【精选高考】2020-2020高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念及其表示法练习理

an
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一 利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列 的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三 数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列 或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.

专题六数列【真题典例】（20ie^kL. 20. 15分｝11知尊比数列恤」的住1切》1・訂斗卡•押#t,冲4・中ML数列|町满足岛" 敦^[\y*°轴即吟斤觐蚪也3冷傀・占町狮母和柄F 二二二二二二[“「―吨虹*沁仃隔的甌「…畑盯1门尿故啊M」的通顶去成一O核心時点节比数列.工数列审和一诩叩打叭的艾系求d顶世黃一* 4刚帼远扯怂式小咼叽❷芸联考点I,著吃巾丽，# 2,利盹和*的戈热求叫©方法归纳I等芜眯列与寻比載列中有无个站叫，叭# （励）.%、S t,一般可以~如三求二"，通过列*科*组1求山关ItfciiflW（爾）-同颐迎肝両帯.1散列柜」是仝菱为砒尊■JML附是公比九城存訂的尊出独刘一求散刖｛备£』*的前减IflIJflIB位押减逆.❹考査要点•I.爭査内容：山尊望靈列、饬比ttMKC 丈.简嘶於式.甫冷顷和”式及托忡质. 一舒需诲汙督件；门】列用"fns ^x*：-R 通陌叫.•屯曲利hi；乱排&我枸进*曲爭岀W衣運项手3 JS列就和是寫酉的臣点. 桥别呈幅位那贓唐和翌mifli科it李砒M豊聪堆亭上还会保斯-小一丸” 的惴前一・一小~注虫零壘、尊比數酬性曲的観单应用矗墓本求■・务值沟线分*“_kT限尊笊.導比程列的绑合迄尊为,r 1,熾度中写.分佰为口分❺储备知识I 一利阳S,求叭；r S Ut=\）,a ■ tl屯8临冲hZ曲蜒権处式求数列通珮的雷用方汰;「I仲加诙;疝件车法；山由逍迭.3.救列求和常用的方洛口怡式品（3耀顶榊涓法：⑼错总桐⑷抵蚀倒序IflUtiH*，⑴分组茨和址.❺易错警示切備卞猊M「沐：「悅卩悴樹祈和时. r=l+?Xy+ll X件卜…怙_现■「耳7^=1 K*+丁V（+）+…弋厂横巧■ 佐厂，如U现反卜'靖种檔鳳一垦厲式蜡位相域时帥搦斗厂没冇变号;!.:JTJ F比救列#f4l制醫宜点利时堆数数搭.❼思路分析I *他巴如条Fl . T Z It列的性盛肚尊it 敢地的通皿会成UP可求舍tt2.比橙射数刊他."*」和喷和求通巫我樹札.冉球球dt加医11聲搭也相减$法賦❽解答过程|答案WJ叮恫6.1 数列的概念及其表示挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的概念及①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）;2018课标I ,14,5 分由a n与S的关系求数列的通等比数列的通项公式★★★n n n 能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质，如单调性、周期性等，并能利用性质解题.本节内容多出现在选择题、解答题中，分值约为5分或12分,属中档题.破考点【考点集训】考点数列的概念及其表示1. （2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考，4）已知数列｛a n｝满足：？m,n€ N*,都有a n a m=a n+m,且a i = ,另E么a5=（）A.—B.—C.-D.-答案 A2. （2018湖北枣阳12月模拟,2）已知数列一，一,2 一，—，…,则2 一是这个数列的（）A.第6项B.第7项C.第11项D.第19项答案 B3. （2017 河南郑州、平顶山、濮阳二模,7）已知数列｛a n｝满足a n+1=a n-a n-1 （n支）,a 1=m,a2=n,S n 为数列｛a n｝的前n项和，则S2 017的值为（）A.2 017n-mB.n-2 017mC.mD.n A.2 017n-m B.n-2 017mA.- 15X2 16B.15 X2 171617答案 C4.(2018 百校联盟 TOP20三月联考，14)已知数列｛a n ｝满足2S=4a n -1,当n € N时,｛(log 2a n )2+入log 2a n ｝是递增数列，则实数入的取值范围是答案 (1,+ ©炼技法 【方法集训】方法1利用s n 与a n 的关系求通项公式1. (2017湖南岳阳一模,7)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且a=1,S n = --------------- ,则a 2 017=()A. 2 016B.2 017C.4 032D.4 034答案 B2. 已知数列｛a n ｝满足 a 1+2a 2+3a 3+4a 4+・・+ na n =3n 2-2n+1,求 a n .解析 设 a 计2a 2+3a 3+4a 4+・・+na n =T n . 当 n=1 时,a 1=T=3Xl 2-2X 1+仁2;当 n 支 时,na n =T n -T n-1=3n-2n+1-[3(n-1) -2(n-1)+1]=6n-5, 因此 a n —,显然当n=1时,不满足上式.故数列｛a n ｝的通项公式为a n =-方法2由递推关系求数列的通项公式1.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列｛a n ｝中,a 1=1,a n+1=2a n ^2n,则ag( )C.- 16X2 答案 A 2. 已知数列｛a n ｝满足 a i =2,(n+1)a n =(n-1)a n-i (n 逖n € N *),则一= _________ ,数列｛a n ｝的通项公 式为 ________ .答案-;a n = ---------- (n € N *)3. 已知数列｛a n ｝满足a i =1,a n+i =——(n € N *),求数列｛a n ｝的通项公式.解析由题意可知a n 用.由a n+1=——,得——=一+1,所以—+1=2 — .又 a i =1,所以一+1=2,所以数列一 是以2为首项,2为公比的等比数列，所以—+1=2X2 n-1=2n ,所以a n =——(n € N ).方法3数列的单调性和最大(小)项1. 已知a n = ------- (n € N *),则数列｛a n ｝的最大项为 _______ .答案 a 8和a 92. (2017 湖南湘潭三模,16)数列｛a n ｝满足a 1+a 2+a 3+・・+a n =2 n-a n ( n € N *),数列｛b n ｝满足 b n = —(a n -2),则｛b n ｝中的最大项的值是 _______ .答案D. 16X2过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组1. （2018课标I ,14,5分）记S n为数列｛a n｝的前n项和.