北师大版八年级上册数学第一章练习题
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北师大版八年级数学上册第一章章节测试题及答案一、选择题(共11小题)1. 一个直角三角形的三边长分别为,,,则为A. B. C. D. 或2. 如图,一个工人拿一个米长的梯子,底端放在距离墙根点米处,另一头点靠墙,如果梯子的顶部下滑米,梯子的底部向外滑多少米?A. B. C. D.3. 如图所示,正方体的棱长为,一只蜘蛛从正方体的一个顶点爬行到另一个顶点,则蜘蛛爬行的最短距离的平方是A. B. C. D.4. 【例】下列结论中,错误的有①在中,已知两边长分别为和,则第三边的长为;②的三边长分别为,,,若,则;③在中,若,则是直角三角形;④若三角形的三边长之比为,则该三角形是直角三角形.A. 个B. 个C. 个D. 个5. 如图,有一个直角三角形纸片,两直角边,,现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上,且与重合,则等于A. B. C. D.6. 如图,有一个池塘,其底面是边长为尺的正方形,一个芦苇生长在它的中央,高出水面部分为尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的.则这根芦苇的长度是A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7. 如图所示,有一个高,底面周长为的圆柱形玻璃容器,在外侧距下底的点处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一只苍蝇,则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是A. B. C. D.8. 硬币有数字的一面为正面,另一面为反面.投掷一枚均匀的硬币一次,硬币落地后,可能性最大的是A. 正面向上B. 正面不向上C. 正面或反面向上D. 正面和反面都不向上9. 张瑞同学制作了四块全等的直角三角形纸板,准备复习功课用,六岁的弟弟看到纸板随手做拼图游戏,结果七拼八凑地拼出了如图所示的图形.张瑞热爱思考,借助这个图形设计了一道数学题:如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形,设,,则斜边的长为A. B. C. D.10. 如图所示,矩形纸片中,,,现将其沿EF对折,使得点与点重合,则的长为A. B. C. D.11. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为米,顶端距离地面米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面米,则小巷的宽度为A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10小题)12. 如图所示,,,,,则.13. 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边,,现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上,点与点重合,则长为.14. 如图,在一个长为米,宽为米的纸板上有一长方体木块,它的长和纸板宽平行且大于,木块的正面是边长为米的正方形,一只蚂蚁从处爬行到处需要走的最短路程是米.15. 已知三角形的三边长分别为,,,则此三角形面积是.16. 如图,在离水面高度为米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子的长为米,此人以米每秒的速度收绳,秒后船移动到点的位置,问船向岸边移动米.(假设绳子是直的)17. 如图,在中,,,,点在上,将沿折叠,使点落在边上的点处,则的长为 .18. 小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边远的水底,竹竿高出水面,当他把竹竿的顶端拉向岸边时,竹竿和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为.19. 如图,在中,,分别以,,为边向外作正方形,面积分别记为,,,若,,则.20. 阅读下列题目的解题过程:已知,,为的三边,且满足,试判断的形状.解:,(A),(B),(C)是直角三角形.问:()上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;()错误的原因为;()本题正确的结论为 .21. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何?译文为“今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有尺,牵索沿地面退行,在离木柱根部尺处时,绳索用尽.问绳索长是多少?示意图如下图所示,设绳索的长为尺,木柱的长用含的代数式表示为尺,根据题意,可列方程为.三、解答题(共7小题)22. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边,,将折叠,使点与点重合,折痕为,求的长.23. 如图,有一只小鸟在一棵高的小树的树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树,高的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,该小鸟立刻以的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少经过几秒才能到达大树和伙伴在一起?24. 列方程解下列应用题.如图,,厘米,点从点开始沿边向点移动,的速度为厘米/秒.点同时从点开始沿边向移动,的速度为厘米/秒.几秒后,两点相距厘米?25. 如图所示,若,,,,,,则的度数是多少?26. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为,以格点为线段的端点,按下列要求仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹,不写作法与证明).(1)在图中画一条线段,使,并标出的中点;(2)在图中画一条线段,使,并标出的中点.27. 如图,在长方形中,,,是边的中点,是线段上的动点,将沿所在直线折叠得到,连接,求的最小值.28. 如图,某学校(点)到公路(直线)的距离为,到公交站(点)的距离为,现要在公路边上建一个商店(点),使之到学校及到车站的距离相等,求商店与车站之间的距离.答案1. D2. D【解析】米,米,(米),梯子的顶部下滑米,米,米,米.梯子的底部向外滑出(米).3. D【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上,连接,如图所示,爬行的最短路径为线段.由勾股定理得,,故选D.4. C【解析】①在中,已知两边长分别为和,则第三边的长为或,错误;②的三边长分别为,,,若,则,错误;③在中,若,则是直角三角形,正确;④若三角形的三边长之比为,则该三角形是直角三角形,正确;故选:C.5. A【解析】在中,由勾股定理可知:,由折叠的性质可知:,,,,,设,则,,在中,由勾股定理得:,即,解得:,.6. D【解析】设芦苇长尺,则水深尺,因为边长为尺的正方形,所以尺.在中,,解之得,即水深尺,芦苇长尺.故选:D.7. C【解析】如图展开后连接,求出的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径,过作于,则,,在中,由勾股定理得:,答:捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是.8. C【解析】A.正面向上的可能性为;B.正面不向上的可能性为;C.正面或反面向上的可能性为;D.正面和反面都不向上的可能性为.9. C【解析】设,则,,,,,,.10. B【解析】设,则 .矩形纸片中,,,现将其沿对折,使得点与点重合,.在中,,.解得 .11. A【解析】如图,在中.,米,米,,.在中,,米,,..,米,米.即小巷的宽度为米,故答案选A.12.【解析】,,,,;;.13.14.【解析】如图,将木块看成是由纸片折成的,将其拉平成一个长方形,连接,米,米,,米,妈蚁从处爬行到处需要走的最短路程为米.15.16.【解析】在中:,米,米,(米),此人以米每秒的速度收绳,秒后船移动到点的位置,(米),(米),(米),答:船向岸边移动了米.17.18. 米【解析】若假设竹竿长米,则水深米,由题意得,,解之得,.所以水深米.19.【解析】中,,,.,,,.20. C,没有考虑的情况,是等腰三角形或直角三角形21. ,【解析】;由题意可知,由勾股定理可得.22. 由题意得;设,则,,在中,根据勾股定理得:,即,解得;即.23. 这只小鸟至少经过才能到达大树和伙伴在一起.24. 秒或秒25. 在中,,,,所以,所以是直角三角形,且,在中,,,,所以,所以是直角三角形,且,所以.26. (1)如图,,点为线段的中点.(2)如图,,点为线段的中点.27. 如图,当,点在上时,的值最小.根据折叠的性质,得,所以, .因为是边的中点,,所以 .因为,所以,所以 .28. 过点作于点,,,,设,则,在中,,,.北师大版八年级数学上册第一章章节测试题及答案一、选择题(共11小题)1. 一个直角三角形的三边长分别为,,,则为A. B. C. D. 或2. 如图,一个工人拿一个米长的梯子,底端放在距离墙根点米处,另一头点靠墙,如果梯子的顶部下滑米,梯子的底部向外滑多少米?A. B. C. D.3. 如图所示,正方体的棱长为,一只蜘蛛从正方体的一个顶点爬行到另一个顶点,则蜘蛛爬行的最短距离的平方是A. B. C. D.4. 【例】下列结论中,错误的有①在中,已知两边长分别为和,则第三边的长为;②的三边长分别为,,,若,则;③在中,若,则是直角三角形;④若三角形的三边长之比为,则该三角形是直角三角形.A. 个B. 个C. 个D. 个5. 如图,有一个直角三角形纸片,两直角边,,现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上,且与重合,则等于A. B. C. D.6. 如图,有一个池塘,其底面是边长为尺的正方形,一个芦苇生长在它的中央,高出水面部分为尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的.则这根芦苇的长度是A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7. 如图所示,有一个高,底面周长为的圆柱形玻璃容器,在外侧距下底的点处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一只苍蝇,则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是A. B. C. D.8. 硬币有数字的一面为正面,另一面为反面.投掷一枚均匀的硬币一次,硬币落地后,可能性最大的是A. 正面向上B. 正面不向上C. 正面或反面向上D. 正面和反面都不向上9. 张瑞同学制作了四块全等的直角三角形纸板,准备复习功课用,六岁的弟弟看到纸板随手做拼图游戏,结果七拼八凑地拼出了如图所示的图形.张瑞热爱思考,借助这个图形设计了一道数学题:如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形,设,,则斜边的长为A. B. C. D.10. 如图所示,矩形纸片中,,,现将其沿EF对折,使得点与点重合,则的长为A. B. C. D.11. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为米,顶端距离地面米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面米,则小巷的宽度为A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10小题)12. 如图所示,,,,,则.13. 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边,,现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上,点与点重合,则长为.14. 如图,在一个长为米,宽为米的纸板上有一长方体木块,它的长和纸板宽平行且大于,木块的正面是边长为米的正方形,一只蚂蚁从处爬行到处需要走的最短路程是米.15. 已知三角形的三边长分别为,,,则此三角形面积是.16. 如图,在离水面高度为米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子的长为米,此人以米每秒的速度收绳,秒后船移动到点的位置,问船向岸边移动米.(假设绳子是直的)17. 如图,在中,,,,点在上,将沿折叠,使点落在边上的点处,则的长为 .18. 小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边远的水底,竹竿高出水面,当他把竹竿的顶端拉向岸边时,竹竿和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为.19. 如图,在中,,分别以,,为边向外作正方形,面积分别记为,,,若,,则.20. 阅读下列题目的解题过程:已知,,为的三边,且满足,试判断的形状.解:,(A),(B),(C)是直角三角形.问:()上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;()错误的原因为;()本题正确的结论为 .21. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何?译文为“今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有尺,牵索沿地面退行,在离木柱根部尺处时,绳索用尽.问绳索长是多少?示意图如下图所示,设绳索的长为尺,木柱的长用含的代数式表示为尺,根据题意,可列方程为.三、解答题(共7小题)22. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边,,将折叠,使点与点重合,折痕为,求的长.23. 如图,有一只小鸟在一棵高的小树的树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树,高的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,该小鸟立刻以的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少经过几秒才能到达大树和伙伴在一起?24. 列方程解下列应用题.如图,,厘米,点从点开始沿边向点移动,的速度为厘米/秒.点同时从点开始沿边向移动,的速度为厘米/秒.几秒后,两点相距厘米?25. 如图所示,若,,,,,,则的度数是多少?26. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为,以格点为线段的端点,按下列要求仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹,不写作法与证明).(1)在图中画一条线段,使,并标出的中点;(2)在图中画一条线段,使,并标出的中点.27. 如图,在长方形中,,,是边的中点,是线段上的动点,将沿所在直线折叠得到,连接,求的最小值.28. 如图,某学校(点)到公路(直线)的距离为,到公交站(点)的距离为,现要在公路边上建一个商店(点),使之到学校及到车站的距离相等,求商店与车站之间的距离.答案1. D2. D【解析】米,米,(米),梯子的顶部下滑米,米,米,米.梯子的底部向外滑出(米).3. D【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上,连接,如图所示,爬行的最短路径为线段.由勾股定理得,,故选D.4. C【解析】①在中,已知两边长分别为和,则第三边的长为或,错误;②的三边长分别为,,,若,则,错误;③在中,若,则是直角三角形,正确;④若三角形的三边长之比为,则该三角形是直角三角形,正确;故选:C.5. A【解析】在中,由勾股定理可知:,由折叠的性质可知:,,,,,设,则,,在中,由勾股定理得:,即,解得:,.6. D【解析】设芦苇长尺,则水深尺,因为边长为尺的正方形,所以尺.在中,,解之得,即水深尺,芦苇长尺.故选:D.7. C【解析】如图展开后连接,求出的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径,过作于,则,,在中,由勾股定理得:,答:捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是.8. C【解析】A.正面向上的可能性为;B.正面不向上的可能性为;C.正面或反面向上的可能性为;D.正面和反面都不向上的可能性为.9. C【解析】设,则,,,,,,.10. B【解析】设,则 .矩形纸片中,,,现将其沿对折,使得点与点重合,.在中,,.解得 .11. A【解析】如图,在中.,米,米,,.在中,,米,,..,米,米.即小巷的宽度为米,故答案选A.12.【解析】,,,,;;.13.14.【解析】如图,将木块看成是由纸片折成的,将其拉平成一个长方形,连接,米,米,,米,妈蚁从处爬行到处需要走的最短路程为米.15.16.【解析】在中:,米,米,(米),此人以米每秒的速度收绳,秒后船移动到点的位置,(米),(米),(米),答:船向岸边移动了米.17.18. 米【解析】若假设竹竿长米,则水深米,由题意得,,解之得,.所以水深米.19.【解析】中,,,.,,,.20. C,没有考虑的情况,是等腰三角形或直角三角形21. ,【解析】;由题意可知,由勾股定理可得.22. 由题意得;设,则,,在中,根据勾股定理得:,即,解得;即.23. 这只小鸟至少经过才能到达大树和伙伴在一起.24. 秒或秒25. 在中,,,,所以,所以是直角三角形,且,在中,,,,所以,所以是直角三角形,且,所以.26. (1)如图,,点为线段的中点.(2)如图,,点为线段的中点.27. 如图,当,点在上时,的值最小.根据折叠的性质,得,所以, .因为是边的中点,,所以 .因为,所以,所以 .28. 过点作于点,,,,设,则,在中,,,.。
