高三数学第一学期开学测试

山东省德州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}230A xx x =-<∣，集合{}21x B x =∣…，则A B =I （ ） A ．()0,3 B ．[)0,3 C ．()0,∞+ D ．[)0,+∞2．已知一组数据(),i i x y （110i ≤≤且∈i Z ）的回归直线方程为ˆ7yx a =+，若10101170,500i i i i xy ====∑∑，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．23．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，2516a a =，则2324log log a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（ ） A ．48 B ．36 C ．24 D ．125．已知椭圆222:1(0)x C y a a +=>，则“3a =”是“椭圆C ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为1128,4,23AB A B ==，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．3 7．已知()1cos 4αβ+=，()3cos 4αβ-=，ππ0,,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则tan tan αβ+的值为（ ）A ．113BCD 8．已知点A 为直线3470x y +-=上一动点，点()4,0B ，且(),P x y 满足2220x y x ++-=，则3AP BP +的最小值为（ ）A ．65B ．75C ．135D ．215二、多选题9．复数z 在复平面内对应的点为()()1,m m ∈R ，且i z ⋅（i 为虚数单位）的实部为2，则（ ） A ．复数z 的虚部为2i -B ．复数z 对应的点在第一象限C ．复数z 的模长为5D ．若复数0z 满足01z =，则0z z -110．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,πA ωϕ>><）的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象.则（ ）A ．2ω=B ．函数()g x 在区间3π,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124g x g x -=，则12x x -的最小值为πD ．直线1y =与()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象所有交点的横坐标之和为8π3 11．设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，则（ ）A ．()20250f =B ．()f x 在[]2,4上单调递增C ．()5y f x =-为奇函数D ．方程()lg f x x =仅有5个不同实数解三、填空题12．已知向量()()2,6,1,a b x =-=r r ，若a r ∥b r ，则x 的值为.13．已知三棱锥P ABC -，若,,PA PB PC 两两垂直，且24,PA PB PC ==P ABC -外接球的表面积为.14．编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m 表示前两个球号码的平均数，记n 表示三个球号码的平均数，则m 与n 之差的绝对值不超过0.2的概率是.四、解答题15．在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.16．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+-+.(1)当02a <…时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若对()0,x ∀∈+∞，都有()()0f x xf x -'…成立，求实数a 的取值范围.17．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18．已知双曲线E 焦点在x 轴上，且过点)4，直线1l 与双曲线E 交于,M N 两点，1l 的斜率存在且不为0，直线2l 与双曲线E 交于,P Q 两点.(1)若MN 的中点为H ，直线,OH MN 的斜率分别为12,,k k O 为坐标原点，求12k k ⋅；(2)若直线1l 与直线2l 的交点T 在直线12x =上，且直线1l 与直线2l 的斜率和为0，证明：TPTNTM TQ =.19．若有穷数列{}n a 满足：()120,3k a a a k k <<<∈Z L 剠，若对任意的(),1i j i j k 剟?，j i a a +与j i a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为Γ数列.(1)判断数列0,2,4,8是否为Γ数列，并说明理由；(2)设数列{}n a 为Γ数列.①求证：k i a a -一定为{}n a 中的项； ②求证：()1212k k k a a a a ka -++++=L ；(3)若数列{}n a 为Γ数列，且{}n a 不是等差数列，求项数k 的所有可能取值.。

2024学年杭州地区高三第一学期数学开学考模拟试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|33},{|A x Z x B x y ∈−<<，则A B ∩=( ) A.{1,0,1,2}− B.(1,3)− C.{0,1,2}D.(1,)−+∞2.复数312i z i =−在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若(2,1,1)A ，(1,2,2)B 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.(2,1,2)B.(2,2,3)− C.(1,1,1)− D.(1,0,0)4.设双曲线2212:1(0)x C y a a −=>，椭圆222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若12e =，则a =()A.B.D.5.已知圆221:()4O x y m +−=上动弦AB 的长为，若圆222:9O x y +=上存在点P 恰为线段AB 的中点，则实数m 的取值范围是( ) A.[2,4]B.[1,3]C. [4,2][2,4]−−∪D. [3,1][1,3]−−∪6.已知函数()f x 及其导数()f x ′的定义域为R ，记()()g x f x =′，且()f x ，(1)g x +都为奇函数.若(5)2f −=，则(2023)f =( )A.0B. 12−C. 2D.2−7.已知sin()2sin()36ππαα−=−+，则sin(2)3πα+=( ) A. 34−B.34C. 45−D.458.已知棱长相等的正三棱锥P ABC −底面的三个顶点A ，B ，C 均在以O 为球心的球面上(其中O 为ABC 的中心)，球面与棱PA ，PB ，PC 分别交于点1A ，1B ，1.C 若球O 的表面积为12π，则多面体111A B C ABC −的体积为( )A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xa f x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x x a a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10e a <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea -+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aa f a a --=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)e a x ag x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。

