小学六年级奥数图形问题精讲ABC

六年级奥数专题：图形的计算2014 春季数学优化六年级小考专题三．图形的计算【知识要点】图形的计算，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例。

几何图形的计算公式不仅要记牢，而且要理解其推导过程，最好在理解的基础上记忆。

这样不仅记得牢，而且运用起来也更灵活自如。

对于较复杂的组合图形，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，通过等积变形、割补转化、旋转平移、添加辅助线等方法推导求解。

【经典例题】例1.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3cm，CD＝7cm，A＝C＝90，D＝45。

求四边形ABCD的面A 积。

B CD 2例 2.如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，S △ABE ＝30cm ，EC＝2AE。

求梯形 ABCD 的面积。

A D E C B 例 3.如图所示，正方形ABCD 的边长为 10 厘米，正方形 EFGC 的边长为 12 厘米。

求阴影部分的面积。

E F A D B G C 例 4.如图所示，三角形ABC 是等腰直角三角形，AB＝BC＝10cm。

D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径。

求阴影部分的面积 B A 10cm D C 例 5.如图所示，已知△ABC 是直角三角形，空白部分甲的面积比空白部分乙的面积大57平方厘米，BC 长A 20 厘米。

求 AB 的长度。

乙甲 C B 20cm 例 6.如图所示，圆的周长是 16.4 厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等。

求图中阴影部分的周长。

O A B D C例 7.将一个正方体的棱长缩短一半后，所得的新的正方体的表面积比原来正方体的表面积减少162 平方厘米。

求原来正方体的体积是多少立方厘米？例 8.有一个长方体的长、宽、高分别是整厘米数，它的相邻三个面的面积分别是96 平方厘米、40 平方厘米、60 平方厘米。

这个正方体的体积是多少立方厘米？例 9.有一块长方形的铁皮，长 32 厘米。

在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4 厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子。

六年级奥数几何综合讲座几何综合几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BcG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9，在△BGc中，有BG=Gc=Bc=1，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5，在△EDH中，DH=EH=5，所以cD=GH-Gc-DH=19-1-5=13．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42．．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，在正六边形ABcDEF中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×=24．而通过下图，我们知道，正六边形ABcDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48．6．如图12-6所示，在三角形ABc 中，Dc=3BD，DE=EA．若三角形ABc的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】△ABc、△ADc同高，所以底的比等于面积比，那么有而E为AD中点，所以连接FD，△DFE、△FAE面积相等，设则．的面积也为x，而解得.所以，阴影部分面积为．如图12-7，P是三角形ABc内一点，DE平行于AB，FG平行于Bc，HI平行于cA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGcH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．那么三角形ABc的面积是多少?【分析与解】有平行四边形AIPD与平行四边形PGcH的面积比为IP与PH的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3，DP:PE=12:20=3:5．如图12-7，连接Pc、HD，有△PHc的面积为△DPH与△PHc同底PH，同高，所以面积相等，即，而△DPH与△EPH 的高相等，所以底的比即为面积的比，有，所以如图12-7所示，连接FH、BP，如图12-7所示，连接FD、AP，有．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的，②号正方形的边长是长方形宽的．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的.而②号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的.所以在长方形中有：长=宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12，宽为8，则①号正方形的边长为5，又是整数，所以为整数，有长方形的面积为96,不大于100．所以只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为：9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，c，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：c：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用表示E部分横向的长度，竖表示E 部分竖向的长度，其他下标意义类似．有：=5：4，：=l：2．而+=+，所以有：：：=5：4：1：2．而++=+对应为5+1=6，那么对应为3．而A面积：B面积：c面积=1：2：3，所以==．有+竖对应为6，所以=对应为3．那么长方形的竖边为6+对应为9，长方形横边为+6+对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．0．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是绿色的面积是lo．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．1．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，c，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为，球经过的路线为：→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→．因此，该球最后落入E袋．．长方形ABcD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击Bc边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击Bc边的点，每次由c向B移动2．因为次撞击Bc边的点距c点1，次撞击AB边的点距A 点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击Bc边997次．3．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】有Ao=oB，所以△AoB为等腰三角形，Ao=oc，所以△Aoc为等腰三角形.∠ABo=∠1=15°，∠AoB=180°-∠1-∠ABo=150°.∠Aco=∠2=15°,∠Aoc=180°-∠2-∠Aco=150°.所以∠Boc=360°-∠AoB-∠Aoc=60°，所以扇形Boc的面积为．．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?【分析与解】过P做AD平行线，交AB于o点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点．有.阴影部分面积为几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题．如图30-2，已知四边形ABcD和cEFG都是正方形，且正方形ABcD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】方法一：因为cEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形cEFG的边长为x，有：又阴影部分的面积为:方法二：连接Fc，有Fc平行与DB，则四边形BcFD为梯形．有△DFB、△DBc共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBc的面积．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．如图30-4，∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-,而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800,∠D=∠8+∠9-1800,∠c=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为×1800=12600．所以∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=9000．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为,这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：．．,如图30-8，ABcD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,Bc的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，连接Ec，并在某些点处标上字母，因为AE平行于Dc，所以四边形AEcD为梯形，有AE:Dc=1:2，所以,,且有,所以,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2．有,而有EG:GD=,所以同理可得,,又=24-12=12所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48．0．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FcG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为.所以原题中阴影部分面积为．．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B．大半圆的面积为小圆的面积而小圆的面积为，则，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为如图30-14，将长方形ABcD绕顶点c顺时针旋转90度，若AB=4，Bc=3，Ac=5，求AD边扫过部分的面积．【分析与解】如下图所示，如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为,而直角三角形、AcD面积相等．所以即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。