2022-2023学年度北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合练习题(附答案)一.选择题1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=8,AC=3,两顶点A,B在y轴、x轴上滑动,点C在第一象限内,连接OC,则OC的最大值为()A.7B.8C.9D.2.已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n(m<n),过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形,若这两个三角形都为等腰三角形,则有()A.m2+2mn+n2=0B.m2﹣2mn+n2=0C.m2+2mn﹣n2=0D.m2﹣2mn﹣n2=03.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=125,S3=46,则S2=()A.171B.79C.100D.814.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形,是我国古代数学的骄傲,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.已知小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6,则图中大正方形的边长为()A.5B.C.4D.35.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为()A.90B.100C.110D.1216.满足下列条件的三角形中,是直角三角形的是()A.三个内角度数之比是3:4:5B.三边长的平方比为5:12:13C.三边长度是1::D.三个内角度数比为2:3:47.分别以下列各组数为一个三角形的三边长:①6,8,10;②13,5,12;③2,2,3;④7,24,25;其中能构成直角三角形的有()组.A.2B.3C.4D.58.《九章算术》中记载:今有户不知高、广,竿不知长、短.横之不出四尺,从之不出二尺,斜之适出.问户高、广、斜各几何?译文是:今有门,不知其高、宽,有竿,不知其长、短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺,则可列方程为()A.x2=(x﹣4)2+(x﹣2)2B.2x2=(x﹣4)2+(x﹣2)2C.x2=42+(x﹣2)2D.x2=(x﹣4)2+229.如图,是我校的长方形水泥操场,如果一学生要从A角走到C角,至少走()A.80米B.90米C.100米D.110米10.有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行()A.8m B.10m C.12m D.14m二.填空题11.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁,若甲的面积为30,乙的面积为16,丙的面积为17,则丁的面积为.12.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,△ABC是网格上的格点三角形,则它的边AC上的高等于.13.若一直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边长为.14.如图,它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短的直角边长为a,较长的直角边长为b,那么a+b的值为.15.若一个三角形的三边之比为5:12:13,且周长为60cm,则它的面积为cm2.16.三角形的两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角形,则第三边长是.17.如图,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,AB上的高CD=.18.观察下面几组勾股数,①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…根据你发现的规律,请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:.19.一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中.牙刷露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是20.有一块直角三角形的绿地,量得两直角边分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,扩充后等腰三角形绿地的周长.21.放学以后,萍萍和晓晓从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分,萍萍用15分钟到家,晓晓用20分钟到家,萍萍家和晓晓家的距离为.22.如图所示,一个梯子AB长5m,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C间的距离为3m梯子滑动后停在DE位置上,如图,测得DB的长为1m,则梯子顶端A下落了m.三.解答题23.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点按下列要求画图:(1)在图中画一条线段MN,使MN=;(2)在图中画一个三边长均为无理数,且各边都不相等的直角△DEF.24.在△ABC中,点D是直线BC上的一点,已知AB=15,AD=12,AC=13,BD=9.求BC的长.25.如图,在△ABC中.D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,交AC于点E,且AE2﹣CE2=BC2,(1)试说明:∠C=90°;(2)若DE=6,BD=8,求CE的长.26.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=3,CD=,DA=5,∠B=90°,求∠BCD的度数.27.若正整数a,b,c(a<b<c)满足a2+b2=c2,则称(a,b,c)为一组“勾股数”.观察下列两类“勾股数”:第一类(a是奇数):(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);…第二类(a是偶数):(6,8,10);(8,15,17);(10,24,26);…(1)请再写出两组勾股数,每类各写一组;(2)分别就a为奇数、偶数两种情形,用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”.28.我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:;(2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,那么后两个数用含n的代数式分别表示为和,请用所学知识说明它们是一组勾股数.29.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高.参考答案一.选择题1.解:取AB中点P,连接OP、CP,则OP=AP=AB=4,由勾股定理得,CP=5,利用三角形两边之和大于第三边可知:OC≤OP+PC=9,OC的长的最大值为9,故选:C.2.解:如图,m2+m2=(n﹣m)2,2m2=n2﹣2mn+m2,m2+2mn﹣n2=0.故选:C.3.解:由题意可知:S1=AB2,S2=BC2,S3=CD2,S4=AD2,连接BD,在直角△ABD和△BCD中,BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,即S1+S4=S3+S2,因此S2=125﹣46=79,故选:B.4.解:∵ab=6,∴直角三角形的面积是ab=3,∵小正方形的面积是1,∴大正方形的面积=1+4×3=13,∴大正方形的边长为,故选:B.5.解:如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,易得△CAB≌△BOF≌△FLG,∴AB=OF=3,AC=OB=FL=4,∴OA=OL=3+4=7,∵∠CAB=∠BOF=∠L=90°,所以四边形AOLP是正方形,边长AO=AB+AC=3+4=7,所以KL=3+7=10,LM=4+7=11,因此矩形KLMJ的面积为10×11=110.故选:C.8.解:当三个内角度数之比是3:4:5时,最大的角的度数是:180°×=75°<90°,故选项A不符合题意;当三边长的平方比为5:12:13时,因为()2+()2≠()2,故该三角形不是直角三角形,故选项B不符合题意;当三边长度是1::时,12+()2=()2,故该三角形不是直角三角形,故选项C符合题意;三个内角度数比为2:3:4时,最大的角的度数是:180°×=80°<90°,故选项D不符合题意;7.解:①62+82=100=102,符合勾股定理的逆定理;②52+122=132,符合勾股定理的逆定理;③22+22≠32,不符合勾股定理的逆定理;④72+242=252,符合勾股定理的逆定理.故选:B.8.解:根据勾股定理可得:x2=(x﹣4)2+(x﹣2)2,故选:A.9.解:因为两点之间线段最短,所以AC为从A到B的最短距离,根据矩形的对边相等,得,BC=AD=80米,再根据勾股定理,得,AC=100米.故选:C.10.解:如图,设大树高为AB=10m,小树高为CD=4m,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,连接AC,∴EB=4m,EC=8m,AE=AB﹣EB=10﹣4=6m,在Rt△AEC中,AC=10m.故选:B.二.填空题11.解:连接AC,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,AD2+CD2=AC2,∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积,∵甲的面积为30,乙的面积为16,丙的面积为17,∴丁的面积为30+16﹣17=29.故答案为:29.12.解:S△ABC=4×5﹣﹣=,根据勾股定理得:AC=5,设△ABC边AC边上的高为h,则,解得h=,故答案为.13.解:在直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边平方和,故斜边长=10,故答案为10.14.解:根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积是:ab×4=13﹣1=12,即:2ab=12,则(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25,则a+b=5.故答案为:5.15.解:设三边分别为5x,12x,13x,则5x+12x+13x=60,∴x=2,∴三边分别为10cm,24cm,26cm,∵102+242=262,∴三角形为直角三角形,∴S=10×24÷2=120cm2.故答案为:120.16.解:当第三边是直角边时,根据勾股定理,第三边的长=4,三角形的边长分别为3,4,5能构成三角形;当第三边是斜边时,根据勾股定理,第三边的长=,三角形的边长分别为3,5,亦能构成三角形;综合以上两种情况,第三边的长应为4或.17.解:∵△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,∴AB2=AC2+BC2,即52=32+42,∴△ABC是直角三角形,∵CD⊥AB,∴AC•BC=AB•CD,即3×4=5×CD,解得CD=.故答案为:.18.解:通过观察得:第①组勾股数分别为:2×1+1=3,2×12+2×1=4,2×12+2×1+1=5;第②组勾股数分别为:2×2+1=5,2×22+2×2=12,2×22+2×2+1=13;第③组勾股数分别为:2×3+1=7,2×32+2×3=24,2×32+2×3+1=25;第④组勾股数为:2×4+1=9,2×42+2×4=40,2×42+2×4+1=41;所以第⑤组勾股数为:2×5+1=11,2×52+2×5=60,2×52+2×5+1=61.故答案为:11,60,61.19.解:当牙刷与杯底垂直时h最大,h最大=16﹣12=4cm.当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小,如图所示:此时,AB=13cm,故h=16﹣13=3cm.故h的取值范围是3≤h≤4.故答案是:3≤h≤4.20.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理有:AB=10,应分以下三种情况:①如图1,当AB=AD=10时,∵AC⊥BD,∴CD=CB=6m,∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m.②如图2,当AB=BD=10时,∵BC=6m,∴CD=10﹣6=4m,∴AD===4m,∴△ABD的周长=10+10+4=(20+4)m.③如图3,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x﹣6,由勾股定理得:AD==x解得,x=,∴△ABD的周长为:AD+BD+AB=m.④如图4中,倍长AC后,因为AC=8,所以扩充部分就是以8m为直角边的直角三角形,此时△ABD的周长为36m,故答案为:32m或(20+4)m或m或36m.21.解:所示题意如下图:OA=40×20=800m,OB=40×15=600m.在直角△OAB中,AB==1000米.故答案为:1000米.22.解:在Rt△ABC中,AB=5m,BC=3m,根据勾股定理得AC==4米,Rt△CDE中,ED=AB=5m,CD=BC+DB=3+1=4米,根据勾股定理得CE==3,所以AE=AC﹣CE=1米,即梯子顶端下滑了1m.三.解答题23.解:如图所示:24.解:∵AB=15,AD=12,BD=9,∴AD2+BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,AD⊥BC,在Rt△ADC中,DC==5,则BC=BD+DC=14.当C′在线段BD上时,BC′=9﹣5=4,综上所述,BC的长为14或4.25.解:(1)如图所示,连接BE,∵D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,∴DE垂直平分AB,∴AE=BE,又∵AE2﹣CE2=BC2,∴BE2﹣CE2=BC2,∴△BCE是直角三角形,且∠C=90°;(2)Rt△BDE中,BE===10,∴AE=10,设CE=x,则AC=10+x,而AB=2BD=16,Rt△ABC中,BC2=AB2﹣AC2=162﹣(10+x)2,Rt△BCE中,BC2=EB2﹣EC2=102﹣x2,∴162﹣(10+x)2=102﹣x2,解得x=2.8,∴CE=2.8.26.解:∵在Rt△ABC中,AB=BC=3,∠B=90°,∴由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=32+32=18,∵CD=,DA=5,∴CD2+AC2=DA2,∴∠ACD=90°,∵在Rt△ABC中,AB=BC,∴∠BAC=∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+90°=135°.27.解:(1)第一组(a是奇数):9,40,41(答案不唯一);第二组(a是偶数):12,35,37(答案不唯一);(2)当a为奇数时,,;当a为偶数时,,;证明:当a为奇数时,a2+b2=,∴(a,b,c)是“勾股数”.当a为偶数时,a2+b2=∴(a,b,c)是“勾股数”.28.解:(1)11,60,61;(2)后两个数表示为和,∵,,∴.又∵n≥3,且n为奇数,∴由n,,三个数组成的数是勾股数.故答案为:11,60,61.29.解:设旗杆的高AB为xm,则绳子AC的长为(x+1)m 在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2∴x2+52=(x+1)2解得x=12∴AB=12∴旗杆的高12m.。
