下载文档原格式
2021年高三上学期期中统考数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D.7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.9.在中,角的对边分别为,且.则A．B．C．D．10.函数是上的奇函数，,则的解集是A . B. C. D.11.定义在上的偶函数满足且，则的值为A. B. C. D.12.设函数，若实数满足则A． B．C． D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.已知一元二次不等式的解集为,则的解集为. （）14. ．15.设正数满足, 则当 ______时, 取得最小值.16.在中，，，，则．三、解答题：本大题共6小题，共74分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)当时，解不等式.19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ) 若，求数列的通项公式；(Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,.(Ⅰ) 求山路的长;(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?21．（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： C B A①；②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，时，方程有唯一实数解，求的值．xx11文倾向数学参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16.三、17解: (Ⅰ)∵∴又∵,……3分 ∴ , ………………5分∴.…………………6分(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴即 …………………8分两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上…………………2分代入，得 …………………4分（Ⅱ）由整理得不等式为等价……………………6分当，不等式为，解为………………7分当，整理为,解为……………………9分当，不等式整理为解为.……………………11分综上所述，当，解集为；当，解集为；当，解集为.…………12分19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴或即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴∴ …………7分∵成等比数列，∴ ∴ …………8分∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边= 右边=∴左边=右边∴()成立. ……………12分20解: (Ⅰ) ∵,∴∴, …………………2分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π …………4分 根据得所以山路的长为米. …………………6分(Ⅱ)由正弦定理得() …………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为 ，由题意得，………10分整理得∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. …………………12分21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分（Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 ……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分②对于函数模型：当时，是增函数，则．∴恒成立． ………8分设，则． 当时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以在上是减函数， ……10分从而．∴，即，∴恒成立．故该函数模型符合公司要求． ……12分22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为，当时，，……………………2分由 ，得，解得;由 ，得，解得或.，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)，则有在上有解， ∴≥， ………6分所以 当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，……9分 设，则，，所以由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减， . ……………11分若有唯一实数解，则必有11111()ln 011111m g e m m m m m e-=+=⇒=⇒=+---- 所以当时，方程有唯一实数解. ………14分38104 94D8 铘31576 7B58 筘27026 6992 榒•[22646 5876 塶z25325 62ED 拭27919 6D0F 洏237742 936E 鍮24070 5E06 帆33277 81FD 臽h+。
2021年高三上学期周考（12.4）文数试题含答案一、选择题.1.下列直线中与直线平行的一条是（）A． B．C． D．2.过点和的直线的斜率为1，则实数的值为（）A．1 B．2 C．1或4 D．1或23.如果，那么直线不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4.已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是（）A． B． C． D．5. 直线经过点，则倾斜角与直线的倾斜角互为补角的一条直线方程是（）A． B． C． D．6. 点关于轴和轴的对称的点依次是（）A． B． C． D．7.已知两平行直线间的距离为3，则（）A．-12 B．48 C．36 D．-12或488. 过点，且与原点距离最大的直线方程是（）A． B． C． D．9.已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解10. 设两圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离（）A．4 B． C．8 D．11.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．12.若圆始终平分圆的周长，则满足的关系是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13.已知直线与直线有相同的斜率，且，则实数的值是____________．14.已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数的取值范围是____________． 15.已知直线恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是____________． 16.已知实数满足，则的最小值等于 ____________． 三、解答题17.求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程． 18.过点的直线被两平行线与截得的线段长，求直线的方程.19.已知方程()()()222321620m m x m m y m m R --++-+-=∈． （1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； （3）已知方程表示的直线在轴上的截距为-3，求实数的值； （4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．20. 中，已知，角的平分线所在的直线方程是边上高线所在的直线方程是，试求顶点的坐标 21.已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点． （1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程.22.如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上． （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C C C D A B B C B二、填空题13. 14. 且 15. 16.三、解答题17.解：设所求直线的方程为，故所求的直线方程是，即．18.解：当直线的方程为时，可验证不符合题意，故设的方程为，由解得；由解得，因为，所以，整理得，解得或．19.解：（1）当的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令，解得；令解得．