n n n x n 1 n 【 （ 详解】1 1x 1 1） f '(x ) ， x x 2x2 令 f '(x ) 0 ，得唯驻点 x1，当 x( 0,1) 时， f '(x ) 0，函数单调递减；当 x(1,) 时， f '(x )0 ，函数单调递增．所以函数在 x 1处取得最小值 f (1)1．1111（ 2）证明：由于 ln x 1，但ln x 1，所以，故数列x 单调递增．nn nx n 1 x nx n 1 x n1又由于 ln x ln x 1，得到 0 xe ，数列x有界．nnnnx n1由单调有界收敛定理可知极限 lim x 存在． n n1 1令 lim x a ，则 lim ln x ln a 1，由（1）的结论可知 lim xa 1．nnnnnx n 1 a n2 1．（本题满分 11） 1 41y x 2ln x (1 x e ． ) 设曲线 L 的方程为 2（ （ 1）求 L 的弧长．2）设 D 是由曲线 L ，直线 x 1, x e 及 x 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标．【 （ 详解】1 1 x1 2 11）曲线的弧微分为 dx1 y ' dx2 1 x dx (x x )dx ，4 1 1 e 2 1e 所以弧长为 sds (x )dx ． 2 x 41（ 则 2）设形心坐标为x , y，1 4 x2 1ln x e 42e 32 xdxdy dxdye1xdx 0 2 dy3(e 4 2e 23)16 xD． 1 x 2 1e 3 7 4(e 7) 31dxln x4 2 dy12D2 2．本题满分 11 分） 1 a0 1 ，问当 a , b 为何值时，存在矩阵 C ，使得 AC CA B ，并求出所有矩阵 C ．A, B 设 1 01 b【 详解】 x1 x显然由 ACCAB 可知，如果C 存在，则必须是 2 阶的方阵．设C 2 4 ， x x3x ax ax x ax1 12 4则 ACCA B 变形为2 3， x x x x ax 1 b1 3 4 23 x ax0 2 3ax x ax 11 2 4 即得到线性方程组 ，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩 x x x 1 1 3 4xax b 2 3 阵进行初等行变换如下0 1 1 a 0 01 0 111a 0 a 1 0 1 a 0 0A | b，1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a1 a 0 b 0 b 所以，当 a 1, b 0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C ，使得 AC CA B ．1 0 1 1 1 0 11 0 0 0 0 0 0 此时，A | b，0 00 0 0x 1 1 11 2 3 x x 0 1 0 所以方程组的通解为 x C 1 C ，也就是满足 AC CA B 的矩阵 C 为2 1x40 0 1 1 C C C C 1 2 1 ，其中C ,C为任意常数． 12C 1 C 22 3（本题满分 11 分）a b 11f (x ,x ,x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b x b x )2 ．记 a ,b ． 设二次型 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2332 32a b31）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T ；T（ 2）若,正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 详解】证明：（1）2 y 21 y 2．（ 【 2 f (x , x , x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b xb x )21 2 3 1 12 23 31 12 23 3a xb x11 11232x , x , x a a , a ,a x x , x , x b b , b ,b x 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 21 2 3a xb 3xx x 1 1 23 x , x , x2x x , x , x x TTT 1 2 3 2 3 1 2 3 x xx 123x , x , x2x T1 2 3 x所以二次型 f 对应的矩阵为 2 TT．证明（2）设 A2 TT，由于1,T0 A 则 2 22，所以 为矩阵对应特征值 2的特征向量；2 T T T 1 A 22 ，所以 为矩阵对应特征值 1的特征向量； 2 T T T2 而矩阵 A 的秩 r (A ) r (2 T T ) r (2 T ) r ( T ) 2，所以 0也是矩阵的一个特征值．32 2yy 22 ．1故 f 在正交变换下的标准形为。