第一章测试卷一、选择题(每题3分,共30分)1.把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍,则斜边长扩大到原来的( )A .2倍B .3倍C .4倍D .5倍2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A .30,40,50B .7,12,13C .5,9,12D .3,4,63.已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12,则第三边长的平方是( )A .169B .119C .13D .1444.如图,阴影部分是一个长方形,则长方形的面积是( )A .3 cm 2B .4 cm 2C .5 cm 2D .6 cm 2(第4题)(第7题)(第9题)(第10题)5.满足下列条件的△ABC ,不是直角三角形的为( )A .∠A =∠B -∠C B .∠A ∶∠B ∶∠C =1∶1∶2C .b 2=a 2-c 2D .a ∶b ∶c =2∶3∶46.已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行,另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口1.5 h 后,两轮船相距( )A .30 n mileB .35 n mileC .40 n mileD .45 n mile7.如图,在△ABC 中,AB =A C =13,BC =10,点D 为BC 的中点,DE ⊥AB ,垂足为点E ,则DE 等于( ) A.1013 B.1513 C.6013D.7513 8.若△ABC 的三边长a ,b ,c 满足(a -b )(a 2+b 2-c 2)=0,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .等腰三角形或直角三角形9.(枣庄)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,AF 平分∠CAB ,交CD 于点E ,交CB 于点F .若AC=3,AB=5,则CE 的长为( )A .B .C .D .10.(泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b .若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )A .9B .6C .4D .3二、填空题(每题3分,共24分)11.如图,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,AD 是底边上的高,若AB =5 cm ,BC =6 cm ,则AD =__________.(第11题)(第12题)(第13题)12.如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m,结果他在水中实际游了500 m,则该河流的宽度为________.13.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与点A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于________.c-b=0,则△ABC的形状14.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式(a2-c2-b2)2+||为__________________.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=________.16.如图是一个三级台阶,每一级的长,宽和高分别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点,则壁虎爬行的最短路线的长是______.第15题图第16题图第17题图17.如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____.18.在△ABC中,若AC=15,BC=13,AB边上的高CD=12,则△ABC的周长为____.三、解答题(19~22题每题9分,其余每题10分,共66分)19.某消防部队进行消防演练.在模拟现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现离建筑物的水平距离最近为12 m,如图,即AD=BC=12 m,此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援.已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m,问此消防车的云梯至少应伸长多少米?20.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1.线段AB,AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线,请你说明:AB⊥AE..21.如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点E在CD上,DE=b,AE=c,延长CB至点F,使BF=b,连接AF,试利用此图说明勾股定理.22.如图,∠AOB=90°,OA=9 cm,OB=3 cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿BC方向匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球,如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC 是多少?23.如图,在长方形ABCD中,DC=5 cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把△AED折叠,使点D恰好落在BC边上,设落点为F,若△ABF的面积为30 cm2,求△ADE的面积.24.如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,公路PQ上点A处有学校,点A到公路MN的距离为80m,现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶,拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响,试问该校受影响的时间为多长?25.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸,其长AD=8 cm,高AB=6 cm,水深为AE=4 cm,在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物,且EG=6 cm,一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物.(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢?请你画出它爬行的最短路线,并用箭头标注.(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度).参考答案第一章测试卷一、选择题(每题3分,共30分)1.把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍,则斜边长扩大到原来的(B)A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是(A)A.30,40,50B.7,12,13 C.5,9,12 D.3,4,63.已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12,则第三边长的平方是(A)A.169 B.119 C.13 D.1444.如图,阴影部分是一个长方形,则长方形的面积是(C)A.3 cm2B.4 cm2C.5 cm2D.6 cm2(第4题)(第7题)(第9题)(第10题)5.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的为(D)A.∠A=∠B-∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C.b2=a2-c2D.a∶b∶c=2∶3∶46.已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行,另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口1.5 h后,两轮船相距(D)A.30 n mile B.35 n mile C.40 n mile D.45 n mile7.如图,在△ABC中,AB=A C=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,则DE等于(C)A.1013B.1513C.6013D.75138.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是(D)A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形9.(枣庄)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为()A.B.C.D.【解析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.解:过点F作FG⊥AB于点G,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠FAD,∴∠CFA=∠AED=∠CEF,∴CE=CF,∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°,∴FC=FG,∵∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90°,∴△BFG∽△BAC,∴=,∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°,∴BC=4,∴=,∵FC=FG,∴=,解得:FC=,即CE的长为.故选:A.10.(泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(D)A.9 B.6 C.4 D.3【解析】由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,∵每一个直角三角形的面积为: ab=×8=4,∴4×ab+(a﹣b)2=25,∴(a﹣b)2=25﹣16=9,∴a﹣b=3,故选:D.二、填空题(每题3分,共24分)11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5 cm,BC=6 cm,则AD=_____11.4 cm_____.(第11题)(第12题)(第13题)12.如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m,结果他在水中实际游了500 m,则该河流的宽度为____400 m____.13.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与点A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于___7 cm_____.14.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式(a2-c2-b2)2+||c-b=0,则△ABC的形状为_________等腰直角三角形_________.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=____4____.16.如图是一个三级台阶,每一级的长,宽和高分别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点,则壁虎爬行的最短路线的长是__130cm____.第15题图第16题图第17题图17.如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为__3cm≤h≤4cm__.【解析】根据题中已知条件,首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16-12=4cm;最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短.解答:①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为16-12=4(cm);②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,底面对角线直径为5cm,高为12cm,由勾股定理可得杯里面管长为数学公式=13cm,则露在杯口外的长度最长为16-13=3cm;则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化.18.在△ABC 中,若AC =15,BC =13,AB 边上的高CD =12,则△ABC 的周长为__32或42__.【解析】∵AC =15,BC =13,AB 边上的高CD =12,∴AD 2=AC 2-CD 2,即AD =9,BD 2=BC 2-CD 2,即BD =5.如图①,CD 在△ABC 内部时,AB =AD +BD =9+5=14,此时,△ABC 的周长为14+13+15=42;如图②,CD 在△ABC 外部时,AB =AD -BD =9-5=4,此时,△ABC 的周长为4+13+15=32.综上所述,△ABC 的周长为32或42.三、解答题(19~22题每题9分,其余每题10分,共66分)19.某消防部队进行消防演练.在模拟现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现离建筑物的水平距离最近为12 m ,如图,即AD =BC =12 m ,此时建筑物中距地面12.8 m 高的P 处有一被困人员需要救援.已知消防云梯车的车身高AB 是3.8 m ,问此消防车的云梯至少应伸长多少米?解:因为CD =AB =3.8 m ,所以PD =PC -CD =9 m.在Rt △ADP 中,AP2=AD2+PD2,得AP=15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.20.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1.线段AB ,AE 分别是图中两个1×3的长方形的对角线,请你说明:AB ⊥AE ..解:如图,连接BE .因为AE2=12+32=10,AB2=12+32=10,BE2=22+42=20,所以AE2+AB2=BE2.所以△ABE 是直角三角形,且∠BAE=90°,即AB ⊥AE..21.如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,点E 在CD 上,DE =b ,AE =c ,延长CB 至点F ,使BF =b ,连接AF ,试利用此图说明勾股定理.解:在△ADE 和△ABF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AB =a ,∠D =∠ABF ,DE =BF =b ,所以△ADE ≌△ABF.所以AE=AF=c ,∠DAE=∠BAF ,S △ADE=S △ABF.所以∠EAF=∠EAB +∠BAF=∠EAB +∠DAE=∠DAB=90°,S 正方形ABCD=S 四边形AECF.连接EF ,易知S 四边形AECF=S △AEF +S △ECF=12[c2+(a -b )(a +b )]=12(a2+c2-b2),S 正方形ABCD=a2,所以12(a2+c2-b2)=a2. 所以a2+b2=c2.22.如图,∠AOB =90°,OA =9 cm ,OB =3 cm ,一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ,机器人立即从点B 出发,沿BC 方向匀速前进拦截小球,恰好在点C 处截住了小球,如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC 是多少? 解:根据题意,BC =AC =OA -OC =9-OC .因为∠AOB=90°,所以在Rt △BOC 中,根据勾股定理,得OB2+OC2=BC2,所以32+OC2=(9-OC )2,解得OC=4 cm.所以BC=5 cm.23.如图,在长方形ABCD 中,DC =5 cm ,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把△AED 折叠,使点D 恰好落在BC 边上,设落点为F ,若△ABF 的面积为30 cm 2,求△ADE 的面积.解:由折叠可知AD=AF ,DE=EF.由S △ABF=12BF ·AB=30 cm2, AB=DC=5 cm ,得BF=12 cm.在Rt △ABF 中,由勾股定理,得AF=13 cm ,所以BC=AD=AF=13 cm.设DE=x cm ,则EC=(5-x )cm ,EF=x cm ,FC=13-12=1(cm ).在Rt △ECF 中,由勾股定理,得EC2+FC2=EF2,即(5-x )2+12=x2,解得x=135. 所以S △ADE=12AD ·DE=12×13×135=16.9 (cm2). 24.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交会,公路PQ 上点A 处有学校,点A 到公路MN 的距离为80m ,现有一拖拉机在公路MN 上以18km/h 的速度沿PN 方向行驶,拖拉机行驶时周围100m 以内都会受到噪音的影响,试问该校受影响的时间为多长?解:设拖拉机开到C 处学校刚好开始受到影响,行驶到D 处时,结束了噪声的影响,则有CA=DA=100m.在Rt △ABC 中,CB2=1002-802=602,∴CB=60m ,∴CD=2CB=120m.∵18km/h=5m/s ,∴该校受影响的时间为120÷5=24(s ).答:该校受影响的时间为24s.25.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸,其长AD =8 cm ,高AB =6 cm ,水深为AE =4 cm ,在水面线EF 上紧贴内壁G 处有一粒食物,且EG =6 cm ,一只小虫想从水缸外的A 处沿水缸壁爬进水缸内的G 处吃掉食物.(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢?请你画出它爬行的最短路线,并用箭头标注.(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度).解:(1)如图,作点A 关于BC 的对称点A ′,连接A ′G 与BC 交于点Q ,则AQ +QG 为最短路线.(2)因为AE =4 cm ,AA ′=12 cm ,所以A ′E =8 cm.在Rt △A ′EG 中,EG =6 cm ,A ′E =8 cm ,A ′G 2=A ′E 2+EG 2=102,所以A ′G =10 cm ,所以A Q +QG =A ′Q +QG =A ′G =10 cm.所以最短路线长为10 cm.。
