学年九年级数学下册第26章二次函数263实践与探索2632二次函数实物或几何模型.docx

26．3 实践与探索 第1课时 二次函数与实际问题【知识与技能】会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义． 【过程与方法】通过对实际问题的分析，使学生掌握如何利用二次函数解决实际问题． 【情感态度】在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．【教学重点】会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． 【教学难点】在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．一、情境导入，初步认识在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．【教学说明】 使学生明白二次函数的重要性． 二、思考探究，获取新知 问题1：(P 26，问题1)让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求图中B 点的横坐标；【教学说明】 学生解答，教师巡视指导；让一两位同学板书，教师讲评． 问题2：(P 27.问题2) 解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y ＝a x 2，(a ＜0)，(1)，因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB2＝0.8m ，又OC ＝2.4m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－2.4＝a×0.82，所以：a ＝－154，因此，函数关系式是y ＝－154x 2，(2)，因为OF ＝1.5m ，设FD ＝x 1m (x 1＞0)，则点D 坐标为(x 1，－1.5)．因为点D 的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得－1.5＝－154x 12，x 12＝25，x 1＝±105，x 1＝－105不符合假设，舍去，所以x 1＝105.ED ＝2FD ＝2×x 1＝2×105＝2510≈25×3.162≈1.26(m )，所以涵洞ED 是2510m ，会超过1m .三、运用新知，深化理解1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？解：(1)设抛物线解析式为y ＝a x 2设点B(10，n)，点D(5，n ＋3)，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝100a n ＋3＝25a，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4a ＝－125，∴y ＝－125x 2.(2)方法一：当x ＝3时，y ＝－125×9，∵－925－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．方法二：当y ＝3.6－4＝－25时，－25＝－125x 2，∴x ＝±10，∵||±10＞3∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的倍，且是的二次函数，它们的关系如下表：x (十万元)0 1 2 … y11.51.8…(1)求y 与x (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x (十万元)的函数关系式；(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解：(1)设二次函数关系式为y ＝a x 2＋b x ＋c.由表中数据，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝1.54a ＋2b ＋c ＝1.8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－110b ＝35c ＝1，所以所求二次函数关系式为y ＝－110x 2＋35x ＋1(2)根据题意，得S ＝10y ×(3－2)－x ＝－x 2＋5x ＋10.(3)S ＝－x 2＋5x ＋10＝－(x －52)2＋654.由于1≤x ≤3，所以当1≤x ≤2.5时，S 随x 的增大而增大．【教学说明】 通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．1．布置作业：教材P 28“练习”2．完成同步练习册中本课时的练习．在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．。

教学设计与二次函数有关的图形面积问题（倍数关系）学科：数学年级：九年级设计背景：《与二次函数有关的图形面积问题》主要针对人教版九年级二次函数的知识，二次函数在中考中有着举足轻重的地位，知识点多而繁杂。

根据同学们在平时练习中考24题第二问关于面积问题的综合题的时候，尤其是解决动点问题，与一次函数联系在一起的时候，失分率较高，结合学生的实际情况，我对此处知识进行了整理和总结，培养学生分析问题的能力、引导学生重视方法的学习。

教学目标：1，探讨三角形的一边或两边在轴上时的面积；2，探讨不规则图形或三角形三边均不在坐标轴上时的面积；3，利用抛物线上点的运动与直线结合而产生的图形倍数关系问题，来求点的坐标。

教学重点：选择不同的方法求图形面积。

教学难点：抛物线上点的运动与直线结合产生的三角形的面积之间的倍数关系问题。

教学方法：讲授法，讨论法，归纳法教学教具：多媒体教学、三角板教学过程：设计意图：让同学们对于二次函数综合题型基础题能够拿到分，这也是二次函数第一问中常考察的知识点。

