12哈夫曼树及其应用

财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
哈夫曼树与树的应用
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。

哈夫曼树定义
哈夫曼树是一种二叉树，它用来表示一组符号权值的最优编码。

它应用于编码论，通常用来代表数据权值的树。

哈夫曼树是指一种最短带宽传输时能够有效工作的最优编码树。

哈夫曼树是每个节点都包含一个权值的二叉树。

它的定义如下：每一个权值所构成的数据集合，其最优树形式是每一个数据项的权值都比它的子节点的权值大，最终形成一个哈夫曼树。

哈夫曼树的构建一般是以权值的大小为基础进行的，权值越大，在哈夫曼树上就越靠近根节点，在结点之间的路径越短，这样便可以减少树的总长度，可以加快数据的传输速度。

此外，哈夫曼树还可以用于实现多种额外的功能。

哈夫曼树的构建有一种特别的方法，叫做“哈夫曼编码”，它采用“编码”和“解码”的方法来把一个数据集分成不同的组，这些组就是哈夫曼树的节点。

每组的数据都含有一个权值，当这些组被组合到一起时，它们就构成了一棵哈夫曼树。

哈夫曼树的建立是低耗时的，最优建立方式是将权值数组排序，然后依次添加，添加过程为：先将最小的两个数字添加到根节点，再将它们的和也添加到根节点，重复此过程，直到所有数字都被添加完为止。

哈夫曼树在编码的时候，如果一个字符出现的次数越多，它的权值就越大，它就越接近根节点。

哈夫曼树及其应用一、基本术语1．路径和路径长度在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。

通路中分支的数目称为路径长度。

若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

2．结点的权及带权路径长度若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。

结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

3．树的带权路径长度树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：也称为树的代价，定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为：其中：n表示叶子结点的数目wi和li分别表示叶结点ki的权值和根到结点ki之间的路径长度。

二、哈夫曼树构造1．哈夫曼树的定义在权为w l，w2，…，w n的n个叶子所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。

【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。

构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。

2．哈夫曼树的构造假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。

n 个权值分别设为w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为：(1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为我们所求得的哈夫曼树。

下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如下图所示。

简述哈夫曼原理的应用1. 哈夫曼编码哈夫曼编码是一种用于数据压缩的无损编码方法，通过根据字符出现的频率来构建一个最优的二进制编码表。

具体过程如下：1.统计字符的频率：遍历待编码的文本，统计每个字符出现的频率。

2.构建哈夫曼树：根据字符频率构建哈夫曼树，频率越高的字符距离根节点越近。

3.生成哈夫曼编码表：从根节点开始，左子树编码为0，右子树编码为1，通过深度优先遍历生成每个字符的编码。

4.进行编码：用生成的编码表将文本中的字符替换为对应的哈夫曼编码，从而实现数据的压缩。

哈夫曼编码的应用可以大大减少数据的存储空间，常见的应用场景包括文本文件压缩、图片文件压缩等。

2. 音频压缩在音频压缩中，哈夫曼编码经常被用来压缩音频数据。

音频数据通常包含大量的冗余信息，利用哈夫曼编码可以消除这些冗余并减小数据体积。

具体步骤如下：1.分析音频数据的频谱：将音频数据转换为频域数据，通过傅里叶变换等方法提取频谱特征。

2.统计频谱特征的出现频率：根据频谱特征的出现频率构建哈夫曼树。

3.生成哈夫曼编码表：根据哈夫曼树生成对应的哈夫曼编码表。

4.进行编码：利用哈夫曼编码表将频谱特征进行编码，替代原始的音频数据。

通过音频压缩可以减小音频文件的大小，提高存储效率，同时保证音质的基本不损失。

3. 图像压缩图像压缩是指将图像数据压缩为更小的文件大小，同时尽量保持图像的视觉质量不受太大影响。

哈夫曼编码在图像压缩中也有着广泛的应用。

具体应用如下：1.图像预处理：将图像转换为灰度图或者进行颜色空间的变换。

2.图像分块：将图像划分为若干个小块，每个小块包含多个像素点。

3.统计每个小块中像素点的频率：根据像素点的灰度值统计频率，并构建哈夫曼树。

4.生成哈夫曼编码表：根据哈夫曼树生成对应的哈夫曼编码表。

5.进行编码：利用哈夫曼编码表将图像数据进行编码，代替原始的像素值。

图像压缩技术通过减少冗余信息和去除人眼不敏感的细节，可以大幅度减小图像文件的大小，常见的图像压缩格式如JPEG就广泛应用了哈夫曼编码。

哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树（Huffman Tree）是一种重要的数据结构，它在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用。