北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.403.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c<< D.b a c<<4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.4455.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③B.②③C.②④D.③④7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.598.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,)-∞-⋃+∞二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.12.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b 的夹角为________．13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 3sin b a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：2a b =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤【答案】D【分析】先求出集合B 的补集，再求出()A B R ð【详解】因为{}1B x x =<，所以{}R 1B x x =≥ð，因为{}12A x x =-≤≤，所以R ()A B = ð{}12x x ≤≤，故选：D2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.40【答案】A【分析】利用二项展开式的通项直接求得.【详解】6(x -的展开式的通项公式为(()666216612r rrrrr r r T C x C x ---+==-，要求3x 项，只需令r=3,所以3x 的系数为()636332612=C ----.故选：A【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．3.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.445【答案】A【分析】利用古典概型结合组合数计算概率即可.【详解】由题意可得恰有一名男生的概率为：1146210C C 8C 15P ==.故选：A5.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<【答案】B【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断.【详解】由图象可知，函数在[0,)+∞上的增长越来越快，故函数图象在点00(,())x f x （0(0,)x ∈+∞）的切线的斜率越来越大，因为(2)(1)21f f a -=-，所以(1)(2)f a f ''<<.故选：B.6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】C【分析】根据空间中直线的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定及性质可判断②；根据线面平行的判定及性质可判断③④.【详解】①若直线a ，b 不相交，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线a ，b 为异面直线，则a ，b 不相交，所以“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的必要而不充分条件，故①错误.②根据线面垂直的判定及性质可知，若l ⊥平面α，则直线l ⊥平面α内所有直线；反之，亦成立，所以“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件，故②正确.③若a 平行于b 所在的平面，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线//a 直线b ，a 平行于b 所在的平面或a 在b 所在的平面内，所以“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的既不充分也不必要条件，故③错误.④若直线a 平行于α内的一条直线，则//a α或a α⊂；若直线//a 平面α，则能得到直线a 平行于α内的一条直线，所以“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件，故④正确.故选：C.7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.59【答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A A BB B B B B A B===，∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A BB A=，∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】B【分析】分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x af x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若a<0，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解.综上所述，1a =.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[22,22]-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,2][22,)-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，得到A ，C 关于点B 对称，则2PA PC += ，即为1PB =，然后将问题转化为点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1求解.【详解】因为直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，且都过原点，所以B 为原点，A ，C 关于点B 对称，因为直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，所以1PB =，则点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1，1≤，解得k ≤-或k ≥所以实数k 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞.故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.【答案】1【分析】利用复数除法的法则，结合复数的虚部定义进行求解即可.【详解】因为()()()i 1i i i i i i 221111z -===+++-，所以z 的虚部为1，故答案为：112.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b的夹角为________．【答案】π3【分析】先根据()2a b a ⋅-= 求出a b ⋅ ，利用夹角公式可得答案.【详解】因为()2a b a ⋅-= ，1a = ，所以3a b ⋅=；所以31cos ,62a b a b a b ⋅===，因为[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = .故答案为：π3.13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．【答案】①.45②.10-【分析】利用三角函数的定义求出cos α的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得sin α，由三角函数的定义可知点B 的横坐标为cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α=，由已知可知α为第一象限角，则4sin 5α=，将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为2cos cos cos sin sin 44410πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：45；10-.14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【答案】6【详解】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得考点：本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【分析】根据长方体的特征，利用等体积法确定①，根据特殊情况分析三角形边长可判断②，利用向量法可判断③，根据长方体中的特殊位置找出满足条件三棱锥判断④.【详解】由题意，在长方体中，E 到平面CC 1D 1D 的距离为1，F 到边1DD 的距离为2，所以11111112323D DEFE DDF V V --==⨯⨯⨯⨯=，故①正确；由图可知，1D F 的最小值为2，若12D E =，则DE ===,则AE ==，若此时2EF =，则EC ===，可得BE ==，则2AE BE AB +=>=，即1D F 取最小值为2时，1,D E EF 不能同时取得2，当1D F 变大时，1,D E EF 不可能同时大于2，故1D EF V 不可能是等边三角形，故②正确；建立空间直角坐标系，如图，则1(0,0,0),(0,0,1)D D ,设(1,,0)(02)E m m ≤≤，(0,2,)(01)F n n ≤≤，1(1,,1),(0,2,)D E m DF n =-= ，由1D E DF ⊥可得1(1,,1)(0,2,)20D E DF m n m n ⋅=-⋅=-=，即2n m =，1D F ===，EF ===，显然1D F 与EF 不恒相等，只有0m n ==时才成立，故③错误；当E 为AB 中点，F 与C 重合时，如图，此时，1D D DE ⊥，1D D DC ⊥，又2DE EC ==2DC =，故222DE EC DC +=，所以DE EC ⊥，因为113,2,5D E EC D C ===22211D E EC D C +=,所以1D E EC ⊥，即三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，当E 与B 重合，F 与C 重合时，如图，显然1D D DB ⊥，1D D DC ⊥，CB DC ⊥，1CB D C ⊥，故三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，综上可知，至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题四个选项比较独立，①的关键在于转化顶点，得出高及底面积为定值；②分析三边中1D F 的最小值为2，此时其余两边不能同时等于2;③利用向量得出两点的关系，在此关系下不一定能推出两边长相等；④考虑特殊位置寻求满足条件的位置是解题关键.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25719【分析】（1）利用面面垂直的性质来进行证明即可；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】四边形11AA C C 是矩形，1AA AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，平面11AA C C 平面ABCD AC =，1AA ⊂平面11AA C C ，1AA ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，以O 为坐标原点，,OB OC正方向为,x y 轴，平行于1AA 的直线为z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设12AB AA ==，则()0,0,0O，)13,0,2B ，()10,1,2C ，)13,0,2OB ∴=，()10,1,2OC =，设平面11OB C 的法向量(),,n x y z =，则1132020OB n x z OC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，解得：23y =3z =，(2,3,3n ∴= ；平面1OB D y ⊥轴，∴平面1OB D 的一个法向量()0,1,0m =，257cos ,19m n m n m n⋅∴==⋅ ，二面角11D OB C --为锐二面角，∴二面角11D OB C --的余弦值为25719.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，cos sin b a C A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：a =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π6A =（2）答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得tan A ，由此可得A ；（2）若选①，利用余弦定理构造方程求得c ，知三角形不唯一，不合题意；若选②，利用正弦定理可求得b ，再利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可；若选③，利用余弦定理可构造方程求得b ，代入三角形面积公式即可.【小问1详解】由正弦定理得：sin sin cos sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴>，cos A A =，即tan 3A =，()0,πA ∈ ，π6A ∴=.【小问2详解】若选条件①，由余弦定理得：22222cos 6449a b c bc A c =+-=+-=，即2150c -+=，解得：2c =或2c +=，∴三角形不唯一，不合题意；若选条件②，由正弦定理得：sin 121sin 2a Bb A===，由余弦定理得：22222cos 449a b c bc A c =+-=+-=，即2450c --=，解得：c =-（舍）或c =，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时11153sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；若选条件③，由余弦定理得：222222cos 642a b c bc A b b =+-=+-=，即2640b +-=，解得：b =--b =-，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时(111sin 8222ABC S bc A ==⨯-⨯⨯=- .18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）1132（2）分布列见解析，15（3）01p p <【分析】（1）利用古典概型计算即可；（2）根据离散型随机变量的分布列和期望公式计算即可；（3）由表格可计算得01,p p 判定大小即可.【小问1详解】甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务的基本事件空间Ω有212A 1211132=⨯=个基本事件，记事件A ：“甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务”，即包含1个基本事件，则1()132P A =；【小问2详解】由题知，0,1,2X =，1~(2,)10X B 22181(0)C 110100P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，12119(1)C 1101050P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22211(2)C 10100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，则X 的分布列：X012P811009501100X 的数学期望()81911012100501005E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】易知019019190189051410090519p p +==<==++++.19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(，单调递增区间是)+∞；极小值()1ln 2k k f-=；（2）证明详见解析.【详解】试卷分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对()f x 求导，令()0f x '=解出x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试卷解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得2()k x kf x x x x-=-='.由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x=(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当e k >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212xy +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）3（3）存在，4【分析】（1）将集合1A ，2A 进行计算，得出集合中的元素个数即可知1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）利用等比数列性质和集合性质Ω的定义，即可得集合A 中的元素个数最大值为3；（3）根据集合具有的性质Ω的定义，对集合中的元素个数进行分类讨论，再由集合元素的互异性得出矛盾即可求出A 中的元素个数最大值是4.【小问1详解】1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.若{}11,2,4A =，则{}112,4,8A A ⊗=，恰有()33132-=个元素，所以1A 具有性质Ω；若{}21,2,4,8A =，{}222,4,8,16,32A A ⊗=，有5个元素，()44152-≠，2A 不具有性质Ω.【小问2详解】当A 中的元素个数4n ≥时，因为A 中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为12,,,n a a a 构成等比数列，则121n n a a a a -=，其中121,,,n n a a a a -互不相同.于是这与A 具有性质Ω，A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当A 中的元素个数恰有3个时，取{1,2,4}A =时满足条件，所以集合A 中的元素个数最大值为3.【小问3详解】因为0(1,2,,)i a i n >= ，不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，所以121321n n n n a a a a a a a a --<<<< .（1）当5n >时，121321,,,,n n n n a a a a a a a a -- 构成等比数列，所以131122n n n na a a a a a a a --== ，即2132n n a a a a --=，其中2132,,,n n a a a a --互不相同.这与A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.（2）当5n =时，12133545,,,,a a a a a a a a 构成等比数列，第3项是23a a 或14a a .①若第3项是23a a ，则132345121335a a a a a a a a a a a a === ，即324213a a a a a a === ，所以2314a a a a =，与题意矛盾.②若第3项是14a a ，则134514121335a a a a a a a a a a a a === ，即344233a a a a a a === ，所以234,,a a a 成等比数列，设公比为q ，则A A ⊗中等比数列的前三项为：121314,,a a a a a a ，其公比为q ，第四项为312a a q ，第十项为912a a q .(ⅰ)若第四项为23a a ，则12332a a a a q =，得221a a q =，又94512a a a a q =，得751a a q =，此时A 中依次为234711111,,,,a a q a q a q a q 显然1534a a a a =，不合题意.(ⅱ)若第四项为15a a ，则31512a a a a q =，得352a a q =，又94512a a a a q =，得421a a q =，此时A 中依次为456711111,,,,a a q a q a q a q ，显然2534a a a a =，不合题意.因此，4n ≤.取{1,2,4,16}A =满足条件.所以A 中的元素个数最大值是4.【点睛】方法点睛：对于“新定义”的题目关键在于充分理解定义的本质，把新定义与高中已学内容建立联系，灵活运用类比、归纳、分类讨论等数学思想才能将问题解决.。