若S=2a n+1,则&= __________ .答案-632. （2015 课标n ,16,5 分）设S n是数列｛a n｝的前n 项和,且a i=-1,a n+i=SS+i,则S= ________ .答案-_B组自主命题省（区、市）卷题组1. （2015江苏,11,5分）设数列｛a n｝满足a1=1,且a n+1-a n= n+1（n € N*）,则数列一前10项的和为________ .答案一2. （2015四川,16,12 分）设数列｛a n｝（ n=1,2,3,…）的前n项和S满足S n=2a n-a 1,且时2+1月3 成等差数列.（1）求数列｛a n｝的通项公式；⑵记数列一的前n项和为T n,求使得|T n-1|< ——成立的n的最小值.解析（1）由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1 =2a n-2a n-1（n 呈），即a n=2a n-1（n =^2）.而a2=2a1,a 3=2a2=4a.又因为a1,a 2+1,a 3成等差数列，即a1+a3=2（a 2+1）.所以a1+4a1=2（2a计1）,解得a=2.所以，数列｛a n｝是首项为2,公比为2的等比数列所以a1+4a1=2（2a计1）,解得a=2.故a n=2n.(2)由⑴得—=_,所以T n=-+—+••+—= ------- = 1-—.由|T n-1|< —,得 -—- <一,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n》0.于是，使|T n-1|< ——成立的n的最小值为10.C组教师专用题组1. (2016 浙江,13,6 分)设数列｛a n｝的前n 项和为S n.若S2=4,a n+1=2S+1,n € N*,则a1 = _______ ,S 5= _______ .答案1；1212. (2015 浙江,20,15 分)已知数列｛a n｝满足a~ 且a n+1=a n- (n € N*).(1)证明:1 <—电(n € N*);⑵设数列｛｝的前n项和为S n,证明：---- 今w ------ (n € N*).证明(1)由题意得a n+1-a n=- W),即a n+1 W a n,故a n W.由a n=(1_a n-1 )a n-1 彳得a n=(1_a n-1 )(1_a n-2) ■ ■ (1_a 1)a 1>0.由0<a n w得——=—=——€ [1,2], 即 1 —<?.⑵由题意得=a n-a n+1,所以S=a i -a n+1 . ① 由——=——-_ 和 1 <—<2 得 1 <—-_ <2,所以 n — -— <2n,因此 ----- ^n+i^— (n € N ).②由①②得——< ——(n € N *).【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共40分）1.（2019届河北唐山一中期中，4）已知数列｛a n ｝的前n 项和S 满足S n +S=S m+r （m,n € N *）且a i =5, 则 a 8=（ ）a n +2SS -1=0（n 迄n € N *）,则S n 的最小值和最大值分别为（ ）答案 Da 1=1,a n+1=—(n € N *),若 h=log 2 — ,则数列｛b n ｝的通项公式是( )答案 C4.（2018广东惠州模拟,7）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S=2a n -1,则一=（ ）A.40 答案 CB.35C.5D.122.(2019 届四川攀枝花第一次统考,10）已知数列｛a n ｝的前n 项和为A.--,-B.—,-C.--,-D.-1,13.(2019 届湖北重点高中联考协作体高三期中考试,6）已知数列｛a n ｝满足A.b n =-nB. b =n-1C.b n =nD.b n =2n答案 A5.（2017陕西咸阳二模,11）已知正项数列｛a n ｝中，一+—+••+—=——（n € N *）,则数列｛a n ｝ 的通项公式为（ ）A.a n =nB.a n =nC. a n =-D.a n =—答案 B6. （2018河北保定一模,10）已知函数f （x ）=且｛a n ｝是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）答案 C7. （2018山西晋中高考适应性调研,9）中国剩余定理”又称 孙子定理”.1852 年,英国来华传 教士伟烈亚力将《孙子算经》中物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理 ，因而西方称之为 中国剩余定理”.中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列 ，构成数列｛a n ｝,则此数列共有（ ）A.98 项B.97 项C.96 项D.95 项答案 B8. （2018河南安阳二模,9）已知数列：-,…,依它的前10项的规律，这个数列 的第2 018项 a 2018 等于（）A._B._C.—D.—若数列｛a n ｝满足 a n =f(n)(n € N *),A.(1,3)B.(1,2]C.(2,3)D.-B.— 答案 D二、 填空题(每小题5分，共10分)9. (2019届安徽皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列｛a n ｝满足:a n =1-一,且a i =2,则 019= .答案-10. (2018山东荷泽第一次模拟,16)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,且满足 S=(-1) n 刖一, b n =8a 22n-1,若对任意的n € N *，总有入b n -1>0成立，则实数入的取值范围为 ____________ . 答案 -三、 解答题(共10分)11. (2018 山东六校联考,17)设数列｛a n ｝满足:a 1+a 2+a 3+・・+a n =n-a n (n € N ).(1) 求 a 1,a 2；⑵ 若b n =n(2-n)(a n -1),求｛b n ｝的最大项，并写出取最大项的项数. 解析 (1) T 数列｛a n ｝满足:a 1+a 2+a 3+-+a n =n-a n (n € N ), -^a 1=1-a 1,a 1+a 2=2-a 2, 解得 a1~,a 2™.(2) 由数列｛a n ｝满足:a 1+a 2+a 3+-+a n =n-a n (n € N ),得 n 支 时,a 1+a 2+a 3+-+a n-1= n-1-a n-1,两式相减可得 a n =1-a n +a n-1(n 支)，可得:a n _1 = -(a n-1 -1)(n =^2),又 a 1-1=- -，A.- C.64 D.-a 2•••数列｛a n-1｝是等比数列，其公比为-，首项为--.■'■a n-1=---b n=n(2-n)(a n-1)=n(n- 2) x —,•■b n+i-b n=(n+1)(n- 1) x 一-n(n- 2) x 一= ---------------------- 令b n+1-b n>0,解得2- —<*2+ _.可得b i<b2<b3<b4>b5>b6>••:数列｛a n｝的最大项是第4项，且b4=.。