1. 数据压缩：哈夫曼树是一种无损压缩的方法，能够有效地减小数据的存储空间。

在进行数据压缩时，可以使用哈夫曼树构建字符编码表，将出现频率较高的字符用较短的编码表示，而出现频率较低的字符用较长的编码表示，从而减小数据的存储空间。

2. 文件压缩：在文件压缩领域，哈夫曼树被广泛应用于压缩算法中。

通过构建哈夫曼树，可以根据字符出现的频率来生成不同长度的编码，从而减小文件的大小。

常见的文件压缩格式如ZIP、GZIP等都使用了哈夫曼树。

3. 图像压缩：在图像处理中，哈夫曼树被用于图像压缩算法中。

通过将图像中的像素值映射为不同长度的编码，可以减小图像的存储空间，提高图像传输和存储的效率。

常见的图像压缩格式如JPEG、PNG等都使用了哈夫曼树。

4. 文件传输：在数据传输中，哈夫曼树被用于数据压缩和传输。

通过对数据进行压缩，可以减小数据的传输时间和带宽占用。

在传输过程中，接收方可以通过哈夫曼树解码接收到的数据。

5. 数据加密：在数据加密中，哈夫曼树可以用于生成密钥，从而实现数据的加密和解密。

通过将字符映射为不同长度的编码，可以实
现对数据的加密和解密操作。

哈夫曼树在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用，能够有效地减小数据的存储空间、提高数据传输效率、实现数据加密等功能。

32
F
K
11110
111111 110
F 24
0
Z 2
1
K 7
L
U
Z

100
111110
哈夫曼编码的效率。
我们定义该编码方案的平均编码长度为： B(T)=(c1p1+ c2p2 +…+ cnpn)/pt 其中： ci和pi是字符集中第i个字符的代码长度及 其相对频率，pt是字符集的总频率。对本例计算平 均编码长度≈2.565 若采用固定长度编码，每个字母需log28=3位， 而哈夫曼编码只需2.565位，节省空间约12%。 哈夫曼编码对于典型的文本文件将比ASCII编 码节省约40%的空间。
用途：用于通信和数据传送中字符的二进制编码，可以 使文件编码总长度最短。 例字符集： C D E F K L U Z 频 率：32 42 120 24 7 42 37 2
306
0
1 186
C D E
1110 101 0
E 79 0 1 120 0 U D 37 42
1 107 1 65 0 1 L 0 33 42 C 0 1 9
哈夫曼树及其应用
1.问题的提出
在程序设计中，常用一个代码来表示一个 元素，标准ASCII码就是一个例子。它用log2128 即7位提供了128个不同的代码来表示ASCII表中 的128个字符。假设所有代码都等长，则表示n 个不同的代码需要log2n位，称为固定长度编码 （如ASCII码）。如果每个字符的使用频率相等， 则固定长度编码的空间效率最高。但事实上，每 个字符的使用频率并非一样。
if (socre<60) printf(“bad”); else if (socre<70) printf(“pass”); else if (score<80) printf(“general”); else if (score<90) printf(“good”); esle printf(“very good”);

