《简单多面体 》(北师大)

《简单多面体》提升练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、填空题1.一个长方体，共一顶点的三个面的面积分别为2，3，6，则这个长方体对角线的长是________．2．如图在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝2，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________．3．正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为________．4．棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为________．二、简答题5．如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC 上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2) PC和NC的长．6. 如图所示，在长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，已知AB ＝5，BC ＝4，BB 1＝3，从A 点出发，沿着表面运动到C1，求最短路线长是多少？解析和答案一、填空题1．【答案】6解：设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，体对角线为l .∵ab =，ac =，bc =2a =，2b =，2c =，∴l ==2．【答案】3223．【答案】212a 4．【答案】 9解：因为棱台上下地面积分别为25和81,所以“ 以棱台上底面为底面的棱柱的高”与“ 以棱台下底面为底面的棱柱的高”之比为5：9,设为5a 和9a ,棱台的高为4 可知9a -5a =4 ,则a =1.因此,所求的棱柱的高为9．三、简答题 5．【答案】(1) 97 (2) PC ＝2，NC ＝45解:(1) 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2) 如图所示，将侧面沿A 1A 剪开并展开，由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M的最短路径为线段MP .设PC ＝x ，在Rt △MAP 中，有(3＋x )2＋22＝(29)2⇒x ＝2，故PC ＝2，NC ＝45.。

简单多面体教学设计南昌市外国语学校谢川2021年11月10日课题内容：简单多面体教材选择：北师大版必修二第一章第一节设计和授课人：谢川一、教学理念新课程标准明确指出：“数学是人类文化的重要组成局部，构成了公民所必须具备的一种根本素质。

〞因此，本节课力图创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流，充分启发学生的思维，实现教学方式、学习方式的转变。

二、教材分析培养学生的空间观念是数学教育的主要目标之一。

?立体几何初步?是几何学的重要组成局部，承当着立体几何定性局部的学习。

?简单几何体?是本章的第一节，为后续学习提供了全部的模型，学生将先从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；进而能用数学语言表述有关平行、垂直的判定和性质，同时还将学习一些简单几何体的外表积和体积的计算方法。

本节也是新课程立体几何局部的起始课、入门课，对空间观念的形成有着重要影响。

学生对简单几何体结构特征的认知是以后对空间体进行结构分解和运用的关键。

本节课宜强化几何直观的教学，适当进行思辨论证，在教师的引导下，依次学习棱柱、棱锥、棱台的概念，这是本课时的重点。

难点是几何体结构特征的认识及空间观念的开展，以及概念形成过程中学生的抽象概括能力。

依据?课标?，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标：三、教学目标1.知识与技能：感知并认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述生活着简单物体的结构。

2.过程与方法：充分利用模型、教具、课件，让学生亲身体验，直观感知，团队合作；用问题启发式教学贯穿始终，培养学生从立体到平面、从平面到空间的转化能力，逐步形成空间想象力。

3.情感态度和价值观：以学生开展为本，让学生参与教学的全过程，多方面培养学生思维的创造性和灵活性。

重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。

第二课时1.1.2简单多面体一、教学目标：1・知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。

（4）会表示有关于儿何体以及柱、锥、台的分类。

2.过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3.情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时捉高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。

难点：棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征的概括。

三、教学方法（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）教法：探析讨论法。

四、教学过程：（一）、新课导入：复习：1、简单儿何体都有哪些类型？2、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

（二）探究简单多面体的结构特征1.探究棱柱、棱锥的结构特征：①提问：举例生活屮有哪些实例给我们以两个曲平行的形象？②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底而用刀垂直切，得到的儿何体有哪些公共特征？把这些儿何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？知识探究（1）：棱柱的结构特征思考1：我们把卜•面的多面体取名为棱柱，你能说一说棱柱的结构有那些特征吗？据此你能给棱柱下一个定义吗？思考2：为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱 柱的侧面，相邻侧血的公共边叫做棱柱的侧棱，狈恤与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你 思考3：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符兮表示?③ 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相E能指出上面棱柱的底而、侧面、侧棱、顶点吗?侧面平行，山这些而所围成的儿何体叫棱柱.f 列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、六角螺帽).结合图形认识：底血、侧血、侧棱、顶点、高、対角血、对角线.思考4：棱柱上、下两个底面的形状人小如何？各侧面的形状如何？答案：两底面是全等的多边形，各侧面都是平行四边形思考5：冇两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?思考6： —个棱柱至少有几个侧面？ 一个N 棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱? 有多少个顶点？④ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：梭柱 ABCDE-A' B' C' D' E'知识探究(2)：棱锥的结构特征思考1：我们把下面的多面体取名为棱锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征吗？据此你能 给棱锥下一个定义吗?① 定义：有一个而是多边形，其余各而都是有一个公共顶点的三角形，山这些而所围成的儿 何体叫棱锥. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.- -＞讨论：棱锥如何分类及表示? / W 侧面侧棱底面SB思考2：参照棱柱的说法,棱锥的底面.侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?s顶点 /K思考4：一个棱锥至少冇几个面？一个N棱锥冇分别冇多少个底面和侧面？冇多少条侧棱？有多少个顶点？【至少有4个面；1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点.】思考5：用一个平行于棱锥底而的平而去截棱锥，截而与底而的形状关系如何？【相似多边形】②讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？棱柱：两底血是对应边平行的全等多边形；侧面、対角血都是平行四边形；侧棱平行且和等; 平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对如曲都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2、探究棱台的结构特征：①讨论：用一个平行于底面的平而去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？②定义：用一个平行于棱锥底面的平而去截棱锥，截面和底面Z间的部分叫做棱台；―列举生活中的实例结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？③讨论：棱台具有一些什么几何性质？棱台：两底而所在平而互相平行；两底而是对应边互相平行的相似多边形；侧而是梯形; 侧棱的延长线相交于一点.④讨论：棱、圆与柱、锥、台的纽合得到6个儿何体.棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底血变化为线索）⑤讨论：棱台•棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）4.练习：圆锥底面半径为1 cm,高为＞/2 cm,其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（补充平行线分线段成比例定理）5.小结：学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类.（三）、巩固练习：课本P8 A组1〜4题.（卩4）、小结：木课学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类.要求大家理解和掌握（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

