四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学含答案

2020-2021成都市高一数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<4．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z6．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 7．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）8．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）9．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a10．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．211．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.14．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______.15．已知()21f x x -=，则()f x = ____.16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 17．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.18．函数2()log 1f x x =-________．19．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩ 00x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 24．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 25．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>． 26．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．C解析：C 【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.6．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．7．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．8．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.9．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．11．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.14．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xx f x e e=-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.15．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力 解析：()21?x + 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】 令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -=可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力. 16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7 解析：7【解析】【分析】【详解】设，则，因为112 22⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x，所以，,故答案为7.17．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx与函数y=m的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3 解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：318．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.19．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。

蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（学生版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,22.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B．()f x =C ．22()log xf x = D ．2log ()2xf x =3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 26.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.1212.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 14.不等式236212()2xxx --≥的解集为________． 15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-. （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域； （2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数． （1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈) 21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围. 22.已知函数()42+=x xbf x 为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（解析版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,2【答案】 A. 【解析】∵{}{}Z 111,0,1=∈-≤≤=-B x x ，则{}1,0,1=-AB ，故选A.2.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B ．()f x =C ．22()log xf x =D ．2log ()2xf x =【答案】 C ． 【解析】由题意得，()f x x =的定义域为R ，A ：2()x f x x=的定义域为()()-00∞+∞，，，与()f x x =的定义域不一样，排除A ．B ：()f x =R ，但是()f x x =，排除B ，D ：2log ()2xf x =的定义域为()0+∞，，排除D ，所以正确答案选C . 3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+【答案】 A ． 【解析】2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，A 正确；2()f x x=在(0,)+∞上为减函数，B 错误； ()lg(2)f x x =-为在(2,)+∞上为增函数，C 错误；()24f x x =-+在(0,)+∞上为减函数，D 错误；故选A ．4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D. 【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =， 此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C. 【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.6.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[【答案】 D 【解析】由题意得⎩⎨⎧>-≥-04132x x ，解得42<≤x ；选D.7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-【答案】 A 【解析】因为方程有两个不等实根，所以0814)2(2>⨯⨯-=∆a ，解得22>a 或22-<a ；又221>>x x ， 所以212x x a +=，所以22>a ，且2232)2(222>--=a a x ，解得3<a ，所以322<<x ，选A. 8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B ． 【解析】根据题意，对于任意的1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->- 成立则函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤在R 上是增函数∴1201(2)1462a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯+-≤+⎩，解得52,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由0452>-+-x x 得函数)(x f 的定义域为)4,1(，根据复合函数的单调性得⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2541x x ，解得251≤<x ，∵函数)(x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，∴]1,[+m m ⊆51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎩⎪⎨⎧≤+>2511m m ，解得231≤<m ；选C. 10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A 【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.12【答案】C. 【解析】由题可知：函数()f x 为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题.若1x ≤时，2()(1)f x x =+，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有42(1)(1)0x a x +-+=. 当1x =-时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，当1x ≠-时，2()(1)0f x x =+>，∴方程两边可同时除以2(1)x +，则方程变为2(1)0x a +-=，又知03a <<，则该方程有两根，∴方程展开有2210x x a ++-=，由韦达定理得122x x +=-；若1x >时，()|4|f x x =-，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有2|4||4|0x a x ---=. 当4x =时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根， 又|4|0x ->，方程两边可同时除以|4|x -，则方程变为|4|0x a --=，当4x >时，方程为40x a --=，∴=4x a +，∴这是方程其中一个根， 当14x <<时，方程为40x a --=，∴=4x a -，∴这是方程其中一个根，综上所述：方程的实根有，1-，1x ，2x ，4，4a +，4a -，则所有实根之和为9，故选C. 12.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】 B ． 【解析】()()()213031011221x x x x x x x --⇒⇒--≠--≤≤≤且，故(]1,3M = ∵MN N ⊆，∴M N ⊆，由题意可得：210ax x -+>在(]1,3x ∈上恒成立即21x a x ->在(]1,3x ∈上恒成立，故只需2max1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ 22211111124x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当112x =即2x =时，2max 114x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故14a >，故选B ． 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 【答案】1-． 【解析】由题意可知：1a =或21a =，故1a =±.当1a =时，21a a ==不满足元素的互异性，故舍去；当1a =-时，{}{}2,1,1a a =-符合题意.14.不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【答案】(][),23,-∞+∞．【解析】不等式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 【答案】()()3,03,-+∞.