哈夫曼树经典例题哈夫曼树是一种经典的缩小数据存储空间的算法。

它是由David Huffman在1952年提出的，被广泛应用于数据压缩、编码和解码等领域。

本文将介绍哈夫曼树的定义、构建算法和常见的应用示例。

一、哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它的构建基于一组给定的权值集合。

每个权值都与二叉树中的一个叶子节点相关联。

哈夫曼树的特点是权值较大的节点越接近于根节点，权值较小的节点越接近于叶子节点。

这种结构使得较高频率的字符具有较短的编码，而较低频率的字符具有较长的编码，从而达到压缩数据的目的。

二、哈夫曼树的构建算法哈夫曼树的构建算法主要分为以下几个步骤：1. 创建一个权值表，记录每个字符的权值。

2. 将权值表按照权值从小到大进行排序。

3. 选择权值最小的两个字符，创建一个新的内部节点，将这两个字符作为其子节点，并将其权值设为这两个字符的权值之和。

4. 将新创建的节点插入到排序后的权值表中，并删除原先两个节点。

5. 重复步骤3和步骤4，直到只剩下一个节点，即根节点为止。

三、哈夫曼树的应用示例：数据压缩数据压缩是哈夫曼树最常见的应用之一。

在压缩数据时，哈夫曼树根据字符出现的频率进行构建，将频率较高的字符用较短的编码表示，而频率较低的字符用较长的编码表示，从而达到压缩数据的目的。

举个例子，假设我们要压缩一个文本文件，其中包含6个不同的字符：A: 2次B: 3次C: 4次D: 4次E: 5次F: 6次首先，我们根据字符频率构建哈夫曼树。

按照步骤2，我们将字符按照频率从小到大排序，得到以下顺序：A, B, C, D, E, F然后，按照步骤3和步骤4，我们构建哈夫曼树的过程如下：1. 构造A和B的新节点AB，权值为2+3=5，得到新权值表：AB, C, D, E, F2. 构造AB和C的新节点ABC，权值为5+4=9，得到新权值表：ABC, D, E, F3. 构造D和E的新节点DE，权值为4+5=9，得到新权值表：ABC, DE, F4. 构造ABC和DE的新节点ABCDE，权值为9+9=18，得到新权值表：ABCDE, F5. 构造ABCDE和F的新节点全集，权值为18+6=24，得到最终的哈夫曼树。

15
40 a
30 b
5
c
10 d
15 e
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
30
40 a
30 b
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15 e
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二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优
i=1 n
二叉树”或称为“哈夫曼树”。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的值为{w1,w2,...wn}，构 造一棵最优二叉树。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ②方法：
步骤1:构造一个具有n棵二叉树的森林F={T1,T2,......,Tn}， 其中Ti是只有一个根结点且根结点的权值为wi的二叉树。 步骤2:在F中选取两棵其根结点的权值最小的二叉树，从F 中删除这两棵树，并以这两棵二叉树为左右子树构造一棵 新的二叉树添加到F中，该新的二叉树的根结点的权值为 其左右孩子二叉树的根结点的权值之和。 步骤3:判断F中是否只有唯一的一棵二叉树。若是，则求 解过程结束；否则，转步骤2。
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ②压缩编码：
例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 下不等长编码方案进行编码： A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一：
二、哈夫曼树及其应用

哈夫曼树的总结引言哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于无损数据压缩的重要数据结构。

它是由美国数学家大卫·哈夫曼于1952年提出的，被广泛应用于各种领域，如文件压缩、网络传输、数据存储等。

哈夫曼树的概念哈夫曼树是一种二叉树，其中每个叶子节点代表一个字符，且树的形状是通过字符出现频率构造而成的。

哈夫曼树的特点是，出现频率高的字符位于树的较低层，频率低的字符位于树的较高层，使得出现频率高的字符用较少的编码表示，出现频率低的字符用较多的编码表示，达到数据压缩的目的。