1.2 简单多面体1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱．棱柱的侧面是平行四边形．预习交流1棱柱是“有两个面是互相平行且全等的多边形，其余各面都是平行四边形的多面体”．这一概念对吗？为什么？提示：不对．如图，是由两个三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱．所以棱柱的定义中强调“其余各面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”．预习交流2什么是直棱柱？什么是正棱柱？两者有什么区别？提示：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱与正棱柱的区别①直棱柱是在一般棱柱的基础上加一个条件“侧棱与底面垂直”；②正棱柱是在直棱柱的基础上加一个条件“底面是正多边形”．3．特殊的四棱柱4．棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形．预习交流3棱锥所有的面可以都是三角形吗？提示：可以．当棱锥的底面为三角形时，其所有的面都是三角形，这样的棱锥叫三棱锥，也叫四面体．预习交流4“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体是棱锥吗？提示：判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面是三角形；③这些三角形有一个公共顶点．这3个特征缺一不可．如图所示的多面体有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但这些三角形没有公共顶点，所以它不是棱锥．5．棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形．预习交流5(1)如何判断一个多面体是不是棱台？提示：(2)你能总结出柱、锥、台体的关系吗？提示：1．对简单多面体的理解如图所示为长方体ABCD­A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．思路分析：①本题是一个几何体的分割问题；②分割后是两个几何体．解题时可先确定两个互相平行的面，然后根据棱柱的定义得出结论．解：截面BCFE上方部分是棱柱BB′E­CC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′­DCFD′，其中平面ABEA′和DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：解答本题的依据是棱柱、棱锥、棱台的结构特征，结合已知进行具体分析．解析：对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错；②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是所截棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在直线均相交于同一点，故④是正确的．答案：B1．下列命题中，正确的是( )．A．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面B．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形D．侧棱与底面两边垂直的棱柱叫直棱柱解析：在棱柱底面的定义中，两个互相平行的面是特指的，反之，则不一定，如底面是梯形时，有两个侧面互相平行，这两个平行的侧面就不能称为棱柱的底面，故A不正确；棱柱可以是平行六面体，所以B项不正确，C正确；由直棱柱的定义知D错误．答案：C2．下列说法正确的有( )．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．答案：A认识一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．2．简单多面体有关量的计算已知正三棱锥V­ABC中，底面边长为8，侧棱长为思路分析：本题主要考查正三棱锥中基本量的计算，关键是把已知量与未知量放到直角三角形中求解．解：如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点，∴△VAO 和△VCD 都是直角三角形． ∵底面边长为8，侧棱长为26， ∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝(26)2－⎝⎛⎭⎪⎫8332＝236.VD ＝VC 2－CD 2＝(26)2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2.正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高为1，试求该棱台的侧棱和斜高．解：如图，设上、下两底的中心分别是O 1，O ，连接O 1O ，则O 1O 为棱台的高，O 1O ＝1.连接A 1O 1，AO 并延长分别与B 1C 1和BC 相交于D 1，D .由平面几何知识得，D 1，D 分别是B 1C 1和BC 的中点，连接D 1D ，则D 1D 为棱台的斜高．因为B 1C 1＝3，BC ＝6，所以A 1O 1＝33×3＝3，AO ＝33×6＝23，O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝ 3. 在直角梯形AOO 1A 1中，A 1A ＝12＋(23－3)2＝2；在直角梯形DOO 1D 1中，D 1D ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＝72. 即该棱台的侧棱和斜高分别为2和72.正棱锥中基本量的计算要借助构造的直角三角形，如[活动与探究3]中的Rt △VAO ，Rt △VOD ，Rt △VCD 等．它们包含了正棱锥的侧棱长、高、斜高、底面边长的一半，底面外接圆半径和内切圆半径．类似地，在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和相应两底面正多边形的顶点与中心连线组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，实际上就是这几个直角梯形的计算问题．1．在棱柱中( )．A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行答案：D2．棱柱的侧面都是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形答案：B3．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是( )．A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案：B4．下列描述中，是棱台的性质的是__________．(填序号)①两底面平行；②侧面都是梯形；③侧棱都相等，且平行；④侧棱延长后都交于一点；⑤底面不可能为三角形．解析：棱台是由棱锥截得的，截面与底面平行，①正确；棱台的侧面都是梯形，②正确；③错误；棱台侧棱延长后必交于一点，④正确；由三棱锥截得的棱台为三棱台，其底面是三角形，⑤错误．答案：①②④5．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解：(1)正确；(2)不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等；(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱；(4)正确．。