【解析】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==， ∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<， ∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<， 综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-+∞.16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可得：对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()()()123f x f x f x +>恒成立，只需()()min max 2f x f x > ()2112121x x xm m f x +-==+++， ①当1m =时，()1f x =，满足题意；②当1m >时，()f x 在R 上单调递减，()1f x m <<，故需21m ⨯≥，即12m <≤；③当1m <时，()f x 在R 上单调递增，()1m f x <<，故只需21m ≥，即112m <≤，综上所述，m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2 （2）139【解析】（1）原式232lg 27lg 23lg3lg 2lg5lg 232(lg5lg 2)323323lg 2lg3lg 2lg3=+-⨯+=+-⨯+=-+=（2）原式222213333227185011251812527--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-=+÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22241351213599⎛⎫=+⨯=+-= ⎪⎝⎭4219=+-139=18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,4；（2）[)1,13,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．【解析】(1)由题得：()()254014014x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，即[]1,4A =； 同理：131282222x x -≤<⇔≤<，由函数2x y =在定义域内单调递增，可得[)1,3x ∈-． 即[)1,3B =-．从而有()[]3,4RAB =．(2)分类讨论集合C 是否为空集． ①当C =∅时，则233m m m ≥+⇒≥；②当C ≠∅时，由()C AB ⊆可得：231341221m m m m m <+⎧⎪⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪≥-⎪⎩．综上所述：m 得取值范围为：[)1,13,2m ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-.（1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.【答案】（1）[]0,25（2）273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩. 【解析】（1）当2a =时，2()21f x x x =++，对称轴：1x =-，∴()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,4-上单调递增.∴min ()(1)0f x f =-=，max ()(4)25f x f ==，故函数的值域为[]0,25.（2）∵2()3f x x ax a =++-的对称轴：2a x =-， ①若22a -≤-时，即4a ≥，()f x 在[]2,4-上单调增，∴min ()(2)73f x f a =-=-； ②若42a -≥时，即8a ≤-，()f x 在[]2,4-上单调减，∴min ()(4)193f x f a ==+； ③若242a -<-<-时，即84a -<<，()f x 在2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调减，在,42a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增， ∴2min ()()322a a f x f a =-=--+； ∴综上所述：273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩．20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈)【答案】 （1） 1.5-.（2）3.【解析】（1）由题意得04y =，1 3.94y =，所以当1n =时， 1.51001()5b y y y y +=--⨯，即 1.53.944(4 3.94)5b +=--⨯，解得 1.5b =-.（2）由（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 1.5 1.540.065n n y -=-⨯； 所以 1.5 1.540.065.208n n y -=≤-⨯， 整理得， 1.5 1.5 1.9250.06n -，即 1.5 1.5532n -， 两边同时取常用对数，得5lg32lg 25lg 21.5 1.5lg5lg51lg 2n -==-， 将lg20.3=代入，得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-， 又因为*n N ∈，所以 2.43n ，所以3n =.综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）减函数；（2）()1,3-.【解析】（1）判断：减函数，证明：任取1x ，2x ，假设12x x <，∴()()212144=222121x x f x f x ---+++()()()12124222121x x x x -=++， ∵12x x <，()()1221210x x ++>，()124220x x -<，∴()()210f x f x -<，∴函数()f x 在定义域上单调递减.（2）函数的定义域为R ，∵22224()22=()212121x x x x f x f x ---⨯⎛⎫-=-==--- ⎪+++⎝⎭， ∴()f x 是奇函数，∵(())(1)0f f x f t +-<，∴()(())1f f x f t <-，又∵()f x 在定义域上单调递减，∴()1f x t >-，所以，存在1()t f x >-，等价于()min 1()t f x >-，又∵()()2,2f x ∈-，()1()1,3f x -∈-∴ 1.t >-22.已知函数()42+=x x b f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1=-b ；（2）32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,；（3）不存在m 满足条件，理由见解析. 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. （3）不存在，理由如下，设22-=-x x t ，38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，()()2log 2=-+m h t t mt , ∴220-+>t mt 在38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 上恒成立， ∴min 2⎛⎫<+ ⎪⎝⎭m t t ，则176<m ，∵1≠m ，则()170,11,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 对于二次函数()22=-+d t t mt ，开口向上，对称轴为2=m t ，∴11170,,22212⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ∴对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，则二次函数()22=-+d t t mt 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则()min 3317224⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，()max 8882329⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ， 假设存在满足条件的实数m ，则当()0,1∈m 时，由复合函数的单调性判断方法，可知()()2log 2=-+m h t t mt 为减函数， ∴()max 0=h t ，则()()2min min 21=-+=d t t mt ，∴33171224⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭d m ， ∴()160,13=∉m （舍）， 同理可知，当171,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 时，73171,246⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭m （舍）， 综上所述，不存在实数m 满足条件成立.。

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}，则M∩N∗=()A. (−1,1]B. {1}C. (0,2)D. {0,1}2.函数的定义域为，若对任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则()A. B. C. D.3.函数的单调递减区间为()A. (−∞,−3)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−3,−1)4.已知a=log20.3，b=0.31.3，c=21.3，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c5.已知函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx，对任意x1∈(−∞,23]，都存在x2∈(0,+∞)，使得f(x1)−g(x2)=14，则x1−x2的最大值为()A. −2548B. −2348C. −13−ln2 D. −12−ln36.函数的定义域为()A. [π4,+∞) B. [π4,5π4]C. D.7.若关于x不等式kx2−kx+1>0的解集为R，则实数k的取值范围是()A. (0,4)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. [0,4)8.定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有( )A. B. C.D.9.函数f(x)=log 12(−x 2−2x +3)的单调减区间为( ) A. (−∞,−1] B. (−3,−1] C. [−1,1) D. [−1,+∞)10. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f(x +2)=f(x)，且当x ∈[0,2]时，f(x)=e x −1，则f(2 013)+f(−2 014)=( )．A. 1−eB. e −1C. −1−eD. e +111. 已知函数f (x )=则函数f (x )的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f′(x)<12，则f(x)<x2+12的解集为( )A. {x|−1<x <1}B. {x|x >−1}C. {x|x <−1或x >1}D. {x|x >1}二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 下列关系式中，正确的关系式有______个①√2∈Q ②0∉N ③2∈{1,2} ④⌀={0} ⑤{a}⊆{a}．14. 光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，则通过3块玻璃板后的强度变为______ ． 15. 已知f(x)=(x+1)2x 2+1+sinx ，若f(m)=2，则f(−m)的值是______ ．16. 函数f(x)=|x −2|−lnx 的零点个数为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简下列式子：(1)sin(α−5π2)⋅cos(3π2−α)⋅tan(π+α)⋅cos(π2−α)sin(2π−α)⋅tan(α−π)⋅sin(−α−π)(2)2lg3+log 0.114cos0+12lg0.36(3)已知tana=23，求1sinαcosα．18.已知全集U=R，集合A={x|−1<x<1}，B={x|1≤4x≤8}，C={x|−4<x≤2a−7}．(1)A∩(∁U B)；(2)若A∩C=A，求实数a的取值范围．19.已知关于x的二次函数f(x)=ax2−4bx+1，(1)设集合P={−1,1，2，3，4，5}和Q={−2,−1,1，2，3，4}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率；(2)若a是从区间[1,3]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率．20.飞机每飞行1小时的费用由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分P(元)与飞机飞行速度v(千米∕小时)的函数关系式是P=0.01v2，已知甲乙两地的距离为a(千米)．(1)试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用y(元)关于速度v(千米∕小时)的函数关系式；(2)当飞机飞行速度为多少时，所需费用最少？21.已知函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，且f(2)=1，当−4<x≤0时，有f(x)=ax+bx+4．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的表达式，并利用定义判断其在该区间上的单调性．22.(本小题满分8分)已知函数(1)若函数的图象经过点，求的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)比较与的大小，并写出必要的理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}={x|4−x2>0}={x|−2<x<2}，M∩N∗={1}．故选：B．化简集合M，根据交集的定义写出M∩N∗．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：D解析：试题分析：由，得，，由得，，，，故，选D．考点：抽象函数．3.答案：A解析：本题考查求复合函数单调区间，解答时需注意定义域，属于中档题．解：由x2+2x−3>0，得x<−3或x>1，的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞)．可看作由和u=x2+2x−3复合而成的，u=x2+2x−3=(x+1)2−4在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，又在定义域内单调递增，在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，所以的单调递减区间是(−∞,−3)，故选A．