1-2-1-3 等差数列应用题.教师版【小学奥数精品讲义】

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

【例 1】 100以内的自然数中。

所有是3的倍数的数的平均数是 。

【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分 【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是()09934179916832+⨯=⨯=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。

【答案】49.5【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。

最后，每只小猴分得8个野果。

这群小猴一共有_________只。

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15⨯-只果，共有15只猴. 【答案】15只猴子【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有 位同学．【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级【解析】 因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123-=（个），15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题 【答案】5位【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依例题精讲等差数列应用题次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 5】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550（）⨯⨯（方法二）根据12398991005050+++++的++++++=，从这个和中减去1357 (99)和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 6】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、……，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n项=首项+公差（），⨯-n1所以，第102项321021205（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1=+⨯=+”，999所处的项数是：（）-÷+=÷+=+=999321996214981499【答案】499【例 7】如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

等差数列应用题目tM 怔 例题精讲【例1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星【题型】解答【解析】首项=17，末项=150，公差=7,项数=（150-17） £+1=20【答案】20【例2】 一个队列按照每排 2, 4, 6, 8人的顺序可以一直排到某一排有 100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例 1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数——配对，可配成 25对. 所以 2 4 696 98 100 = （ 2+100） 25=103 25= 2550（方法二）根据 1・2・3 . 98 99 10^5050，从这个和中减去 13 5 7 ... 99的和，就可得出此题的结果，这样从反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫.【答案】2550【例3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的•第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有 5只蝴蝶，第三个雕塑有 7只蝴蝶，第四个雕塑有 9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方， 学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、……，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式 一一第门项=首项+公差（n-1）,所以，第102项=3+2（102-1） = 205；由 项数=（末项-首项尸公差十1”，999所处的项数是：（999—3）2+1 =996 斗 2 +1 =498+1 =499【答案】499【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层.问最下面一层有多少根 ？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】将每层圆木根数写出来，依次是：5, 6, 7, 8, 9, 10 ,…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1,项数是28•求的是第28项•我们可以用通项公式直接计算.解：a n =印（n — 1） d=5 （28 -1） 132（根）故最下面的一层有 32根.【答案】32【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多 4块砖，已知最下层 2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少 块？【解析】项数=（2106-2）韶+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）吃=1054，数列和=中间项X项数=1054 >527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

等差数列专题解析典型例题例1、求等差数列3，8，13，18，…的第38项和第69项。

例2、36个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数部比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，则第一个同学报的数是几？像(1)1,2,3,4,5,…(2)10,20,30,40,50,… (3)4111432141，，，，,…这种从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示。

在等差数列1a ，n a a a ...,32，它的公差是d ，那么d a a 12d a d d a d a a 2)(1123da d d a d a a 3)2(1234…由此可见，等差数列从第二项起，每一项等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项的项数减1的差，所以：d n a a n )1(1。

这个公式我们称它为等差数列的通项公式，利用它可以求出等差数列中的任何一项。

例3、等差数列4，12，20，…中，580是第几项？例4，一批货箱，上面标的号是按等差数列排列的，第一项是 3.6,第五项是12,求它的第二项.例5、游戏园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低一级宽150厘米，中间还有13级，各级的宽度成等差数列，求正中一级的宽。

随堂巩固1、求3+10+17+24+31+…+94的和2、求100至200之间被7除余2的所有三位数的和是多少？3、一个有30项的等差数列，公差是5，末项为154，这个数的首项是多少？4、有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。

5、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。

写出插入的五个数.6、从广州到北京的某次快车中途要依靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？7、学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91场比赛，有多少人参加了选拔赛？8、7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树？。