哈夫曼编码哈夫曼树的构建过程中，每个字符的出现频率是关键。

为了压缩数据，我们需要为每个字符分配一个唯一的二进制编码。

哈夫曼编码是通过哈夫曼树来生成的，它保证了没有任何一个字符的编码是其他字符编码的前缀，因此可以方便地进行数据的解压。

构建哈夫曼树的步骤构建哈夫曼树的步骤一般如下：1.统计每个字符的出现频率。

2.将每个字符作为一个单独的树节点，构建一个森林。

3.从森林中选择出现频率最低的两棵树合并为一棵新的树，新树的权重为两棵树的权重之和。

4.将新树放回森林，重复步骤3，直到森林中只剩下一棵树，即哈夫曼树。

5.对每个叶子节点，根据路径从根节点到该叶子节点的方向，赋予唯一的二进制编码。

哈夫曼树的性质哈夫曼树具有以下几个重要的性质：1.哈夫曼树是一棵最优二叉树，即带权路径长度最短的二叉树。

2.哈夫曼树的带权路径长度是所有叶子节点的权重乘以路径长度的总和。

3.哈夫曼树的路径长度定义为从树根到叶子节点的路径上的边的数量。

4.哈夫曼树的路径长度最小，即带权路径最短，适用于数据压缩等场景。

哈夫曼树的应用哈夫曼树广泛应用于数据压缩和编码领域。

通过构建哈夫曼树和哈夫曼编码，可以实现文本、图像等数据的无损压缩。

此外，哈夫曼树还被用于文件传输、网络传输等场景，可以大大提高数据传输效率和降低带宽消耗。

总结哈夫曼树是一种重要的数据结构，通过构建哈夫曼树和哈夫曼编码，可以实现数据的无损压缩和高效传输。

哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树在实际中有许多应用，以下是一些例子：
1. 数据压缩：哈夫曼树常用于数据压缩算法，如哈夫曼编码。

哈夫曼编码是一种前缀编码，它可以将数据中的字符编码为二进制字符串，使得平均编码长度最短，从而达到数据压缩的效果。

2. 文件存储：在文件存储中，哈夫曼树可以用于数据存储和检索。

例如，可以使用哈夫曼树来存储文件索引，以便快速找到文件。

3. 图像处理：在图像处理中，哈夫曼树可以用于图像压缩和编码。

例如，可以使用哈夫曼树来编码图像中的像素值，从而减小图像文件的大小。

4. 通信网络：在通信网络中，哈夫曼树可以用于数据传输和调度。

例如，可以使用哈夫曼树来优化数据的传输路径和顺序，以提高网络传输的效率和可靠性。

5. 数据库优化：在数据库优化中，哈夫曼树可以用于索引和查询处理。

例如，可以使用哈夫曼树来构建索引，以便快速检索数据库中的数据。

总的来说，哈夫曼树在许多领域中都有广泛的应用，特别是在需要数据压缩、文件存储、图像处理、通信网络和数据库优化的领域中。

数据结构课程设计实验报告哈夫曼树的应用计算机学院信管专业数据结构课程设计题目：哈夫曼树的应用班级：姓名：学号：同组人姓名：起迄日期：课程设计地点:指导教师：完成日期：2012年12月目录一、需求分析 (3)二、概要设计 (4)三、详细设计 (6)四、调试分析和测试结果 (7)五、心得体会和总结 (10)六、参考文献 (10)七、附录 (11)一、需求分析（一）实验要求要求用到数据结构课上学到的线性表的知识，所以就要充分而清晰的理解关于线性表的知识。

要求实现的基本功能很简单，只有删除和插入，增加功能也不过是加上修改。

这些在数据结构课上已经讲过，只要能够理解关于线性表的几个相关的基本算法就可以了。

问题是将输入的信息保存入文件和从文件输出。

这里基本是自学的内容，而且要考虑到是否要自行选择保存的磁盘。

综上，做这个课题，要具备的知识就是线性表的基本算法，文件的保存和读取算法，必要的C或者C++知识（本次我将使用C++实现），以及丰富的程序调适经验。

（二）实验任务一个完整的系统应具有以下功能：功能1．从终端读入字符集大小n，以及n个字符和n个权值，建立哈夫曼树并将它存于文件hfmTree中.将已在内存中的哈夫曼树以直观的方式（比如树）显示在终端上；功能2．利用已经建好的哈夫曼树（如不在内存，则从文件htmTree中读入），对文件ToBeTran中的正文进行编码，然后将结果存入文件CodeFile中，并输出结果，将文件CodeFile以紧凑格式先是在终端上，每行50个代码。