4.答案：A解析：解：∵log20.3<log21=0，0<0.31.3<0.30=1，21.3>2，∴a<b<c．故选：A．由log 20.3<0,0<0．31.3<1,21.3>2，即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx ，对任意x 1∈(−∞,23]，都存在x 2∈(0,+∞)，使得f(x 1)−g(x 2)=14， 可得1−√2−3x 1−2lnx 2=14，即34−√2−3x 1=2lnx 2， 可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)， 即有x 1=2−(t−34)23，x 2=e t2，x 1−x 2=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t2，t ≤34，ℎ′(t)=−23t +12−12e t 2，t ≤34， ℎ″(t)=−23−14e t2<0，t ≤34， ℎ′(t)递减，可得ℎ′(t)≥ℎ′(34)， ℎ′(34)<0，ℎ′(0)=0，即t =0为极值点，且为最值点， 当0<t <34时，ℎ(t)递减； 当t <0时，ℎ(t)递增， 可得t =0为最大值点， 求得ℎ(0)=−2548． 故选：A ．由题意即34−√2−3x 1=2lnx 2，可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)，解得x 1，x 2，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，求得导数和单调性、可得极值和最值，即可得到所求最大值．本题考查函数的最值的求法，注意转化思想和构造函数法，考查导数的运用：求单调性和极值，属于难题．6.答案：C解析：解：由题意得：sin(x−π4)≥0，解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，，故选C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，属于基础题．7.答案：D解析：解：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，令y=kx2−kx+1，∵y>0恒成立，>∴抛物线y=kx2−kx−1开口向上，且与x轴没公共点，∴k>0，且△=k2−4k<0，解得0<k<4；综上所述，k的取值范围为[0,4)．故选：D．先分类讨论：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，利用二次函数的性质求解，令y=kx2−kx+1，要y>0恒成立，则开口向上，抛物线与x轴没公共点，即k>0，且△<0，解不等式即可得到k的取值范围；最后取两者之并即可．本题考查了函数恒成立问题，着重考查二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想的运用和转化思想，易错点在于忽略当k=0的情形，属于中档题．8.答案：B解析：，，当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；故答案选．考点：1.抽象函数及其应用；2.推理证明．9.答案：B解析：解：由−x2−2x+3>0，解得−3<x<1，(−x2−2x+3)的定义域为(−3,1)，∴函数f(x)=log12t为单调递减函数，令t=−x2−2x+3，则g(t)=log12由复合函数的单调性可知，f(x)的单调递减区间为t=−x2−2x+3在(−3,1)上的单调增区间．t=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，对称轴为x=−1，开口向下，∴t=−x2−2x+3的单调增区间为(−3,−1]．故选：B．(−x2−2x+3)的单调减区间为t=−x2−2x+3在定义域根据复合函数的单调性可知，f(x)=log12上的单调增区间，再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.答案：B解析：由f(x+2)=f(x)可知函数的周期是2，所以f(2013)=f(1)=e−1，f(−2014)=−f(2014)=−f(0)=0，所以f(2013)+f(−2014)=e−1．11.答案：C解析：解决的关键是对于分段函数的各段的零点分别讨论求解得到结论，属于基础题。

蓉城名校联盟2021~202学年度上期高中2021级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}260A x x x =∈+-≤R ，{}21B x x =∈-≤<Z ，则A B = （）A ．[)2,1-B ．[]3,2-C ．{}2,1,0--D ．{}2,1,0,1--2．下列函数表示同一函数的是（）A ．1y x =+与21xy x=+B ．3y x =与()31y x =-C ．y x =与2y =D ．0y x =与01y x =3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若()2,P y 是角θ终边上的一点，且sin 5θ=，则y 的值为（）A ．±1B ．1-C ．2±D ．2-4．设函数()1221,1,1log , 1.2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()0f f 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知某扇形的圆心角为3π，面积为6π，则该扇形的弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．函数()223x f x x =-+的零点所在的区间可以是（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．已知函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间是（）A ．()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．(),36k k k ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()511,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 8．函数[]5sin ,2,2x x xy x e eππ-=∈-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e 为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍（精确度为0.01）.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.2610．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递增，则（）A ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦B ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦C ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>-> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦D ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>>- ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11．已知函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()()1216f x f x =，则12x x +的最小值为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．5π312．若ln ln ln ln 2525a b b a --+≥+，则（）A ．a b ≤B ．a b ≥C ．1≥ab D ．1ab ≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2α=，则22tan cos sin ααα⋅-=______.14．已知幂函数()()1af x k x =-⋅的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则k a +=______.15．定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x ，2x ∈R ，都有()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，且对于任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，则不等式()29f x x -<的解集为______.16．已知函数()21log 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()23sin 2g x m m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则实数m 的取值范围为______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算求值：(1)()1303202138⎛⎫+ ⎪⎝⎭．(2)4log 9231lg 22log 27log 4lg5++⋅-．18．已知()()()log 3log 3a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．(1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)解不等式：()0f x ≥．19．集合{}2230A x x x =+-<，611B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}23,C x a x a a =≤≤+∈R ．(1)求()A B R ð；(2)请从①B C C = ，②B C =∅ ，③C B 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．20．已知()()()()23sin cos tan 22sin tan 3f ππααπααπααπ⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⋅-+．(1)化简()f α；(2)若()14f α=，且04πα<<，求sin cos αα-的值；(3)若1860α=-︒，求()f α的值．21．已知二次函数()f x 同时满足以下条件：①()()22f x f x +=-，②()01f =，③()23f =-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()()4h x f x m x =++，[]1,2x ∈-，求：①()h x 的最小值()m ϕ；②讨论关于m 的方程()m k ϕ=的解的个数．22．已知函数()2x f x =，()245h x x x m =-+，()x ϕ与()f x 互为反函数．(1)求()x ϕ的解析式；(2)若函数()()y h x ϕ=在区间()32,2m m -+内有最小值，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，关于方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围．1．C 【分析】先求出集合,A B ，再求出A B 即可.【详解】由集合{}{}2|6023A x x x x x =--≤=-≤≤，集合{}{}212,1,0B x x =∈-≤<=--Z ，得{}2,1,0A B =-- .故选：C.2．D 【分析】对于A 选项，两个函数定义域不同，故两个函数不是同一函数；对于B 选项，两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，两个函数定义域不同，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则也相同，故两个函数是同一函数；【详解】对于A 选项，1y x =+定义域为R ，21xy x=+定义域为{}|0x x ≠，故两个函数不是同一函数；对于B 选项3y x =与()31y x =-两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y x =的定义域为R ，函数2y =定义域为[)0,∞+，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则相同，故两个函数是同一函数；故选：D.3．B 【分析】根据三角函数的定义得到sin 1y θ==⇒=-.【详解】根据三角函数的定义得到，0y <，sin 1y θ===-，故选：B.4．A 【分析】根据函数解析式得到()130212f -=+=，()()302f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入解析式求解即可.【详解】()130212f -=+=，()()23310log 1222f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：A.5．B 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，根据已知的扇形的圆心角3πα=，面积6S π=，由扇形的面积公式212S r α=,得216π23r π=⨯⨯，解得6r =，由弧长公式623l r παπ==⨯=，故选：B 6．A 【分析】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.分析可得在区间(],0-∞上函数()f x 单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间，在(0,2]上，函数()()()12f x f x f x =-的单调性不确定，分别考察()1f x 和()2f x 的取值范围，可知()11f x >和()21f x ≤，从而可知()0f x >恒成立，即得在区间(0,2]上没有零点.【详解】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.