2013年考研数学二真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿. (2)． 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,那么dydx=＿＿＿＿＿＿. (3)．设1()(2(0)xF x dt x =>⎰,那么函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4)．=＿＿＿＿＿＿. (5)． 曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,那么()f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)． (1)．当x →时,变量211sin x x是( )．(A)． 无穷小 (B)． 无穷大(C)． 有界的,但不是无穷小 (D)． 有界的,但不是无穷大(2)． 设2|1|,1,()12, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩那么在点1x =处函数()f x( )．(A)． 不连续 (B)． 连续,但不可导 (C)． 可导,但导数不连续 (D)． 可导,且导数连续(3)． 2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,那么()F x 为 ( )．(A)．31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B)． 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C)． 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D)． 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩(4)． 设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )．(A)． 3 (B)． 2 (C)． 1 (D)． 0 (5)． 假设()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,那么()f x 在(,0)-∞内 ( )．(A)． ()0,()0f x f x '''<< (B)． ()0,()0f x f x '''<> (C)． ()0,()0f x f x '''>< (D)． ()0,()0f x f x '''>>三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)．(1)． 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx.(2)． 求lim )x x x →-∞.(3)． 求401cos 2xdx x π+⎰.(4)． 求3(1)xdx x +∞+⎰. (5)． 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(此题总分值9分)．设二阶常系数线性微分方程xy y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)xx y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(此题总分值9分)．设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(此题总分值9分)．作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.七、(此题总分值6分)．设0x >,常数a e >,证明()aa xa x a++<.八、(此题总分值6分)．设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)． (1)．【答案】：0(2)．【答案】：222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-(3)．【答案】：104x <≤ (4)．【答案】：1/22cos x C -+(5)．【答案】：222111(1)ln(1)222x x x ++-- (5)．【答案】：(C)．三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)． (1)．{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,{}22cos[()]()2y f x f x x ''''=⋅⋅{}2222cos[()]()2cos[()]()2f x f x x f x f x x ''''⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦22cos[()]()(2)f x f x x ''+⋅⋅2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)f x f x x f x f x x '''=-⋅⋅+⋅⋅22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅.()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)．应先化简再求函数的极限,lim )limx x x x →-∞=100limlim11x x x →-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---. (3)．先进展恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.2444000sec 1tan 1cos 222x x x dx dx xd x x πππ==+⎰⎰⎰[]4440001111sin tan tan (0)22242cos x x x xdx dx x ππππ=-=--⎰⎰ []4400111cos ln(cos )82cos 82d x x x ππππ-=-=+⎰111[ln(cos )ln(cos0)]ln 28248284ππππ=+-=+=-. (4)．用极限法求广义积分.2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)x x dx dx x x d x x x +∞+∞+∞--+-==+-++++⎰⎰⎰ 1220121(1)(1)lim 22(1)bb x x x x +∞--→+∞⎡⎤+⎡⎤=-+++=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)．所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1xxdxdxx x x y ee dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 2222(1)(1)112cos 1d x d x x x x e edx C x -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰ 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件 01x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-.四、(此题总分值9分)．要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.对于特解2(1)xx y e x e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)x x x x x x x y e x e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,代入方程x y y y e αβγ'''++=,得恒等式 2224(3)2(2)(1)xx x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比拟同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32x y y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方 程为2320r r -+=,解之得 121,2r r ==. 所以微分方程32x y y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(此题总分值9分)．利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一：考虑对y 的积分,那么边界限为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时, 2212(2)(2)dV x dy x dy ππ=---222(211)(2)y y dy π⎡⎤=-+---⎣⎦2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦. 所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,那么cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰；对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二：取x 为积分变量,那么边界限为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤,如右图所示.当x x dx →+时,1222(2)()2(2)(2),dV x y y dx x x x x dx ππ=--=---所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰.令1x t -=,那么1,x t dx dt =+=,所以 120(2)(2)x x x x dx ---⎰21(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰. 再令sin t θ=,那么cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰2222222cossin cos sin cos cos d d d d ππππθθθθθθθθθθ----=-+-⎰⎰⎰⎰00002222221(1cos 2)cos cos sin sin cos 2d d d d ππππθθθθθθθθ----=+++-⎰⎰⎰⎰[]00330222211cos sin sin 2sin 2233ππππθθθθθ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111143343ππ=++-=-. 所以 120112(2)(2)2()43V x x x x dx πππ=---=-⎰.六、(此题总分值9分)．这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===.ADOCB由,BC ODAD AC AD==有R R h =⇒=于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, 所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=.七、(此题总分值9分)．首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a+<+.证法一：令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,那么()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>. 从而()f x 为严格单调递增函数,且()()ln ln()(0)ln ln 0,(0)f x a x a a a x f a a a a x =+-+>=-=>即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()aa xa x a ++<.证法二：令ln ()x f x x =,那么21ln ()xf x x-'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x -'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<,所以有ln()ln a x aa x a+<+,即 ()a a x a x a ++<.八、(此题总分值9分)． 证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得()(0)(),(0)f x f f x x ξξ'=+<<由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aM f x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的根本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|xf x f t dt Mx '≤≤⎰,以下同证法一.证法三：分部积分法.00()()()[()()]()()aaaaf x dx f x d x a f x x a a x f x dx '=-=-+-⎰⎰⎰[()()(0)(0)]()()()()a af a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以()()()()()()aaa af x dx a x f x dx a x f x dx M a x dx ''=-≤-≤-⎰⎰⎰⎰2201122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α−=，其中()2x πα<，则当时，0x →()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数由方程()y f x =cos()ln 1xy y x +−=确定，则2lim ()1n f n→∞⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦（ ） （A ） （B ）1 （C ） （D ）21−2−（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，，则（ ）0()()x F x f t dt =∫（A ）x π= 是函数的跳跃间断点 （B ）()F x x π= 是函数的可去间断点()F x （C ）在()F x x π=处连续但不可导 （D ）在()F x x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα−+⎧<<⎪−⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞∫收敛，则（ ）（A ）2α<− （B ）2α> （C ）20α−<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ） （B ）2(yf xy ′))2(yf xy ′− （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x− （6）设是圆域k D {}22(,)|1D x y x y =+≤在第象限的部分，记，则（ ）k ()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =−=∫∫（A ） （B ） （C ） （D ） 10I >20I >30I >40I >（7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵与相似的充分必要条件为1111a a b a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2000b 0000⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟（A ）a 0 ,b 2==（B ） 为任意常数b a ,0=（C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+−= ． (10) 设函数()xf x −=∫，则()y f x =的反函数1()x f y −=在处的导数0y =0y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos 3()66r ππθθ=−≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于的点处的法线方程为 1t =．(13)已知321x x y e xe =−，22x x y e xe =−，23x y xe =−是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y =′=的解为y = ．（14）设是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，为的代数余子式，若ij A (a )=ij A ij a ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，1c 0x →os cos 2cos3x x x −⋅⋅与为等价无穷小，求与的值。