第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图 6－1 中各条线段上线段的总条数.图 6－1(a)中只有两个点 A、B、只有一条线段.图6－1(b)中有A、B、C 三个点，这三个点将线段 AC 分割成AB、BC 两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段 AC，所以图 6－1(b)中有三条线段算式为 2＋1＝3.图6－1(c)中有A、B、C、D 四个点，这四个点将线段 AD 分割成AB、BC、CD 三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段 AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段 AD，所以图 6－1(c)中共有 6 条线段，算式为 3 ＋2＋1＝6.图6－1(d)中在有A、B、C、D、E 五个点，这五个点将线段 AE 分割成AB、BC、CD、DE 四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段 AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段 AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段 AE.所以图6－1(d)中共有 10 条线段.算式为4＋3＋2＋1＝10.图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F 六个点，这六个点将线段分割成 AB、BC、CD、DE、EF 五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段 AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段 AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段 AF.所以图6－1（e）中共有15 条线段.算式为5＋4＋3＋2＋1＝15.将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有 n 个点（包括两个端点），那么这 n 个点将线段分割成 n－1 条小线段，这 n－1 条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－2 条.另外，这n－1 条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－3 条.依此类推，可得：任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有 n－4 条.任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n－5 条.……任意相邻 n－2 条小线段连起来组成的新线段，共有（n－（n－2）＝）2 条.最后相邻的 n－1 条小线段连起来组成 1（＝n－（n－1））条新线段.此时，线段的总条数为（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1这样便得到如何数类似图 6－1 中线段总条数的公式：当一条线段上共 n 个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为： 1＋2＋…＋（n－1）①即线段总条数为从 1 开始的（n－1）个连续自然数的和.把图6－1 稍加变化，可得图6－2.图6－2 各图中的三角形有下面两个特点：一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上.图6－2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多.即图 6－2(a) 中三角形的个数有 6 个（6＝1＋2＋3），图6－2(b)中三角形的个数有 10 个（1＋2＋3＋4＝10）.图 6－2(c)中三角形的个数有 15 个（1＋2＋3＋4＋5＝15）.这说明公式①还可以用来数类似于图 6－2 中三角形的总个数.另外公式①还可以用来数如图 6－3 中锐角的总个数，即从锐角AOB 的顶点O，在其内部引 n－1 条射线，此时图中锐角的总个数也是：1＋2＋…＋（n－1）＋n2．数长方形的公式先看图6－4 中有多少个长方形（图中ABCD 是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于BC，每一条横线都平行于 AB）.这个问题与数线段有十分密切的关系.由公式知道：AB 边上共有（1＋2＋3 ＋4＋5＝）15 条线段；AD 边上共有（1＋2＋3＝）6 条线段.把 AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图 6－4 中长方形的总数为（1＋2＋3＋4＋5）×（1＋2＋3）一般情况下，如果有类似于图 6－4 的任一长方形，一边上有 n＋1 个点，其相邻一边上有m＋1 个点（m、n 是自然数）；相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等.过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：（1＋2＋…＋n）×（1＋2＋…m）②利用公式②还可以计算图 6－5(a)、(b)中平行四边形和梯形的总数.3．数正方形的公式分别数出图 6－6 中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）.为方便起见，我们假定每个小方格的边长为 1 个长度单位.图6－6（a）中大正方形边长为 2 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（2×2）＝4 个，边长为2 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形总数为1×1＋2×2＝5（个）图6－6（b）中大正方形边长为 3 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为2 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为3 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＝14（个）图6－6（c）中大正方形边长为 4 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为2 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为3 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 4 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（个）图6－6（d）中大正方形边长为 5 个长度单位.其中边长为 1 个长度单位的正方形有（5×5＝）25 个，边长为 2 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为3 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为4 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 5 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（个）一般而言，如果类似图 6－6 中大正方形边长为n 个长度单位，那么其中边长为1 个长度单位的正方形有（n×n＝）n2 个，边长为2 个长度单位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1）2 个，…，边长为 n－2 个长度单位的正方形有（3 ×3＝）9 个，边长为n－1 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为n 个长度单位的正方形有1 个.所以，如果类似图 6－6 的大正方形各边上都有 n 个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为12＋22＋32＋…＋n2 ③二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用例1 图 6－7 中共有多少个三角形？分析与解：将图 6－7 旋转一下，应添上字母得图 6－8.在图6－8 中，线段AB 将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）.仔细观察便可发现，除了上面那 56 个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个.这一来，图中三角形的总个数为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋7＝63（个）注意：在计数时，千万不要把三角形 ACD 等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”.例2 图6－9 中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？分析与解：为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分.先看正中间部分.中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＝）91 个正方形.再看上下部分.因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有 3 个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×2＝）6 个正方形.最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分.左边那部分除了 6 个小正方形外，还有4 个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形.左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×2＝）26 个正方形.把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案.图 6－9 中共有正方形.91＋6＋26＝123（个）例3 图6－10 中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？分析与解：为方便起见，把图 6－10 各顶点和交点标上字母，得图 6－11.把图6－11 先分成内外两层.按前面提到的公式②，长方形 ABCD 与A1B1C1D1 中各有（（1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3）＝）60 个长方形.再看上面，夹在长方形 ABCD 与A1B1C1D1 之间的长方形 GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I 不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形 GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I 也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L 也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（60×2＝）120 个长方形外，再添加刚才提到的（6×2＝）12 个长方形.再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形 EFF1E1、EFJ1R1.同样右边也应添上长方形 JKK1J1、KE1F1L.所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×2＝）4 个长方形.另外中间的长方形 PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形 ABCD 与A1B1C1D 中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形.把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那 3 个长方形，便是题目的结果.故图 6－10 中长方形的总数为60×2＋6×2＋2×2－3＝133（个）做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”.为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则.习题六1．图6－12 的各图中各有多少条线段？2．图 6－13 的各图中各有多少个三角形？3．图 6－14 的各图中各有多少个锐角？4．数一数图 6－15 中有多少个三角形？5．图6－16 的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）6．图6－17 的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？7．数一数图6－18 中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？8．数一数图6－19 中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？9．数一数图6－20中有多少个长方形（图中最外层的四边形是长方形，另外，所有横线段彼此平行所有竖线段彼此平行）？10．在线段 AB 上添一点C，便得到AB、BC、AB 三条线段；在线段AB 上添两点C 和D，便可得到 AC、CD、DB、AD、CB、AB 六条线段.问要在线段 AB 上添几个点，才能得到 36 条线段？。