同时将此字符形式的编码文件写入文件CodePrint中。

功能3．利用已建好的哈夫曼树将文件CodeFile中的代码进行译码，结果存入文件TextFile中，并输出结果。

（三）实验步骤分步实施：1）初步完成总体设计，搭好框架，确定人机对话的界面，确定函数个数；2）完成最低要求：完成功能1；3）进一步要求：完成功能2和3。

有兴趣的同学可以自己扩充系统功能。

哈夫曼树和哈夫曼编码的原理和应用领域哈夫曼树（Huffman Tree）和哈夫曼编码（Huffman Coding）是数据压缩领域中常用的算法。

哈夫曼编码通过对出现频率较高的字符使用较短的编码，对出现频率较低的字符使用较长的编码，从而实现对数据进行高效压缩。

本文将介绍哈夫曼树和哈夫曼编码的原理以及它们在通信和存储领域的应用。

一、哈夫曼树的原理哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它的构建基于贪心算法。

首先，根据字符出现的频率构建一组叶子节点，每个叶子节点代表一个字符，并且带有该字符出现的频率。

接着，从这组叶子节点中选择出现频率最低的两个节点，将它们合并成一个新的节点，并将这个新节点的频率设置为两个节点频率之和。

新节点成为新的叶子节点，参与下一次的合并。

重复这个过程，直到最终只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。

二、哈夫曼编码的原理在哈夫曼树构建完成后，我们根据哈夫曼树的结构来为每个字符生成对应的编码。

对于每个字符，从根节点出发，向左子树走表示添加编码的0，向右子树走表示添加编码的1，直到到达叶子节点。

将每个字符的编码保存起来，就得到了哈夫曼编码。

由于哈夫曼树的构建过程保证了频率较高的字符拥有较短的编码，而频率较低的字符拥有较长的编码，所以哈夫曼编码具有前缀码的特性。

即任何一个字符的编码都不是其他字符编码的前缀，这样在进行解码的时候就不会出现歧义。

三、哈夫曼编码的应用领域1. 数据压缩：哈夫曼编码常被用于数据的无损压缩，通过将频率较高的字符用较短的编码表示，可以大大减小数据的存储空间。

2. 文件传输：在文件传输过程中，为了减小文件的大小，常常会使用哈夫曼编码对文件进行压缩，减少网络传输的时间和带宽占用。

3. 图像压缩：哈夫曼编码在图像压缩中也有广泛的应用。

通过对图像像素点进行编码，可以显著减小图像文件的体积，提高图像在传输和存储中的效率。

4. 视频压缩：在视频压缩中，哈夫曼编码被用于对视频帧中的运动矢量、亮度和色度信息进行编码，从而减小视频文件的大小。

数据结构课程设计哈夫曼树数据结构课程设计 - 哈夫曼树一、引言哈夫曼树（Huffman Tree）是一种经典的数据结构，常被用于数据压缩和编码中。

它是一种特殊的二叉树，具有最优的前缀编码性质。

本文将详细介绍哈夫曼树的定义、构建方法以及应用场景。

二、哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种满足以下条件的二叉树：1. 所有的叶子节点都带有权值；2. 没有度为1的节点；3. 任意两个叶子节点的路径长度不相同。

三、哈夫曼树的构建方法1. 构建哈夫曼树的基本思想是将权值较小的节点放在较低的层次，权值较大的节点放在较高的层次；2. 首先，根据给定的权值集合，将每一个权值看做一个独立的节点；3. 然后，选择两个权值最小的节点，将它们合并为一个新节点，并将新节点的权值设置为这两个节点的权值之和；4. 重复上述步骤，直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。

四、哈夫曼编码哈夫曼编码是一种变长编码方式，用于将字符转换为二进制编码。

它的特点是没有编码冗余，即每一个字符的编码都不是其他字符编码的前缀。

这种编码方式可以大幅度减小数据的存储空间和传输带宽。

五、哈夫曼树的应用场景1. 数据压缩：哈夫曼树可以根据字符浮现的频率构建最优的编码方式，从而实现数据的高效压缩；2. 文件压缩：将文件中的字符转换为哈夫曼编码，可以大幅度减小文件的大小；3. 图象压缩：将图象中的像素值转换为哈夫曼编码，可以实现图象的无损压缩；4. 视频压缩：将视频中的帧数据转换为哈夫曼编码，可以减小视频文件的大小。

六、哈夫曼树的时间复杂度和空间复杂度1. 构建哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为权值的个数；2. 哈夫曼编码的时间复杂度为O(n)，其中n为字符的个数；3. 哈夫曼树的空间复杂度为O(n)，其中n为权值的个数。