所以方程表示一条直线的条件是且．（2）由（1）易知，当时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为，它表示一条垂直于轴的直线．（3）依题意，有，所以，所以或，由（1）知所求．（4）因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，故由，解得或（舍去）．所以直线的倾斜角为45°时，．20.解：依条件，由，解得．因为角的平分线所在的直线方程是，所以点关于的对称点，在边所在的直线上，边所在的直线方程为，整理得，又边上高线所在的直线方程是，所以边所在的直线的斜率为．边所在的直线的方程是，整理得，联立，与，解得．21.（1）因为，圆与轴交于点，与轴交于点，所以，是直角三角，又圆心，所以，的面积为为定值．（2）直线与圆交于点，且，所以，的中垂线是斜率，由，得，则即圆半径其长为．故圆的方程是．22.解：（1）由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：，显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，∴，∴，∴或者，∴所求圆的切线方程为：或者即或者．（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：设为圆，∴点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，∴，由得，由得，终上所述，的取值范围为：．35542 8AD6 論/ 27590 6BC6 毆\37413 9225 鈥36966 9066 遦32948 80B4 肴 Dj€29653 73D5 珕"z。
开始输入整数是否输出结束侧（左）视图4212正（主）视2021年高三上学期数学周练试题（文科实验班1.17） 含答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共6分在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上） 1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数的实部为，且，则复数的虚部是( ) A ． B ． C ． D ．3. 一算法的程序框图如图1，若输出的，则输入的的值可能为( )A ．B ．C ．D ． 4. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值为( )A ．B ．C ．D ． 5. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ． B ． C ． D ．6. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．B ．C ．D ．7. 设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=( ) A ． B ． C ．D ．8. 已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为( ) A ． B ． C ．D ．9. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形，则此几何体的体积是( )A ．B ．C．D．10. 已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为，则的最小值是( )A．B．C．D．11.如图，椭圆与双曲线有公共焦点、，它们在第一象限的交点为,且，，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )A．2B．C．D．12.已知函数, 则12340292015201520152015f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.曲线在处的切线方程为_____________．14. 若满足且的最小值为，则的值为________．15. 已知三棱锥,,, 且，则三棱锥的外接球的表面积为________．16. ．函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为满足(I)求数列的通项公式及数列的前n项和；(Ⅱ)是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由18.（本小题满分12分）高三某班男同学有名，女同学有名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．19.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直, 底面是的菱形,为的中点.(1) 在棱上是否存在一点,使得?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由； (2) 求点到平面的距离．20.（本小题满分12分） 已知圆：关于直线对称的圆为．（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点.设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分） 设函数，．其中（1）设，求函数在上的值域；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．请考生从第（22）、（23）二题中任选一题作答。
2021年高三第7周综合练习卷数学文试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、函数的定义域为（）A． B． C． D．2、已知复数（其中，，是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．3、如果函数的最小正周期为，则的值为（）A．B．C．D．4、在中，，，，在上任取一点，使为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．5、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（）A．B．图1 C．D．6、在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值为（）A．B．C．D．7、已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为（）A．B．C．或D．或8、已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若，，则的值为（）A．B．C．D．9、已知函数，对于任意正数，是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10、已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么（）A．，且与圆相离B．，且与圆相切C．，且与圆相交D．，且与圆相离二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、若函数是偶函数，则实数的值为 ． 12、已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．13、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数，，，，，被称为五角形数，其中第个五角形数记作，第个五角形数记作，第个五角形数记作，第个五角形数记作，，若按此规律继续下去，则 ，若，则 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（几何证明选讲选做题）如图，圆的半径为，点是弦的中点，，弦过点，且，则的长为 ． 15、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为（为参数）和（为参数），若与相交于、两点，则 ．三、解答题（本大题共2小题，共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知函数． 求的值； 若，求的值．5 12 122 图217、（本小题满分14分）如图所示，在三棱锥中，，平面平面，于点，，，．求三棱锥的体积；证明：为直角三角形．图4高三文科数学综合练习卷（7）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（一）必做题（11～13题）11、12、13、（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、15、三、解答题（本大题共2小题，共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（1）解：……………………………………………………1分 (3)分．