高考数学一轮复习 第六章 数列6.2 等差数列考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)． (2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋nn －12d 或S n ＝na 1＋a n2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．常用结论1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 3．等差数列{a n }的单调性：当d >0时，{a n }是递增数列；当d <0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(4)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 教材改编题1．已知等差数列{a n }中，a 2＝3，前5项和S 5＝10，则数列{a n }的公差为( ) A ．－1 B ．－52C ．－2D ．－4答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵S 5＝5a 3＝10， ∴a 3＝a 2＋d ＝2， 又∵a 2＝3，∴d ＝－1.2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 5＝________. 答案 903．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝2，且S 6＝30，则S 9＝________. 答案 126解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝2，2a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝－90＋36×6＝126.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)(2022·包头模拟)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，S 4＝24，S 9＝99，则a 7等于( )A ．13B ．14C ．15D ．16 答案 C解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝24，S 9＝99，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝24，9a 1＋36d ＝99，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.则a 7＝a 1＋6d ＝15.(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则下列结论正确的有________．(填序号) ①a 2＋a 3＝0； ②a n ＝2n －5； ③S n ＝n (n －4)； ④d ＝－2.答案 ①②③解析 S 4＝4×a 1＋a 42＝0，∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝0，①正确； a 5＝a 1＋4d ＝5， (*) a 1＋a 4＝a 1＋a 1＋3d ＝0，(**)联立(*)(**)得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝－3，∴a n ＝－3＋(n －1)×2＝2n －5， ②正确，④错误；S n ＝－3n ＋n n －12×2＝n 2－4n ，③正确．教师备选1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9等于( ) A ．－5 B ．－7 C ．－9 D ．－11答案 B解析 ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1＋2d ＝5,4a 1＋6d ＝24， 解得a 1＝9，d ＝－2， ∴a n ＝11－2n ， ∴a 9＝11－2×9＝－7.2．已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1＋a 10＝a 9，则a 1＋a 2＋…＋a 9a 10＝________.答案278解析 ∵a 1＋a 10＝a 9，∴a 1＋a 1＋9d ＝a 1＋8d ，即a 1＝－d ， ∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝S 9＝9a 1＋9×82d ＝27d ， a 10＝a 1＋9d ＝8d ，∴a 1＋a 2＋…＋a 9a 10＝278.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .跟踪训练1 (1)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＋a 6＝24，S 6＝48，则下列选项正确的是( ) A ．a 1＝－2 B ．a 1＝2 C ．d ＝3 D ．d ＝－3答案 A解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 6＝2a 1＋7d ＝24，S 6＝6a 1＋15d ＝48，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4.(2)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝______. 答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2. 因为a 1＝－2，所以d ＝1. 所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.题型二 等差数列的判定与证明例2 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1. 设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1， 所以S n ＝na 1＋nn －12d ＝n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数， 所以S n ＝n a 1，所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列． ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列． 设数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋nn －12d ＝12n 2d ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a 1－d2＝0，即d ＝2a 1，所以a 2＝a 1＋d ＝3a 1. ②③⇒①.