第02讲等差数列教学目标掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等；掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用.知识梳理一、数列的概念按一定顺序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项.数列中共有的项的个数叫做项数.如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列二、等差数列与公差一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差.三、常用公式等差数列的总和=(首项+末项)⨯项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1末项=首项+公差⨯(项数-1)首项=末项-公差⨯(项数-1)公差=(末项-首项)÷(项数-1)等差数列(奇数个数)的总和=中间项⨯项数中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．典例分析考点一：等差数列的基本认识例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；【考点】等差数列的基本认识【解析】①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+(21-1)×2=141例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191答案：191例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【考点】等差数列公式的简单运用【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320564÷=，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．答案：60例5、5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【考点】等差数列公式的简单运用【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第n项=首项+公差1（），所以，第201n⨯-项532011605（），即65是n=-÷+= =+⨯-=（），对于数列5，8，11，，65，一共有：6553121第21项．答案：无限多项；第201项是605；65是第21项考点二：等差数列求和例1、一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【考点】等差数列的求和【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756⨯=．答案：56例2、15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133÷=，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332158147（）+⨯-=答案：147例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数.在求这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1.小马虎求和时漏掉的数是.【考点】等差数列的求和【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1，才能使结果正确，共要补上2006，因此这个漏掉的数是2006.例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829【考点】数阵中的等差数列【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．(比较慢，这里不再写具体过程)方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和=中间项⨯项数．先看行，因为是偶数行没有中间项，首项1112201120102155=+++=+⨯÷=（），末项2021292029102245=+++=+⨯÷=（）或者155********=+-⨯=（）．这100个数之和1552451022000=+⨯÷=（）．按列算同上．方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和201002000=⨯=．答案：2000考点三：等差数列的应用例1、已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，，问2009是这个数列的第多少项？【考点】等差数列的公式运用【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7，奇数项的排列规律是：2、4、6、8，方法一：可以看出两个数列都是等差数列．由于2009是奇数，所以在偶数项数列中，它的项数是：2009121005+÷=（），所以在整个数列中，2009的项数是100522010⨯=，所以2009是这个数列的第2010项．方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数1+，偶数的项数是该数2÷，所以2009是这个数列的第200912010+=项．答案：2010例2、在11～45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？ 【考点】等差数列的公式运用【解析】先求被3整除的数的和；11～45中能被3整除的数有12，15，…，45，和为：121542451245122342++++=+⨯÷=（）；于是，满足要求的数的和为：1145342980342638++-=-=（）．答案：638例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N =5时，按这种方式摆下去，当N =5时，共需要火柴棍 根.【考点】找规律计算【解析】找规律3，3+6，3+6+9…，N =5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45 答案：45例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈.【考点】找规律计算2010年，第8届，希望杯，4年级，1试【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1×2，2×3，3×4，……，第6个图有6×7＋4＝46个小圆.答案：46➢ 课堂狙击1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？实战演练【解析】(1)因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=(末项-首项)÷公差+1，便可求出.(2)根据公式：末项=首项+公差⨯(项数-1)解：项数=(201-3)÷3+1=67末项=3+3⨯(201-1)=603答：共有67个数，第201个数是6032、全部三位数的和是多少？【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列.要求和可以利用等差数列求和公式来解答.解：(100+999)⨯900÷2=1099⨯900÷2=494550答：全部三位数的和是494550.3、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99.【解析】这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行(或竖行)数列之和，再求出这个方阵的和.解：每一横行数列之和：第一行：(1+50)⨯50÷2=1275第二行：(2+51)⨯50÷2=1325第三行：(3+51)⨯50÷2=1375……第四十九行：(49+98)⨯50÷2=3675第五十行：(50+99)⨯50÷2=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=(1275+3725)⨯50÷2=1250004、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？【解析】从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6.题目要求是的等差数列末项a n−a1=d ×(n-1)=6×(16-1)=90(人)解：an +a1=S⨯2÷n=912⨯2÷16=114(人)外圈人数=(90+114)÷2=102(人)内圈人数=(114-90)÷2=12(人)答：最外圈有102人，最内圈有12人.5、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是.【解析】6+4⨯(2003-1)=6+4⨯2002=80146、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位.【解析】末项=2+(100+1)⨯2=200÷和=(2+200)⨯1002=101007、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书.最上面一层放本书，最下面一层放本书.【解析】100、140中间一层本数：600÷5=120(本)最上面一层：12-10⨯2=100(本)最下面一层：120+1⨯2=140(本8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？【解析】题中要求办不到.9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？【解析】7+95=102(根)95-7+1=89(层)102⨯89÷2=4539(根)答：这堆圆木一共有4539根.10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？【解析】第100层有点：6+(99-1)⨯6=6+98⨯6 =6⨯99 =594(个)点阵只有点： 1+(6+594)⨯99÷2 =1+600⨯99÷2 =29701(个) 答：这个点阵共有点29701个.➢ 课堂反击1、观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律，推知a =________ . 【解析】19+18=37，37+18=55，所以a =55+18=73 答案：732、2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项.末项=2+(21-1)×3=62 答案：623、在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994． 【考点】等差数列公式的简单运用【解析】每个数比前一个数大7，根据求通项1(1)n a a n d =+-的公式得1()1n n a a d =-÷+，列式得：(19946)7284-÷= 2841285+=即第285个数是1994．答案：2854、有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？【考点】等差数列的求和【解析】末项是：9201366+-⨯=（），和是：966202750+⨯÷=（）答案：7505、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210730÷=，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.答案：406、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8，偶数项的排列规律是：3、6、9、12，可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第200021000÷=个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第2003121002+÷=（）个数，所以第2000个数是31000133000+-⨯=（），第2003个数是21002122004+-⨯=（）．答案：20047、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30.第1个数：30-6=24，末项：24+(8-1)×2=38.即：最大的数为38.答案：388、观察下列四个算式：201=20，202=10，104=52，528=516.从中找出规律，写出第五个算式：.【考点】找规律计算，2009年，希望杯，第七届，六年级，二试【解析】发现规律，第5个算式为516÷16=5256.答案：52569、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差(大数减小数)，如对于a，差为7-5=2，所有差的总和为.【考点】数阵中的等差数列【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为0，和为0第二行第一个圈为1，第二个圈为0，和为1第三行第一个圈为2，第二个圈为1，第三个圈为0和为123+=第四行第一个圈为3，第二个圈为2，第三个圈为1，第四个圈为0，和为1+2+3=6……所以这些差有7个1，6个2，5个3，4个4，3个5，2个6，1个7和为71+62+53+44+35+26+17⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7+12+15+16+15+12+7=84答案：841、从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____.【考点】等差数列的基本认识【解析】1992、(2006年，第4届，希望杯，4年级，1试)观察下列算式：2＋4＝6＝2×3，直击赛场2＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5……然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ .【考点】找规律计算【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数，100以内的偶数有50个，所以2＋4＋6＋……＋100＝50×51＝2550答案：25503、(2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛)从正整数1～N 中去掉一个数，剩下的(N 一1)个数的平均值是15.9，去掉的数是_____.【考点】等差数列的公式运用【解析】因为“剩下的(N -1)个数的平均值是15．9”，所以(N -1)是10的倍数，且N 在15．9×2=31．8左右，推知N =31.去掉的数是(1+2+3+…+31)-15.9×30=496-477=19.答案：19一、等差数列的定义 ⑴定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项.项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示；和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）重点回顾②项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1③求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．➢本节课我学到➢我需要努力的地方是学霸经验。