…………………………………………………4分（2）解法1：因为……………………………………5分……………………………………6分．………………………………………7分所以，即．①因为，②由①、②解得．…………………………………………………………9分所以……………………………………………………11分．……………………………………………12分解法2：因为……………………………5分……………………………………………6分．…………………………………………7分所以…………………………………………………9分……………………………………………………10分……………………………………………………11分．…………………………………………………12分17、（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．………………………………………2分记边上的中点为，在△中，因为，所以．因为，，所以．……………………………………4分所以△的面积．……………………………………5分因为，所以三棱锥的体积．………7分（2）证法1：因为，所以△为直角三角形．因为，，所以．………9分连接，在△中，因为，，，所以．……10分由（1）知平面，又平面，所以．在△中，因为，，，所以．……………………………………12分在中，因为，，，所以．……………………………………………………………13分所以为直角三角形．…………………………………………………………14分证法2：连接，在△中，因为，，，所以．…………8分在△中，，，，所以，所以．……10分由（1）知平面，因为平面，所以．因为，所以平面．………………………………………………………………12分因为平面，所以．所以为直角三角形．……………………………………………………14分32248 7DF8 緸34396 865C 虜N22256 56F0 困28954 711A 焚32079 7D4F 絏27614 6BDE 毞20024 4E38 丸Rs26444 674C 杌21894 5586 喆。
河南省罗山县楠杆高中高三数学试题（文科）第1-7章第Ⅰ卷 共 60分一.选择题（5×12=60分）1．设命题p ：{x | |x |＞1}；命题q ：{x | x 2+ 2x –3＞0}，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2．若0a >，0b >，则以下不等式中不．恒成立的是（ ）A 、11()()4a b a b ++≥B 、3322a b ab +≥C 、22222a b a b ++≥+D 3．函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，如下结论中错误．．的是（ ） A. 图象C 关于直线1112x π=对称B. 图象C 关于点203π（，）对称 C. 函数()f x 在区间51212ππ（-，）内是增函数 D. 由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（ ）A.6πB.3πC.6π或56πD.3π或23π5．将函数3log y x =的图像按向量a 平移后，得到函数32log 27x y +=的图像，则向量a =（ ）A. ()2,3 B. ()2,3- C ()2,3-- D. ()2,3-6．已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=na ( )A. 12-nB. 11-+n n n ）（C. 2n D. n7．设椭圆的两个焦点为F 1、F 2，如果过点F 1的直线被椭圆截得的最短线段MN 的长为532，且ΔMF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为 （ ）A.522 B.517C.54D.538．已知数列4,,,121--a a 成等差数列, 4,,,1321--b b b 成等比数列，则212b a a -的值为( )A 、21 B 、—21 C 、21或—21 D 、41 9．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A.11<<-aB.20<<aC.2321<<-a D.2123<<-a10．0)2(,0)(,0,),0)((=->'<∈≠f x f x R x x x f 且时当是奇函数，则不等式0)(>x f 的解集是（ ） A ．（—2，0） B ．),2(+∞ C ．),2()0,2(+∞- D ．),2()2,(+∞--∞ 11．已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或212．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（ ）A ．x 2－y 2=2 B ．x 2－y 2=2 C ． x 2－y 2=1 D ．x 2－y 2=21第Ⅱ卷 共90分二．填空题（4×5=20）13．在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC A的值等于14．数列{a n }满足2112333 (32)n n na a a a -++++=，则n a =15．在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C(4，0)，顶点B 在椭圆192522=+y x 上， 则=+BC A sin sin sin __ ____。
2021年高三上学期数学周练试卷（文科实验班12.29）含答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共5分在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1、过点（4,0）且斜率为的直线交圆于A，B两点，C为圆心，则的值为（）A、6B、8C、D、42、已知数列{}为等差数列，是它的前n项和，若，，则=（）A、32B、36C、40D、423、已知双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于（）A、 B、C、 D、4、满足约束条件的目标函数的最大值是（）A、-6B、e+1C、0D、e-15、设定义域为R的函数，则关于x的方程有5个不同的实数解，则=（）A、B、C、2 D、16、点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（）A． B．2 C． D．47、已知符号函数，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48、有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②“且”是“”的必要不充分条件；③已知命题对任意的，都有，则“是：存在，使得”；④在中，若，则角等于或。
其中所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49.设集合，，函数若，且，则的取值范围是A.(]B. (]C. D .()10设集合A n ＝{x|(x －1)(x －n 2－4＋ln n)＜0}，当n 取遍区间(1,3)内的一切实数，所有的集合A n 的并集是( )A ．(1,13－ln 3)B ．(1,6)C ．(1，＋∞)D ．(1,2)二填空题（共6题，每题5分，共30分）11已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________12、早平面直角坐标系中中，直线是曲线的切线，则当时，实数的最小值是 -213、已知函数，。
2021年高三数学上学期周考（七）试题理本试卷共22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D．62. 复数等于（）A.1+iB.－1+iC.1－iD.－1－i3. 把曲线y cos x+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A.（1－y）sin x+2y－3=0B.（y－1）sin x+2y－3=0C.（y+1）sin x+2y+1=0D.－(y+1)sin x+2y+1=04. 在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．5. 等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 36. 若a＜0，＞1，则 ( )A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜07. 若且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．8．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是A. B.C. D.10．在△中，=2，∠=120°，则以A，B为焦点且过点的双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（11～13题）9. 若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .10. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