2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

高三上数学开学考注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．答题时请按要求用笔.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ＝R ，A ＝{x |0＜x ≤3}，B ＝{x |x ＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {x |1≤x ＜3}B. {x |1＜x ≤3}C. {x |1＜x ＜3}D. {x |1≤x ≤3}2. 已知i ,1ia a R z +Î=+（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A. 1- B. 0C. 1D. 23. 已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为12y x =，则C 的焦距为（ ）35 C. 3 D. 254. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD 都是直角圆锥SO 底面圆的直径，且3AOD p Ð=，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.13B.4C.4D.35. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A. ()32xx xf x -= B. ()3exx xf x -=C. ()3ln f x x x=× D. ()()2e 1xf x x =×-6. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C Èð＝（ ）A {2，3，4，5} B. {2，3，4，5，6}C. {1，2，3，4，5，6}D. {1，3，4，5，6，7}的.7. 已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ）A.45 B. 45-C.45i D. 45-i8. 已知集合A ＝{y |y =}，B ＝{x |y ＝lg （x 2﹣x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A. [0，12）B. （﹣∞，0）∪[12，+∞）C. （0，12）D. （﹣∞，0][∪12，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 近年来新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首､选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A. 图中0.028a =B. 在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁10. 已知函数()()ππsin 322f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于直线π4x =对称，则（ ）A. ()f x 满足ππ1212f x f x æöæö+=--ç÷ç÷èøèøB. 将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后与()cos3g x x =图像重合C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3pD. 若()y f x =在[],a b 上单调递减，那么b a -的最大值是3p11. 已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A. MA 长度的最小值为2-B. 不存在点M 使得AMB Ð为60oC. 当MC AB ×最小时，直线AB 的方程为210x y --=D. 若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ×uuu r uuuur 的最小值为2812. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB BC AB BC BB D ^===是AC 的中点，O 为1A C 的中点．点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ^B. 当直线1A P 与平面11BB C 所成的角最大时，三棱锥P BCD -的外接球表面积为4pC. 若三棱柱111ABC A B C -，内放有一球，则球的最大体积为43p D. 1OPB △周长的最1+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 《易经》是中国传统文化中精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.的14. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l与C 交于,A B 两点，为C 的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为________.15. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，若以()0,2N 为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C 的方程是______________.16. 已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知371518,10a a a a +=+=，各项均为正数的等比数列{}n b 满足351551,1616b b b b +==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设()22n n na n cb ++=×，求数列{}nc 的前n 项和n T．18. 已知数列{}n a 中，11a =，n a n ìüíýîþ是公差为12等差数列.（1）求{}n a 通项公式；的的（2）若1nnb a =，n T为数列{}n b 的前n 项和，证明：2n T <.19. 已知函数()21ln 2,R 2æö=+--Îç÷èøx a x ax a f x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>.20. 在ABC D 中，内角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，且2c =．（1）若πA 3=，3b =，求sin C的值；（2）若22sin cos sin cos 3sin 22B AA B C+=，且ABCD 的面积25sin 2S C=，求a 和b的值．21. 已知函数21()ln 2f x mx x æö=+ç÷èø.（Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1m £时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.22. 某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC D 分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）.（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.1-5 DADCB 5-8 CBD 9 CD 10 ABC 11 BD 12 ABD 【13题答案】【答案】314【14题答案】【答案【15题答案】【答案】221189x y +=【16题答案】【答案】1,42éù-êúëû17【答案】（1）21n a n =-，112n n b -æöç÷èø=（2）3772n nn T +=-【18题答案】【答案】（1）()12nn n a +=【19题答案】【答案】（1）当12a £时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减；当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21æöç÷-èøa 上递减，在1,21a æö+¥ç÷-èø上递增；当1a =时，()f x ()0,¥+上递增；当1a >时，()f x 在10,21æöç÷-èøa 上递增，在1,121æöç÷-èøa 上递减，在()1,+¥上递增；（2）证明见解析【20题答案】【答案】（1）sin 7C =；（2）5a b ==【21题答案】【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）ùúû【22题答案】【答案】（1）1y =，[]2,3x Î.2y =，[]2,3x Î.（2）当AD =时，两条直道的长度之和取得最小值2ö÷÷ø百米.在。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. πC. √-1D. √22. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则 2x - 3 + x 的值为（）A. 8B. 9C. 10D. 113. 函数 y = 3x - 2 在 x = 1 时的函数值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，则第 10 项 an 的值为（）A. a1 + 9dB. a1 + 10dC. a1 + 11dD. a1 + 12d5. 在平面直角坐标系中，点 P(2, -3) 关于 y 轴的对称点坐标为（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)6. 若 a, b, c 是等差数列的连续三项，且 a + b + c = 18，则 b 的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 157. 下列命题中，正确的是（）A. 两个非零实数的乘积为负数，则这两个实数同号B. 若 a > b，则 -a < -bC. 若 a > b，则 a^2 > b^2D. 若 a > b，则 a^3 > b^38. 若函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 在 x = 2 时的导数为 f'(2)，则 f'(2) 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 若 sin A = 1/2，且 A 在第二象限，则 cos A 的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/210. 在直角坐标系中，点 A(1, 2)，点 B(-3, 4)，则线段 AB 的长度为（）A. 2√10B. √10C. 2√5D. √5二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数 y = 2x + 1 的图像是一条斜率为 ________，截距为 ________ 的直线。