在区间(],0-∞上，()1f x 单调递增，()2f x 单调递减，则()f x 单调递增，由于()222430f --=-+<,()112130f --=-+>,∴有唯一零点且零点在区间()2,1--内；在区间(0,2]上，()01221x f x =>=,()222 3231f x x =-≤-=,故在区间(]0,2函数()1f x 与()2f x 的图象没有交点，从而函数()f x 没有零点，综上可知，A 正确，BCD 错误，故选：A.【点睛】此题关键点在于分区间研究函数的单调性，在区间(0,2]上函数单调性不易确定或者不单调时，分解为零个具有单调性的函数的差，利用其取值范围判定没有零点.7．A 【分析】由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，求出x 的取值范围，可得答案.【详解】解：由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，解得：263k x k ππππ+≤≤+，故函数的单调递减区间是2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：A.8．A 【分析】根据奇偶性判断CD ，取特殊值判断AB.【详解】令[]5sin (),2,2x x x f x x e e ππ-=∈-+，5sin ()()x xxf x f x e e---==-+，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故CD 错误；3333222235sin 35202f ee e e ππππππ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，故B 错误；故选：A 9．C 【分析】根据给定信息，求出500e k ，再列式求解作答.【详解】依题意，500700760e k -=，即500760e700k=，则歼20战机所受的大气压强100020760e kP -=，歼16D 战机所受的大气压强150016760ekP -=，100050020150016760e 760e 1.09760e 700k kk P P --===≈，所以歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的1.09倍.故选：C 10．A 【分析】利用幂指对函数的单调性可以判定2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而结合函数的单调性和偶函数的性质可以得到答案.【详解】由对数函数的性质得22log 3log 21>=，由幂函数25y x =在(0,+∞)上单调递增，和指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在实数集R 上单调递减，且32055>>可知：2235553322105555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又∵()f x 在()0,∞+单调递增，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴()()22log 3log 3f f -=，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选：A.11．B 【分析】根据()f x 的最大值和最小值，判断()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值，由此求得12x x +的最小值.【详解】解：函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为4-，结合()()1216f x f x =可知()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值.令π2π62x k π-=+,解得2π2π,Z 3x k k =+∈，取1k =-和0k =得到()f x 在y 轴左右两侧邻近的最大值点的横坐标分别为42,33ππ-,令π2kπ62x π-=-,解得2,Z 3x k k ππ=-∈，取0k =和1k =在y 轴左右两侧的邻近的最小值点的横坐标为5,33ππ-,要使12x x +取得最小值，则需12,x x 都是一正一负的最大值或都是一正一负的最小值对应的横坐标，∵4π2π2π333-+=π5π4333π<-+=,故12x x +的最小值为2π3.故选B.12．B 【分析】构造函数()25x xf x -=-，利用其单调性比较()()ln ,ln f a f b 的大小，即可得出答案.【详解】ln ln ln ln ln ln ln ln 25252525a b b a a a b b ----+≥+⇒-≥-，设()25x xf x -=-，则原式等价于()()ln ln f a f b ≥，而()25x x f x -=-显然是单调递增的函数，则ln ln 0a b a b ≥⇒≥>．故选：B13．25-##0.4-【分析】根据商数关系可化为2222tan tan tan cos sin tan 1αααααα-⋅-=+求解.【详解】因为tan 2α=，所以22222222tan cos sin tan tan 242tan cos sin sin cos tan 1415ααααααααααα⋅---⋅-====-+++.故答案为：25-.14．1【分析】根据幂函数的定义，求得k 的值，将已知点的坐标代入函数解析式，解方程求得a 的值，进而得解.【详解】∵()()1af x k x =-⋅为幂函数，∴11k -=，∴2k =；∵其图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴122a=，∴1a =-，∴211k a +=-=，故答案为：115．()1,2-##{}12x x -<<【分析】由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦分析得到函数的单调性，由()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，得到()29f =，原不等式转化为()2(2)f x x f -<，进而结合单调性转化求解.【详解】不妨设1x <2x ∈R ，由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，得()()12f x f x <恒成立，可知函数()f x 在在R 上单调递增，()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，可知()()()2119f f f ==,∴不等式()29f x x -<即为()2(2)f x x f -<，等价于22x x -<，解得12x -<<，∴所求不等式的解集为()1,2-，故答案为：()1,2-.16．(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣【分析】分别求出函数的值域()[]4,4f x ∈-，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，列式求解即可.【详解】当1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()221log log 1121x f x x x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭-211,16116x ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，()[]4,4f x ∈-，当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，∴2243,3 4.2m m m m ⎧≤+⎪⎨-≤-⎪⎩∴3m ≥4m ≤-．故答案为：(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣.17．(1)132π-(2)10【分析】根据指数幂的运算公式，对数运算公式依次进行运算即可.(1)原式3131422ππ=+-+=-(2)原式3223lg 2lg 53log 3log 213610=+++⋅=++=．18．(1)奇函数，证明见解析(2)当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数()f x 的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数；（2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式.(1)()f x 为奇函数．证明如下：要使函数有意义，则有303330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，∴()f x 的定义域为()3,3-，（注：不求定义域扣2分）∵()()()()log 3log 3a a f x x x f x -=-+-+=-，∴()f x 为奇函数．(2)()0f x ≥，即()()log 3log 3a a x x +≥-，当01a <<时，033x x <+≤-，即30x -<≤，当1a >时，330x x +≥->，即03x ≤<，综上：当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3．19．(1)(){}15R A B x x ⋂=≤<ð(2)()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别解二次不等式和分式不等式，求得集合,A B ,进而求得；（2）根据选取的不同的条件，利用集合交集的运算性质或者集合的真子集的意义，得到关于a 的不等式（组）求解即得.(1)()()2230130x x x x +-<⇔-+<，解得：()3,1x ∈-，∴{}31A x x =-<<651011x x x ->⇒>++，解得：()1,5x ∈-，∴{}15B x x =-<<，∴(){}15R A B x x ⋂=≤<ð．(2)选①：∵B C C = ，∴C B⊆当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．选②：当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，31a +≤-或25a ≥，解得4a ≤-或52a ≥．所以：4a ≤-或532a ≤≤，综上：(]5,4,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．选③：由题知：C B ，当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．20．(1)()sin cos f ααα=(2)sin cos αα-=-(3)()f α=【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）由（1）可得1sin cos 4αα⋅=，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解；（3）由（1）利用诱导公式化简即可求解.(1)由题意得，()()()2cos sin tan sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==--．(2)由()1sin cos 4f ααα==可知，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 2αααααααα-=-+=-=，又∵04πα<<，∴cos sin αα>，则sin cos 2αα-=-．(3)∵1860536060α=-︒=-⨯︒-︒，∴()sin cos 333f f πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．(1)()241f x x x =-+(2)①()252,4,1,42,42, 2.m m m m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩；②答案见解析【分析】（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，然后设()()22f x a x b =-+，利用另外两个条件列出方程组求解即得；（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；②根据①中求得的函数()m ϕ的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数()y m ϕ=的解析式，画出函数()y m ϕ=的图象，利用数形结合方法讨论方程()m k ϕ=的实数根的个数.(1)（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，设()()22f x a x b =-+，∴()()04123f a b f b ⎧=+=⎪⎨==-⎪⎩，得13a b =⎧⎨=-⎩，∴()()222341f x x x x =--=-+．(2)（2）①()()()241h x f x m x x mx =++=++，[]1,2x ∈-，对称轴2m x =-，ⅰ当12m -≤-即2m ≥时，()h x 在[]1,2-单调递增，()()min 12h x h m =-=-，ⅱ122m -<-<即42m -<<时，()h x 在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()2min124m m h x h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，ⅲ当22m -≥即4m ≤-时，()h x 在[]1,2-单调递减，()()min 252h x h m ==+，综上：()()2min 52,4,1,42,42, 2.m m m h x m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪==--<<⎨⎪-≥⎪⎩②画出函数()y m ϕ=的图象图下图所示：利用图象的翻转变换得到函数()y m ϕ=的图象如图所示：方程()m k ϕ=的根的个数为函数()y m ϕ=的图象与直线y k =的交点个数，由图象可知：当0k <时，方程()m k ϕ=无解；当01k <<时，方程()m k ϕ=有4个解；当0k =或1k >时，方程()m k ϕ=有2个解；当1k =时，方程()m k ϕ=有3个解.22．(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于m 的不等式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到()y g x =的图象，将方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，转化为则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范围．