知识框架逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。

对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。

本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。

一、列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设三、体育比赛中的数学对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。

有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。

四、计算中的逻辑推理能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.例题精讲逻辑推理一、列表推理法【例1】刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？【巩固】王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？余老师薇芯：69039270【例2】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？【巩固】甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人．求这三人各自的籍贯和职业．【例3】甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知：⑴教师不知道甲的职业；⑵医生曾给乙治过病；⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）；⑷丁不是律师；⑸乙和丙从未见过面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是：．【巩固】甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【例4】六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名．小华猜想比赛的结果是：2班第一名，4班第二名，3班第三名，1班第四名．结果只有小华猜到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。

第3讲组合图形求面积（二）【学习目标】1、复习圆的面积计算；2、熟练掌握组合图形的面积计算。

【知识梳理】1、容斥法：利用容斥原理求解图形面积；2、分组法：把要求的图形平均分组，然后进行计算；3、拆分法：把不规则图形拆分成几个规则的可以直接计算的图形；4、差不变：两个图形同时加上或者减去同一部分，差不变。

【典例精析】【例1】如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，A为扇形AEF的圆心且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。

【趁热打铁-1】如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米，求BC的长。

(π取3.14)【例2】如图所示，圆的周长为12.56cm,A,C两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等。

求平行四边形ABCD 的面积。

【趁热打铁-2】如图所示，圆的半径OA=OB=5cm,AC=CD=8cm,AC 垂直于CD,BC=6cm 。

求IV III II I S S S S -++。

【例3】如图所示，两圆的半径都是2厘米，且图中两个阴影部分的面积相等，长方形21O ABO 的面积是_____平方厘米。

【趁热打铁-3】如图，两个半径相等的圈A 和圆B 相交三角形DBC 是等腰直角三角形，面积是100平方厘米，四边形ABCD 是平行四边形。

图中阴影部分的面积是_______平方厘米。

【例4】如图、两个小圆和三个小半圆的半径都是1. 求阴影那分的面积。

(π取3) 【趁热打铁-4】如图每个小圆的面积都是7平方厘米，则阴影部分的面积是。

【例5】如图,三个圆的半径都是2cm,则阴影部分的面积____cm2 。

【趁热打铁-5】下图中大圆的直径是10厘米，四个小圆完全相同，阴影部分的面积是。

【例6】如图，长方形的宽正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）【趁热打铁-6】图中正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。

【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换，下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行．3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．【例题】题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB 重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF 的面积为432平方厘米．题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD的面积．「分析与解」如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．有S △A ′CD +S △A ′BC ＝30×40×+14×48×＝936．而S 四边形ABCD ＝S △A ′CD +S △A ′BC ＝936．评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC ＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD 作l 的对称图形，如下：题3．如下图所示，梯形ABCD 中，AB 平行与CD ，又BD ＝3，AC ＝4，AB+CD ＝5，试求梯形ABCD 的面积．「分析与解」如下图，将AB 沿AC 平移至CE ，连接BE ．在三角形BDE 中，有BD ＝3，BE ＝4，DE ＝5，有BD 2+BE 2＝DE 2，所以三角形BDE 为直角三角形．有S梯形ABCD ＝S△BDE＝×3×4＝6．题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．「分析与解」因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°；于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形．于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？「分析与解」如下图，因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD．连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC．而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF ＝2×S△CEF；于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．「分析与解」如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．则有∠MBD＝60°＋＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△PCD．于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°；MD＝PD．在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2．即△AMN的周长为2．题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．「分析与解」作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°；所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形．综合以上分析知∠BDA＝105°．题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．「分析与解」如下图，做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA ＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平方厘米．那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米．如右图，做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA ＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为＝18°，所以扇形面积为×202×π＝20π平方厘米．那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB －SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．有S△PBC ＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，S△ADE ＝S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．。