2020—2021学年上期期中试卷高三 文科数学（时间：120分钟，满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设复数z 满足i zi +=3-，则z 虛部是（）A ．3iB ．﹣3iC ．3D ．﹣32．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x2log ＜2}，则N M ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜3}B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |﹣2＜x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}3．函数y ＝2)1(ln +x x 在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝2x ﹣4 C ．y ＝4x ﹣2D ．y ＝2x +44．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a ，则窗花的面积为（ ） A ．（22﹣1﹣2π）2a B ．（22﹣1+2π）2a C ．（π+2﹣1）2aD ．（2π+2﹣1）2a 5．数列{a n }中，a 3＝5，a 7＝2，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧-14n a （*∈N n ）是等比数列，则a 5＝（ ）A ．﹣1或3B ．﹣1C ．3D ．106．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（ ） A ．51B ．52 C ．53 D ．54 7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m ⊥n 的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ⊥α，n ∥β，α⊥βB ．m ⊥α，n ⊥β，α∥βC ．m ⊂α，n ∥β，α⊥βD ．m ⊂α，n ⊥β，α∥β8．设a ＞0，b ＞0，且2a +b ＝1，则ba a a ++21（ ） A ．有最小值为122+ B ．有最小值为12+C ．有最小值为314D ．有最小值为49．执行如图所示的程序框图，若输出的x 为30，则判断框内填入的条件不可能是（ ） A ．x ≥29？ B ．x ≥30？ C ．x ≥14？D ．x ≥16？10．已知)cos sin 3(cos 2)(x x x x f +=，将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．2πk x =，k ∈Z B ．212ππk x +=，k ∈Z C ．24ππk x +=，k ∈Z D ．23ππk x +=，k ∈Z 11．设函数f （x ）的定义域为R ，满足2f （x ）＝f （x +2），且当x ∈[﹣2，0）时，f （x ）＝﹣x （x +2）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≤3，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25] B ．（﹣∞，27] C ．[25，+∞） D ．[27，+∞） 12．已知球O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ＝2，BC ＝22，4π=∠ABC ．若三棱锥B ﹣ACD 的体积为324，且AD 经过球心O ，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．16πD ．18π二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知a ＝3.0log 2，b ＝2log 3.0，c ＝3.02，则a 、b 、c 三者的大小关系为 ．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行） 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 996602795415．已知向量→a ，→b 满足|→a +→b |＝|→a ﹣2→b |，其中→b 是单位向量，则→a 在→b 方向上的投影为 ．16．数列{n a }满足n a n a n n 2)12sin2(1+-=+π，则数列{n a }的前20项和为 ． 三．解答题（第17-21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答；本大题共6小题，共60分）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C b cos ＝（A b B a cos cos +）B cos . （1）若C B A sin sin 2sin 2=，判断△ABC 的形状； （2）若A tan ＝715，△ABC 的面积为415，求△ABC 的周长． 18．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是正项等比数列，其中a 1＝b 1＝1，5a ＝3b ，93a a ﹣4＝5b ．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）求数列{n n b a }的前n 项和T n ．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x1 2 6 12 16 17花费累积y （万元） 1 3 9 17 22 26 假设花费累积y 与岁数x 符合线性相关关系，求（1）花费累积y 与岁数x 的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：∑∑==∧---=ni ini iix x y yx x b 121)())((，x b y a ∧∧-=.20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，P A ＝PC ，BD ⊥P A ，E 是BC 上一点，且BE ＝1，设AC ∩BD ＝O ． （1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若∠BAD ＝60°，P A ⊥PE ，求三棱锥P ﹣AOE 的体积．21．已知的数f （x ）＝2-ax +x a ）（2-+x ln ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若x xax e x f x)12()(---≤恒成立，求a 的取值范围．22．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ααsin 21cos 2121y x （α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 4+=．（1）求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；（2）若直线l ：kx y =与曲线C 1、曲线C 2在第一象限交于P ，Q 两点，且|OQ |＝2|OP |，点M 的坐标为（2，0），求△MPQ 的面积． 23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明：（1）3≥++ca b c a b ; （2）2)2>++++c b a c b a （.2020—2021学年上期期中试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设复数z满足zi＝﹣3+i，则虛部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3【解答】解：∵zi＝﹣3+i，∴，∴，则虚部是﹣3，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|log2x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜4} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜2} 【解答】解：∵M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|0＜x＜4}，∴M∩N＝{x|0＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性及定义域，描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．