（1）指数函数()2x f x =的反函数为同底数的对数函数，∴()()2log 0x x x ϕ=>.（2）函数()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+在区间()32,2m m -+内有最小值，∴()245h x x x m =-+在()32,2m m -+内先减后增，且()min 0h x >，∴4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩，∴44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（3）∵0x >，∴()4440,411x x x =-∈++，∴()2g x <，∵g (x )2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在0x >时单调递增，且g 13⎛⎫ ⎪⎝⎭=0,∴()y g x =的图象如下：因为()()230g x a g x a +++=有三个不同的实数解，设()g x t =，由()y g x =的图象可得当0t =或2t ≥时对于一个确定的t 的值，对应一个x 的值，对于02t <<的每一个确定的t 的值，对应两个不同的实数根x .则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.①230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0，∴一个根为0，解得3a =-，此时22330t at a t t +++=-=，另一根()30,2t =∉，舍去；②230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上，令()23k t t at a =+++，（ⅰ）当一个根在()0,2上，一个在()2,+∞上，则()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩∴3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩∴733a -<<-.（ⅱ）当一个根在()0,2上，一个根为2，则()20k =，解得73a =-．此时272033t t -+=的两根为()110,23t =∈，22t =，满足题意．综上，a 的取值范围为73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合()y g x =的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上的情况，要注意分两种情况讨论.。

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，集合{|11}B x x =-，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{2-，1-，0}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．（5分）下列函数与()f x x =是同一函数的是( )A ．2()x f x x=B．()f x = C ．2()log 2f x =xD ．2()2log x f x =3．（5分）下列函数在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()(2)f x lg x =-D ．()24f x x =-+4．（5分）函数log (3)1(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(4,1)B ．(3,1)C ．(4,0)D ．(3,0)5．（5分）已知函数32,0()1(),03x log x x f x x ->⎧⎪=⎨⎪⎩，则((2))f f -的值为( )A ．4-B ．2-C ．0D ．26．（5分）已知函数()y f x =的定义域为[1，)+∞，则函数()(23)g x f x =-域为( ) A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，4]D ．[2，4)7．（5分）已知关于x 的方程2280x ax -+=的两个实根1x ，2x 满足122x x >>，则实数a 的取值范围为( ) A．3)B ．(2,)+∞C．)+∞D．(-，3)8．（5分）已知函数(2)46,1()2,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩，满足对任意的1x ，212()x x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3]2B ．(2，5]2C ．3[2，2)D ．(1，5]29．（5分）已知函数212()log (54)f x x x =-+-在区间[m ，1]m +上是减函数，则m 的取值范围为( )A ．(-∞，3]2B ．5[2，)+∞C ．(1，3]2D ．5[2，3)10．（5分）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( ) A ．433421(3)(3)(log )3f f f -->>B ．433421(log )(3)(3)3f f f -->>C ．433421(log )(3)(3)3f f f -->>D ．433421(3)(3)(log )3f f f -->>11．（5分）已知函数2(1),1()|4|,1x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实根的和为( ) A ．3B ．6C ．9D ．1212．（5分）已知不等式2112x x --的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且MN N ⊆，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,)+∞B ．1(4，)+∞C ．2(9，)+∞D ．1(2，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）若1{a ∈，2}a ，则a 的值是 ． 14．（5分）不等式236212()2xxx --的解集为 ． 15．（5分）设偶函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且f （3）0=，则不等式()0x f x <的解集为 ．16．（5分）已知2()21x x m f x +=+，若对任意的1x ，2x ，3x R ∈，总有1()f x ，2()f x ，3()f x 为某一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）求下列各式的值：（1）23232258log 27log 223log lg lg +-⨯+；（2）221033231(3)(0.008)()(3)850π---+÷--． 18．（12分）已知集合2{|540}A x x x =-+，1{|28}2xB x =<，若R 为全体实数集合． （1）求()R AB ；（2）若{|23}C x m x m =<+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．19．（12分）已知函数2()3f x x ax a =++-，[2x ∈-，4]． （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域； （2）求()f x 的最小值g （a ）的表达式．20．（12分）节约资源和保护环境是中国的基本国策，某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少，已知改良工艺前所排放的废气中每立方米污染物数量04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型1.5001()5(,*)n b n y y y y b R n N +=--⨯∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：20.3)lg ≈ 21．（12分）若函数4()221xf x =-+． （1）判断函数()f x 的单调性并用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围．22．（12分）已知函数4()2x xbf x +=为奇函数．（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[0x ∈，1]，有23(2)02f x kx k --+<成立，求实数k 的取值范围； （3）设()log [44()](0x x m g x mf x m -=+->，且1)m ≠，问是否存在实数m ，使函数()g x 在[1，2log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，集合{|11}B x x =-，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{2-，1-，0}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【分析】进行交集的运算即可． 【解答】解：{2A =-，1-，0，1，2}，{|11}B x x =-；{1A B ∴=-，0，1}．故选：A ．【点评】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算． 2．（5分）下列函数与()f x x =是同一函数的是( )A ．2()x f x x=B ．()f x =C ．2()log 2f x =xD ．2()2log x f x =【分析】可看出()f x x =的定义域为R ，选项A ，D 的定义域都和()f x x =的不同，都和()f x x =不是同一函数；选项B 的对应关系和()f x x =的不同，不是同一函数；从而是同一函数的只能选C ．【解答】解：()f x 的定义域是R ，2()x f x x=的定义域是{|0}x x ≠定义域不同，不是同一函数；()||f x x =，解析式与()f x x =不同，不是同一函数； 2()2x f x log x ==的定义域为R ，对应关系也相同，是同一函数； 2()2log x f x =的定义域为{|0}x x >，定义域不同，不是同一函数．故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看两函数的定义域和对应关系是否都相同，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）下列函数在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()(2)f x lg x =-D ．()24f x x =-+【分析】根据常见函数的性质求出函数的单调性即可． 【解答】解：对于:()A f x 在(0,)+∞递增，符合题意， 对于:()B f x 在(0,)+∞递减，不符合题意，对于:(0C x ∈，2]时，函数()f x 无意义，不合题意， 对于:()D f x 在(0,)+∞递减，不符合题意， 故选：A ．【点评】本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4．（5分）函数log (3)1(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(4,1)B ．(3,1)C ．(4,0)D ．(3,0)【分析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，可得它的图象恒过定点的坐标． 【解答】解：对于函数log (3)(0a y x l a =-+>且1)a ≠，令31x -=，求得4x =，1y =， 可得它的图象恒过定点(4,1)P ， 故选：A ．【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．5．（5分）已知函数32,0()1(),03x log x x f x x ->⎧⎪=⎨⎪⎩，则((2))f f -的值为( )A ．4-B ．2-C ．0D ．2【分析】利用分段函数在不同区间的解析式不同，分别代入即可得出．【解答】解：函数32,0()1(),03x log x x f x x ->⎧⎪=⎨⎪⎩，21(2)()93f -∴-==，((2))f f f ∴-=（9）3log 920=-=，故选：C ．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题． 6．（5分）已知函数()y f x =的定义域为[1，)+∞，则函数()(23)g x f x =-域为( )A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，4]D ．[2，4)【分析】根据()f x 的定义域求出(23)f x -的定义域，结合二次根式的性质求出()g x 的定义域即可．【解答】解：由题意得： ()f x 的定义域为[1，)+∞，故231x -，解得：2x ， 故(23)f x -的定义域是[2，)+∞， 而40x ->，解得：4x <， 故()g x 的定义域是[2，4)， 故选：D ．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 7．（5分）已知关于x 的方程2280x ax -+=的两个实根1x ，2x 满足122x x >>，则实数a 的取值范围为( ) A．3)B ．(2,)+∞C．)+∞D．(-，3)【分析】由题设知函数2()28f x x ax =-+在(2,)+∞内有两个零点，由此得到关于a 的不等式，解不等式即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：由题设知，函数2()28f x x ax =-+在(2,)+∞内有两个零点，则2(2)024320f a a >⎧⎪>⎨⎪=->⎩，即2448024320a a a -+>⎧⎪>⎨⎪->⎩，解得：3a <， 故选：A ．【点评】本题主要考查根的分布与二次函数的图象之间的关系，其中根据方程的根与零点的关系，将问题转化为确定函数的零点问题，是解答本题的关键，属于基础题．8．（5分）已知函数(2)46,1()2,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩，满足对任意的1x ，212()x x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3]2B ．