第1页,-共3页八年级上册数学第一章《勾股定理》测试题 【2 】班级:学号:姓名:成绩:一、 选择题:(每小题4分,共40分)1.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是() A.6,8,10 B.5,12,13 C.12,18,22 D.1,12,152.将直角三角形的三条边长同时扩展统一倍数,得到的三角形是() A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形3.如图,带暗影的矩形面积是60,则图中直角三角形的斜边长为() A.9 B.12 C.17D.244.假如梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是()A.12米B.13米C.14米D.15米5.等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为() A.65 B.60 C.120 D.1306.已知三角形的三边分离为a.b.c,且知足,那么这个三角形是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能肯定7.等边三角形的边长是10,它的高的平方等于() A.50 B.75 C.125 D.2008.直角三角形的两直角边分离为5厘米,12厘米,则斜边上的高是() A.6厘米 B.厘米 C.厘米 D.9.已知Rt ⊿ABC 中,已知∠C=900,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt ⊿ABC 的面积是( ) A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 210.如图,在直角三角形中,∠C=900,AC=3,将其绕B 点顺时针扭转一周,则分离以BA,BC 为半径的圆形成一环,该圆环的面积为()第3题第5题4cmA. B.3 C.6 D.9二.填空题:(每小题4分,共20分)11.⊿ABC中,若AC2+AB2=BC2,则∠B+∠C=.12.若三角形的三边之比为3︰4︰5,则此三角形为三角形.13.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,个中最大的正方形的边长为7㎝,则正方形A,B,C,D的面积之和为㎝2.14.如图,黉舍有一块长方形花铺,有少少数工资了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”,他们仅仅走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花卉.15.正方形的面积为100平方厘米,则该正方形的对角线的平方长为 .三解答题:(共90分)16.如图,从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远?(12分)17.小明想知道黉舍旗杆的高,他发明旗杆上的绳索垂到地面还多1m,当他把绳索的下端拉开5m后,发明下端刚好接触地面,则旗杆的高度是若干?(12分)18.如图正方形网格中的⊿ABC,若小方格边长为1,请你依据所学的常识(1)求⊿ABC的面积(6分)(2)断定⊿ABC是什么外形?并解释来由.(6分)19.如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米,求FC的长.(12分)20.如图所示,一棱长为3cm的正方体,把所有的面都分成3×3个小正方形,其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行D.F B .第2页,-共3页第3页,-共3页2cm,则它从下底面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,起码要花几秒钟?(12分)21.如图所示,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,至少要飞若干米?(15分)22.如图所示,在进修勾股定理时,我们学会应用图(I )验证它的准确性,图中大正方形的面积可表示为(a+b )2,也可表示为,即,由此推出勾股定理,这种依据图形可以极简略地直不雅推论或验证数学纪律和公式的办法,简称为“无字证实”.(1)请你用图(II )的面积表达式验证勾股定理(个中四个直角三角形全等).(5分) (2)请你用图(III )供给的图形进行组合,用组合图形(把组合图形画鄙人面空白处)的面积表达式验证:(5分)(3)请你本身设计图形的组合(画出组合图形),用其面积表达式验证: (5分)EGAC(I)(II)(III)。
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理练习题一、选择题1.三个正方形的面积如图所示,则面积为A的正方形的边长为()A. 164B. 36C. 8D. 62.在Rt△ABC中,斜边AB=3,则AB2+AC2+BC2=()A. 9B. 18C. 10D. 243.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是()A. B. C. D.4.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.设直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,且a:b=4:3,则大正方形面积与小正方形面积之比为()A. 25:9B. 25:1C. 4:3D. 16:95.下列各数是勾股数的是()A. 1,2,3B. 2,3,4C. 3,4,5D. 4,5,66.如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=25m,BC=20m,则这块地的面积为()第1页,共15页第2A. 96 m 2B. 204 m 2C. 196 m 2D. 304 m 27. 已知M 、N 是线段AB 上的两点,AM =MN =2,NB =1,以点A 为圆心,AN 长为半径画弧;再以点B 为圆心,BM 长为半径画弧,两弧交于点C ,连接AC ,BC ,则△ABC 一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. 如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. 3,4,5B. 5,12,13C. 12,16,20D. 412,712,812 9. 下列四组线段中,能作为直角三角形三条边的是( )A. 3,4,5B. 6,8,9C. 1,2,3D. 5,12,1410. 适合下列条件的△ABC 中,直角三角形的个数为( )(1)a =b ,∠A =45°(2)∠A =32°,∠B =58°(3)a =5,b =12,c =13A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如图,一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上,测得AO =2 m.若梯子的顶端沿墙下滑0.5米,这时梯子的底端也恰好外移0.5米,则梯子的长度AB 为( )A. 2.5 mB. 3 mC. 1.5 mD. 3.5 m12. 一个带盖的长方形盒子的长,宽,高分别是8cm ,8cm ,12cm ,已知蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点,则蚂蚁要爬行的最短行程是( )A. 28cmB. 4√29C. 4√17D. 20cm13.如图,在高为3米,,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度为()A. 4米B. 5米C. 6米D. 7米二、填空题14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AB=13,BC=5,点D是斜边AB上的动点,则CD的最大值为,最小值为.15.如图,“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成,在Rt△ABC中,AC=b,BC=a,∠ACB=90°,若图中大正方形的面积为42,小正方形的面积为5,则(a+b)2的值为______.16.若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,这样的三个整数a,n,n+1(如:3,4,5或5,12,13)我们称它们为一组“完美勾股数”.当n<150时,共有______ 组这样的“完美勾股数”.17.如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=13,DA=12,则四边形ABCD的面积等于______.18.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=°(点A,B,P是网格线交点).19.如图,圆柱的底面直径BC=12cm,高AB=8cm,按如图所π示的方式缠绕细线,缠绕一周(不记接头)至少需要cm长的细线.第3页,共15页。
八年级数学第一章《勾股定理》复习练习一、选择题:1、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,能构成直角三角形的是()A.3,5,6 B.2,4,5 C.6,7,8 D.1.5,2,2.52、如梯子的底端离建筑物5米,那么13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) A.12 米 B.13 米 C.14 米 D.15 米3、我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米4、若△A B C的三边长 a ,b ,c满足(a-b )2+|a 2+b2-c2|=0,则△ABC是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5、如图,有一个圆锥,高为8cm,底面直径为12cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁,它想吃掉圆锥顶部A处的食物,则它需要爬行的最短路程是( )A.8cmB.9cmC. 10cmD. 11cm6、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为()A.9 B.6 C.4 D.3二、填空题:7、测得一块三角形稻田的三边长分别是30m,40m,50m,则这块稻田的面积为______.8、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为.9、在一棵树的10米高B处有两只猴子为抢吃池塘边水果,一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边,另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高________米.10、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是 .11、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 .12、如图,在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为 .三、解答题:13、设一个直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边上的高为h,斜边长为c,试判断以c+h,a+b,h为边的三角形的形状14、已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,求BC的长15、已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,求离开港口2小时后,两船相距多少海里?16、已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求四边形ABCD的面积.17、如图,小丽荡秋千,秋千架高2.4m,秋千座位离地0.4m,小红荡到最高时,座位离地0.8m.此时小红荡出的水平距离是多少?(荡到秋千架两边的最高点之间的距离)参考答案一、选择题:1、D2、 A3、A4、C5、 C6、 D二、填空题:7、600m28、x2+32=(10﹣x)29、1510、10 cm11、1.512、40m三、解答题:13、直角三角形14、2或215、40海里16、1817、2.4m。
试卷第1页,共8页 北师大版八年级上册数学第一章单元测试题(含答案)一、单选题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)1.学习了勾股定理之后,老师给大家留了一个作业题,小明看了之后,发现三角形各边都不知道,无从下手,心中着急.请你帮助一下小明.如图,ABC 的顶点A ,B ,C 在边长为1的正方形网格的格点上,BD AC ⊥于点D ,则BD 的长为( )A .45B .85C .165D .2452.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若()221a b +=,小正方形的面积为5,则大正方形的面积为( )A .12B .13C .14D .153.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中5AE =,13BE =,则2EF 的值是( )试卷第2页,共8页A .128B .64C .32D .1444.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形,若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是( )A .4B .8C .12D .165.往直径为26cm 的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示.若水面宽24cm AB =,则水的最大深度为( )A .8cmB .10cmC .16cmD .20cm6.如图,圆柱的底面周长为12cm ,AB 是底面圆的直径,在圆柱表面的高BC 上有一点D ,且10cm BC =,2cm DC =.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是( )cm .试卷第3页,共8页A .14B .12C .10D .87.观察“赵爽弦图”(如图),若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ,b ,a b >,根据图中图形面积之间的关系及勾股定理,可直接得到等式( )A .2()a a b a ab -=-B .22()()a b a b a b +-=-C .222( )2a b a ab b -=-+D .222()2a b a ab b +=++8.我们知道,如果直角三角形的三边的长都是正整数,这样的三个正整数就叫做一组勾股数.如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ,b 的平方和,即22c a b =+,那么称a ,b ,c 为一组广义勾股数,c 为广义斜边数,则下面的结论:①m 为正整数,则3m ,4m ,5m 为一组勾股数;①1,2,3是一组广义勾股数;①13是广义斜边数;①两个广义斜边数的和是广义斜边数;①若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++,其中k 为正整数,则a ,b ,c 为一组勾股数;①两个广义斜边数的积是广义斜边数.依次正确的是( )A .①①①B .①①①①C .①①①D .①①①9.如图, Rt AED △中,90,,3,11AED AB AC AD EC BE ∠=====,则ED 的值为( )试卷第4页,共8页ABCD110.如图,在①ABC 中,AB =2,①ABC =60°,①ACB =45°,D 是BC 的中点,直线l 经过点D ,AE ①l ,BF ①l ,垂足分别为E ,F ,则AE +BF 的最大值为( )AB .C .D .11.在Rt①ABC 中,①C =90°,AC =10,BC =12,点D 为线段BC 上一动点.以CD 为①O 直径,作AD 交①O 于点E ,则BE 的最小值为( )A .6B .8C .10D .1212.中国古代称直角三角形为勾股形,如果勾股形的三边长为三个正整数,则称三边长叫“勾股数”;如果勾股形的两直角边长为正整数,那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论:①20是“整弦数”;①两个“整弦数”之和一定是“整弦数”;①若c 2为“整弦数”,则c 不可能为正整数;①若m =a 12+b 12,n =a 22+b 22,11a b ≠22a b ,且m ,n ,a 1,a 2,b 1,b 2均为正整数,则m 与n 之积为“整弦数”;①若一个正奇数(除1外)的平方等于两个连续正整数的和,则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”.其中结论正确的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)试卷第5页,共8页 13.如图,OE ①AB 于E ,若①O 的半径为10,OE =6,则AB =_______.14.一根直立于水中的芦节(BD )高出水面(AC )2米,一阵风吹来,芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处,且C 到BD 的距离AC =6米,水的深度(AB )为________米15.学习完《勾股定理》后,尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段,但这条绳子的长度未知.如图,经测量,绳子多出的部分长度为1米,将绳子沿地面拉直,绳子底端距离旗杆底端4米,则旗杆的高度为______米.16.已知2(4)5y x x -+,当分别取1,2,3,……,2020时,所对应y 值的总和是__________.17.一个数的平方根是4a 和25a +,则=a _________,这个正数是_________.18.