函数y＝2x（lnx+1）在x＝1处的切线方程为（）A．y＝4x+2 B．y＝2x﹣4 C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+4【解答】解：由已知得：y′＝2lnx+4，所以y′|x＝1＝4，切点为（1，2）．故切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2．故选：C．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于基础题．4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A．（2﹣1﹣）a2B．（2﹣1+）a2C．（π+﹣1）a2D．（+﹣1）a2【解答】解：根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积S＝S△ACE﹣2S扇形AOB﹣S△BCD，即S＝＝．故“窗花”面积为4S＝．故选：A．【点评】本题考查扇形的面积公式以及学生的运算能力，属于中档题．5．数列{a n}中，a3＝5，a7＝2，若（n∈N*）是等比数列，则a5＝（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．【解答】解：根据题意，设b n＝，则数列{b n}是等比数列，设其公比为q，若a3＝5，a7＝2，则b3＝＝1，b7＝＝4，则q4＝＝4，变形有q2＝2，则b5＝b3q2＝2，则有＝2，解可得a5＝3，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意求出该等比数列的通项公式，属于基础题．6．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记2名男生为A1，A2，3名女生为B1，B2，B3，所有的结果为：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有10种情况，符合条件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，共6种情况，所以概率为，故选：C．【点评】本题考查了列举法求概率问题，是一道基础题．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n∥β，α⊥βD．m⊂α，n⊥β，α∥β【解答】解：A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此不正确；C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确．D、α∥β，m⊂α，n⊥β，可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正确；故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（）A．有最小值为2+1 B．有最小值为+1C．有最小值为D．有最小值为4【解答】解：根据题意，，因为a＞0，b＞0，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，若输出的x为30，则判断框内填入的条件不可能是（）A．x≥29？B．x≥30？C．x≥14？D．x≥16？【解答】解：执行程序，可得x＝2，2是偶数，x＝3，3不是偶数，x＝6，不符合判断框内的条件，执行否，x＝7，7不是偶数，x＝14，不符合判断框内的条件，执行否，x＝15，不是偶数，x＝30，此时应该满足条件，结束循环，故判断框内的条件为x＝14时不符合要求，x＝30时符合要求，故A，B，D选项均满足．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【解答】解：，f（x）图象向右平移个单位长度得到的解析式为，令2x＝kπ，则，所以对称轴为，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．11．设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣x（x+2）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤3，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），可得f（0）＝2f（﹣2）＝0，当x∈[﹣2，0）]时，函数f（x）在[﹣2，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，所以f（x）max＝f（﹣1）＝1，由2f（x﹣2）＝f（x），可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由f（x）＝f（x+2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）max＝f（﹣3）＝，当x∈[0，2）时，f（x）max＝f（1）＝2，当x∈[2，4）时，f（x）max＝f（3）＝4，设x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），f（x﹣4）＝﹣（x﹣4）（x﹣2）＝f（x），即f（x）＝﹣4（x﹣4）（x﹣2），x∈[2，4），由﹣4（x﹣4）（x﹣2）＝3，解得x＝或x＝，根据题意，当m≤时，f（x）≤3恒成立，故选：A．【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题．12．已知球O的表面上有A，B，C，D四点，且AB＝2，BC＝2．若三棱锥B﹣ACD的体积为，且AD经过球心O，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．18π【解答】解：由题意可知画出图形，如图所示：球O的球心在AD的中点，取BC的中点E，连接AE，OE，由余弦定理得：，所以AC＝2，即AC2+AB2＝BC2，所以△ABC为直角三角形．则点E为△ABC的外接圆的圆心．由球的对称性可知：OE⊥平面ABC，由于，所以，即，解得OE＝，由于AE⊂平面ABC，OE⊥AE，AE＝＝，所以球的半径R＝OA＝，所以球的表面积为S＝4π•22＝16π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理，球的对称性，线面垂直的判定和性质，球的表面积公式，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．答案为：a＜b＜c【解答】解：∵a＝log20.3，b＝log0.32，c＝20.3，∴a＝log20.3＜log20.5＝﹣1，0＞b＝log0.32＞log0.31，c＝20.3＞0，∴a＜b＜c．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号331，572，455，068，047（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877它大于799故舍去，第五个数是047．故答案为：331、572、455、068、047【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的15．已知向量，满足|+|＝|﹣2|，其中是单位向量，则在方向上的投影为．【解答】解：∵，，∴，∴，∴在方向上的投影是．故答案为：．【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．16．220三．解答题（共7小题）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos C＝（a cos B+b cos A）cos B．（1）若sin2A＝2sin B sin C，判断△ABC的形状；（2）若tan A＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b cos C＝（a cos B+b cos A）cos B．∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（sin A cos B+sin B cos A）cos B＝sin（A+B）cos B，可得：sin B cos C＝sin C cos B，可得：sin（B﹣C）＝0，由于B，C∈（0，π），可得：B﹣C∈（﹣π，π），所以：B＝C，可得：b＝c，…4分因为：sin2A＝2sin B sin C，所以由正弦定理可得：a2＝2bc，可得：a2＝b2+c2，所以△ABC是等腰直角三角形…6分（2）∵tan A＝＝，sin2A+cos2A＝1，∴cos A＝，sin A＝＝，…8分由（1）知b＝c，∵cos A＝＝＝，∴b＝2a，…10分∵△ABC的面积为，可得S＝bc sin A＝＝，∴a＝1，b＝2，△ABC的周长a+b+c＝5a＝5…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，数列{b n}是正项等比数列，其中a1＝b1＝1，a5＝b3，a3a9﹣4＝b5．