12. 若等差数列 {an} 的首项为 2，公差为 3，则第 5 项 an 的值为 ________。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. -3D. √4答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形如a/b（a，b为整数，b≠0）的数。

在选项中，只有-3可以表示为两个整数之比，即-3/1，因此选C。

2. 函数y=2x+1在R上的值域是（）A. RB. [1, +∞)C. (-∞, 1]D. (-∞, +∞)答案：A解析：函数y=2x+1是一次函数，其斜率为2，截距为1。

由于斜率大于0，函数图像是一条向右上方倾斜的直线，其值域为实数集R。

3. 若复数z满足|z-2i|=√5，则z的取值范围是（）A. z∈{x+yi|x²+y²=5}B. z∈{x+yi|x²+y²=4}C. z∈{x+yi|x²+y²=9}D.z∈{x+yi|x²+y²=16}答案：A解析：由复数的模长公式，有|z-2i|=√[(x-0)²+(y-2)²]，代入|z-2i|=√5，得(x-0)²+(y-2)²=5。

因此，z的取值范围是满足x²+y²=5的所有复数，即z∈{x+yi|x²+y²=5}。

4. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3+a6=20，a1+a7=16，则a5的值为（）A. 10B. 8C. 12D. 14答案：A解析：由等差数列的性质，有a3=a1+2d，a6=a1+5d。

将a3+a6=20代入，得2a1+7d=20。

同理，a1+a7=a1+6d=16。

解得a1=2，d=2。

因此，a5=a1+4d=2+4×2=10。

5. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y=x²在[0, +∞)上单调递增B. 若a、b为实数，则|a|+|b|≥|a+b|C. 等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=na1+1/2(n-1)(n-2)dD. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)答案：B解析：A选项中，函数y=x²在[0, +∞)上确实单调递增；B选项中，根据绝对值的性质，|a|+|b|≥|a+b|；C选项中，等差数列的前n项和公式应为Sn=n/2(a1+an)；D选项中，f(x)在区间[a, b]上单调递增，应满足f(a)≤f(x)≤f(b)。

2024-2025学年北京市第二中学高三上学期开学测试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U =R ，集合M ={x |x 2−2x−3≤0}和N ={x|x =2k−1,k =1,2,⋯}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个2.若m,n 是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若m ⊂β,α⊥β，则m ⊥α B. 若α⊥γ,α⊥β，则β//γC. 若m ⊥β,m//α，则α⊥βD. 若m//α,n//α，则m//n3.设a =log 30.4,b =log 43,c =30.4，则( )A. a <c <bB. b <c <aC. a <b <cD. b <a <c4.已知函数f(x)的定义域为R.当x <0时，f(x)=x 3−1；当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)；当x >12时，f(x +12)=f(x−12).则f(6)=A. −2B. −1C. 0D. 25.定义在(−∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数ℎ(x )之和，如果f(x)=lg(10x +1)，x ∈(−∞,+∞)，那么( )A. g(x)=x ，ℎ(x)=lg(10x +10−x +2)B. g(x)=12[lg(10x +1)+x ]，ℎ(x)=12[lg(10x +1)−x ]C. g(x)=x2，ℎ(x)=lg(10x +1)−x2D. g(x)=−x2，ℎ(x)=lg(10x +1)+x26.设x 为实数，则“x <0”是“x +1x ≤−2”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个8.按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Aℎ)，放电时间t(单位：ℎ)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=I n⋅t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I=20A时，放电时间t=20ℎ；当放电电流I=30A时，放电时间t=10ℎ.则该蓄电池的Peukert常数n大约为()(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A. 43B. 53C. 83D. 29.已知定义在R上的函数y=f(x)满足：函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立(f′(x)是函数f(x)的导函数)，若a=(sinπ6)f(sinπ6)，b=(ln2)f(ln2)，c=2f(log1214)，则a，b，c的大小关系是( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b10.已知函数f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log a(x+1)+1,x≥0,(a>0，且a≠1)在(−∞,+∞)上单调递减，且函数g(x)= |f(x)|+x−2恰好有两个零点，则a的取值范围是( )A. [13,23]∪{34}B. [13,23)∪{34}C. (0,23]D. [23,34]二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