七、总结哈夫曼树是一种重要的数据结构，具有广泛的应用场景。

通过构建最优的编码方式，可以实现高效的数据压缩和编码。

掌握哈夫曼树的定义、构建方法以及应用场景，对于数据结构课程的学习和实践具有重要意义。

哈夫曼树算法用途哈夫曼树是一种常用的数据压缩算法，广泛应用于文件压缩、图像压缩、音频压缩等领域。

它可以根据数据的频率分布构建一颗最优的二叉树，从而实现数据的高效压缩和解压缩。

下面将从哈夫曼树的原理、构建方法和应用领域等方面进行详细阐述。

首先，我们来了解一下哈夫曼树的原理。

哈夫曼树是一颗带权路径长度最短的二叉树，其带权路径长度是指所有叶子结点的权值乘以其到根结点的路径长度之和。

对于一组给定的权值集合，构建哈夫曼树的过程是这样的：首先将权值按照从小到大的顺序排序，然后取权值最小的两个结点作为叶子结点，构建一个新的父节点，其权值为两个叶子结点的权值之和。

将这个新的父节点插入到原来的集合中，重复上述步骤直到只剩下一个根结点为止。

最终构建出的二叉树就是一颗哈夫曼树。

接下来，我们来介绍一下哈夫曼树的构建方法。

构建哈夫曼树的核心思想是贪心算法，即每次都选择权值最小的两个结点进行合并。

具体的构建步骤如下：1. 将待构建哈夫曼树的结点按照权值从小到大排序。

2. 创建一个空的哈夫曼树，将权值最小的两个结点作为叶子结点插入到树中，并创建一个新的父节点，其权值为这两个结点的权值之和。

3. 将这个新的父节点插入到原来的结点集合中，并将原来的两个结点从集合中删除。

4. 重复上述步骤，直到只剩下一个根结点为止，构建出的二叉树就是一颗哈夫曼树。

构建哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为叶子结点的个数。

由于每次都需要排序，所以效率较低。

为了提高效率，可以使用最小堆这种数据结构来快速选择权值最小的结点。

哈夫曼树的应用领域非常广泛。

其中最为重要的应用之一就是数据压缩。

在计算机存储和传输过程中，数据通常需要经过压缩以减小存储空间和传输带宽。

哈夫曼树作为一种高效的数据压缩算法，可以根据数据的频率分布来构建一个最优的编码表，将频率高的字符用较短的编码表示，而将频率低的字符用较长的编码表示，从而实现数据的高效压缩。

在文件压缩中，哈夫曼树可以根据不同字符的出现频率来构建一个相对最优的编码表，然后将文件中的字符按照这个编码表进行替换。

哈夫曼树hufferman构成原理应用及其数学证明哈夫曼树（Huffman Tree），又称最优树，它是一种常用的编码技术，它是一种十分高效的字符编码技术， 它主要是通过对字符按照出现频率高低进行分组，从而构成一颗树；每个字符的编码由树的层次顺序确定，字符越靠近根节点，编码越短，且编码长度与概率成正比，最后得出最优（最短）编码。

哈夫曼树构成原理：哈夫曼树构成原理是通过将信源字符重新按照概率顺序构成一棵有序树来实现的，即带有权值的叶子节点的树。

例如，某信源由四种字符A，B，C，D组成，出现的概率分别为p1，p2，p3，p4。

则可以构成一棵哈夫曼树。

首先，将四个字符依据概率从大到小重新排列，得到ABCD，依据概率大小选择A和B两个字符，以他们为叶子节点构成根节点，这样就分出了两颗子树。

接着将C和D两个字符以此作为叶子节点构成另外两棵子树，将他们与上面的根节点联接在一起，当初始树建立完毕，就得到了一棵哈夫曼树。

哈夫曼树数学证明：证明哈夫曼树是最优树：假设一棵信源树的叶子节点有n个，则此树的权重之和为：w1+w2+…+wn，其中wi是叶子节点i的权重，建立该信源树的目标是将其权重之和最小化，而在没有违反信源编码原理的前提下，树的最小权重之和也就是最优树的权重之和。

假设w1～wn分别为叶子节点1～n的权重，从大到小排列为w1，w2，…，wn，一棵以w1，w2，…，wn为叶子节点的最优树的权重之和为：T（w1，w2，…，wn）=w1+w2+…+wn+2（w1+w2）+2（w1+w2+w3）+……+2（w1+w2+…+wn-1）＝2（w1+w2+…+wn-1）+wn ＝2T（w1，w2，…，wn-1）+wn由上式可知，最优树的权重之和T（w1，w2，…，wn）是由T （w1，w2，…，wn-1）和wn组成的，也就是说，每次取出w1，w2，…，wn中的最大者wn作为树的一个节点，其余的作为树的另一个节点，而每一次节点的选取都是满足最优化条件的，因此一棵满足最优树条件的树就是哈夫曼树，而此树的权重之和也就是最优树的权重之和．从上述可以看出，哈夫曼树构成原理和哈夫曼树数学证明都支持哈夫曼树是最优树的观点，因此哈夫曼树是一种有效的编码技术。