设计意图：通过以上例题的展示，由浅入深，让同学们对二次函数中涉及的三角形面积问题进行一个了解，针对不同的图形特征，采用不同的方法求解。

设计意图：归纳总结，让同学们知道在求二次函数图形面积问题时，常常用以上三种方法。

设计意图：学以致用，学生学会分析面积倍数关系问题，理解动点问题，先找定点，抛物线上点的运动与直线结合产生的三角形的面积之间的倍数关系问题。

不需要死记硬背公式，而是应用方法解决问题。

本节小结：你学到了什么？周知：题目千万条；方法第一条；学习不动脑；考试泪两行。

作业布置：板书设计：。

二次函数实践与探索1教学目标教学目标：1．基础知识目标：①让学生对二次函数的相关内容作系统回顾，把握知识要点．②让学生掌握二次函数的图象与性质的关系，并能解决二次函数与直线型图形相结合的问题．③掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型④能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义2．能力训练目标：①培养学生整理知识的能力．②培养学生的观察、比较、分析、概括的能力．3．德育培养目标：①激发学生学习数学的兴趣，培养敢想、敢说、敢解决实际问题的学习习惯．②通过学生体验、猜想并验证，让学生体会数学充满着探索和创造，培养学生创新的精神．③通过“转化”数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系，相互转化的辩证唯物主义思想．二次函数实践与探索1教学建议重点、难点：重点：通过二次函数的综合应用加深对其图象及性质的认识．难点：文字语言和函数图象、性质的相互转化，用运动的观点分析图形．教法与学法：教法：通过多媒体演示二次函数的图象性质，探究利用图像性质解决综合问题的方法.学法：针对所带学生具体情况及课堂教学的教师主导，学生主体思想，贯彻启发性教学原则，以多媒体课件为依托，采用学生观察、分析、探索、发现结论为主的方法．教学中，要充分引导学生自主探索，合作解决例题，不能够将这些问题只当做一般例题或习题处理二次函数实践与探索1典型例题1在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？解：如右图所示，A 点为发球点，B 点为最高点。

球运行的轨迹是抛物线，因为其顶点为（9，5．5）所以设2(9) 5.5y a x =-+，再由发球点坐标（0，1．9）代入得2y ax bx c =++，所以解析式为22(9) 5.545y x =--+ 代入C 点的纵坐标0，得y ≈20.12>18，所以球出边线了。

山西省泽州县晋庙铺镇九年级数学下册第26章二次函数26.3 实践与探索26.3.2 实践与探索导学案（无答案）（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省泽州县晋庙铺镇九年级数学下册第26章二次函数26.3 实践与探索26.3.2 实践与探索导学案（无答案）（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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实践与探索 年级 九 学科 数学 课型 新授 授课人学习内容 实践与探索（2）学习目标1．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；2．能够运用顶点坐标公式解决实际问题中的最大（小）值问题。

学习重点 能够运用顶点坐标公式解决实际问题中的最大（小）值问题.学习难点 把实际问题转化为数学问题。

导学方案 复备栏【温故互查】 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．2．函数y ＝错误!x 2－x ＋1中，当x ＝___________时,y 有_______值是__________．3．函数y=ax 2+bx+c (a≠0)中，若a>0，则当x=﹣a b2时，y ( ）= ；若a<0,则当x= 时，y ( )= 。

【设问导读】例1 某商店经营T 恤衫，已知成批购买时的单价是5元。

根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内，单价是15元时，销售量是50件，而单价每降低1元,就可以多售20件。