(2，5]2C ．3[2，2)D ．(1，5]2【分析】由单调性定义可得函数是单调递增函数，再根据分段函数的单调性的判断方法即可求解．【解答】解：由单调性的定义可得：函数()f x 是R 上的单调递增函数， 则由分段函数的单调性的判断方法可得：201(2)1462a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+-+⎩，解得：522a <， 故选：B ．【点评】本题考查了函数的单调性以及分段函数的单调性，属于基础题．9．（5分）已知函数212()log (54)f x x x =-+-在区间[m ，1]m +上是减函数，则m 的取值范围为( )A ．(-∞，3]2B ．5[2，)+∞C ．(1，3]2D ．5[2，3)【分析】由对数函数的真数大于0求得函数的定义域，再由内层函数254t x x =-+-在[m ，1]m +上单调递增且恒大于0，转化为关于m 的不等式组求解．【解答】解：由2540x x -+->，得2540x x -+<，得14x <<，∴函数212()log (54)f x x x =-+-的定义域为(1,4)，令254t x x =-+-，则外层函数12log y t =是定义域内的减函数，要使212()log (54)f x x x =-+-在区间[m ，1]m +上是减函数，则内层函数254t x x =-+-在[m ，1]m +上单调递增且恒大于0， 则2512540m m m ⎧+⎪⎨⎪-+->⎩，解得312m <． m ∴的取值范围为(1，3]2，故选：C ．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”是中档题．10．（5分）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( ) A ．433421(3)(3)(log )3f f f -->>B ．433421(log )(3)(3)3f f f -->>C ．433421(log )(3)(3)3f f f -->>D ．433421(3)(3)(log )3f f f -->>【分析】先根据指数函数与对数函数的性质得到括号内数据的大小关系，再结合函数的单调性和偶函数的性质即可得到结论． 【解答】解：43341330-->>>，2211log log 132<=-， ()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，43342221(log )(log 3)(log 3)(3)(3)3f f f f f --∴=-=<<，故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于基础题． 11．（5分）已知函数2(1),1()|4|,1x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实根的和为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12【分析】根据条件可知()0f x =或()(03)f x a a =<<，作出函数()f x 的图象，数形结合进行分析即可． 【解答】解：2()()0(03)f x af x a -=<<()0f x ∴=或()(03)f x a a =<<．画出函数2(1),1()|4|,1x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，的图象如右图：分析知，关于x 的方程()0f x =的实数根为1-，4．关于x 的方程()(03)f x a a =<<存在四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ， 如图所示，且1212x x +=-，3442x x +=， 1234286x x x x ∴+++=-+=，∴所求方程的实数根的和为6419+-=．故选：C ．【点评】本题考查了方程根与函数图形的关系，数形结合思想，属于中档题． 12．（5分）已知不等式2112x x --的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且MN N ⊆，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,)+∞B ．1(4，)+∞C ．2(9，)+∞D ．1(2，)+∞【分析】由题意求得(1M =，3]，且(1，3]N ⊆，即21x a x->在区间(1，3]上恒成立，求得21x x -在区间(1，3]上的最大值，可得a 的范围． 【解答】解：不等式2112x x --，即301x x --，求得13x <，故它的解集为(1M =，3]． 关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且MN N ⊆，(1∴，3]N ⊆．∴不等式210ax x -+>在区间(1，3]上恒成立，即21x a x ->在区间(1，3]上恒成立， 故21()max x a x ->． 222111111()24x x x x x -=-+=--+，故当112x =，即2x =时，21x x -取得最大值为14， 14a ∴>， 故选：B ．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，集合间的包含关系，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若1{a ∈，2}a ，则a 的值是 1- ． 【分析】根据元素和集合的关系即可得到结论． 【解答】解：1{a ∈，2}a ， 1a ∴=，或21a =，解得1a =或1a =-，当1a =时，集合为{1，1}不成立， 1a ∴=-，故答案为：1-【点评】本题主要考查元素和集合关系的应用，注意求解之后要进行检验，比较基础． 14．（5分）不等式236212()2xxx --的解集为 (-∞，2][3，)+∞ ． 【分析】根据指数幂的运算性质得到关于x 的不等式，解出即可． 【解答】解：236212()2x xx --， ∴232622xxx --，2326x x x ∴--， 2560x x ∴-+，(2)(3)0x x ∴--，解得：3x 或2x ，故不等式的解集是(-∞，2][3，)+∞， 故答案为：(-∞，2][3，)+∞．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．15．（5分）设偶函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且f （3）0=，则不等式()0x f x <的解集为 (3-，0)(3⋃，)+∞ ．【分析】确定函数()f x 在(0,)+∞上为减函数且(3)0f -=，抽象不等式可转化为具体不等式，即可求解．【解答】解：不等式()0x f x <， ∴0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，偶函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且f （3）0=， ∴函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(3)0f -=，∴033x x x >⎧⎨-⎩或或033x x <⎧⎨-<<⎩， 解得3x >或30x -<<，∴不等式()0x f x <的解集为(3-，0)(3⋃，)+∞．故答案为：(3-，0)(3⋃，)+∞．【点评】本题考查解不等式，考查单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是解题的关键．16．（5分）已知2()21x x m f x +=+，若对任意的1x ，2x ，3x R ∈，总有1()f x ，2()f x ，3()f x 为某一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围为 1[2，2] ．【分析】根据22111()1212121x x x x xm m m f x +++--===++++，分两种情况当1m 时，当1m 时，求得函数的值域，问题转化为123()()()f x f x f x +>，对任意1x ，2x ，3x R ∈，恒成立求解． 【解答】解：因为1()f x ，2()f x ，3()f x 为某一个三角形的三条边长， 所以123()()()f x f x f x +>，对任意1x ，2x ，3x R ∈，恒成立，函数22111()1212121x x x x xm m m f x +++--===++++， 当1m 时，()f x 在R 上递增， 当1m 时，()f x 在R 上递减， 所以函数的值域为(1,)m ，所以12()()2f x f x +>且3()f x m <， 所以2m ，又1m ，所以12m ， 当1m <时，()f x 在R 上递增， 函数()f x 的值域为(,1)m ，所以12()()2f x f x m +>且3()1f x <， 所以12m ，解得12m ，所以112m <， 综上m 的取值范围是122m <． 故答案为：1[2，2]．【点评】本题考查函数的值域的求法以及不等式恒成立问题，还考查分析求解的能力，属于中档题．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）求下列各式的值：（1）23232258log 27log 223log lg lg +-⨯+；（2）221033231(3)(0.008)()(3)850π---+÷--． 【分析】（1）进行对数的运算即可； （2）进行分数指数幂的运算即可．【解答】解：（1）原式2325223log 3log 232332lg lg =+-⨯+=-+=； （2）原式223224213()021*********--=+⨯=+⨯-=． 【点评】本题考查了对数和分数指数幂的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）已知集合2{|540}A x x x =-+，1{|28}2xB x =<，若R 为全体实数集合． （1）求()R AB ；（2）若{|23}C x m x m =<+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．【分析】（1）可求出集合{|14}A x x =，{|13}B x x =-<，然后进行交集和补集的运算即可；（2）可求出{|14}AB x x =-，根据()C A B ⊆即可讨论C 是否为空集：C =∅时，23m m +；C ≠∅时，32134m m m <⎧⎪-⎨⎪+⎩，解出m 的范围即可．【解答】解：（1）{|14}A x x =，{|13}B x x =-<， {|1R B x x ∴=<-或3}x ，(){|34}R AB x x =；（2）{|14}A B x x =-，{|23}C x m x m =<+，且()C AB ⊆，∴①C =∅时，23m m +，解得3m ；②C ≠∅时，32134m m m <⎧⎪-⎨⎪+⎩，解得112m -，综上得m 的取值范围为：1{|13}2m m m -或． 【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）已知函数2()3f x x ax a =++-，[2x ∈-，4]． （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域； （2）求()f x 的最小值g （a ）的表达式．【分析】（1）由题意可知对称轴为1x =-，开口向上，从而得到函数()f x 的单调区间，进而求出值域．（2）对称轴为2ax =-，开口向上，对对称轴的位置分三种情况讨论，分别得到()f x 的最小值，即可求出()f x 的最小值g （a ）的表达式．【解答】解：（1）当2a =时，2()21f x x x =++，[2x ∈-，4]． 对称轴为1x =-，开口向上，∴函数()f x 的单调递减区间为[2-，1]-，单调递增区间为[1-，4]，()(1)0min f x f ∴=-=，()max f x f =（4）25=， ∴函数()f x 的值域为：[0，25]．（2）函数2()3f x x ax a =++-，[2x ∈-，4]，对称轴为2ax =-，开口向上，①当22a --即4a 时，函数()f x 在[2-，4]上单调递增，()(2)73min f x f a ∴=-=-，②当242a-<-<即84a -<<时，函数()f x 在[2-，4]上先减后增， 2()()324mina a f x f a ∴=-=--+，③当42a-即8a -时，函数()f x 在[2-，4]上单调递减， ()min f x f ∴=（4）193a =+，综上所述，g （a ）292,43,844193,8a a aa a a a -⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+-⎪⎩．【点评】本题主要考查了二次函数的单调性和最值，是中档题．20．（12分）节约资源和保护环境是中国的基本国策，某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少，已知改良工艺前所排放的废气中每立方米污染物数量04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型1.5001()5(,*)n b n y y y y b R n N +=--⨯∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：20.3)lg ≈【分析】（1）把04y =，1 3.94y =，1n =代入 1.5001()5n b n y y y y +=--⨯，求解可得b 值； （2）由（1）中求得的b 可得n y ，再列指数不等式求解． 【解答】解：（1）由题意得04y =，1 3.94y =， ∴当1n =时， 1.51001()5b y y y y +=--⨯，即 1.53.944(4 3.94)5b +=--⨯，解得 1.5b =-； （2）由（1）得， 1.5 1.540.065n n y -=-⨯，若是企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ， 则 1.5 1.540.065 2.08n --⨯， 整理得， 1.5 1.5532n -，两边同时取常用对数，得321.5 1.55lg n lg -， 整理得，521.5 1.512lg nlg +-， 将lg 20.3≈ 代入，得 2.43n >， 又*n N ∈，3n ∴．综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标． 【点评】本题考查了函数的应用，考查指数不等式的解法，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题．21．