哈夫曼编码的实现及应用哈夫曼编码是一种可变长度编码的方法，它是由大名鼎鼎的美国数学家大卫·哈夫曼（David Huffman）于1952年提出的，用于有效地压缩数据。

在哈夫曼编码中，出现频率较高的字符被赋予较短的编码，而出现频率较低的字符则被赋予较长的编码，以达到尽可能减少编码长度的目的。

下面将在实现和应用这两个方面详细介绍哈夫曼编码。

首先是哈夫曼编码的实现。

哈夫曼编码的实现过程可以分为两个主要步骤：构建哈夫曼树和生成编码表。

构建哈夫曼树的步骤如下：1.统计待编码的字符出现的频次，并根据频次构建一个包含这些字符的节点集合。

2.从节点集合中选取频次最小的两个节点，合并成一个新节点，频次为这两个节点的频次之和，并将新节点加入节点集合中。

3.重复上述步骤，直到节点集合中只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。

生成编码表的步骤如下：1.从哈夫曼树的根节点开始，按照左子树标记0、右子树标记1的规则，遍历树的每个节点。

2.当遇到叶子节点时，将节点的字符与路径上的标记组合成该字符的哈夫曼编码，并将字符与编码添加到编码表中。

3.继续遍历树的下一个节点，直到所有节点都被遍历完。

在实现哈夫曼编码时，可以使用优先队列（例如最小堆）来选择频次最小的节点，以提高效率。

接下来是哈夫曼编码的应用。

哈夫曼编码在数据压缩领域有着广泛的应用。

以文本文件为例，由于文本中一些字符出现的频率较高，而另一些字符出现的频率较低，使用固定长度编码（如ASCII码）来存储文本会浪费存储空间。

而利用哈夫曼编码可以将频次较高的字符用较短的编码来表示，从而实现数据的压缩。

另外，哈夫曼编码也被用于网络传输数据的压缩。

在网络传输中，数据量大、传输速率有限，因此需要将数据进行压缩以减少传输时间和带宽占用。

通过使用哈夫曼编码，可以将数据进行压缩后再传输，接收端再进行解码还原为原始数据。

这样既减小了传输数据的大小，又提高了传输效率。

此外，哈夫曼编码还被广泛应用于图像和音频等多媒体数据的压缩。

8 11 11 0 0
9 8 11 1 7
10 15 12 3 4
哈夫曼树
11 19 13 8 9 12 29 14 5 10
哈夫曼树对应的静态三叉链表13 58 15 6 11
14 100 0 13 14
w,p,lch,rch 是 weight,parent, lchild,rchild
的缩写
哈夫曼算法
如何得到使二进制 串总长最短编码
应用中每个字符的使用频率是不一样的。显然，为使传输 的二进制串尽可能的短，使用频率高的字符用较短编码，使用 频率低的字符用较长编码,电文总长= 原文中字符总数（字符x 使用频率 字符x编码长度）
为设计电文总长最短编码，可通过构造以字符使用频率作 为权值的哈夫曼树实现。
例 某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为 0.05,0.29,0.07,0.08, 0.14,0.23, 0.03,0.11。构造以字符使用频率作为权值的哈夫曼 树。，将权值取为整数w=(5,29,7,8,14,23,3,11)，按哈夫曼算法构造的一棵哈夫曼 树如下：
Y
a<70 N C
a<80
N a<90 Y
N
B
A
4 哈夫曼编码
哈夫曼树除了能求解最优判定问题解，还用于其他一些最优问题的
求解。这里介绍用哈夫曼树求解数据的二进制编码。
在进行数据通讯时，涉及数据编码问题。所谓数据编码就是数据与
二进制字符串的转换。例如：邮局发电报，发送方将原文转换成二进制
字符串，接收方将二进制字符串还原成原文。
1）构造以 a、b、c、d、e、f、g、h为叶子结点的二叉树； 2）将该二叉树所有左分枝标记 0，所有右分枝标记1；