已知a、b、c是一个三角形的三边长,如果满足2(3)50a c--=,则这个三角形的形状是_______.19732x y--,则2x﹣18y2=_____.20.爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题:已知,如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒,小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具,他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处,然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行,爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm,最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行,最终到达内壁BC的中点M,甲虫所走的最短路程是______cm三、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)21.长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为15米;①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;①牵线放风筝的小明的身高为1.6米.(1)求风筝的垂直高度CE;试卷第6页,共8页试卷第7页,共8页 (2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米,则他应该往回收线多少米?22.在一条东西走向河的一侧有一村庄C ,河边原有两个取水点A ,B ,其中AB =AC ,由于种种原因,由C 到A 的路现在已经不通了,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A ,H ,B 在一条直线上),并新修一条路CH ,测得CB =3千米,CH =2.4千米,HB =1.8千米.(1)问CH 是不是从村庄C 到河边的最近路,请通过计算加以说明;(2)求原来的路线AC 的长.23.如图,一棵竖直生长的竹子高为8米,一阵强风将竹子从C 处吹折,竹子的顶端A 刚好触地,且与竹子底端的距离AB 是4米.求竹子折断处与根部的距离CB .24.太原的五一广场视野开阔,是一处设计别致,造型美丽的广场园林,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后,为了测得图中风筝的高度CE ,他们进行了如下操作: ①测得BD 的长为15米(注:BD CE );①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;①牵线放风筝的小明身高1.7米.(1)求风筝的高度CE.(2)过点D作DH BC⊥,垂足为H,求BH的长度.25.(12,其中4x=.(2)已知x=y=,求22x xy y-+值.试卷第8页,共8页参考答案1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.C8.D9.A10.A11.B12.C13.1614.815.7.5;16.203217.-3118.直角三角形19.2220.1621.(1)风筝的高度CE为21.6米;(2)他应该往回收线8米.22.(1)是;(2)2.5米.23.3米24.(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米25.(1)62,122x(2)11答案第9页,共1页。
北师大版八年级数学上第一章勾股定理章节练习第一节勾股定理及其逆定理1.一个直角三角形两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是()A .斜边长为25B .三角形的周长为25C .斜边长为5D .三角形的面积为202.如图,在Rt △ABC 和Rt △ACF 中,BC 长为3cm ,AB 长为4cm ,AF 长为12cm ,则正方形CDEF的面积为_________.第2题图第3题图3.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,分别以BC ,AB ,AC 为边向外作正方形,面积分别记为S 1,S 2,S 3.若S 2=4,S 3=6,则S 1=___________.4.如图,已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8,分别以其三边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为___________.5.等面积法是几何中一种常见的证明方法,可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ,较短的直角边长都为b ,斜边长都为c ),大正方形的面积可以表示为c 2,也可以表示为214()2ab a b ⨯+-.由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理.6.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为______.第6题图第7题图7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,已知正方形ABDE的面积为100,BC的长为8,则点E到直线BC的距离为_________.8.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AB=13cm,BD=5cm,CD=9cm,求线段AD,AC的长.9.小明将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5米处,发现此时绳子底端距离打结处1米.请设法算出旗杆的高度.10.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是()A.0.3,0.4,0.5B.7,12,15C.11,60,61D.9,40,4111.如图,在单位正方形组成的网格图中有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF12.若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++,,(n 为正整数),则三角形的最大内角等于_______度.13.三边长分别是15,36,39的三角形是_______三角形.14.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列图形中正确的是()A .B .C .D .15.一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角.工人师傅量得这个零件各边长如图2所示,这个零件符合要求吗?请说明理由.第二节勾股定理实际应用1.有这样一个有趣的问题:如图所示,圆柱的高等于12cm ,底面半径等于3cm .在圆柱的下底面的A 点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 相对的B 点处的食物,则沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________.(π取整数3)2.如图,一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B,已知AB=5cm,树干的直径为4cm.你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗?(π取整数3)3.如图所示,有一根高为2m的木柱,它的底面周长为0.3m,为了营造喜庆的气氛,老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈,一直缠到起点的正上方为止.问:小明至少需要准备一根多长的彩带?4.如图,一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________.5.如图,一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱(有盖)的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路程是____________.6.如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,BC=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是______________.7.如图,某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形,一辆高3.2米,宽3米的卡车能通过该隧道吗?8.一辆卡车装满货物后,高4米,宽2.8米.这辆卡车能通过横截面如图所示(上方是一个半圆)的隧道吗?9.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,“引葭(jiā)赴岸”:今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?10.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤13第10题图第11题图11.如图,将一根24cm长的筷子,置于底面直径为15cm,高为8cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是()A.h≤17B.h≥8C.15≤h≤16D.7≤h≤1612.小明家住在18层的高楼上,一天,他与妈妈去买竹竿,如果电梯的长、宽、高分别是1.6米、1.2米、2.1米,那么能放入电梯内的竹竿的最大长度是_________米.第三节折叠问题与等面积法1.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,点D在BC边上,将直角边AC沿直线AD折叠,点C恰好落在斜边AB上的点E处,则线段CD的长为__________.第1题图第2题图2.如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长为__________.3.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为_________.4.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若AB=4cm,BC=5cm,则EF的长为________.5.如图,在△ABC中,AB=20,AC=12,BC=16,E为BC边上一点,把△ABC沿AE折叠,使AB落在直线AC上,求重叠部分(阴影部分)的面积.6.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A的对应点为A'.若B'C=3,则CN=______,AM=_______.第6题图第7题图7.如图,将长为4cm,宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边的中点E处,压平后得到折痕MN,则线段AM的长为__________.8.若直角三角形两直角边的比为5:12,则斜边上的高与斜边的比为()A.60:13B.5:12C.12:13D.60:1699.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC边的中点,若MN⊥AC于点N,则MN=__________.10.若直角三角形两条直角边的长分别为7和24,在这个三角形内有一点P到各边的距离都相等,则这个距离是__________.11.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若AC+BC=14cm,AB=10cm,则CD=__________.12.若等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则该等腰三角形的面积为__________.13.如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.。
北师大版数学八年级上册同步练习1.1 探索勾股定理一.选择题(共12小题)1.如图,由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积是9,小正方形面积是1,直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则ab的值是()A.4 B.6 C.8 D.102.如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c.如图②,现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,OC=3,则该飞镖状图案的面积()A.6 B.12 C.24 D.243.下列数学家中,用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是()A.刘徽B.赵爽C.祖冲之D.秦九韶4.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是49,小正方形的面积为4,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么下列结论:(1)a2+b2=49,(2)b﹣a=2,(3)ab=,(4)a+b=中,正确结论的个数有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个5.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A.5 B.6 C.7 D.86.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为()A.4 B.8 C.16 D.647.如图,甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数()A.3 B.4 C.5 D.68.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为()A.13 B.13或C.13或15 D.159.如图,将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上,那么△ABC中BC的高是()A.B.C.D.10.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,连接EF、GM、ND,设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确的是()A.S1=S2=S3 B.S1=S2<S3C.S1=S3<S2D.S2=S3<S111.在三角形ABC中,D是边BC上的一点,已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面积是()A.30 B.36 C.72 D.12512.如图,字母M所代表的正方形的面积是()A.4 B.5 C.16 D.34二.填空题(共10小题)13.如图是“赵爽弦图”,由4个全等的直角三角形拼成的图形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,设直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则a+b的值是.14.如图.是用4个全等的直角三角形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形的面积是49,小正方形的面积为1,若用a、b表示直角三角形的两条直角边(a>b),则(a+b)2=.15.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边BC=5,将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,若△BCD的周长是30,则这个风车的外围周长是.16.小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形,添加适当的辅助线后,用等面积法建立等式证明勾股定理.小明在证题中用两种方法表示五边形的面积,分别是S1=,S2=.17.如图是由三个直角三角形组成的梯形,根据图形,写出一个正确的等式.18.公元3世纪,我国数学家赵爽用弦图证明了勾股定理,在前面的学习中,我们知道根据勾股定理可以用长为有理数的线段来作出长为,,的线段.若一个直角三角形的一条边长为,其他两边长均为有理数,则其它两边的长可以为,.19.Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是.20.如图,每个小正方形边长为1,则△ABC边AC上的高BD的长为.21.若一个直角三角形的面积为6cm2,斜边长为5cm,则该直角三角形的周长为cm2.22.如图,6×6正方形网格(每个小正方形的边长为1)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,D是BC的中点.则AC=;AD=.三.解答题(共4小题)23.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a=S△ACD+S△ABC=b2+ab.∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b﹣a)又∵S四边形ADCB∴b2+ab=c2+a(b﹣a)∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.24.