已知数列{S n }是等差数列，a 2＝3a 1， 所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 1. 设数列{S n }的公差为d ，d >0，则S 2－S 1＝4a 1－a 1＝d ，得a 1＝d 2， 所以S n ＝S 1＋(n －1)d ＝nd ， 所以S n ＝n 2d 2，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝2d 2n －d 2(n ≥2)，是关于n 的一次函数，且a 1＝d 2满足上式，所以数列{a n }是等差数列． 高考改编已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足nS n ＋1－(n ＋1)S n －32n 2－32n ＝0，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解 因为nS n ＋1－(n ＋1)S n －32n 2－32n ＝0，所以nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝32n (n ＋1)，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝32，S 11＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，32为公差的等差数列，S n n ＝32n －12， 所以S n ＝32n 2－12n ，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1 ＝32n 2－12n －⎣⎡⎦⎤32n －12－12n －1 ＝3n －2，当n ＝1时，上式也成立， 所以a n ＝3n －2. 教师备选(2022·烟台模拟)已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，记b n ＝log 2(a n ＋1)． (1)判断{b n }是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1){b n }是等差数列，理由如下： b 1＝log 2(a 1＋1)＝log 22＝1，当n ≥2时，b n －b n －1＝log 2(a n ＋1)－log 2(a n －1＋1) ＝log 2a n ＋1a n －1＋1＝log 22a n －1＋2a n －1＋1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＋1＝2n b＝2n ， ∴a n ＝2n －1.思维升华 判断数列{a n }是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一常数．(2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：对任意n ∈N *，都满足a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式法：对任意n ∈N *，都满足S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 跟踪训练2 已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解 (1)由题意可得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4， 又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2， 所以a 3＝15.(2)由已知得na n ＋1－n ＋1a nn n ＋1＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为d ＝2的等差数列，则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以a n ＝2n 2－n . 题型三 等差数列的性质 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 3＋a 4等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1， 所以{a n }是等差数列，由等差数列性质可得a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9， 所以a 3＋a 4＝3＋4＝7.(2)(2022·崇左模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝150，则S 9等于( ) A ．225 B ．250 C ．270 D ．300 答案 C解析 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 且a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝150， ∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝150， 解得a 5＝30，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝270.命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝60，则S 40等于( ) A ．110 B ．150 C ．210 D ．280答案 D解析 因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列． 故(S 30－S 20)＋S 10＝2(S 20－S 10)， 所以S 30＝150.又因为(S 20－S 10)＋(S 40－S 30)＝2(S 30－S 20)， 所以S 40＝280.(2)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －13n －2，则a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9的值为________． 答案2943解析a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9＝a 11＋a 52b 8＝2a 82b 8＝a 8b 8，∴a 8b 8＝S 2×8－1T 2×8－1＝S 15T 15＝2×15－13×15－2＝2943. 延伸探究 将本例(2)部分条件改为若a 2＋a 8b 4＋b 6＝57，则S 9T 9＝________.答案 57解析a 2＋a 8b 4＋b 6＝2a 52b 5＝a 5b 5＝57， ∴S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝9a 59b 5＝a 5b 5＝57. 教师备选1．