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d≠0），数列{b n}的公比为q（q＞0），由题设可得：，解得：d＝2，q＝3，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，b n＝3n﹣1；（2）由（1）知：a n b n＝（2n﹣1）•3n﹣1，∴T n＝1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，又3T n＝1×31+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，两式相减得：﹣2T n＝1+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n＝1+2×+（1﹣2n）•3n，整理可得：T n＝（n﹣1）•3n+1．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x 1 2 6 12 16 17花费累积y（万元）1 3 9 17 22 26假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：＝＝．＝﹣．【解答】解：（1）由表可知，，，∴＝＝＝，．∴花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为．（2）当x＝24时，＝1.463×24﹣0.167≈35（万元），30岁成家立业之后，在50岁之前偿还，共计20年，所以每月应还元．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查学生的运算能力，属于基础题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC，BD⊥P A，E 是BC上一点，且BE＝1，设AC∩BD＝O．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若∠BAD＝60°，P A⊥PE，求三棱锥P﹣AOE的体积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥P A，P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∵PO⊂平面P AC，∴BD⊥PO，∵P A＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD．（2）解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∵O是BD的中点，∴BO＝2，在Rt△ABO中，AO＝＝2，在Rt△P AO中，P A2＝AO2+PO2＝12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2＝OE2+PO2＝3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos120°＝21，∵P A⊥PE，∴P A2+PE2＝AE2，∴12+PO2+3+PO2＝21，∴PO＝，∵S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△COE＝﹣＝，∴三棱锥P﹣AOE的体积V P﹣AOE＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，十∞），，①当a⩾0 时，由f′（x）＝0，解得，令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．②当﹣2＜a＜0 时，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．③当a＝﹣2 时，f′（x）⩾0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．④当a＜﹣2 时，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．（2）恒成立，即xe x﹣1⩾lnx+ax在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立．令，则，令h（x）＝x2e x+lnx，则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，而，故存在，使得h（x0）＝0，即，所以．令λ（x）＝xe x，x∈（0，+∞），λ′（x）＝（x+1）e x＞0，所以λ（x）在（0，+∞）上单调递增，所以．当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，故g（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以当x＝x0时，g（x）取得极小值，也是最小值，所以，故a⩽1．所以a的取值范围为（﹣∞，1]．22．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OQ|＝2|OP|，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．【解答】解：（1）依题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：x2+y2﹣x＝0，根据整理得ρ＝cosθ，由于曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为．（2）将θ＝θ0代入，得到，将θ＝θ0代入ρ＝cosθ得到ρP＝cosθ0，由于|OQ|＝2|OP|，所以2ρP＝ρQ，所以，解得，所以．由于，所以，，故△PMQ的面积S△MPQ＝S△OMP﹣S△OMQ＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．【解答】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a＝b＝c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【点评】考查了基本不等式的应用。
2021年高三（上）期中数学试卷（文科） Word版含解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．考点：命题的否定．分析：根据命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＜“改为“≥”即可得答案．解答：解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．（5分）若函数y=loga（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是（1，3）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，由此求得a 的取值范围．解答：解：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，∴3＞a＞1，故答案为：（1，3）．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a＞1，且3﹣a＞0，是将诶提的关键．3．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：画出函数f（x）=e x﹣2x﹣a的简图，欲使函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0．由此求得实数a的取值范围．解答：解：令f，（x）=e x﹣2=0，则x=ln2，∴x＞ln2，f，（x）=e x﹣2＞0；x＜ln2，f，（x）=e x﹣2＜0；∴函数f（x）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数．∵函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，所以f（ln2）=2﹣2ln2﹣a＜0，故a＞2﹣2ln2．故填：（2﹣2ln2，+∞）．点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．4．（5分）函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为2．