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,求小正方形的边长.25.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求△ADB的面积.26.在△ABC中,AB=13,BC=14.(1)如图1,AD⊥BC于点D,且BD=5,则△ABC的面积为;(2)在(1)的条件下,如图2,点H是线段AC上任意一点,分别过点A,C 作直线BH的垂线,垂足为E,F,设BH=x,AE=m,CF=n,请用含x的代数式表示m+n,并求m+n的最大值和最小值.北师大版数学八年级上册同步练习:1.1 探索勾股定理参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组,解方程组即可求得a、b,求ab即可.【解答】解:由题意得:大正方形的面积是9,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,即a2+b2=9,a﹣b=1,解得a=,b=,则ab=4.解法2,4个三角形的面积和为9﹣1=8;每个三角形的面积为2;则ab=2;所以ab=4故选:A.2.【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB+AC的长,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出AC的长,进而确定出OA的长,求出三角形AOB面积,即可确定出所求.【解答】解:根据题意得:4(AB+AC)=24,即AB+AC=6,OB=OC=3,在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB2=OA2+OB2,即(6﹣AC)2=32+(3+AC)2,解得:AC=1,∴OA=3+1=4,=×3×4=6,∴S△AOB则该飞镖状图案的面积为24,故选:C.3.【分析】根据“弦图”判断即可.【解答】解:用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽,故选:B.4.【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长,然后根据面积关系得出a与b 的关系式,依次判断所给关系式即可.【解答】解:由题意可得小正方形的边长=2,大正方形的边长=7,故可得|b﹣a|=2,即(2)错误;a2+b2=斜边2=大正方形的面积=49,即(1)正确;小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积,即可得4+2ab=49,所以ab=,即(3)正确;根据(3)可得2ab=45,故可得(a+b)2=a2+b2+45=94,从而可得a+b=,即(4)正确.综上可得(1)(3)(4)正确,共3个.故选:B.5.【分析】直接根据勾股定理求解即可.【解答】解:∵在直角三角形中,勾为3,股为4,∴弦为=5.故选:A.6.【分析】根据正方形的面积等于边长的平方,由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方,又三角形PQR为直角三角形,根据勾股定理求出QR的平方,即为所求正方形的面积.【解答】解:∵正方形PQED的面积等于225,∴即PQ2=225,∵正方形PRGF的面积为289,∴PR2=289,又△PQR为直角三角形,根据勾股定理得:PR2=PQ2+QR2,∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64,则正方形QMNR的面积为64.故选:D.7.【分析】OA1=1,OA2==,OA3==,找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数.【解答】解:找到OA n=的规律,所以OA1到OA25的值分别为,,……,故正整数为=1,=2,=3,=4,=5.故选:C.8.【分析】本题已知直角三角形的两边长,但未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边12既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即12是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.【解答】解:当12是斜边时,第三边是=;当12是直角边时,第三边是=13.故选:B.9.【分析】根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数,再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可.【解答】解:根据图形可得:AB=AC==,BC==,∠BAC=90°,设△ABC中BC的高是x,则AC•AB=BC•x,×=•x,x=.故选:A.10.【分析】设直角三角形的三边分别为a、b、c,分别表示出三角形的面积比较即可.【解答】解:作ER⊥FA的延长线,垂足为R;作DH⊥NB的延长线,垂足为H;作NT垂直于DB的延长线,垂足为T.设△ABC的三边长分别为a、b、c,∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,∵∠EAR+∠RAB=90°,∠RAB+∠CAB=90°,∴∠EAR=∠CAB∵AE=AB,∠ARE=∠ACB,∴△AER≌△ABC,∴ER=BC=a,FA=b,∴S1=ab,S2=ab,同理可得HD=AR=AC,∴S1=S2=S3=ab.故选:A.11.【分析】作CE⊥AD,AF⊥CD,则根据面积法可以证明AD×EC=AF×CD,要求AF,求CE即可,根据AC=CD=5,AD=6可以求得CE,△ABC的面积为×BC×AF.【解答】解:作CE⊥AD,AF⊥CD,在△ACD中S=•AD•CE=•CD•AF,∵AC=CD,∴AE=DE=3,故CE==4,∴AF==,∴△ABC的面积为×(10+5)×=36,故选:B.12.【分析】根据勾股定理计算即可.【解答】解:由勾股定理得,AC2=AB2﹣BC2=16,则字母M所代表的正方形的面积=AC2=16,故选:C.二.填空题(共10小题)13.【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积,然后求四个直角三角形的面积,即可得到ab的值,然后根据(a+b)2=a2+2ab+b2即可求解.【解答】解:根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积是:ab×4=13﹣1=12,即:2ab=12则(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25.所以a+b=5(舍去负值).故答案是:5.14.【分析】利用大正方形的边长为7和勾股定理解答即可.【解答】解:利用勾股定理得a2+b2=49;利用小正方形的边长得到a﹣b=1,则(a﹣b)2=1,可得:2ab=48,所以(a+b)2=49+48=97,故答案为:9715.【分析】由题意∠ACB为直角,利用勾股定理求得外围中一条边,又由AC延伸一倍,从而求得风车的一个轮子,进一步求得四个.【解答】解:依题意,设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,AC=y,则x2=4y2+52,∵△BCD的周长是30,∴x+2y+5=30则x=13,y=6.∴这个风车的外围周长是:4(x+y)=4×19=76.故答案是:76.16.【分析】五边形的面积=边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a,b 的直角三角形的面积,或五边形的面积=边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a,b的直角三角形的面积,依此列式计算即可求解.【解答】解:如图所示:S1=c2+ab×2=c2+ab,S2=a2+b2+ab×2=a2+b2+ab.故答案为:c2+ab,a2+b2+ab.17.【分析】该图形的面积与3个直角三角形组成一个直角梯形,根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答.【解答】解:依题意得:ab+c2+ab=(a+b)(a+b),整理,得c2=a2+b2.故答案是:c2=a2+b2.18.【分析】根据已知条件以及勾股定理解答即可.【解答】解:∵()2=(3+)2﹣(3﹣)2,∴这个直角三角形的两边可以为,.故答案为,(答案不唯一).19.=6,找出所有可【分析】在Rt△ABC中,通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=3,BC=4,=AB•BC=6.∴AC==5,S△ABC沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:①当AB=AP=3时,如图1所示,S等腰△ABP=S△ABC=×6=3.6;②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示,作△ABC的高BD,则BD===2.4,∴AD=DP==1.8,∴AP=2AD=3.6,=S△ABC=×6=4.32;∴S等腰△ABP④当CB=CP=4时,如图3所示,S等腰△BCP=S△ABC=×6=4.8.综上所述:等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.故答案为3.6或4.32或4.8.20.【分析】根据网格,利用勾股定理求出AC的长,AB的长,以及AB边上的高,利用三角形面积公式求出三角形ABC面积,而三角形ABC面积可以由AC与BD 乘积的一半来求,利用面积法即可求出BD的长.【解答】解:根据勾股定理得:AC==5,=×2×4=4,且S△ABC=AC•BD=×5BD,由网格得:S△ABC∴×5BD=4,解得:BD=.故答案为:21.【分析】设直角三角形的两直角边长分别为a、b,根据三角形的面积公式、勾股定理求出a+b,根据三角形周长公式计算.【解答】解:设直角三角形的两直角边长分别为a、b,则ab=6,即ab=12,由勾股定理得,a2+b2=25,则(a+b)2﹣2ab=25,解得,a+b=7,∴该直角三角形的周长=a+b+c=12,故答案为:12.22.【分析】根据勾股定理计算即可.【解答】解:由题意得,BD=CD=,由勾股定理得,AC==2,AD==,故答案为:2;.三.解答题(共4小题)23.,【分析】首先连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,表示出S五边形ACBED 两者相等,整理即可得证.【解答】证明:连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b﹣a),又∵S五边形ACBED∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b﹣a),∴a2+b2=c2.24.【分析】根据勾股定理即可求出小正方形的边长.【解答】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b∴每一个直角三角形的面积为:ab∴4×ab+(a﹣b)2=13∴2ab+a2﹣2ab+b2=13∴a2+b2=13,∴a2+2ab+b2=21,∴ab=4∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=13﹣8=5∴a﹣b=25.【分析】(1)根据角平分线的性质得到CD=DE;(2)根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式计算.【解答】解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,由勾股定理,得AB═10,∴△ADB的面积为S=AB•DE=×10×3=15.26.【分析】(1)先由勾股定理求得AD=12,然后利用三角形的面积公式求解即可;(2)依据S ABC=S ABH+S△BHC可知,然后将BH=x,AE=m,CF=n 代入整理即可.【解答】解:(1)在Rt△ABD中,AB=13,BD=5,∴AD===12.∵BC=14,∴==84.故答案为:84.(2)∵S ABC=S ABH+S△BHC,∴.∴xm+xn=168.∴m+n=∵AD=12,DC=14﹣5=9,∴AC==15.∵m+n与x成反比,∴当BH⊥AC时,m+n有最大值.∴(m+n)BH=AC•BH.∴m+n=AC=15.∵m+n与x成反比,∴当BH值最大时,m+n有最小值.∴当点H与点C重合时m+n有最小值.∴m+n=,∴m+n=12.∴m+n的最大值为15,最小值为12.1.2 一定是直角三角形吗一.选择题(共10小题)1.下列各组数据是勾股数的是()A.5,12,13 B.6,9,12 C.12,15,18 D.12,35,36 2.下列四组数据中是勾股数的有()①5、7、8②、3③9、12、15④n2+1,n2﹣12n(n>1)A.1组 B.2组 C.3组 D.4组3.下列以线段a,b,c的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是()A.1,2,B.1,2,C.3,4,5 D.6,8,124.如图,有四个三角形,各有一边长为6,一边长为8,若第三边分别为6,8,10,12,则面积最大的三角形是()A. B.C.D.5.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()A.1.5,2,2.5 B.4,5,6 C.2,3,4 D.1,,36.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()A.b2﹣c2=a2B.a:b:c=3:4:5C.∠A:∠B:∠C=9:12:15 D.∠C=∠A﹣∠B7.下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是()A.a2﹣c2=b2B.(a﹣b)(a+b)+c2=0 C.∠A=∠B=∠C D.∠A=2∠B=2∠C8.给出下列几组数:①4,5,6;②8,15,16;③n2﹣1,2n,n2+1;④m2﹣n2,2mn,m2+n2(m>n>0).其中一定能组成直角三角形三边长的是()A.①②B.③④C.①③④D.④9.如图,在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中,各有一个三角形ABC,那么这四个三角形中,不是直角三角形的是()A.B.C.D.10.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,则BC边上的高AD为()A.8 B.9 C.D.10二.填空题(共10小题)11.已知△ABC的三边长为a、b、c,满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为三角形.12.如图,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE 交AB于点D,连接CD,则CD=.13.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.写出你比较熟悉的两组勾股数:①;②.14.观察下列式子:当n=2时,a=2×2=4,b=22﹣1=3,c=22+1=5n=3时,a=2×3=6,b=32﹣1=8,c=32+1=10n=4时,a=2×4=8,b=42﹣1=15,c=42+1=17…根据上述发现的规律,用含n(n≥2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a=,b=,c=.15.已知三角形三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为.16.在△ABC中,a=3,b=7,c2=58,则S△ABC=.17.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,则此三角形的形状是三角形.18.已知三角形三边长分别为5,12,13,则此三角形的最大边上的高等于.19.附加题:观察以下几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:.20.若△ABC得三边a,b,c满足(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,则△ABC的形状为.三.解答题(共4小题)21.我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:;(2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,那么后两个数用含n的代数式分别表示为和,请用所学知识说明它们是一组勾股数.22.如图,已知在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=2cm,AD=cm,CD=5cm,BC=4cm,求四边形ABCD的面积.23.方格纸中小正方形的顶点叫格点.点A和点B是格点,位置如图.(1)在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形,画出一个这样的△ABC;(2)在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形,画出一个这样的△ABD;(3)在图2中满足题(2)条件的格点D有个.24.如图网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识(1)求△ABC的面积;(2)判断△ABC是什么形状?并说明理由.一定是直角三角形吗参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.【分析】欲判断是否为勾股数,必须根据勾股数是正整数,同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.