2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。

故()F x 在x π=处连续但不可导。

4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。

7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。

⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。

故32xxx y e exe =−+−。

14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。

2013考研数学二真题2013年考研数学二真题是考研数学考试中的一道经典题目。

这道题目涉及到了概率统计和线性代数等多个数学领域的知识，考察了考生对于这些知识的理解和应用能力。

本文将对这道题目进行详细解析，并介绍一些解题的思路和方法。

首先，让我们来看一下这道题目的具体内容。

题目要求我们求解一个二次型的最大值，并给出最大值对应的向量。

对于这类题目，我们首先需要确定二次型的标准形式，即将二次型化为对角矩阵的形式。

在这道题目中，我们可以通过合同变换将二次型化为对角矩阵的形式。

具体的步骤如下：首先，我们需要求解二次型的矩阵表示。

根据题目给出的信息，我们可以得到二次型的矩阵表示为：A = 1/2 * [1 2; 2 4]接下来，我们需要求解矩阵A的特征值和特征向量。

通过计算矩阵A的特征多项式，我们可以得到矩阵A的特征值为λ1 = 0和λ2 = 5/2。

然后，我们可以通过求解矩阵A与特征值λ1和λ2对应的特征向量方程，得到特征向量v1 = [1 -1]和v2 = [2 1]。

接下来，我们需要进行合同变换，将二次型化为对角矩阵的形式。

合同变换的步骤如下：首先，我们需要求解合同变换矩阵P。

根据特征向量的定义，我们可以得到矩阵P的列向量为特征向量v1和v2。

即P = [1 -1; 2 1]。

然后，我们可以通过合同变换的公式，将二次型进行合同变换。

合同变换的公式为：Q = P^T * A * P。

将矩阵A和矩阵P代入公式中，我们可以得到合同变换后的对角矩阵Q为：Q = [0 0; 0 5/2]最后，我们可以得到二次型的最大值为Q的最大特征值，即最大特征值为5/2。

同时，最大特征值对应的特征向量即为二次型的最大值对应的向量，即v2 = [2 1]。

通过以上的步骤，我们成功地求解了这道题目。

这道题目考察了考生对于二次型的理解和应用能力，同时也考察了考生对于概率统计和线性代数等数学知识的掌握程度。

解题的关键在于熟练掌握合同变换的方法和特征值特征向量的求解方法。