考点：奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=﹣，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．解答：解：f（x）=1﹣，x∈R．设g（x）=﹣，因为g（﹣x）=﹣==﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为2点评：本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是恰当构造奇函数．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且为奇函数．给出下列命题：（1）函数f（x）的最小正周期为；（2）函数y=f（x）的图象关于点对称；（3）函数y=f（x）的图象关于y 轴对称．其中真命题有（2）（3）．（填序号）考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：本题可先由恒等式得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案．解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件，故有恒成立，故函数周期是3，故（1）错；又函数是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点对称，由此知（2）（3）是正确的选项，故答案为：（2）（3）点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数．6．（5分）已知函数，给定条件p：，条件q：﹣2＜f（x）﹣m＜2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（3，5）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，及正弦型函数的定义域和值域，由若p是q 的充分条件，则满足条件p的x的取值范围P，与满足条件q的x的取值范围Q之间满足P⊊Q，然后结合正弦型函数的定义域和值域即可得到答案．解答：解：∵p是q的充分条件∴P⊊Q，又∵P={x|}∴此时f（x）∈[3，5]又∵Q={x|﹣2＜f（x）﹣m＜2} ∴∴m∈（3，5）故答案为：（3，5）点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7．（5分）已知函数的解集为（0，2）．考点：运用诱导公式化简求值；指、对数不等式的解法．专题：计算题；三角函数的求值；不等式的解法及应用．分析：根据三角函数的奇偶性得f（x）是奇函数，从而得到f（﹣1）==1．再用正弦、正切的诱导公式，化简整理可得f（24）=1，原不等式化简为log2x＜1，解之即可得到所求解集．解答：解：∵∴=﹣f（x），可得f（x）是奇函数∵f（1）==﹣1，∴f（﹣1）==1而f（24）===∴f（24）=1，不等式f（24）＞log2x即log2x＜1=log22解之得0＜x＜2，得原不等式的解集为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题给出三角函数式，要求根据此函数式解关于x的不等式，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数诱导公式和对数不等式的解法等知识，属于中档题．8．（5分）如图，平面四边形ABCD中，若AC=，BD=2，则（+）•（+）=1．考点：平面向量数量积的运算．专综合题．题：分析：先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论．解答：解：（+）•（+）=（+）•（+）=（﹣）•（+）= ∵AC=，BD=2，∴=1∴（+）•（+）=1故答案为：1点评：本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题．9．（5分）若正六棱锥的底面边长为3cm，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：由已知中正六棱锥的全面积是底面积的倍，得到其侧高与底面中心到对称棱的距离之间为：1，构造直角三角形PQO（其中P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心），解三角形即可得到侧面与底面所成的角，最后利用直角三角形求出棱锥的高．解答：解：由于正六棱锥的全面积是底面积的3倍，不妨令P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心∵侧面积是底面积的3倍，则PQ=3OQ则∠PQO即为侧面与底面所成的角∵cos∠PQO=，∴sin∠PQO=，∴tan∠PQO=，在直角三角PQO中，PO=QO•tan∠PQO=×=故答案为：．点评：本题考查棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题10．（5分）设α∈（π，2π），若，则的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5﹣8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和cos2α的值，再由=coscos2α+sinsin2α，运算求得结果．解答：解：∵==，∴tanα=5﹣8．再由sin2α===，cos2α===，可得=coscos2α+sinsin2α=，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11．（5分）设关于x的不等式组解集为A，Z为整数集，且A∩Z共有两个元素，则实数a 的取值范围为．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：数形结合．分析：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．A∩Z共有两个元素，说明不等式x2+2ax+3＜0的解的集合的区间长度有着限制．解答：解：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．由分析知，不等式x2+2ax+3﹣a＜0的解的集合的区间长度有着限制，也即方程x2+2ax+3﹣a=0的解的集合的区间长度有着限制，设f（x）=x2+2ax+3﹣a 则有f（0.5）=3.25＞0，结合﹣3＜x＜1和抛物线的图象，得或解之得，实数a的取值范围为故填．点评：本题属于难题了，难在对于条件的转化，难在数形结合思想的应用．12．（5分）（xx•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．考点：解三角形．专题：计算题．分析：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=9﹣3mn，利用基本不等式，可得，再利用△CDE的外接圆的半径，即可得到结论．解答：解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查正弦定理的运用，确定DE的范围是关键．14．（5分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k＜0．考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质．专题：计算题；转化思想．分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx﹣2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．解答：解：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）∴lgkx﹣2lg（x+1）=0∴lgkx﹣lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解∴x2﹣（k﹣2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解令f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1又当x=0时，f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1=1＞0∴△=（k﹣2）2﹣4=0∴k﹣2=±2∴k=0舍，或4k=0时lgkx无意义，舍去∴k=4当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）函数y=kx是一个递减过（﹣1，﹣k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（﹣1，0）递增且过两点（﹣1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意故答案为：k=4或k＜0．