【解答】解:A、122+52=132 ,能构成直角三角形,故正确;B、62+92≠122,不能构成直角三角形,是整数,故错误;C、122+152≠182,不能构成直角三角形,是整数,故错误;D、122+352≠362,不能构成直角三角形,是正整数,故错误.故选:A.2.【分析】三个正整数,其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方,则这三个数就是勾股数,据此判断即可.【解答】解:①8,5,7 不是勾股数,因为72+52≠82;②,,3 不是勾股数,因为、不是整数;③9,12,15 是勾股数,因为92+122=152;④n2+1,n2﹣12n(n>1)是勾股数,因为2n,n2﹣1,n2+1不一定是整数.故选:A.3.【分析】根据勾股定理的逆定理,验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”,由此即可得出结论.【解答】解:A、因为12+22=()2,能构成直角三角形,此选项错误;B、因为12+()2=22,能构成直角三角形,此选项错误;C、因为32+42=52,故能构成直角三角形,此选项错误.D、因为62+82≠122,不能构成直角三角形,此选项正确.故选:D.4.【分析】过C作CD⊥AB于D,依据AB=6,AC=8,可得CD≤8,进而得到当CD 与AC重合时,CD最长为8,此时,∠BAC=90°,△ABC的面积最大.【解答】解:如图,过C作CD⊥AB于D,∵AB=6,AC=8,∴CD≤8,∴当CD与AC重合时,CD最长为8,此时,∠BAC=90°,△ABC的面积最大,∴BC==10,∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6,8,10,故选:C.5.【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方,看看是否相等即可.【解答】解:A、1.52+22=2.52,即三角形是直角三角形,故本选项正确;B、42+52≠62,即三角形不是直角三角形,故本选项错误;C、22+32≠42,即三角形不是直角三角形,故本选项错误;D、12+()2≠32,即三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选:A.6.【分析】依据勾股定理的逆定理,三角形内角和定理以及直角三角形的性质,即可得到结论.【解答】解:A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;B、由a:b:c=3:4:5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;C、由∠A:∠B:∠C=9:12:15,及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°,故不是直角三角形.D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°,故是直角三角形;故选:C.7.【分析】判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.或证明三角形中一个角等于90°.【解答】解:A、符合勾股定理的逆定理,不符合题意;B、∵(a﹣b)(a+b)+c2=0,∴a2+c2=b2,符合勾股定理的逆定理,不符合题意;C、∵∠A=∠B=∠C,∴∠A=∠B=∠C=60°,△ABC不是直角三角形,符合题意;D、∵∠A=2∠B=2∠C,∴∠A=90°,△ABC是直角三角形,不符合题意.故选:C.8.【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可.【解答】解:∵42+52≠62,即三角形不是直角三角形,∴①错误;∵82+152≠162,即三角形不是直角三角形,∴②错误;∵(n2﹣1)2+(2n)2=(n2+1)2,即三角形是直角三角形,∴③正确;∵(m2﹣n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2,即三角形是直角三角形,∴④正确;故选:B.9.【分析】分别求A、B、C、D四个选项中各边长,根据勾股定理的逆定理可以判定B、C、D中三角形为直角三角形,A为钝角三角形,即可解题.【解答】解:A、三角形各边长为、、,()2+()2<()2,故该三角形为钝角三角形;B、各边长2、4、2,22+42=(2)2,故该三角形为直角三角形;C、各边长、、,()2+()2=()2,故该三角形为直角三角形;D、各边长、2、5,()2+(2)2=(5)2,故该三角形为直角三角形.故选:A.10.【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形,再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高.【解答】解:∵AB=8,BC=10,AC=6,∴62+82=102,∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,=AB•AC=BC•AD,则由面积公式知,S△ABC∴AD=.故选:C.二.填空题(共10小题)11.【分析】对原式进行变形,发现三边的关系符合勾股定理的逆定理,从而可判定其形状.【解答】解:∵a+b=10,ab=18,c=8,∴(a+b)2﹣2ab=100﹣36=64,c2=64,∴a2+b2=c2,∴此三角形是直角三角形.故答案为:直角.12.【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,进而得出线段DE是△ABC的中位线,再利用勾股定理得出AD,再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长.【解答】解:∵AB=10,AC=8,BC=6,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∵DE是AC的垂直平分线,∴AE=EC=4,DE∥BC,且线段DE是△ABC的中位线,∴DE=3,∴AD=DC==5.故答案为:513.【分析】欲判断是否为勾股数,必须根据勾股数是正整数,同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.【解答】解:根据勾股数定义可得①3,4,5;②6,8,10,故答案为:3,4,5;6,8,10.14.【分析】由n=2时,a=2×2=4,b=22﹣1=3,c=22+1=5;n=3时,a=2×3=6,b=32﹣1=8,c=32+1=10;n=4时,a=2×4=8,b=42﹣1=15,c=42+1=17…得出a=2n,b=n2﹣1,c=n2+1,满足勾股数.【解答】解:∵当n=2时,a=2×2=4,b=22﹣1=3,c=22+1=5n=3时,a=2×3=6,b=32﹣1=8,c=32+1=10n=4时,a=2×4=8,b=42﹣1=15,c=42+1=17…∴勾股数a=2n,b=n2﹣1,c=n2+1.故答案为:2n,n2﹣1,n2+1.15.【分析】根据三角形三边长,利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形,然后即可求得面积.【解答】解:∵62+82=102,∴此三角形为直角三角形,∴此三角形的面积为:×6×8=24.故答案为:24.16.【分析】由勾股定理的逆定理,先验证两小边的平方和等于最长边的平方,那么此三角形是直角三角形,再利用三角形面积公式求即可.【解答】解:∵a=3,b=7,∴a2+b2=58,又∵c2=58,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,=×3×7=10.5.∴S△ABC故答案是10.5.17.【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题.【解答】解:∵2ab=(a+b)2﹣c2,∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2,∴a2+b2=c2,∵三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,∴此三角形是直角三角形,故答案为:直角.18.【分析】根据勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形,利用它的面积:斜边×高÷2=短边×短边÷2,就可以求出最长边的高.【解答】解:∵52+122=132,∴根据勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形,最长边是13,设斜边上的高为h,则S△ABC=×5×12=×13h,解得:h=,故答案为.19.【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键.【解答】解:从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增2,故第5组第一个数是11,又发现第二、第三个数相差为一,故设第二个数为x,则第三个数为x+1,根据勾股定理得:112+x2=(x+1)2,解得x=60,则得第5组数是:11、60、61.故答案为:11、60、61.20.【分析】因为a,b,c为三边,根据(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,可找到这三边的数量关系.【解答】解:∵(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2.当只有a=b成立时,是等腰三角形.当只有第二个条件成立时:是直角三角形.当两个条件都成立时:是等腰直角三角形.三.解答题(共4小题)21.【分析】(1)分析所给四组的勾股数:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;可得下一组一组勾股数:11,60,61;(2)根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一,弦是勾的平方加1的二分之一.【解答】解:(1)11,60,61;(2)后两个数表示为和,∵,,∴.又∵n≥3,且n为奇数,∴由n,,三个数组成的数是勾股数.故答案为:11,60,61.22.【分析】连接BD,根据勾股定理求得BD的长,再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形,则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和.【解答】解:连接BD.∵∠A=90°,AB=2cm,AD=,∴根据勾股定理可得BD=3,又∵CD=5,BC=4,∴CD2=BC2+BD2,∴△BCD是直角三角形,∴∠CBD=90°,=S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6(cm2).∴S四边形ABCD23.【分析】(1)A所在的水平线与B所在的竖直线的交点就是满足条件的点;(2)根据勾股定理可求得AB=5,则到A的距离是5的点就是所求;(3)到A点的距离是5的格点有2个,同理到B距离是5的格点有2个,据此即可求解.【解答】解:(1)(2)如图所示:(3)在图2中满足题(2)条件的格点D有4个.故答案是:4.24.【分析】(1)运用割补法,正方形的面积减去三个小三角形的面积,即可求出△ABC的面积;(2)根据勾股定理求得△ABC各边的长,再利用勾股定理的逆定理进行判定,从而不难得到其形状.【解答】解:(1)△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5.故△ABC的面积为5;(2)∵小方格边长为1,∴AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,BC2=32+42=25,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形.1.3勾股定理的应用一、选择题(共8小题)1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3.将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环.该圆环的面积为()A.π B.3πC.9πD.6π2.为迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小刘搬来一架高2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角距离应为()A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米3.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学,速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟,而小刚从家出发先去找小明再到学校(均走直线),小刚到小明家用了6分钟,小明家到学校用了8分钟,小刚上学走了个()A.锐角弯B.钝角弯C.直角弯D.不能确定4.如图,是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.5≤a≤12 B.5≤a≤13 C.12≤a≤13 D.12≤a≤155.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第()组.A.13,12,12 B.12,12,8 C.13,10,12 D.5,8,46.如图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()A.3m B.5m C.7m D.9m7.如图,带阴影的长方形面积是()A.9 cm2B.24 cm2C.45 cm2D.51 cm28.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是()A.5B.25 C.10+5 D.35二、填空题(共5小题)9.如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm,那么这个直角三角形的面积是______.10.如图,有一个圆柱,它的高等于16cm,底面半径等干4cm,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是______cm.(π取3)11.如图:知:AM⊥MN,BN⊥MN,垂足分别为M,N,点C是MN上使AC+BC的值最小的点.若AM=3,BN=5,MN=15,则AC+BC=______.12.如图,将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和10cm的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是______cm.13.如图,有一个圆柱形杯子,底面周长为12cm,高为8cm,A点在内壁距杯口2cm处,在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫,小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm.(杯子厚度忽略不计)。