高三上学期数学开学测试卷一､单选题（每小题5分，共8小题，计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}=1,2,3,4,5,6,A B y y x A ==∈，则A B ⋂=（）A.{}1,2B.{}1,2,3C.{}1,3,5 D.{}1,2,3,4,5,62.已知()2xf x =，则()3f =（）A.8B.9C.2log 3D.3log 23.已知,a b ∈R .则“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知0a >，0b >，直线(1)10a x y -+-=和210x by ++=垂直，则21a b+的最小值为（）A.16B.8C.4D.25.()f x 是定义域在R 上的奇函数，若0x ≥时()22f x x x =+，则()2f -等于（）A.8B.4C.0D.-86.给出下列命题：①如果不同直线,m n 都平行于平面，则,m n 一定不相交；②如果不同直线,m n 都垂直于平面α，则,m n 一定平行；③如果平面,αβ互相平行，若直线m α⊂，直线n β⊂，则m n ∥；④如果平面,αβ互相垂直，且直线,m n 也互相垂直，若m α⊥，则n β⊥；其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()()22f x g x +-=，()()44f x g x --=，()20f -=，则()()20182024g g +=（）A.4- B.2- C.2D.48.已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.以上都不对二､多选题（每小题6分，共3小题，计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（）A.24a b +≥B.4a b +≥C.8ab ≥ D.2248a b +≥10.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()f x f x f x y f xy ⨯--=⎡⎤⎣⎦，当()(),00,x ∈-∞⋃+∞，时，()0f x ≠.下列结论正确的是（）A.1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭ B.()101f =C.()f x 是奇函数D.()f x 在R 上单调递增11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 满足()11101A F A B λλ=≤≤，则（）A.当0λ=时，1AC ⊥平面BDFB.任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE -的体积是定值C.存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D.当23λ=时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19三､填空题（每小题5分，共3小题，计15分）12.函数()||3x f x x =-的定义域为___________.13.已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为4π2cm 的球面上.如果该四棱柱的底面边长为1cm ，则其侧棱长为___________cm .14.已知函数(2)1(1)()(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意的12x x <，都有()()12f x f x <恒成立，那么实数a 的取值范围是___________.四､解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合{|A x y ==，{}22|60B x x ax a =--<，其中0a ≥.（1）当1a =时，求集合A B ⋃，()A B ⋂R ð；（2）若()A B B ⋂=R ð，求实数a 的取值范围.16.已知()y f x =（x ∈R ）是偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()f x mx ≥在12x ≤≤时都成立，求m 的取值范围.17.（2016年苏州19）设函数()1f x x x m =-+.（1）当2m =-时，解关于x 的不等式()0f x >；（2）当1m >时，求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值.18.已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+.（1）若2a =，求函数()f x 在区间(1,2)-上的值域；（2）若函数()f x 在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥侧面PAB ，F 为BD 中点，E 是PA 上的点，2PA PD ==，PA PD ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若二面角E DF A --的余弦值为31111，求E 到平面PBC 的距离.参考答案及解析一､单选题（每小题5分，共8小题，计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】A【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可求出.【详解】{}=1,2,3,4,5,6A ，{}{B y y x A ∴==∈=，{}1,2A B ∴⋂=.故答案为：A.2.【答案】C【分析】根据指数､对数运算以及函数的概念求得正确答案.【详解】令23x =，可得2log 3x =，则()23log 3f =.故选：C 3.【答案】A【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当0a >且0b >时，0,0a b b a >>，所以2a b b a +≥=，当且仅当a b b a =，即a b =时取等号，所以由0a >且0b >可以得出2a b ba+≥，显然，当2a b ==-，有2a b ba+≥成立，但得不出0a >且0b >，所以“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的充分而不必要条件，故选：A.4.【答案】B【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得21a b +=，再利用基本不等式，求得21a b+的最小值.【详解】0a > ，0b >，直线1:(1)10l a x y -+-=，2:210l x by ++=，且12l l ⊥，(1)1120a b ∴-⨯+⨯=，即21a b +=.则212424224448a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥++=，当且仅当122a b ==时，等号成立，故21a b+的最小值为8，故选：B.5.【答案】D【分析】根据函数是奇函数得到()()22f f -=-，再将2代入函数解析式得到函数值.【详解】根据函数是奇函数得到()()22f f -=-，由0x ≥时()22f x x x =+可得到()()()28.228.f f f =-=-=-故答案为D.【点睛】这个题目考查的是函数奇偶性的应用，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证()f x 和()f x -的关系.6.【答案】A【分析】根据已知线面､面面的位置关系，结合平面基本性质及空间想象，即可判断各项正误.【详解】①如果不同直线,m n 都平行于平面α，则,m n 相交､平行或异面，错误；②如果不同直线,m n 都垂直于平面α，则由线面垂直的性质定理得,m n 一定平行，正确；③如果平面,αβ互相平行，若直线m α⊂，直线n β⊂，则,m n 相交､平行或异面，错误；④如果平面,αβ互相垂直，且直线,m n 也互相垂直，若m α⊥，则n 与β相交或平行，错误.故选：A 7.【答案】B【分析】已知条件可求得2())6(g x g x +-=-，代入2024计算即可.【详解】2()(2)f x g x +-=，以4x -代x ，有2()46)(f x g x -+-=，又4(()4)f x g x --=，得2(()6)g x g x -+=-，所以()()()()201820242024620242g g g g +=-+=-.故选：B.8.【答案】C【解析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案.【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈，∴224()3[1,2]f x x x =-∈+.当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<；当0k =时，()2g x =.满足题意.当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-.∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集.9.【答案】AD【分析】由基本不等式判断AD ，取1,2b a ==判断BC.【详解】由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a ba b a b b a b a⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正确；取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；因为22a b ab +=≥，所以2ab （当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确；故选：AD 10.【答案】ACD【分析】利用赋值法得到()()f x f x =--，由此判断出()f x 的奇偶性.利用赋值法求得()()0,1f f ，进而求得()110,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭，根据函数单调性的定义，计算()()12f x f x -的符号来判断函数()f x 的单调性.【详解】令0x y ==，可得()00f =.令1x y ==，可得()()2[1]1f f =.因为当0x >时，()0f x ≠，所以()11f =.令x y =，可得()()22[]0f x f x =≥.因为20x ≥，所以当0x ≥时，()0f x ≥.又因为当0x >时，()0f x ≠，所以当0x >时，()0f x >.令1y =，可得()()()()1f x f x f x f x ⨯--=⎡⎤⎣⎦，①所以()()()()11,11f x f x f x f x --=+-=，两式相加可得()()112f x f x +--=.令1y =-，可得()()()()1f x f x f x f x ⨯-+=-⎡⎤⎣⎦.②①-②可得()()()()()11f x f x f x f x f x ⨯+--=--⎡⎤⎣⎦，化简可得()()f x f x =--，所以()f x 是奇函数，C 正确.由()()11f x f x --=，可得：()()()()()()()2112,3213,4314,,1010f f f f f f f =+==+==+== ，B 错误.由()()()()11f x f x f x f x +-=⎧⎪⎨=--⎪⎩可得111221122f f ff ⎧⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 正确.令112,x x y x x ==-，可得()()()()()112121f x x x f x f x f x --=.令210x x <<，则()121120,0x x x x x ->->.因为当0x >时，()0f x >，所以()()()11120,0f x f x x x >->，所以()()()()()1121210f x x x f x f x f x --=>，即()()12f x f x >，所以()f x 在(0,)∞+上单调递增.因为()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数12,x x ，且12x x <，然后通过计算()()12f x f x -的符号，如果()()120f x f x -<，则()f x 在给定区间内单调递增；如果()()120f x f x ->，则()f x 在给定区间内单调递减.11.