本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。

2a ba 22ab b 2.为便于记忆，可形象的叙述为：首平方，尾平方，2倍乘积在中央、常用技巧1. abcabc abc 1001 ；2. ababab ab 10101 ；3. 1 0.142857 , 2 0.285714 , 30.428571 ,7 7 7 4 1 5 1 6—0.571428 , — 0.714285 , — 0.857142 ; 7 7 7 4. %驰 %邨 123|||n||(321 ,其中 n 9.n 个1n 个1且隹例题精讲一'、前n 项和 【例 1】12 32 52"192【考点】公式法之求和公式 【解析】12 32 52 "I 192(12 22 32 ||| 192) (221 /2 2 —19 20 39 4 (1 2 6自tut/、常用公式1.2 3III2. 12 22 323. 13 23 334.5.6. 7.知识点拨IIIIll 10 n (n 1) 2n 等比数列求和公式: 平方差公式: b2n (n 1) (2n 1)S n II IIl la〔q1a 〔q公式法计算22n (n 1) a 〔qn n 1III a 1(q n1)(q 3 2 1 n2；1);完全平方公式: 用文字表述为:2ab b 2,2 一2a 2ab b两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和， 加上(或者减去)这两个数的积的2倍,两条公式也可以合写在一起:【难度】2星42 || 182)III 92) 【题型】计算57600 门平 c2 ---- 2 7 8 4 8128【答案】81281 2 23333-100 101 21 2 501 2 2 3 1 2 2 —100 101 2 50 51 4 42470 2470【答案】21851—9 10 19 6285 2185 222222【巩固】124 5 7 8 【考点】公式法之求和公式【解析】原式(12 22 I0 162) (12 22 ||| 162) 2222210 11 13 14 16【难度】3星 (32 62 92 122 152)32 (12 2232 4252) 【题型】计算16 17 33 5 6 11--------- 9 ---------6 61496 495 1001【答案】1001[例 2 ] 计算：36 49 64 81 III 400 【考点】公式法之求和公式 【难度】3星【解析】原式62 72 82 H 2021222 32 ” 20212 2 2 32 42 521 120 21 41 5 6 11 6 6 2870 55 2815【答案】2815【题型】计算【例3】 计算：13 33 53 73 【考点】公式法之求和公式 33339 11 13 15【难度】3星【题型】计算【解析】原式13 23 33 432215 15 1 ---------- 8 III 143 13 23 153 III 23 73 43 III314【巩固】计算：13 33 53 \\\ 【考点】公式法之求和公式 【解析】 与公式13 23\\\ n 3先补上偶数项. 3991 2【难度】3星212n n m -------- 相比,4【题型】填空13 33 53”993缺少偶数项，所以可以原式 13 23 33 \\\ 100323 43 \\\ 1003_2 _2_ 2502 1012 2 512 12497500 【答案】124975001 23 33 20063【例4 ] 计算：------------------------------ 11 2 3 2006【关键词】西城实验 2003 2 2001 22 13 5 I]) 2001 2 1 2003 1002 2 2008008其中也可以直接根据公式 1 3 5 7 “ 2n 1 n 2得出1 3 5 ” 2001 2003 10022【答案】2008008 【例 6】计算：1 22 2 32 3 42 \[[ 18 192 19 202 【考点】公式法之求和公式 【难度】3星【题型】计算【解析】 分拆(21) 22 23 22 (3 1 ) 32 33321HHi 再用公式4 川丁( I( (J (II ( ( ( ( ( ( \J I ) 。