26.3 实践与探索第2课时二次函数实物或几何模型知|识|目|标1．通过模拟、问题变式等，能把实物中的距离、高度、长度等问题转化为二次函数的问题，并加以解决．2．通过销售问题中的成本价、销售价、利润等关系，建立二次函数模型，借助二次函数的性质探究出最佳方案．目标一能解决抛物线形实物模型问题例1 教材问题2针对训练如图26－3－4①所示是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．(1)求抛物线所对应的函数关系式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．图26－3－4【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的步骤：(1)恰当地建立平面直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数的关系式；(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；(5)利用关系式求解问题．目标二能用二次函数探究销售中的最佳方案例2 高频考题超市的售货员小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，每千克进价为2元的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y＝－20x＋200(3≤x≤5)，若要使销售该种苹果当天的利润达到最高，则其售价应为( )A．5元/千克 B．4元/千克C．3.5元/千克 D．3元/千克例3 高频考题为满足市场需求，某超市在端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；(2)当每盒售价定为多少元时，每天的销售利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门规定：这种粽子每盒的售价不得高于58元．如果超市想要每天销售粽子获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少需要销售粽子多少盒？【归纳总结】用二次函数探究销售中的最佳方案：此类问题一般是先利用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数)，求出这个函数图象的顶点坐标，从而可得最大利润．同时还要注意实际问题中自变量的取值范围．知识点二次函数在实际问题中的应用(2)1．抛物线形的实物在生活中也相当常见，如抛物线形的桥梁、隧道、涵洞等．解决问题的关键是根据实际情况建立平面直角坐标系，并把实物的尺寸转化成点的坐标，再根据具体情况应用二次函数的基本知识解决相关问题．2．根据实际生活中的问题列出二次函数关系式，如商品利润问题，应用二次函数的知识进行最优化决策．[点拨]注意：用二次函数探究销售中的最佳方案时，一定要考虑获取最佳方案时，自变量的取值是否在自变量的取值范围内．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售价每千克不得高于60元，不得低于30元．当销售单价为x元/千克时，日销售量为(－2x＋200)千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元，则当销售单价为多少时，该公司日获利W(元)最大？最大获利是多少元？解：W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000.∴当x＝65时，W最大，W最大值＝2000，即当销售单价为65元/千克时，该公司日获利最大，最大获利是2000元．找出以上解答过程中的错误，并进行改正．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 本题已经建立了平面直角坐标系，于是：(1)依题意可以求得抛物线的顶点坐标，这样可以用顶点式设出抛物线所对应的函数关系式；(2)由于桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m 的景观灯，也就是说两盏景观灯的纵坐标都是4，这样利用(1)中求得的抛物线所对应的函数关系式得到一个一元二次方程，求解即可．解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(5，5)，与y 轴的交点坐标是(0，1)．设抛物线所对应的函数关系式是y ＝a(x －5)2＋5.把(0，1)代入y ＝a(x －5)2＋5，得a ＝－425. 所以所求抛物线对应的函数关系式为y ＝－425(x －5)2＋5(0≤x ≤10)． (2)由已知条件得两盏景观灯的纵坐标都是4，所以4＝－425(x －5)2＋5， 即(x －5)2＝254，解得x 1＝152，x 2＝52. 因为152－52＝5(m )， 所以两盏景观灯之间的水平距离为5 m .例2 [解析] A 设销售这种苹果所获得的利润为w 元，则w ＝(x －2)(－20x ＋200)＝－20x 2＋240x －400＝－20(x －6)2＋320，∴当x ＜6时，w 随x 的增大而增大．∵3≤x ≤5，∴当x ＝5时，w 取得最大值，即当售价为5元/千克时，销售该种苹果当天的利润达到最高． 例3 解：(1)由题意，得y ＝700－20(x －45)＝－20x ＋1600.(2)P ＝(x －40)(－20x ＋1600)＝－20x 2＋2400x －64000＝－20(x －60)2＋8000.∵x ≥45，a ＝－20＜0，∴当x ＝60时，P 最大值＝8000，即当每盒售价定为60元时，每天的销售利润P(元)最大，最大利润是8000元．(3)由－20(x －60)2＋8000＝6000，解得x 1＝50，x 2＝70.∵抛物线P ＝－20(x －60)2＋8000的开口向下，∴当50≤x ≤70时，该超市每天销售粽子的利润不低于6000元．又∵x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在y ＝－20x ＋1600中，k ＝－20＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝58时，y 最小值＝－20×58＋1600＝440，即超市每天至少需要销售粽子440盒．【总结反思】[反思] ∵30≤x≤60，∴抛物线顶点的横坐标65不在自变量的取值范围内，∴W的最大值不是顶点的纵坐标．改正如下：由函数的增减性可知，当x＝60时，W有最大值，W最大值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950，即当销售单价为60元/千克时，该公司日获利最大，最大获利是1950元．。