点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题．二、解答题：（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣2a﹣5）＜0}，函数的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）已知，且”x∈A”是”x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件；一元二次不等式的解法；指、对数不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）由a=4，确定集合A，利用对数函数的定义域，确定集合B，从而可求集合A∩B （2）根据已知，确定集合A，B，利用∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，可知B⊆A，从而建立不等式，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=4时，集合A={x|（x﹣2）（x﹣13）＜0}={x|2＜x＜13}，函数=的定义域为{x|8＜x＜18}，∴B={x|8＜x＜18}，∴集合A∩B={x|8＜x＜13}；（2）∵，∴2a+5＞2，∴A=（2，2a+5）∵a2+2＞2a，∴B=（2a，a2+2）∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B⊆A∴∴1≤a≤3∴实数a的取值范围是[1，3]．点评：本题主要考查了集合的运算，集合之间的关系，考查四种条件的运用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义．16．（14分）（xx•枣庄一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF⊂平面BCE，BP⊂平面BCE，满足定理条件；（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，满足定理条件．解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（6分）（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD ∵AB⊥平面ACD，DE∥AB∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（10分）又BP∥AF∴BP⊥平面CDE又∵BP⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．17．（15分）（xx•普陀区一模）已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．专题：计算题．分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．解答：解：（1）由正弦定理有：∴= （2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．18．（15分）（xx•成都模拟）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？考点：函数最值的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题．分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）f（x）=g（t）=|t﹣a|+2a+．下面分类讨论：当0＜a＜，当＞a≥，分别求出函数g （x ）的最大值M （a ），然后解不等式M （a ）≤2即可求出所求．解答： 解：（1）当x=0时，t=0；（2分）当0＜x ≤24时，=x+．对于函数y=x+，∵y ′=1﹣，∴当0＜x ＜1时，y ′＜0，函数y=x+单调递减，当1＜x ≤24时，y ′＞0，函数y=x+单调递增，∴y ∈[2，+∞）．综上，t 的取值范围是[0，]．（2）当a ∈（0，]时，f （x ）=g （t ）=|t ﹣a|+2a+=∵g （0）=3a+，g （）=a+，g （0）﹣g （）=2a ﹣．故M （a ）==当且仅当a ≤时，M （a ）≤2，故a ∈（0，]时不超标，a ∈（，]时超标．点评： 本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．19．（16分）已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立．（1）求f （0）的值；（2）函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；（3）假定存在x 0∈[0，1]，使得f （x 0）∈[0，1]，且f （f （x 0））=x 0，求证：f （x 0）=x 0．考点：函数的值；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析： （1）由①知：f （0）≥0；由③知f （0）≤0，从而得到f （0）=0．（2）由题设知g （1）=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+够证明函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）若f （x 0）＞x 0，则由题设知f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0，由此入手能证明f （x 解答： 解：（1）由①知：f （0）≥0；由③知：f （0+0）≥f （0）+f （0），即f （0）≤0； ∴f （0）=0（2 ） 证明：由题设知：g （1）=2﹣1=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则，；∴即g （x 1+x 2）≥g （x 1）+g （x 2）∴函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）证明：若f （x 0）＞x 0，则由题设知：f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0， ∴由题设及③知：x 0=f （f （x 0））=f[（f （x 0）﹣x 0）+x 0]=f[f （x 0）﹣x 0]+f （x 0）≥f （x 0） 矛盾；若f（x0）＜x0，则则由题设知：x0﹣f（x0）∈[0，1]，且由①知f[x0﹣f（x0）]≥0，∴同理得：f（x0）=f[（x0﹣f（x0））+f（x0）]=f[x0﹣f（x0）]+f（f（x0））≥f（f（x0））=x0，矛盾；故由上述知：f（x0）=x0．点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b2，求t的值．（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；不等式的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（1）①根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围，②将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t值．（2）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f （x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．解答：解：（1）①f'（x）=（3x2﹣12x+3）e x+（x3﹣6x2+3x+t）e x=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）e x∵f （x）有3个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有3个根a，b，c．令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，（﹣1，3）上递减．∵g（x）有3个零点∴∴﹣8＜t＜24．②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x﹣abc ∴∴b=1或﹣（舍∵b∈（﹣1，3））∴∴t=8（2）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．点评：本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．z27976 6D48 浈f32803 8023 耣20386 4FA2 侢39586 9AA2 骢!37630 92FE 鋾>36737 8F81 辁9。