北师大版八年级数学上册第一章单元检测试题及答案一.单选题(每题3分,共30分)1.我国古代数学名著《九章算术》中记载:"今有竹高一丈.末折抵地,去本三尺.问折者高几何?翻译:现有竹子高一丈,折断的末端撑着地,离地面竹根三尺远,问折断处离地面有多高?(1丈=10尺)设折断处离地的高度为x 尺,则下列方程正确的是( )A .()222310x x +=-B .()222310x x -=-C .()222310x x +-=D .()222103x x +-=2.如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少要()A .4米B .5米C .6米D .7米3.下列各数是勾股数的是( )A .B .2.3.4C .3.4.5D .4.5.64.如图所示,在ABC 中,90ACB ∠=︒,分别以AB .BC .AC 为边向外作正方形,若三个正方形的面积分别为225.400.S ,则S 的值为( )A .25B .175C .600D .6255.如图1,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处,图2是这棵大树折断的示意图,则这棵大树在折断之前的高是( )A .20米B .18米C .16米D .15米6.直角三角形中,有两边的长分别为6和8,那么第三边的长为( )A .10B .14C .或10D .7.如图,圆柱形容器的高17cm ,底面周长是24cm ,在外侧底面S 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 点F 处有一苍蝇,急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是( )A .20cmB .CD .24cm8.如图,在直线m 上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别是3,6,9,正放置的四个正方形的面积依次是1S ,2S ,3S ,4S ,则14S S +=( )A .6B .6.5C .7D .89.如图,在四边形ABDE 中,AB DE ∥,AB BD ⊥,点C 是边BD 上一点,BC DE a ==,CD AB b ==,AC CE c ==.下列结论:①ABC CDE ≌△△;②A C C E ⊥;③四边形ABDE 的面积是222121b ab a ++;④()2221112222a b c ab +-=⨯;⑤222+=a b c .其中正确的结论个数是( )A .2B .3C .4D .510.三角形的三边长为a ,b ,c ,且满足22()2a b c ab +=+,则这个三角形是( )A .等边三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .锐角三角形.二.填空题(每题3分,共30分)11.若直角三角形两直角边平方和为36,则它的斜边长为______.12.如图,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少要飞______m .13.在Rt ABC △中,90C ∠=︒,6AC =,8BC =,D ,E 分别是斜边AB 和直角边CB 上的点,把ABC 沿着直线DE 折叠,顶点B 的对应点是点B ',如果点B '和顶点A 重合,则CE 的长为___________.14.如图,有一张直角三角形的纸片,90,5,3ACB AB AC ∠=︒==.现将三角形折叠,使得边AC 与AB 重合,折痕为AE .则CE 长为_____________.15.在等腰直角ABC 中,90B Ð=°,2BC =,则AC =______.16.如图,在44⨯的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A ,B ,C 都在格点上,BD AC ⊥于D ,则BD 的长为______.17.如图,一个梯子斜靠在一竖直的墙AO 上,测得4m AO =,若梯子的顶端沿墙下滑1m ,这时梯子的底端也向右滑1m ,则梯子AB 的长度为________.18.用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示,已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若x ,y 表示直角三角形的两直角边长(x >y ),给出下列四个结论正确的是 _____.(填序号即可)①x ﹣y =2;②2249x y +=;③2xy =45;④x +y =9.19.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,10cm AB =,6cm BC =,若动点P 从点A 出发,以1cm/s 的速度沿折线A C B A ---运动.设运动时间为t (0t >)s .当点P 运动到恰好到点A 和点B 的距离相等的位置时,t 的值为______.20.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,分别以AB .AC .BC 为直径向外作半圆,它们的面积分别记作1S .2S .3S ,其中125S π=,216S π=,3S = __________(用含π的代数式表示)三.解答题(共60分)21.我国古代数学家赵爽的"勾股圆方图"是由四个全等的直角三角形(如图1)与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图2).(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理,该定理的结论用字母表示: ;(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形,满足AE BC a ==,DE AC b ==,AD AB c ==,90AED ACB ==︒∠∠,求证(1)中的定理结论;(3)如图,由四个全等的直角三角形拼成的图形,设CE m =,HG n =,求正方形BDFA 的面积.(用m ,n 表示)22.我们知道,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,其中直角所在的两条边叫直角边,直角所对的边叫斜边((如图①所示).数学家还发现:在一个直角三角形中,两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a 和b ,斜边长度是c ,那么222+=a b c .(1)直接填空:如图①,若34a b ==,,则c =__________;(2)观察图②,其中两个相同的直角三角形边AE .EB 在一条直线上,请利用几何图形的之间的面积关系,试说明222+=a b c .(3)如图③所示,折叠长方形ABCD 的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,已知810AB BC ==,,利用上面的结论求EF 的长?23.如图,甲乙两船同时从A 港出发,甲船沿北偏东35°的方向,航速是12海里/时,2小时后,两船同时到达了目的地.若C .B 两岛的距离为30海里,问乙船的航速是多少?24.如图1,AB BC ⊥于点B ,射线CM BC ⊥于点C ,P 是线段BC (不与点B ,C 重合)上的动点,过点P 作DP AP ⊥交射线CM 于点D .(1)若AP DP =,求证:ABP PCD ≅ ;(2)如图2,若,3,9AP PC AB BC ===,求ABP 的面积;(3)如图3,连结AD ,若DP 平分ADC ∠,试猜测PB 和PC 的数量关系,并说明理由.25.如图,Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,AC BC =,AD CD ⊥,BE CD ⊥,垂足分别为点D ,E .(1)求证:ACD CBE ≌;(2)若1AD =,2DE =,求AC 的长.26.如图,在四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,将点B 绕点C 逆时针旋转60︒得到点E ,连接AE ,BE ,CE .(1)求CBE ∠的度数;(2)若ACD 是等边三角形,且30ABC ∠=︒,3AB =,5BD =,求BE 的长.27.如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以15/km h 的速度移动,已知城市A 到BC 的距离100AD km =.(1)台风中心经过多长时间从B 移动到D 点?(2)已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D 的工作人员早上6:00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?28.已知ABC 中,=90B ∠︒,6cm BC =,8cm AB =,P .Q 是ABC 边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动且速度为每秒2cm,点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动,在BC 边上的运动速度是每秒3cm ,在AC 边上的运动速度是每秒5cm ,它们同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止,设运动时间为t 秒,(1)线段AC =________;(2)当1t =秒时,求BPQ V 的面积;(3)当点AP CP =时,CQ =________;(4)若PQ 将ABC 周长分为5:7两部分,直接写出t 的值.参考答案:1.A2.D3.C4.D5.B6.C7.A8.A9.C10.C11.612.1013.7414.3215.16.9517.5m ##5米18.①②③19.254或19##19或25420.9π21.(1)解:∵大正方形的面积2c =,大正方形的面积()2142a b b a =⨯⨯⨯+-,∴()22142c a b b a =⨯⨯⨯+-,∴222c a b =+,故答案为:222c a b =+;(2)证明:如图:连接BD ,∵Rt Rt ABC DAE ≌△△,∴ADE BAC ∠=∠,∴90DAE ADE DAE BAC ∠+∠=︒=∠+∠,∴90DAB ∠=︒,∵()21122ABCD S c a b a =+-四边形, ()11222ABCD ab b b a S ⨯+=-四边形,∴()()2211122212ab b b a c a b a ++-=-⨯,∴222c a b =+;(3)解:由题意可得:CE CD DE =+,GH AG AH =-,∴m a b =+,n b a =-,∴2m n a -=,2m n b +=,∴22222222BD BC CD a b m n ==++=+,∴正方形BDFA 的面积为222m n +.22(1)解:∵222+=a b c ,∴5c =,故答案为:5;(2)根据题意得:21111()()2222a b a b ab ab c +⨯+=++,则22211(2)22a ab b abc ++=+,∴222111222a ab b abc ++=+,∴222111222a b c +=,∴222+=a b c ;(3)∵折叠长方形ABCD 的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,∴DE EF =,10AD AF ==,∴6BF ===,∴4CF =,设DE EF x ==,则8CE x =-,在Rt EFC △中,222EF FC EC =+,即2224(8)x x =+-,解得5x =,∴5EF =.23.根据题意得:1222430AB BC =⨯==,,90BAC ∠=︒,∴222AC AB BC +=.∴222223024324AC BC AB =-=-=∴18AC =.∴乙船的航速是:1829÷=(海里/时).24(1)证明:∵AB BC CM BC⊥⊥,∴90B C ∠=∠=∵DP AP⊥∴90APD ∠=∴90A APB DPC APB ∠∠∠∠+=+=o∴A DPC∠=∠∵AP DP=∴ABP PCD ≌;(2)解:设BP =x∴9AP PC x==-∵AB BC ⊥,∴222AB BP AP +=∴()22239x x +=-解得4x =∴ABP 的面积14362=⨯⨯=;(3)证明:BP CP =,理由如下:延长DC ,AP 交于点E,∵DP 平分ADC ∠,∴ADP EDP ∠=∠,∵DP AP ⊥,∴90DPA DPE ∠∠==o ,∵DP DP =,∴ΔΔDPA DPE ≅,∴AP PE =,∵90B PCE APB EPC ∠∠∠∠===o ,,∴ΔΔABP ECP ≅,∴BP CP =.25.(1)证明:90AD CD BE CD ACB ⊥⊥∠=︒ ,,,909090ADC CEB ACD BCE ACD CAD ∴∠=∠=︒∠+∠=︒∠+∠=︒,,,BCE CAD ∴∠=∠,在ACD 和CBE △中,90ADC CEB CAD BCECA BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()AAS ACD CBE ∴ ≌;(2)解:()AAS ACD CBE ≌,1CE AD ∴==,123CD CE DE ∴=+=+=,AC ∴==26.(1)解:∵将点B 绕点C 逆时针旋转60︒得到点E,∴CB CE =,60BCE ∠=︒,∴BCE 是等边三角形,∴60CBE ∠=︒,∴CBE ∠的度数为60°;(2)∵ACD 是等边三角形,∴AC DC =,60ACD ∠=︒.∵60ACD BCE ∠=∠=︒,∴ACD ACB BCE ACB ∠+∠=∠+∠,∴ACE BCD ∠=∠.∵BC CE =,AC DC =,∴ACE △≌DCB △(SAS ),∴5AE BD ==.∵60CBE ∠=︒,30ABC ∠=︒,∴90ABE CBE ABC ∠=∠+∠=︒.在Rt ABE △中,3AB =,∴4BE ===,∴BE 的长为4.27.解:(1)在Rt △ABD 中,根据勾股定理,得BD =km ,所以,台风中心经过240÷15=16小时从B 移动到D 点,答:台风中心经过16小时时间从B 移动到D 点;(2)如图,∵距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响,∴BE =BD -DE =240-30=210km ,BC =BD +CD =240+30=270km ,∵台风速度为15km /h ,∴210÷15=14时,270÷15=18,∵早上6:00接到台风警报,∴6+14=20时,6+18=24时,∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作.28.(1)解:∵=90B ∠︒,∴10AC ==,故答案为:10;(2)解:∵22,33AP t BQ t ====,∴826BP AB AP =-=-=,∴211639cm 22BPQ S BP BQ =⋅=⨯⨯= ;(3)解:设AP CP x ==,则8BP x =-,在Rt BCP △中,由勾股定理得,222CP BP BC -=,∴()22286x x --=,∴254x =,∴25252248t =÷=>,∴点Q 在AC 上,∴25455288CQ ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,故答案为:458;(4)解: ()568101057++⨯=+,241014-=,当02t <<时,10BP BQ +=时,82310t t -+=,解得∶2t =(舍去),当14BP BQ +=时,82314t t -+=,解得∶6t =(舍去),当24t ≤<时,当10AP AQ +=时,()2105210t t +--=,解得:103t =,当14AP AQ +=时,()2105214t t +--=,解得:2t =,综上所述:2t =或103.。
八年级上册数学第一章《勾股定理》测试题
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、
选择题:(每小题4分,共40分)
1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是( )
A 、6,8,10
B 、5,12,13
C 、12,18,22
D 、1,12,15 2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( ) A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等腰三角形 3、如图,带阴影的矩形面积是60,则图中直角三角形的斜边长为( ) A 、9 B 、12 C 、17 D 、24
4、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ) A 、12米 B 、13米 C 、14米 D 、15米
5、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为( ) A 、65 B 、60 C 、120 D 、130
6、已知三角形的三边分别为a、b、c,且满足
,那么这个三角形是( )
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定 7、等边三角形的边长是10,它的高的平方等于( )
A 、50
B 、75
C 、125
D 、200 8、直角三角形的两直角边分别为5厘米,12厘米,则斜边上的高是( ) A 、6厘米 B 、厘米 C 、厘米 D 、
9、已知Rt ⊿ABC 中,已知∠C=900
,若a+b=14cm ,c=10cm ,则Rt ⊿ABC 的面积是( ) A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
10、如图,在直角三角形中,∠C=900
,AC=3,将其绕B 点顺时针旋转一周,则分别以BA ,BC 为半径的圆形成一环,该圆环的面积为( )
第3题
第5题
4cm
A、 B、3 C、6 D、9
二、填空题:
(每小题4
分,共20分)
11、⊿ABC
中,若
AC2+AB2=BC2,则∠B+∠C= 。
12、若三角形的三边之比为3︰4︰5,则此三角形为三角形。
13、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7㎝,则正方形A,B,C,D的面积之和为㎝2。
14、如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”,他们仅仅走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草。
15、正方形的面积为100平方厘米,则该正方形的对角线的平方长为。
三解答题:(共90分)
16、如图,从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远?(12分)
17、小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高度是多少?(12分)
18、如图正方形网格中的⊿ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
(1)求⊿ABC 的面积(6分)
(2)判断⊿ABC 是什么形状?并说明理由。
(6分)
19、如图所示,折叠长方形一边AD ,点D 落在BC 边的点F 处,已知BC=10厘米,AB=8厘米,求FC 的长。
(12分)
20、如图所示,一棱长为3cm 的正方体,把所有的面都分成3×3个小正方形,其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟?(12分)
21、如图所示,有两棵树,一棵高8m ,另一棵高2m ,两树相距8m ,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶
端,至少要飞多少米?(15分) D。
E
F
G
B 。
A
C
22、如图所示,在学习勾股定理时,我们学会运用图(I)验证它的正确性,图中大正方形的面积可表示为(a+b)
2,也可表示为,即,由此推出勾股定理,这种根据图形可以极简单地
直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”。
(I) (II)
(1)请你用图
(II)的面积
表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。
(5分)
(2)请你用图(III)提供的图形进行组合,用组合图形(把组合图形画在下面空白处)的面积表达式验证:
(5分)
(3)请你自己设计图形的组合(画出组合图形),用其面积表达式验证:
(5分)。