圆和组合图形(1)一、填空题1. 算出圆内正方形的面积为 .6 厘米2. 右图是一个直角等腰三角形 , 直角边长 2 厘米, 图中阴影局部面积是平方厘米 .23. 一个扇形圆心角120 , 以扇形的半径为边长画一个正方形 , 这个正方形的面积是 120 平方厘米. 这个扇形面积是 .4. 以以下图 , 以 B、C 为圆心的两个半圆的直径都是 2 厘米, 那么阴影局部的周长是厘米.( 保存两位小数 )EA B C D5. 三角形 ABC 是直角三角形 , 阴影局部①的面积比阴影局部②的面积小 28 平方厘米 . AB长 40 厘米, BC 长厘米.C②①B A6. 如右图, 阴影局部的面积为 2 平方厘米, 等腰直角三角形的面积为 .7. 扇形的面积是 31.4 平方厘米 , 它所在圆的面积是 157 平方厘米, 这个扇形的圆心角是度.8. 图中扇形的半径 OA= OB=6 厘米. AOB 45 , AC 垂直 OB 于 C, 那么图中阴影局部的面积是平方厘米. ( 3. 14 )A645O C B9. 右图中正方形周长是 20 厘米. 图形的总面积是平方厘米.10. 在右图中( 单位: 厘米), 两个阴影局部面积的和是平方厘米 .151220二、解答题11. ABC 是等腰直角三角形 . D 是半圆周的中点 , BC 是半圆的直径 , :AB= BC=10, 那么阴影局部的面积是多少 ?(圆周率 3.14 )10BADC12. 如图, 半圆 S1 的面积是 14.13 平方厘米 , 圆S2 的面积是 19.625 平方厘米. 那么长方形 ( 阴影局部的面积 ) 是多少平方厘米 ?S2S113. 如图, 圆心是 O, 半径 r=9 厘米, 1 2 15 , 那么阴影局部的面积是多少平方厘米 ?( 3.14 )A1 2BC14. 右图中 4 个圆的圆心是正方形的 4 个极点, 它们的公共点是该正方形的中心 . 若是每个圆的半径都是 1 厘米, 那么阴影局部的总面积是多少平方厘米 ?———————————————答 案——————————————————————1. 18 平方厘米.由图示可知 , 正方形两条对角线的长都是 6 厘米, 正方形由两个面积相等的 1三角形构成 . 三角形底为 6厘米, 高为 3厘米, 故正方形面积为 6 3 2 18( 平2方厘米).2. 1.14 平方厘米.由图示可知 , 图中阴影局部面积为两个圆心角为 45 的扇形面积减去直角三45 12 ( 平方厘米). 角形的面积 . 即3.142 2 2 2 1. 14360 2平方厘米.由条件可知圆的半径的平方为 120 平方厘米. 故扇形面积为 1203.14 120 125.6 ( 平方厘米).360 4. 3.09 厘米.边结 BE 、CE, 那么 BE=CE=BC= 1( 厘米), 故三角形 BCE 为等边三角形 . 于是⌒ ⌒60EBC BCE 60 . BE=CE= 3.14 2 1.045 ( 厘米). 于是阴影局部周长360为1. 045 2 1 3.09 ( 厘米).5. 32.8 厘米.从图中可以看出阴影局部①加上空白局部的面积是半圆的面积 , 阴影局部② 加上空白局部的面积是三角形 ABC 的面积. 又①的面积比②的面积小 28 平方厘米, 故半圆面积比三角形 ABC 的面积小 28 平方厘米.240 1半圆面积为 3.14 628( 平方厘米), 三角形 ABC 的面积为2 2 628+28=656( 平方厘米). BC 的长为 656 2 40 32.8( 厘米). 6.9 37 平方厘米. 13将等腰直角三角形补成一个正方形 , 设正方形边长为 x 厘米, 那么圆的半径为 x 2 厘米. 图中阴影局部面积是正方形与圆的面积之差的 1 8 , 于是有212 xx 3.14 8 2, 解得232002x . 故等腰直角三角形的面积为133200 13 1293713( 平方厘米 ).7. 72 .扇形面积是圆面积的131.4 157 , 故扇形圆心角为360 的515即72 .8. 5.13.三角形 ACO 是一个等腰直角三角形 , 将 AO 看作底边, AO 边上的高为1AO 2 6 2 3( 厘米), 故三角形 ACO 的面积为 6 3 9( 平方厘米). 