（12分）若函数4()221xf x =-+． （1）判断函数()f x 的单调性并用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围． 【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可；（2）根据函数的单调性和奇偶性，问题转化为1()max t f x -<对x R ∈恒成立，求出函数()f x 的最大值，得到关于t 的不等式，检查即可． 【解答】解：（1）由题意，()f x 的定义域是R ， 设1x ∀，2x R ∈，且12x x <，则21121212444(22)()()222121(21)(21)x x x x x x f x f x --=--+=++++， 由12x x <，则1222x x <，故21220x x ->，且1210x +>，2210x +>， 故21124(22)0(21)(21)x x x x ->++，故12()()0f x f x ->，故12()()f x f x >， 故()f x 在R 递减； （2）由4()221x f x =-+，则44()22()2121x x f x f x --=-=-=-++，故()f x 是奇函数，关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解， 即(())(1)(1)f f x f t f t <--=-， 由()f x 在R 递减，则()1f x t >-有解， 即1()max t f x -<对x R ∈恒成立， 2(0,)x ∈+∞，10121x∴<<+， 故422221x -<-<+，故12t -<，即1t >-， 故实数t 的取值范围是(1,)-+∞．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查函数存在性问题以及转化思想，是一道中档题．22．（12分）已知函数4()2x xbf x +=为奇函数．（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[0x ∈，1]，有23(2)02f x kx k --+<成立，求实数k 的取值范围；（3）设()log [44()](0x x m g x mf x m -=+->，且1)m ≠，问是否存在实数m ，使函数()g x 在[1，2log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由(0)0f =可求得1b =-，再验证即可；（2）依题意，对任意的[0x ∈，1]，2210x kx k --+<恒成立，构造函数2()21h x x kx k =--+，[0x ∈，1]，根据函数性质建立关于k 的不等式组，解出即可；（3）设3822,[,]23x x t t -=-∈，2()(2)m h t log t mt =-+，依题意可得17(0,1)(1,)6m ∈，由二次函数的性质可得2()2d t t m =-+在38[,]23单调递增，由此求出()d t 的最值，假设存在满足条件的实数m ，然后分(0,1)m ∈及17(1,)6m ∈两种情况，均推出矛盾即可得出结论． 【解答】解：（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即10b +=，解得1b =-，经验证，1b =-符合题意．（2）由（1）知41()2x x f x -=，且3(1)2f -=-，则由题意可得，对任意的[0x ∈，1]，有2(2)(1)f x kx k f --<-成立，显然1()22x xf x =-在R 上单调递增， 所以对任意的[0x ∈，1]，221x kx k --<-恒成立， 即对任意的[0x ∈，1]，2210x kx k --+<恒成立， 令2()21h x x kx k =--+，[0x ∈，1] 所以(0)0(1)0h h <⎧⎨<⎩，解得32k >．（3）不存在，理由如下，设3822,[,]23x x t t -=-∈，2()(2)m h t log t mt =-+，220t mt ∴-+>在38[,]23t ∈上恒成立，∴2()min m t t <+，∴176m <， 1m ≠，∴17(0,1)(1,)6m ∈， 对于二次函数2()2d t t m =-+，开口向上，对称轴为2m t =， ∴1117(0,)(,)22212m ∈， ∴对称轴一直位于38[,]23的左侧，∴二次函数2()2d t t m =-+在38[,]23单调递增，∴33178882()(),()()224339min max d t d m d t d m ==-+==-+， 假设存在满足条件的实数m ，则当(0,1)m ∈时，由复合函数的单调性法则可知，2()(2)m h t log t mt =-+为减函数，()0max h t =， ∴2()(2)1max min d t t mt =-+=，∴3317()1224d m =-+=，解得13(0,1)6m =∉，故舍去；同理可知，当17(1,)6m ∈时，7317(1,)246m =∉，故舍去； 综上所述，不存在实数m 满足条件．【点评】本题考查函数性质的综合运用，涉及了函数的奇偶性，单调性，函数的最值等知识点，考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．。

2020-2021学年成都市蓉城高中教育联盟高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=√x+1}，集合B={y|y=x2,x∈R}，则A∪B=()A. ϕB. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [−1,+∞)2.若θ∈[0,π4]，sin2θ=2√23，则cosθ=()A. 23B. 13C. √63D. √333.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x−1)<f(|x|)的x的取值范围是()A. (13,23) B. (13,1) C. (12,23) D. (12,1)4.设函数f(x)=x2−2x，若f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y)≤0，则点P(x,y)所形成的区域的面积为()A. 4π3+√32B. 4π3−√32C. 2π3+√32D. 2π3−√325.已知幂函数f(x)=xα过点(4,2)，则f(9)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.函数的零点所在的大致区间是()A. B. C. 和 D.7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A. f(x)=|x|xB. f(x)=ln(√x2+1−x)C. f(x)=e x+e−xe x−e−x D. f(x)=sin2x1+cos2x8.已知a=log23，b=ln2，c=5 −12，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. b>c>a9.设函数f(x)=12cos(ωx+φ)关于x=π3对称，若函数g(x)=3sin(ωx+φ)−2，则g(π3)的值为()A. 1B. −5或3C. −2D. 1210.设α∈{−1,2,23,3}，则使函数y=xα的定义域为R，且为偶函数的所有α的值为()A. −1，3B. −1，2C. −1，3，2D. 2,2311.对于下列命题：①若，则角的终边在第三、四象限；②若点在函数的图象上，则点必在函数的图象上；③若角与角的终边成一条直线，则；④幂函数的图象必过点(1,1)与(0,0).其中所有正确命题的序号是A. ①③B. ②C. ③④D. ②④12.已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为()A. [1,3]B. [1,9]C. [12,36]D. [12,204]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a+1、a+2，其中a≥1，则△ABC面积的最大值为14.已知cotα=m(−π2<α<0)，则cosα=______(用m表示)15.已知f(x)=(12)−x2−2x+3，则f(x)的单调减区间为______．16.若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角α的终边与单位圆交于点(12,−√32)，求角α的正弦、余弦和正切值．18.已知=(bsin，acos)，=(cos，−cos)，f(x)=⋅+a，其中a，b，x∈R.且满足f()=2，f′(0)=．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)−log k=0在区间[0,π]上总有实数解，求实数k的取值范围．19.已知函数f(x)=x3−3x，]上的最大值和最小值．(1)求函数f(x)在[−3,32(2)求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程．20.已知集合(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．21.设函数，．(1)解不等式；(2)若恒成立的充分条件是，求实数的取值范围．22.已知函数f(x)=x2−bx+1的最小值为0(b>0)．(1)求b的值；(2)若不等式f(3x)≥k⋅3x+9x对k∈[−1,1]恒成立，求x的取值范围；(3)若函数ℎ(x)=f(f(|m−lnx|))的零点之积大于2，求m的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：解：∵集合A={x|y=√x+1}={x|x≥−1}，集合B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，∴A∪B={x|x≥−1}=[−1,+∞)．故选：D．利用并集定义和不等式性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.答案：C解析：本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，同角三角函数间的基本关系，半角公式的应用，属于基本知识的考查．由已知可求2θ∈[0,π2]，由sin2θ=2√23，则由同角三角函数关系式可求cos2θ，由半角公式即可求cosθ的值．解：∵θ∈[0,π4]，∴2θ∈[0,π2]，∴由sin2θ=2√23，则cos2θ=√1−sin22θ=13，∴cosθ=√1+cos2θ2=√1+132=√63．故选C．3.答案：B解析：解：因为f(x)为偶函数，所以f(2x−1)<f(|x|)可化为f(|2x−1|)<f(|x|)，又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|2x−1|<|x|，即(2x−1)2<x2，解得13<x<1，所以x的取值范围是(13,1)，故选：B．利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．4.答案：D解析：解：∵f(x)=x 2−2x =x(x −2) ∴f(x +1)+f(y +1)=x 2+y 2−2，f(x)+f(y)=x 2−2x +y 2−2y =(x −1)2+(y −1)2−2， 则由f(x +1)+f(y +1)≤f(x)+f(y)≤0得，x 2+y 2−2≤x 2−2x +y 2−2y 且(x −1)2+(y −1)2−2≤0， 即x +y −1≤0且(x −1)2+(y −1)2≤2， 不等式组对应的平面区域如图：圆心C(1,1)到直线x +y −1=0的距离CD =|1+1−1|√2=1√2=√22， 半径BC =√2，BD =√(√2)2−(√22)2=√62，则∠BCD =π3，∠ACB =2π3，则△ACD 的面积S =12×2×√62×√22=√32，扇形ACB 的面积S =12×2π3×(√2)2=2π3，则点P(x,y)所形成的区域的面积为2π3−√32， 故选：D将不等式进行化简，利用数形结合，结合三角形的面积公式以及扇形的面积公式即可得到结论． 本题主要考查不等式的转化和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查了三角形的面积和扇形的面积公式，考查学生的计算能力．5.答案：C解析：解：∵幂函数f(x)=x α的图象过点(4,2)， ∴4α=2，解得：α=12， ∴f(x)=x 12=√x ， ∴f(9)=√9=3， 故选：C ．由幂函数f(x)=x α的图象过点(4,2)，求出f(x)=√x ，由此能求出f(9)．本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：试题分析：因为，，所以函数的零点所在的大致区间是。

