集合与集合的表示及运算

一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3． 补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。

集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。

在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。

本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。

一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。

假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。

相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。

集合可以有有限个或者无限个元素。

如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。

如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。

二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。

例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。

2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。

例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。

三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。

2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。

3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。

4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。

例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。

5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。

集合的概念与基本运算集合是数学中最基础的概念之一，它是由一组互不相同的元素构成的。

集合的元素可以是任意类型的对象，例如数字、字母、图形、人、事物等。

集合的概念和应用广泛，不仅仅在数学领域，还在计算机科学、语言学、物理学等其他领域中具有重要的作用。

一、集合的表示和分类集合的表示方法有两种，一种是枚举法，即列举所有的元素，例如A={1,2,3,4,5}, B={a,b,c,d,e}。

另一种是描述法，即通过描述元素的性质来定义集合，例如C={x | x 是大于0小于10的整数}表示C是由大于0小于10的整数组成的集合，其中 | 符号表示“满足……的元素属于”。

根据元素个数的不同，集合可以分为有限集和无限集。

有限集就是元素个数有限的集合，例如菜单上的菜品，一次考试的得分等；无限集则是元素个数无限的集合，例如自然数集合、实数集合等。

二、集合的基本运算1.并集。

并集是指将两个或多个集合中的元素合并到一起构成的新集合。

例如，苹果和梨分别构成了集合A和集合B，它们的并集记作A∪B={苹果，梨}。

2.交集。

交集是指将两个或多个集合中的共同元素选出来构成的新集合。

例如，集合A={1，2，3，4}和集合B={4，5，6}的交集为{4}，记作A∩B。

3.差集。

差集是指一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。

例如，集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5，6}，那么A-B={1，2}，B-A={5，6}。

4.补集。

补集是指每个集合中不属于另一个集合的元素构成的集合。

例如，集合A={1，2，3，4}，它的补集记作A'，则A'={x | x 不属于A}={5，6，7，8……}。

5.子集。

子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，称作子集，即A是B的子集，表示为A⊆B。

例如，集合A={1，2}是集合B={1，2，3，4}的子集。

6.真子集。

真子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合中，但是它不等于另一个集合本身，称作真子集，即A是B的真子集，表示为A⊂B。

集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。

理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。

本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。

例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。

2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。

例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。

3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。

用符号表示为A ⊆ B。

例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。

4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。

用符号表示为A = B。

二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。

用符号表示为A ∪ B。

例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。

2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。

用符号表示为A ∩ B。

例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。

3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。

用符号表示为A'。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。

4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。

用符号表示为A - B。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。

5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。

集合的基本关系及运算要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集.记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作：UU A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅， 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}； (2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【变式1】已知{},a b A⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅ 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．A. ∅B. RC. {-1，9}D. {y|-1≤y ≤9} （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( )． A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值.【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.课后练习一、选择题1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A = 5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. 三、解答题12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.巩固训练一、选择题1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、BA B 、AB C 、A=B D 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤ C 、{}|13x x -≤≤ D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题 7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = . 10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .三、解答题13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。

小学数学重点认识集合和集合的运算集合是我们在数学中常常遇到的一个概念。

它代表了一组具有共同特征的对象的整体。

在小学数学中，重点认识集合的概念以及它的基本运算。

一、认识集合集合是指由若干特定对象组成的一个整体。

其中的对象可以是数字、字母、图形、动物等等。

常用大括号{}表示一个集合，并用逗号将其中的元素分隔开来。

例如，我们可以有一个集合A，其中包含了小学一年级学生的名字：A = {小明, 小红, 小华, 小杰, 小强}注意，集合是没有顺序的，我们并不关心其中元素的排列顺序。