而扇2452 ( 平方厘米), 进而阴影局部面积为形面积为 3.14 6 14. 1336014.13- 9=5.13( 平方厘米 ).9. 142.75.由正方形周长是 20 厘米, 可得正方形边长也就是圆的半径为 20 4 5( 厘米). 图形总面积为两个34圆面积加上正方形的面积 , 即32 ( 平方厘米).2410. 90平方厘米.图中阴影局部的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即2 12 2 3. 14 12(16 22)1212 1512(20 22)1290( 平方厘米).11. 如图作出辅助线 , 那么阴影局部的面积为三角形A10B EAED 的面积减去正方形 BEDO 的面积再加上圆面积的14. O D三角形 AED 的面积是1(10 10 2) (10 2) ; 正方形面2C积是 2(10 2) , 圆面积的14是14(10 22) , 故阴影局部面积为 :(10 10 2) (10 2)12 (1012 3.14 (10 2)42)237. 5 25 19.625 32. 125〔平方厘米〕 .12. 由半圆 S1 的面积是 14.13 平方厘米得半径的平方为14.13 2 3.14 9( 平方厘米 ), 故半径为 3 厘米, 直径为 6 厘米.又因圆 S2 的面积为平方厘米, 因此 S2 半径的平方为19.625 3.14 6.25( 平方厘米), 于是它的半径为 2.5 厘米, 直径为 5 厘米.阴影局部面积为(6 5) 5 5( 平方厘米).13. 因OA=OB , 故三角形 OAB 为等腰三角形 , 即OBA 1 15 , AOB 180 15 2 150 , 同理AOC 150 , 于是BOC 360 150 2 60 .60 2 扇形面积为360 (平方厘米).14. 正方形可以切割成两个底为 2, 高为 1 的三角形, 其面积为1 2 2 1 2 2 ( 平方厘米).正方形内空白局部面积为 4 个14圆即一个圆的面积与正方形面积之差 , 即12 ( 平方厘米), 全部空白局部面积为2( 2) 平方厘米.2 2故阴影局部面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差 , 即为12 ( 平方厘米 ).4 2 2( 2) 8十二、圆和组合图形〔2〕一、填空题1. 如图, 阴影局部的面积是 .2 1 22. 大圆的半径比小圆的半径长 6厘米, 且大圆半径是小圆半径的 4倍. 大圆的面积比小圆的面积大平方厘米 .3. 在一个半径是4.5 厘米的圆中挖去两个直径都是 2 厘米的圆. 剩下的图形的面积是平方厘米.( 取 3.14, 结果精确到 1 平方厘米 )4. 右图中三角形是等腰直角三角形 , 阴影局部的面积是 ( 平方厘米).5. 如图所求 , 圆的周长是 16.4 厘米, 圆的面积与长方形的面积正好相等 . 图中阴影局部的周长是厘米. ( 3.14 )6. 如图, 1 15 的圆的周长为 62.8 厘米, 平行四边形的面积为 100 平方厘米. 阴影局部的面积是 .7. 有八个半径为 1 厘米的小圆 , 用它们的圆周的一局部连成一个花瓣图形( 如图). 图中黑点是这些圆的圆心 . 若是圆周率 3.1416 , 那么花瓣图形的面积是平方厘米 .8. : ABCD是正方形, ED=DA=AF=2 厘米, 阴影局部的面积是 .C BGE D A F9. 图中, 扇形BAC的面积是半圆 ADB 的面积的11 倍, 那么, CAB 是度. 3CDA BO10. 右图中的正方形的边长是 2 厘米, 以圆弧为分界线的甲、乙两局部的面积差( 大减小) 是平方厘米.( 取 3.14)甲乙2二、解答题11. 如图: 阴影局部的面积是多少 ?四分之一大圆的半径为 r.( 计算时圆周率取22 )712. 右图中大正方形边长是 6 厘米, 中间小正方形边长是 4 厘米. 求阴影局部的面积 .13. 有三个面积都是 S的圆放在桌上 , 桌面被圆覆盖的面积是 2S+2, 并且重合的两块是等面积的 , 直线 a 过两个圆心 A、B, 若是直线 a 下方被圆覆盖的面积是9, 求圆面积 S的值.A B aC14. 