【答案】ACD【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A ，0λ=时，F 与1A 重合，故只需验证1AC ⊥面1BDA 是否成立即可，对于B ，由11A B 不与平面BDE 平行，即点F 到面BDE 的距离不为定值，由此即可推翻B ，对于C ，考虑两种极端情况的线面角，由于F 是连续变化的，故AC 与平面BDF 所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D ，求出平面BDF 的法向量，而显然球心坐标为()1,1,1O ，求出球心到平面BDF 的距离，然后结合球的半径､勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.【详解】如图所示建系，()()()()()110,0,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2D B A A C，所以()()()112,2,0,2,0,2,2,2,2DB DA AC ===-，从而111440,440AC DB AC DA ⋅=-+=⋅=-+=，所以111,AC DB AC DA ⊥⊥，又11,,DB DA D DB DA ⋂=⊂面1BDA ，所以1AC ⊥面1BDA ，0λ=时，F 与1A 重合，平面BDF 为平面1BDA ，因为1AC ⊥面1BDA ，1AC ∴⊥平面BDF ，A 对.11A B 不与平面BDE 平行，F ∴到面BDE 的距离不为定值，∴三棱锥F BDE -的体积不为定值，B 错.设面1BDA 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111111220220n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，解得111,1y z =-=-，即可取()11,1,1n =--，而()2,2,0AC =-，所以AC 与平面BDF所成角的正弦值为111cos ,3AC n AC n AC n ⋅===⋅ ，又()()12,2,0,0,0,2BD BB =--=，所以1440,0AC BD AC BB ⋅=-=⋅=，所以1,AC BD AC BB ⊥⊥，又11,,BD BB B BD BB ⋂=⊂面1DBB ，所以AC ⊥面1DBB ，当F 在1A 时，AC 与平面BDF 所成角的正弦值为6332<，此时AC 与平面BDF 所成角小于π3，当F 在1B 时，AC 与平面BDF 所成角为ππ23>，所以存在[]0,1λ∈使AC 与平面BDF 所成角为π3，C 正确.()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2D B F λ，设平面BDF 的法向量为()0220,,,,22200n DB x y n x y z x y z n DF λ⎧⋅=+=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ ，不妨设1x =，则()()1,1,1,1,1,2,2,0y z n AC λλ=-=-=--=-.23λ=，则42,,23F ⎛⎫⎪⎝⎭，平面BDF 的法向量11,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，显然球心()1,1,1O ，O 到面BDF的距离1919OD n d n ⋅===，外接球半径4442R ==∴截面圆半径的平方为2225619r R d =-=，所以256ππ19S r ==，D 对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是利用向量法求出球心到截面BDF 的距离，由此即可顺利得解.12.【答案】[)()2,33,⋃+∞【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.【详解】()||3x f x x =-的定义域满足20x -≥且||30x -≠，解得2x ≥且3x ≠.故答案为：[)()2,33,∞⋃+13.【分析】根据已知四棱柱结构特征确定外接球球心位置，结合球体表面积公式确定球体半径，进而求侧棱长.【详解】四棱柱底面是正方形，侧棱垂直于底面，此四棱柱外接球的球心为体对角线的中点，因为球的表面积为4π2cm ，所以球的半径为1cm ，故体对角线长为2cm ，设侧棱长为h2h =⇒=cm .14.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】∵函数()f x 满足对任意12x x <，都有()()12f x f x <成立，∴函数()f x 在定义域上是增函数，则满足202311222132a a a a a a a a ⎧⎧⎪⎪-><⎪⎪>∴>∴≤<⎨⎨⎪⎪-+≤⎪⎪≥⎩⎩，故答案为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.15.【答案】（1）[)()3,3,()1,3A B A B ⋃=-⋂=R ð（2）0a =【分析】（1）先求集合B ，再根据交集､并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数a 的取值范围.【详解】（1）{()(){}[]||3103,1A x y x x x ===+-≥=-当1a =时，{}{}()222|60|602,3B x x ax a x x x =--<=--<=-，所以[)3,3,A B ⋃=-因为()()(),31,A =-∞-⋃+∞R ð，所以()()1,3A B ⋂=R ð（2）因为()A B B ⋂=R ð，所以B A ⊆R ð，当B =∅时，0a =，满足条件，{}()220|602,3a B x x ax a a a >=--<=-当时，不满足条件，因此0a =.【点睛】防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.16.【答案】（1）f （x ）=222,02,0x x x x x x ⎧-≥⎨+<⎩（2）1m ≤-【详解】试题分析：已知函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见考试题，函数()f x 为偶函数，求0x <的解析式，利用0,()()x f x f x ->=-去求；解决不等式恒成立问题首选方法是分离参数借助极值原理去解决，本题注意到x 的范围，由于x 为正，所以分离参数时，不等号的方向不变，再求最值，最后的处m 的取值范围试题解析：（1）设0x <时，则0x ->，()f x 为偶函数，()()()22()22f x f x x x x x ∴=-=---=+.()2220;2,0x xx f x x x x ⎧-≥∴=⎨+<⎩（2）由题意得22x x mx -在12x 时都成立，即2x m -在12x 时都成立，即2m x -在12x 时都成立，当12x 时，min (2)1x -=-，则1m -.【点睛】函数的奇偶性常见问题（1）利用函数的奇偶性求值，（2）利用函数的奇偶性分析函数的图象，借助单调性解不等式，（3）利用函数的奇偶性求函数的解析式；解决不等式恒成立问题首选方法是分离参数借助极值原理去解决，当然也有很多恒成立问题需要对参数进行讨论才能解决.17.【答案】（1）(2,)+∞（2）2max 12,2()112,142m m f x m m ⎧+≥⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩【详解】（1）借助绝对值的定义运用分类整合的数学思想将问题转化为求两个二次不等式的解集，最后再求其并集；（2）依据题设条件先运用分类整合思想求出函数的解析式，再分别借助二次函数的图像和性质求二次函数的最大值问题：解：（1）当1x >时，()220f x x x =-->，解得2x >或1x <-，所以2x >当1x ≤时，()220f x x x =-->，得x 无实数解，综上所述，关于x 的不等式()0f x >的解集为()2,+∞.（2）当[]0,1x ∈时，()()1f x x x m =-+221124x x m x m ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，当12x =时，()max 14f x m =+.当(]1,x m ∈时，()()1f x x x m =-+=221124x x m x m ⎛⎫-+=-+- ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =在(]1,m 上单调递增，所以()()2max f x f m m ==.由214m m ≥+，得2104m m --≥，又1m >，所以122m ≥.所以()2max 12,21,1142m m f x m m +⎧≥⎪=⎨+⎪<<⎩.18.【答案】（1）[]2,14-（2）1a =5a =+.【分析】（1）把a 的值代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的单调性，进而可以求解，（23，解出来a 的值，进而可以求解.【小问1详解】若2a =，则22()4824(1)2f x x x x =-+=--，对称轴为1x =，函数()f x 在区间[1-，1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以()min ()12f x f ==-，max ()(1)14f x f =-=；所以()f x 的值域为[]2,14-【小问2详解】2()4(222a f x x a =--+，对称轴为2a x =，①当02a ≤，即0a ≤时，函数()f x 在[0，2]上是增函数.2min ()(0)22f x f a a ∴==-+，由2223a a -+=，得1a =±.0a ≤ ，1a ∴=②当022a <<，即04a <<时，min ()()222a f x f a ==-+.由223a -+=，得1(0,4)2a =-∉，舍去.③当22a ≥，即4a ≥时，函数()f x 在[0，2]上是减函数，()min ()2f x f =21018a a =-+.由210183a a -+=，得5a =±.4a ≥，5a ∴=+，综上所述，1a =-5a =+.19.【答案】（1）证明见解析（2）105【分析】（1）由面面垂直和线面垂直性质可得PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定方法可证得结论；（2）取AD 中点O ，结合面面垂直性质可知,,OF AD OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()01AE AP λλ=≤≤ ，根据二面角的向量求法可构造方程求得λ的值，进而根据点面距离的向量求法求得结果.【小问1详解】平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，PA PD ⊥，PD ⊂平面PAD ，PD ∴⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，PD AB ∴⊥；四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥，PD AD D = ，,PD AD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂ 平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取AD 中点O ，连接,OP OF ，PA PD = ，O 为AD 中点，OP AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，OP ∴⊥平面ABCD ，,O F 分别为,AD BD 中点，//OF AB ∴，又AB AD ⊥，OF AD ∴⊥；以O 为坐标原点，,,OA OF OP 正方向为,,x y z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，2PA PD == ，PA PD ⊥，AD ∴=，12OP AD ==()D ∴，)A，(P，)B，()C，()F，)DF ∴=，PB =，()BC =-，(AP =，()DA = ，设()01AE AP λλ=≤≤，则()AE =，()DE DA AE ∴=+= ，设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，则()00DE n x z DF n λ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令x λ=，解得：y λ=-，2z λ=-，(),,2n λλλ∴=-- ；z 轴⊥平面ADF ，∴平面ADF 的一个法向量()0,0,1m = ，311cos ,11m n m n m n ⋅∴==⋅ ，解得：1λ=-（舍）或12λ=，22,0,22AE ⎛∴=- ⎪⎝⎭ ，22,0,22EP AP AE ⎛∴=-=- ⎪⎝⎭；设平面PBC 的法向量(),,t a b c= ，则00PB t BC t ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1b =，解得：0a =，2c =，()0,1,2t ∴= ，∴点E 到平面PBC的距离105EP t d t ⋅=== .。