若等差数列{a n }的前15项和S 15＝30，则2a 5－a 6－a 10＋a 14等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析 ∵S 15＝30，∴152(a 1＋a 15)＝30，∴a 1＋a 15＝4， ∴2a 8＝4，∴a 8＝2.∴2a 5－a 6－a 10＋a 14＝a 4＋a 6－a 6－a 10＋a 14＝a 4－a 10＋a 14＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝2.2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( )A ．2 023B ．－2 023C ．4 046D ．－4 046答案 C解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1， 首项为S 11＝－2 020，∴S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2， ∴S 2 023＝2 023×2＝4 046.思维升华 (1)项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)． ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列．跟踪训练3 (1)(2021·北京){a n }和{b n }是两个等差数列，其中a k b k (1≤k ≤5)为常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512解析 由已知条件可得a 1b 1＝a 5b 5，则b 5＝a 5b 1a 1＝96×192288＝64，因此，b 3＝b 1＋b 52＝192＋642＝128.(2)(2022·吕梁模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 3＝3a 1，a 2＝3a 1－1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为( ) A.552 B ．55C.652 D ．65答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3a 1，a 1＋d ＝3a 1－1，所以a 1＝1，d ＝1， 所以S n ＝n ＋n n －12＝nn ＋12， 所以S n n ＝n ＋12，所以S n ＋1n ＋1－S n n＝n ＋1＋12－n ＋12＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，12为公差的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和T 10＝10＋10×10－12×12＝652.课时精练1．(2022·信阳模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＝30，a 4＝11，则{a n }的公差为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 B解析 设公差为d ，因为a 3＋a 9＝2a 6＝30， 所以a 6＝15，从而d ＝a 6－a 46－4＝2.2．(2022·莆田模拟)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＋a 8＋a 11＝12，则2a 9－a 11的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－12 D ．12 答案 B解析 由等差中项的性质可得， a 3＋a 6＋a 8＋a 11＝4a 7＝12， 解得a 7＝3， ∵a 7＋a 11＝2a 9， ∴2a 9－a 11＝a 7＝3.3．(2022·铁岭模拟)中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．则第一等人(得金最多者)得金斤数是( ) A.3726 B.3727 C.5239 D.5639答案 A解析 由题设知在等差数列{a n }中， a 1＋a 2＋a 3＝4，a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3. 所以3a 1＋3d ＝4,4a 1＋30d ＝3， 解得a 1＝3726.4．(2022·山东省实验中学模拟)已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( ) A ．28 B ．29 C ．30 D ．31答案 B解析 设等差数列{a n }共有2n ＋1项， 则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ， 该数列的中间项为a n ＋1，又S 奇－S 偶＝a 1＋(a 3－a 2)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2n ＋1－a 2n )＝a 1＋d ＋d ＋…＋d ＝a 1＋nd ＝a n ＋1， 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝319－290＝29.5．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 3＋a 8＋a 13是一个定值，则下列各数也为定值的是( ) A ．a 11 B ．a 12 C ．S 15 D ．S 16 答案 C解析 由等差中项的性质可得a 3＋a 8＋a 13＝3a 8为定值，则a 8为定值， S 15＝15()a 1＋a 152＝15a 8为定值，但S 16＝16()a 1＋a 162＝8()a 8＋a 9不是定值．6．在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n的最大值是( )A ．15B ．16C ．17D ．14 答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值， ∴等差数列{a n }为递减数列， 又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， 且a 9＋a 10<0， 又S 18＝18a 1＋a 182＝9(a 9＋a 10)<0，S 17＝17a 1＋a 172＝17a 9>0，∴使S n >0成立的正整数n 的最大值是17.7．(2019·北京)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________. 答案 0解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－3，S 5＝－10， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋10d ＝－10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0. 8．(2022·新乡模拟)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为________．