四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}U 05x Z x =∈≤≤，集合{}0,1,3M =，{}0,2,3N =，则()()C C U U M N ⋂A ．{}0,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}4,52．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1) B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)3．函数()xf x =在区间[]1,2上的最大值是ABC ．3D．4．函数()2log 34f x x x =+-的零点所在的区间是 A ．()1,2B ．()2,3C ．()0,1D ．()3,45．下列函数为偶函数的是 A ．(]2,1,1y x x =∈-B ．133xx y =+C ．1y x x=+D ．2,12,112,1x y x x x <-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩6．设0.9999,0.9,log 0.9x y z ===则A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<7．下列各组函数中，表示同一组函数的是A ．()2f x x =-，()221x x g x x --=+B ．()1f x =，()0g x x =C ．()f x =()g x x =D ．()f x =()g t =8．已知函数()1xf x +=，则43f ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．12eB ．eC ．32eD ．2e9．函数f （x ）=a x –b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则log a （1–b ）的取值A ．恒等于0B ．恒小于0C ．恒大于0D ．无法判断10．方程()221260x m x m +-++=有两个实根12,x x ，且满足12014x x <<<<，则m 的取值范围是 A ．75,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．()(),15,-∞-⋃+∞C ．73,5⎛⎫--⎪⎝⎭D ．53,4⎛⎫--⎪⎝⎭11．设奇函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(2)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 A ．()()2,02,-+∞ B ．()(),20,2-∞- C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-12．函数()()211m f x m m x-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若函数()()(2)1,1log (),1a a f x x F x f x x ⎧--≤=⎨>⎩()01a a >≠其中且在R 上单调递增，则a 的取值范围是A ．()1+∞， B ．()2+∞， C ．(]2,3 D ．(]1,3二、填空题13．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =_______________．14．函数()12log (1)1f x x x =++-的定义域是_______________．15．设函数()11x f x e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为_______________．16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.81, 1.82=-=-．下面关于函数()[]f x x x =-说法正确的序号是_______________．①当[)0,1x ∈时，()f x x =； ②函数()y f x =的值域是[)0,1； ③函数()y f x =与函数14y x =的图像有4个交点； ④方程()40f x x -=根的个数为7个．三、解答题17．计算：（1）()11231015360.415482e -⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1441log 12ln lg1000+． 18．已知集合142xA x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2log (1)0B x R x =∈->．（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}1C x m x m =<<+，若集合C AB ⊆，求实数m 的取值范围．19．已知定义在R 上的函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若方程()m f x =有4个根1234,,,x x x x ，求m 的取值范围及1234x x x x +++的值．20．已知函数()2f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集为{}12x x <<．（1）求不等式210cx bx +->的解集；（2）当()()g x f x mx =-在[]1,2x ∈上具有单调性，求m 的取值范围．21．已知定义域为R 的函数()21212x x f x a =⋅-+是奇函数．（1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若关于x 的不等式()()2330f kx kx k f k -++->的解集为R ，求k 的取值范围．22．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意实数(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭．（1）求()0f 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）已知函数()22221lg x g x x--=， ①验证函数()g x 是否满足题干中的条件，即验证对任意实数(),1,1x y ∈-，()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭是否成立；②若函数()(),111,11g x x h x k x x x ⎧-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，其中0k >，讨论函数()2y h h x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数情况．参考答案1．D 【分析】列举全集U ，求出M 、N 的补集，再求二者的交集． 【详解】全集{}{}U 05012345x Z x =∈≤≤=，，，，，，{}245U C M =，，，{}145U C N =，， 所以()()U U C M C N ⋂={} 4,5，答案选D ． 【点睛】在进行集合运算进，)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集． 2．B 【分析】令真数为1，则可得到定点坐标. 【详解】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1. 【点睛】本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】可以判断函数()xf x =为增函数，故当x 2=时，函数取最大值，计算即可。

蓉城名校联盟 2020～2021 学年度上期高中 2019 级期中联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12CABC CDB DAAB D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．314．1215． x = -6 或 y = - 5 x + 1 （缺一个都不给分，答案： x = -6 或12y + 5x - 6 = 0 也可以）12 2 16． 45三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。

17．（10 分）解：（1） BC 方程为 2x + y -15 = 0 ， AD ⊥ BC∴设直线 AD 方程为 x - 2 y + a = 0……2 分点 A (-1, 2) 代入，得 a = 5∴直线 AD 的方程为 x - 2 y + 5 = 0……4 分（2） AB ， AC 边的中点分别为 E ， F∴ EF 为△ABC 的中位线……5 分 ∴ EF ∥BC ，且点 A 到直线 EF 的距离等于直线 EF ， BC 之间的距离设直线 EF 的方程为 2x + y + b = 0……7 分2 ⨯ (-1) + 2 + bb +15，即 b = b +1522 +1222 +12解得 b = - 15……9 分2∴直线 EF 的方程为 4x + 2 y -15 = 0 .……10 分18．（12 分）解：（1）设圆 C 的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，……1 分⎛ D E ⎫则圆心 C-, -⎪……2 分2 ⎝ 2 ⎭⎧⎪1 + D + F = 0⎧D = -2⎪⎪……5 分由已知得 ⎨5 - D - 2 E + F = 0，解得 ⎨E = 4⎪ 3⎪⎪D + 2E - 11 = 0 ⎩F = 1⎩-2所以，圆 C 的方程为 x 2 + y 2 - 2x + 4 y +1 = 0 ；……6 分1（2）圆 C 的方程为 x 2 + y 2 - 2x + 4 y + 1 = 0 ，即 (x -1)2 + ( y + 2)2 = 4圆心 C (1, -2) ，半径 r = 2……7 分圆 M 的方程为 x 2 + y 2 + 4x - 2ay + a 2 - 5 = 0 ，即 (x + 2)2 + ( y - a )2 = 9 圆心 M (-2, a ) ，半径 R = 3……8 分因为圆 C 与圆 M 相交，所以 R - r <CM< R + r……9 分即1 < 9 + (a + 2)2 < 5 ， ……10 分解得： -6 < a < 2所以，实数 a 的取值范围为 (-6, 2) .……12 分19．（12 分）证明：（1）因为点 E 、 F 分别为线段 AC 、 AD 的中点∴ EF 为△ACD 的中位线，则 EF ∥CD……2 分CD ⊂ 平面BCD ， EF ⊄ 平面BCD∴EF ∥平面BCD……4 分 又 EF ⊂ 平面EFNM ，平面EFNM 平面 BCD = MN∴ EF ∥MN ；……6 分（2） ∠CDA = ∠CDB = 90︒∴CD ⊥ DA ，CD ⊥ DBDA DB = D ，DA ⊂ 平面ADB ，DB ⊂ 平面ADB ∴CD ⊥ 平面ADB……8 分∴CD ⊥ AB……9 分又 DH ⊥ AB ， DH CD = D ，DC ⊂ 平面DCH ，DH ⊂ 平面DCH∴ AB ⊥ 平面CDH ……11 分AB ⊂ 平面ABC∴平面CDH ⊥ 平面ABC .……12 分20．（12 分）解：（1）左边三个方块的面积之和为 0.32，故中位数在第四个方块中，中位数 = 3 + 0.18 ⨯1 = 3.75……2 分0.24平均数 = 0.5 ⨯ 0.07 +1.5 ⨯ 0.09 + 2.5 ⨯ 0.16 + 3.5 ⨯ 0.24 + 4.5 ⨯ 0.18+5.5 ⨯ 0.14 + 6.5 ⨯ 0.07 + 7.5 ⨯ 0.05 = 3.82……4 分所以，该景区这一百天中每天游客数的中位数约为 3750 人，平均数约为 3820 人.（2）（i ） x = 20 ，……5 分y = 4.4……6 分ˆ 70b = 232 ≈ 0.3 ，……7 分ˆ0.3⨯ 20 = -1.6a ˆ = y - bx = 4.4 -∴ y ˆ = 0.3x -1.6……8 分（ii ）当最高气温在 20℃~26℃内时，9y0.3x- 1.64.4 6.2根据 ˆ =得游客数在内…… 分2直方图中这个范围内方块的面积 = (5 - 4.4) ⨯ 0.18 + 0.14 + (6.2 - 6) ⨯ 0.07 = 0.262……11 分天数 = 0.262 ⨯100 ≈ 26所以，这 100 天中最高气温在 20℃~26℃内的天数约为 26 天.……12 分21．（12 分）解：（1） AE ⊥ EF ， AE ⊂ 平面ABFE平面 ABFE ⊥ 平面 EFGH 且交于 EF ，∴ AE ⊥ 平面EFGH……2 分∴ AE ⊥ EH∴∠FEH 为二面角 F - AE - H 的平面角∴∠FEH = 120︒……4 分∴V= 1 S⋅ AE = 1 ⨯ 1 FE ⋅ EH sin ∠FEH ⋅ AE2A -EFH3 △EFH3=16 ⨯ 2 ⨯ 2sin120︒⨯1 = 33所以，三棱锥 A - EFH 的体积为 3. ……6 分3（2）证法一：连接 AC 、 EGA 、 E 、 G 、 C 四点共面∴平面 ABCD 平面 ACGE = AC ，平面 EFGH 平面 ACGE = EG 又平面 ABCD ∥平面 EFGH∴ AC ∥EG……8 分同理可证， AB ∥EF ，BC ∥FG ，AD ∥EH ，CD ∥GH∴∠BAC = ∠FEG ，∠ABC = ∠EFG ∠DAC = ∠HEG ，∠ADC = ∠EHG ∴△ABC ∽△EFG ，∠ADC ∽∠EHG∴ AD = AC = AB =1……10 分 EH EG EF 2延长 FB 交 EA 的延长线于点 P ，延长 HD 交 EA 的延长线于点 QAB ∥EF ，AD ∥EH∴线段 AB 、 AD 分别为△PFE 、△QHE 的中位线∴ AP = AE ，AQ = AE ∴ AP = AQ∴ P 、 Q 重合则直线 FB HD = P .……12 分证法二： A 、 E 、 G 、 C 四点共面∴直线 EA 、 GC 相交或平行 若 EA ∥GCEA ⊂ 平面ABFE ， GC ⊄ 平面ABFE∴GC ∥平面ABFE……7 分又 GC ⊂ 平面GCBF ， 平面GCBF 平面ABFE = BF3∴GC ∥BF 则 AE ∥BF平面 ABCD ∥平面 EFGH平面 ABCD 平面 ABFE = AB ，平面 EFGH 平面 ABFE = EF∴ AB ∥EF则四边形 ABFE 为平行四边形则 AB = EF ，与已知 2 AB = EF 矛盾∴ EA ∥GC 不成立，只能是 EA 、 GC 相交设 EA GC = PGC ⊂ 平面 GCBF ， EA ⊂ 平面 ABFE ∴ P ∈平面 GCBF ， P ∈平面 ABFE∴ P 点在平面 GCBF 与平面 ABFE 的交线上平面 CBFG 平面 ABFE = FB∴ P ∈ FB……11 分同理可证， P ∈ HD∴ FB HD = P .22．（12 分）解：（1）圆 C 的圆心 C (-3, 4) ，半径 r = 4由弦 AB 的长为 211 得：点 C 到直线 l 的距离为⎛ 1⎫2d = r 2 AB == 5-⎪⎝ 2⎭(2m +1) ⨯ (-3) + (m - 2) ⨯ 4 - 3m - 4又 d ==5 m + 3(2m +1)2 + (m - 2)2 m 2 +1m + 355m 2+1解得： m = -4；3（2） cos ∠MPN = 1- 2 sin 2∠MPC = 1⎛CM232- 2= 1 -P CP 2⎝ ⎭由（1）知点 C 到直线 l 的距离 d =5 m + 3m 2 +1∴ CP d ，∴ CP = d 时， cos ∠MPN 的值最小，即 cos ∠MPN 的最小值为1 - d32由已知得1 - d322 = 1345 ，解得 d = 35∴5 m + 3= 3 5 ，解得 m = 34 或 0m 2+1……8 分……9 分……10 分……12 分……1 分……2 分……3 分……4 分……5 分……6 分……7 分4m ＞0 ，∴m =3……8 分4当 m = 3 时，直线 l 的方程为 2x - y - 5 = 04设 P (a , 2a - 5) ，以 CP 为直径的圆记为圆 D则圆 D 的方程为 (x + 3)(x - a ) + ( y - 4)( y - 2a + 5) = 0即 x 2 + y 2 + (3 - a ) x + (1 - 2a ) y + 5a - 20 = 0 ① ……9 分圆 C 的方程为 x 2 + y 2 + 6x - 8y + 9 = 0 ② 由②－①得 (a + 3)x + (2a - 9) y - 5a + 29 = 0③M 、 N 两点为圆 C 和圆 D 的公共点∴③即为直线 MN 的方程……10 分③变形得 ( x + 2 y - 5) a + 3 x -9 y + 29 = 0⎧x + 2 y - 5 = 0⎧x = - 13解得 ⎪……11 分由 ⎨ = 0 ⎨ 44⎩3x - 9 y + 29 ⎪⎪y =15⎩所以，直线 MN⎛ 13 44 ⎫经过定点- , ⎪.……12 分1515⎝ ⎭5。