松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合，则______．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______．3．在的展开式中，的系数为______．4．双曲线的两条渐近线的夹角为______．5．已知向量，且，则______．6．函数在上可导，若，则______．7．已知随机变量的分布为，且，若，则实数______．8．正方体的棱长为2，P 为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______．9．已知集合，设函数的值域为，若，则实数的取值范围为______．10．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为______．11．如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为______．{}{}1,0,1,2,03A B x x =-=<<A B = z ()1,2i z ⋅=)52-2x 2213x y -=()()21,2,,2a b x =-= 3cos ,5a b 〈〉= x =()f x R ()23f '=()()Δ023Δ2ΔlimΔx f x f x x→+--=X 123111236⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3Y aX =+[]2E Y =-a =1111ABCD A B C D -1CC 1BPD △1BD 21,2A xx x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R ()12log ,y x a x A =+∈B B A ⊆a12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,M N 12F M F N ∥221::1:2:3F N F M F M =C12．已知都是平面向量，且，若，则的最小值为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“”是“直线与直线垂直”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）A ．若平行于同一平面，则与可能异面B ．若不平行，则在内不存在与平行的直线C ．若不平行，则与不可能垂直于同一平面D ．若垂直于同一平面，则与可能相交15．在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则为（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形16．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。

2024-2025学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足z +−z =4，且z−−z =2i ，则|z|=( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 52.已知集合A ={x|2<x <4}，B ={x||x−4|>1}，则A ∩(∁R B)=( )A. (2,3)B. (3,4)C. [3,4)D. (−∞,4)∪(5,+∞)3.已知向量a ，b ，满足|a +2b |=2 7，|a |=2，|b |= 3，则向量a 与b 的夹角为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π64.已知函数f(x)=2x2−ax−1，在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围为( )A. (0,2] B. (−∞,2] C. (2,4)D. [4,+∞)5.已知α，β为锐角，且cosα=35，sin (α−β)=513，则cosβ=( )A. −1665B. 5665C. 1665D. −56656.设四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的上、下底面积分别为S 1，S 2，侧面积为S ，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则( )A. S 2=S 1S 2B. S =S 1+S 2C. S =2 S 1S 2D. S = S 1+ S 27.如图，将绘有函数f (x )=M sin (π3x +φ)(M >0,0<φ<π)部分图像的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A,B 之间的距离为 15，则φ=( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.已知f(x)=2x +2−x +cosx +x 2，若a =f(4lnπ3)，b =f(πln 43)，c =f(4ln 3π)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c二、多选题：本题共3小题，共15分。

陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知正数,a b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ）A ．24a b +³B ．4a b +³C ．2ab ³D ．2248a b +³四、解答题(1)证明：AD ^平面BOP ；(2)若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角18．已知椭圆(2222:1x y E a a b +=(1)若椭圆E过点()2,2，求椭圆又由圆M 可化为22(1)x y -+=根据椭圆的定义，可得1PF +∣因为1PH QF ^，可得H 为1Q F 又因为O为12F F 的中点，可得故选：C.．C（2）Q圆锥PO的侧面积3π18π,S PA=´由（1）可知，()3,3,0AD=-uuu r为平面设平面ABP的法向量为(),,m a b c=r故30m BA aì×==ïíuuu rruuu rr，所以m 的取值范围[)e,+¥.【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化：函数()()y f x g x =-的零点个数Û方程()()0f x g x -=的根的个数Û函数y =f (x )与y =g (x )图象的交点的个数；另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若()(),,x a b m f x "γ恒成立，只需()max m f x ³，()(),,x a b m f x "Σ恒成立，只需()min m f x £.。

D 若 ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若随机变量 ，且 ，则 ________.
14.二项式 展开式的常数项是__________.
15.已知函数 满足 ，若 在其定义域内单调递减，则正实数m的取值范围为_________.
16.已知函数 定义域为 ， ，且满足 ，其中 为 的导函数，若不等式 恒成立，则正实数 的最小值为_________.
（1）求 的单调区间；
（2）对任意实数 均有 成立，求实数 的取值范围.
20.甲、乙两人轮流投篮，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投球 次时投篮结束，其中 为给定正整数.设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，且各次投篮互不影响.
（1）当 时，求甲获胜的概率；
（2）设投篮结束时甲恰好投篮 次，求 的数学期望 .（答案用含 的最简式子表示）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 的真子集个数为（）
A.7B.8C.15D.16
2.已知符号函数 则“ ”是“ ”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.已知函数 ，则 （）
A. D.6
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知正方体 的棱长为2，设 分别为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 平面角的余弦值.
18.设等差数列 的前 项之和为 ，且满足： .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求证： .
19.已知 、 分别为定义域为 的偶函数和奇函数，且 .
21.已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，设 为坐标原点，线段 的中点为 ，且满足 .