答案 51解析 设该数列为{a n }，依题意可知，a 5，a 6，…成等差数列，且公差为2，a 5＝5， 设塔群共有n 层，则1＋3＋3＋5＋5(n －4)＋n －4n －52×2＝108，解得n ＝12(n ＝－8舍去)．故最下面三层的塔数之和为a 10＋a 11＋a 12＝3a 11＝3×(5＋2×6)＝51.9．(2021·全国乙卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n ＝2.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．(1)证明 因为b n 是数列{S n }的前n 项积， 所以n ≥2时，S n ＝b nb n －1，代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n ＝2，整理可得2b n －1＋1＝2b n ， 即b n －b n －1＝12(n ≥2)．又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32， 故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知，b n ＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1nn ＋1. 故a n＝⎩⎨⎧32，n ＝1，－1nn ＋1，n ≥2.10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∵a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则由(1)可得， S n ＝8n ＋nn －12×(－2)＝9n －n 2，n ∈N *. 由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5， ∴当n >5时，a n <0， 则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－(9n －n 2)＝n 2－9n ＋40； 当n ≤5时，a n ≥0， 则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S mm ， 即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解．12．(2022·济宁模拟)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 14>0，S 15<0，则下列选项不正确的是( ) A ．a 1>0，d <0 B ．a 7＋a 8>0C ．S 6与S 7均为S n 的最大值D ．a 8<0 答案 C解析 因为S 14>0， 所以S 14＝14×a 1＋a 142＝7(a 1＋a 14)＝7(a 7＋a 8)>0， 即a 7＋a 8>0， 因为S 15<0，所以S 15＝15×a 1＋a 152＝15a 8<0，所以a 8<0，所以a 7>0，所以等差数列{a n }的前7项为正数，从第8项开始为负数， 则a 1>0，d <0，S 7为S n 的最大值．13．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．答案 3n 2－2n解析 方法一 (观察归纳法)数列{2n －1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…； 数列{3n －2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5. 故前n 项和为S n ＝na 1＋a n 2＝n1＋6n －52＝3n 2－2n .方法二 (引入参变量法)令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数． 令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1,2,3，…)． a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5. 以下同方法一．14．(2022·东莞东方明珠学校模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n .若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－17，－18 解析 根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立， 可知a 8≥0且a 9≤0， 所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0， 解得－17≤d ≤－18.15．定义向量列a 1，a 2，a 3，…，a n 从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即a n ＝a n －1＋d (n ≥2，且n ∈N *)，其中d 为常向量，则称这个向量列{a n }为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .已知等差向量列{a n }满足a 1＝(1,1)，a 2＋a 4＝(6,10)，则向量列{a n }的前n 项和S n ＝____________________. 答案⎝⎛⎭⎫n ＋n 22，n 2解析 因为向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里面也适用，由等差数列的等差中项的性质知2a 3＝a 2＋a 4＝(6,10)，解得a 3＝(3,5)，则等差向量列{a n }的公差向量为d ＝a 3－a 12＝3，5－1，12＝3－1，5－12＝2，42＝(1,2)， 由等差数列的通项公式可得等差向量列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(1,1)＋(n －1)(1,2)＝(1,1)＋(n －1,2n －2) ＝(1＋n －1,1＋2n －2)＝(n ,2n －1)，由等差数列的前n 项和公式，可得等差向量列{a n }的前n 项和S n ＝na 1＋a n2＝n [1，1＋n ，2n －1]2＝n1＋n ，2n2＝n ＋n 2，2n 22＝⎝⎛⎭⎫n ＋n 22，n 2.16．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝1，d ＝25，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35，当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.。

典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴

2 3

∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足