二、集合的表示方法除了用大括号{}表示一个集合外，还有几种其他常用的集合表示方法：1. 列举法：即直接将集合中的元素列举出来。

比如在上面的例子中，我们用列举法表示了集合A。

2. 描述法：通过一定条件来描述集合的元素。

例如，我们可以用描述法表示全体正整数的集合：N = {x | x是正整数}3. 图形法：将集合中的元素用图形表示出来。

比如用一个圆圈表示集合，圆圈内的元素即为集合中的元素。

三、集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。

1. 交集：交集是指同时属于两个集合的元素组成的新集合。

用符号∩表示交集运算。

例如，我们有集合A = {1, 2, 3}和集合B = {2, 3, 4}，它们的交集为A∩B = {2, 3}。

2. 并集：并集是指属于任何一个集合的元素组成的新集合。

用符号∪表示并集运算。

例如，对于集合A和B，它们的并集为A∪B = {1, 2, 3, 4}。

3. 补集：补集是指在一个全集中，不属于某个给定集合的元素组成的集合。

一般将全集用U表示。

例如，对于集合A = {1, 2, 3}，它的补集为A' = U - A = {4, 5, 6, ...}。

四、集合的运算规律在进行集合的运算时，有一些基本的规律需要注意：1. 交换律：交集和并集都满足交换律，即A∩B = B∩A，A∪B = B∪A。

2. 结合律：交集和并集都满足结合律，即(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。

集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念，它描述了一组对象构成的整体。

在集合论中，集合是由元素组成的，而元素可以是任何事物，可以是数值、符号、人、动物等。

本文将介绍集合的基本概念以及常见的运算。

一、集合的基本概念集合可以用大括号{}来表示，元素在大括号内用逗号分隔。

例如，集合A可以表示为A={1,2,3}，其中的元素为1,2和3。

一个集合中的元素是无序的，表示一个集合的方式只是列出其中的元素，并不考虑元素的先后顺序。

在集合中，元素的个数称为集合的基数。

例如，集合A={1,2,3}的基数为3。

当一个集合中的元素个数为有限个时，该集合称为有限集；当一个集合中的元素个数为无限个时，该集合称为无限集。

二、集合的关系1. 相等关系当两个集合的所有元素完全相同时，它们是相等的。

例如，考虑集合A={1,2,3}和B={2,3,1}，虽然它们的元素顺序不同，但它们包含的元素是相同的，因此A和B是相等的。

2. 包含关系当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，该集合被称为另一个集合的子集。

例如，考虑集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，所有A 中的元素也都属于B，因此A是B的子集。

3. 空集一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。

三、集合的运算1. 并集运算给定两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，包含了A和B中所有的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集运算给定两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集运算给定两个集合A和B，它们的差集表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集运算给定一个集合U作为全集，集合A的补集表示为A'，包含了属于全集U但不属于A的元素。

集合的全部知识点总结在数学中，集合是一种把具有相同特征的对象聚集在一起的概念。

学习集合理论可以帮助我们更好地理解数学，并在解决问题和证明定理时提供基础。

下面将对集合的基本概念、运算、特殊集合和应用进行总结。

一、基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素。

2. 元素的归属关系：如果某个元素a属于集合A，可以表示为a∈A；如果元素a不属于集合A，可以表示为a∉A。

3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。

二、运算1. 交集：集合A和集合B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，用符号表示为A∩B。

2. 并集：集合A和集合B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，用符号表示为A∪B。

3. 差集：集合A相对于集合B的差集是包含属于A但不属于B的元素的集合，用符号表示为A-B。

4. 互斥集：如果两个集合的交集为空集，则它们被称为互斥集。

5. 补集：相对于全集U，集合A中不属于U的元素组成的集合称为集合A的补集，用符号表示为A'。

三、特殊集合1. 单元素集：只包含一个元素的集合称为单元素集。

2. 空集和全集：空集和全集在集合论中具有特殊的地位，空集是任意集合的子集，全集是任意集合的超集。

3. 自身元素：集合A中的元素也可以是集合A本身，这种集合称为自身元素。

四、应用1. 表示和描述：集合可用于表示和描述各种情况，如自然数集、整数集、有理数集和实数集等。

2. 集合关系：集合的交集、并集和差集等运算可以用于分析和研究集合间的关系。

3. 映射和函数：集合论为映射和函数提供了理论基础，映射是从一个集合到另一个集合的对应关系。

4. 概率和统计：概率和统计学中的事件和样本空间等概念可以用集合表示和运算。

总结：集合论是数学中重要的分支之一，可以帮助我们更好地理解数学概念和解决实际问题。