以以下图, 一块半径为 2 厘米的圆板 , 从平面上 1 的地址沿线段 AB、BC、CD 滚到 2 的地址, 若是 AB、BC、CD的长都是 20 厘米, 那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米 ?12BD120AC———————————————答案——————————————————————1. 6.两个扇形面积相等 , 故阴影局部面积等于一个长为 3, 宽为 2 的长方形面积 , 为 6 个平方单位 .2. 188.4.小圆的半径为 6 (4 1) 2( 厘米), 大圆的半径为 2 4 8( 厘米). 大圆的面积比小圆的面积大(82 22( 平方厘米).3. 57.2 ( 平方厘米) ≈57( 平方厘米).24. 10.26.从圆中可以看出 , 阴影局部的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差 , 即3.14 (612 2 ( 平方厘米 ).25. 20.5.设圆的半径为 r, 那么圆面积即长方形面积为 2r , 故长方形的长为 DC r .1 5 ⌒阴影局部周长 DC BC BA AD r r ( r r) 2 r 2 r4 45 4 16.4 20.5 ( 厘米).6.548 ( 平方厘米 ).6如图, 连结 OA、AC, 过 A 点作 CD 的垂线交 CD 于B AE. 三角形 ACD 的面积为100 2 50( 平方厘米).又圆半径为 6.28 ( 3.14 2) 10 ( 厘米), 因为 1 15 , C E O1 D又 OA=OD , 故AOC 15 2 30 , 扇形 AOC 的面积为30 23. 14 10 2616( 平方厘米). 三角形 AOC的面积为 50 2 25( 平方厘米).360方形面积为1 126 25 1 ( 平方厘米), 进而阴影局部的面积为6 61 550 1 48 ( 平6 6方厘米). 7. 19.1416.花瓣图形的结构是正方形的面积 , 加上四个 3 4圆面积后, 再割去四个半圆的面积. 圆的半径为 1 厘米, 正方形边长为 4 厘米. 故花瓣图形的面积是43 12 ( 平方厘米 ).2 24 2C B8. 2.43 平方厘米.如图, 将①移到②得 : 阴影局部面积等于梯形 CEFB 的 ① ②G面积减去三角形 CED 、三角形 CDA 、扇形 AFG 的面积, 即 1 1 (2 2 3) 2 2 2 2 2 21 452 ( 平方厘22 360米 ).E DAF9. 60.设扇形 ABC 圆心角的度数是 x, 半圆的半径 OA=r , 有x 360 (2r 2 ) 1 13 12r 2, 解得 x= 60. 10. 0.14.2( 平方厘米), 甲局部面积为扇形面积为1 421 12 ( 平方厘米), 乙局部面积为 3.14 2 0.43 3.14 2 2 2 ( 平方 2 4厘米), 甲乙两局部面积差为 0.57 0.43 0.14 ( 平方厘米). 11. 如图, 小正方形的边长为 r 2, 那么①的面积为 :②1 4 22 7r 22 r r r 2 2 2 7,① ③221 22 r r 12②的面积为 r , ①和②的面积和为2 7 2 7 41 4 2271 22 2 2r r 2 r . 即阴影局部面积为4 7272r .12. 将阴影局部旋转后 , 可以看出所求阴影局部面积为大正方形面积的一半减2 ( 平方厘米).2去小正形的一半 , 即阴影局部面积等于 6 2 4 2 1013. 设一个阴影局部的面积为 x, 那么有: 3S 2x 2S 2, 于是S 2x 2 (1)3 4S 18又2S x 9 , 于是有 x 2, 解得 S=6.2 312 14. 圆板的正面滚过的局部如右图阴影局部所求 ,它的面积为 :1 2 1 22 (20 2) 4 4 2 6 ( 20 4)AB D4 (20 2) 4141 23 C2 ( 平方厘米 ).2 22 3面积计算〔三〕专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有必然的困难，这时，可以经过把其中 的局部图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