高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“()1,14a a a ∀∈-≤R ”的否定是（ ） A ．()1,14a a a ∀∈->R B ．()1,14a a a ∃∈-≤R C ．()1,14a a a ∀∉-≤RD ．()1,14a a a ∃∈->R2．双曲线()22440x y a a -=≠的渐近线方程为（ ） A ．y x =±B ．2y x =±C ．y a x =±D ．y ax =±3．若21x +可分解因式为()()12x z x z --，且()12i 0z z ->，则复数121z z +的虚部为（ ） A ．1 B ．12C ．1-D ．12-4．已知函数()12f x x x =--+，则下列函数为奇函数的是（ ） A ．()11y f x =++ B ．()11y f x =-+ C ．()11y f x =+-D ．()11y f x =--5．已知O 是ABC △所在平面内一点，且2AO OB OC =+，若AO AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．23B ．13C ．12D ．146．已知异面直线a 与b 所成的角为π,3a 与c 所成的角为π2，则b 与c 所成角的范围是（ ）A ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．如图，,A B 和,C D 分别为函数()()sin (0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD 的面积为2π，直线AD 过点5π,012⎫⎛-⎪⎝⎭，则2π3f ⎫⎛= ⎪⎝⎭（ ）A ．22-B ．22C ．32-D ．328．已知()f x 为R 上的减函数，设函数()()(),0,,0,f x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩则满足不等式()()4g m g m ->的m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()(),11,-∞+∞ D ．()(),22,-∞+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．2023年央视主持人大赛，在某场比赛中，17位专业评审为某参赛者的打分分别为94.2，94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，98.6，记该组数据为M ，去掉一个最高分和一个最低分后余下的数据记为N ，且N 组数据的平均分为97.0，则（ ） A ．M 组与N 组数据的极差相等 B ．M 组与N 组数据的中位数相等C ．M 组数据的平均数小于N 组数据的平均数D ．M 组数据的70%分位数小于N 组数据的80%分位数10．如图，球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的六个面都相切，,,P Q R 分别为棱111,,AA BC C D 的中点，G 为正方形11BCC B 的中心，则（ ）A ．球O 与该正方体的体积之比为π3 B ．球O 与该正方体的表面积之比为π6C ．直线PQ 被球O 2D ．过,,A R G 三点的正方体的截面与球O 的球面的交线长为π 11．已知22:(2)4C x y -+=，直线:2,l x O =为原点，点P 在C 上，直线OP 与l 交于点,Q R 在直线OP 上，且PQ OR =，点R 的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线E ，其中l 是E 的渐近线，如图所示．设()00,M x y 是E 上一点，则（ ）A ．022x -≤<B ．存在异于原点O 的点M ，使得M 关于点O 的对称点仍在E 上C ．若M 在第二象限，则0y 3D ．若M 在第一象限，则直线OM 的斜率大于02e x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．29tan 18π⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值是____________．13．已知椭圆22:143x y C +=的上顶点为A ，左焦点为1F ，线段1AF 的中垂线与C 交于,M N 两点，则AMN △的周长为____________．14．有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记k A =“取了k 次球后停止取球”()1,2,3,k =，则()1P A =____________；()4P A =____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 23sin 2cos 2Aa C c =． （1）求A ；（2）若2,3a b c =+=，求ABC △的面积S ． 16．（本小题满分15分）如图，在六棱锥P ABCDEF -中，底面ABCDEF 是边长为1的正六边形，PA AB =，平面PAF ⊥平面ABCDEF ，平面PAB ⊥平面ABCDEF ．（1）证明：PA CD ⊥；（2）求二面角C PF A --的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数()()()2()20f x a x a x a a =-+-≠．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在x a =处有极小值，求a 的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为,l O 为坐标原点，G 是C 上一点，且G 到l 的距离为4,p OFG △7．（1）求C 的方程；（2）已知过点F 且不与坐标轴垂直的直线与C 交于,A B 两点． （ⅰ）设直线,OA OB 分别与l 交于点,M N ，证明：AN BM ∥；（ⅱ）设l 与x 轴的交点为K ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于Q 点，则,,,A Q B K 四点是否在同一个圆上？并说明理由．19．（本小题满分17分） 设集合(){}()**,,,,,k A m n k m n k m n k m n k =<<+≥∈∈N N ，记kA 中元素的个数为ka，数列{}k a 的前k项和为k S ．（1）求4S 的值；（2）当4k ≥时，从k A 中随机取出一个元素(),,m n k ，求以,,m n k 为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率； （3）求k S ．参考公式：()()222211231216n n n n ++++=++．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，其图像关于点（0，0）对称，则f(x)的零点个数为：A. 1个B. 2个C. 3个D. 无法确定2. 在等差数列{an}中，若a1 + a3 + a5 = 9，a2 + a4 + a6 = 15，则数列{an}的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 设集合A = {x | x^2 - 5x + 6 < 0}，集合B = {x | 2x - 1 > 0}，则集合A 与集合B的交集为：A. {x | 2 < x < 3}B. {x | 1 < x < 3}C. {x | 2 < x < 5}D. {x | 1 < x < 5}4. 若向量a = (2, -3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/55. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列哪个选项是正确的？A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c < 0C. a < 0, b < 0, c > 0D. a < 0, b > 0, c > 06. 在三角形ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为：A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 17. 已知函数y = log2(x - 1) + 3，则函数的定义域为：A. (1, +∞)B. (-∞, 1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)8. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y = x的对称点Q的坐标为：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 若等比数列{an}的公比q > 1，且a1 = 2，则数列{an}的前n项和S_n的最大值为：A. 2^nB. 2^n - 1C. 2^n + 1D. 2^n + 210. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z位于：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极值，则a、b、c应满足的条件是__________。

西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试高三数学（范围：集合与不等式、函数、导数）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若正数满足，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．64．吹气球时，气球的半径（单位：与体积（里位：之间的函数关系是时，气球的膨胀率（即气球每增大单位体积时半径的增加量）为（ ）A．B ．C ．1D ．5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，，则D ．若，，则7．已知函数，若均不相等且，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．{}240A x x =--≤∣A N ⋂={}0{}0,1{}0,1,2{}1,2()()01f x x =-[]3,3-[]3,1)(1,3-⋃()3,3-()()3,11,3-⋃,x y 220x xy -+=x y +r )dm V )L ()r V =V =166π12[]1,2x ∃∈-213022x x a +--≥0a ≤1a ≤2a ≤3a ≤ab >22ac bc >a b >22a b >0a b >>0m >b m ba m a+<+15a -<<23b <<43a b -<-<()lg |,01013,105x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩a b c 、、()()()f a f b f c ==abc ()1,10()5,6()10,15()20,248．设，，，则的大小顺序为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9．已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知，，，则下列说法正确的是（ ）A ．的最大值为B ．的最小值为C ．的最小值为20D ．的最小值为11．已知函数，的定义域均为为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知奇函数在定义域上是减函数，且则的取值范围为______．13．已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．14．定义在上的函数满足，，若，则______，______．四、解答题（本题共5小题，共77分。