小学六年级数学奥数含答案及解题思路数学奥数一直被认为是考验学生数学综合能力的一种高水平考试。

对于小学六年级的学生来说，参加数学奥数的挑战可以帮助他们加深对数学的理解和应用能力。

本文将介绍一些小学六年级数学奥数的题目，并给出相应的答案和解题思路。

题目一：计算问题已知：9.6 + 5.3 = 14.9， 74.2 - 32.1 = 42.1求解：74.2 + 9.6 - 32.1 + 5.3 = ?答案：56.9解题思路：首先，利用小学阶段已学过的数学运算法则，按照先加后减的原则，先计算74.2 + 9.6 = 83.8，再减去32.1，得到答案56.9。

题目二：图形问题给定一个矩形ABCD，AB = 6cm，BC = 8cm。

在边AB上取一点E，使得AE = 2cm。

连接DE交BC于点F，连接AF，并且延长交矩形BC 延长线于点G。

求解角AFG的大小。

答案：90°解题思路：在矩形BCDG中，对角线交叉点上的角度一般为90°。

因此，角AFG的大小为90°。

题目三：逻辑问题根据下面的数字序列，找出规律，填入问号处。

2, 4, 8, 16, ? , 64答案：32解题思路：观察数字序列可以发现每个数都是前一个数的2倍。

因此，缺失的数字应该是16的2倍，即32。

题目四：计算器问题将计算器上的数字1234随机按下，得到一个四位整数。

求解这个四位整数最大可以是多少？答案：4321解题思路：由于计算器上的数字不能重复使用，所以最大的数应该是将数位上的数字从大到小排列，即4321。

题目五：几何题已知三角形ABC，其中∠B = 60°，BC = 5cm。

在边BC上取一点D，使得BD = 3cm。

连接AD并延长至交BC的延长线上的点E。

求解AE的长度。

答案：8cm解题思路：根据三角形相似定理，可以得出AB/BC = AE/EC。

已知AB = BC = 5cm，代入得5/5 = AE/(3+2)。