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学科数学年级/册高一必修④教材版本人教A版课题名称第一章第4节三角函数的诱导公式难点名称三角函数的诱导公式的推导难点分析从知识角度分析为什么难由实例引出推导三角函数的必要性，通过从特殊到一般，找到角的终边的对称关系。
从学生角度分析为什么难从实例找与30°角终边不同而正弦值相等的角出发，通过角间关系—角的终边关系—点的坐标关系—三角函数值的关系难点教学方法通过知识回顾，引导学生发现规律，启发式教学教学环节教学过程导入一、知识回顾问题1：求390°的正弦、余弦值，你有哪些方法？同学们可以拿出草稿纸写一写，画一画方法1：任意角三角函数的定义如图，由任意角三角函数的定义得：0013sin390,cos39022y===方法2：由诱导公式一得：00001sin390sin(36030)sin302=+==00003cos390cos(36030)cos302=+==为什么可以这样求？终边相同的角同名三角函数值相等，sin(2)sincos(2)costan(2)tankkkαπααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=k Z∈知识讲解（难点突破）问：有了这组公式有什么好处？可以把求任意角的三角函数，诱导到求0到2π（或000360）角的三角函数。
这个公式叫三角函数的诱导公式。
（书写课题）000360的范围感觉还是太大，不太熟悉，能否转化为锐角呢？二、新知探究再来考察这组公式，如果两个角的终边相同，那么它们同名三角函数值相等。
反过来，如果两个角的同名三角函数值相等，它们的终边一定相同吗？我们还是从一个具体的问题开始：问题2：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？思路：由任意角三角函数的定义得：sin yα=，要找出和30°角正弦值相等的角，只需在单位圆上找一点使它的纵坐标和30°角的终边与单位圆的交点的纵坐标相同即可。
如图，作P点关于y轴的对称点交单位圆于点1P，连接1OP，即为150°角的终边。
1.3 三角函数的诱导公式（名师：杨峻峰）一、教学目标（一）核心素养从对称性出发，获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.（二）学习目标1. 牢固掌握五组诱导公式.2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明.3. 通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力、分析归纳能力.4.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想.（三）学习重点熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明.（四）学习难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识，诱导公式的推导、记忆及符号判断.二、教学设计（一）课前设计1. 阅读教材第23页至第27页，填空：（1）如图，πα+的终边与角α的终边关于 原点 对称；（2）如图，α-的终边与角α的终边关于 x 轴 对称；（3）如图，πα-的终边与角α的终边关于 y 轴 对称；（4）如图，2πα-的终边与角α的终边关于 直线y ＝x 对称；（5）诱导公式：公式二：()sin πα+=sin α-，()cos πα+=cos α-，()tan πα+=tan α； 公式三：()sin α-=sin α-，()cos α-=cos α，()tan α-=tan α-； 公式四：()sin πα-=sin α，()cos πα-=cos α-，()tan πα-=tan α-； 公式五：sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin α； 公式六：sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin α-． 2．预习自测1.下列选项错误的是（ ）A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.B.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.C. sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.D.若α为第四象限角，则sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 答案：C.（二）课堂设计1．知识回顾。
高中的数学诱导公式教案
教学目标：
1. 掌握数学诱导公式的基本概念和使用方法；
2. 提高学生的逻辑思维能力和数学推理能力；
3. 培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：
1. 数学诱导公式的概念；
2. 数学诱导公式的应用。
教学难点：
1. 能够熟练运用数学诱导公式解决具体问题；
2. 能够灵活运用数学诱导公式进行数学推导。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过提出一个数学问题引导学生思考，引入数学诱导公式的概念，激发学生的学习兴趣。
二、讲解（15分钟）
1. 带领学生了解数学诱导公式的定义和作用；
2. 讲解数学诱导公式的基本原理和推导方法；
3. 举例说明数学诱导公式在实际问题中的应用。
三、练习（20分钟）
1. 带领学生进行数学诱导公式的练习，巩固学习成果；
2. 设计有趣的练习题目，提高学生的解决问题能力。
四、拓展（10分钟）
带领学生进行一些拓展练习，拓展数学诱导公式的应用领域，培养学生的数学创新能力。
五、总结（5分钟）
教师对本节课的教学内容进行总结，帮助学生理清思路，巩固所学知识。
六、作业布置（5分钟）
布置相关练习作业，提高认识学生独立解决问题的能力，激发学生的主动学习兴趣。
教学反馈：
通过课堂练习以及作业的批改，及时反馈学生的学习情况，帮助学生更好地掌握数学诱导公式的知识。
普通高中课程标准实验教科书必修4 第一章第三节.§1.3 三角函数的诱导公式（第一课时）授课人：胡永刚授课对象：高一学生【教材分析】本节课位于数学必修4 第一章第三节——三角函数的诱导公式。
本节主要学习三角函数的诱导公式，并利用公式进行运算。
诱导公式是三角函数运算的重要工具。
从知识网络结构上看，三角函数的诱导公式是单位圆上任意角的三角函数的延续和拓展，也是三角函数运算的基础。
在研究和解决各种三角问题时，诱导公式都有其广泛应用。
其中，诱导公式的推导过程包含有诸多数学思想。
对于进一步探究三角函数的其他性质有很大帮助。
【教学目标】㈠知识与技能①从π±α，-α，π/2-α的图像出发，直观地认识三角函数的一些性质。
②从三角函数定义出发，完成对公式二～四的推导。
③利用公式二～四运算一些简单或复杂的三角函数㈡过程与方法通过观察π±α，-α，π/2-α的终边与任意角α的终边的对称关系，形成对三角函数性质的直观认识，再通过单位圆上任意角的三角函数定义，导出所有诱导公式。
从图形到数学语言，将″数″与″形″进行有机结合，得出三角函数的诱导公式的推导。
能让学生更快﹑更好地掌握诱导公式。
㈢情感态度与价值观学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从未知到已知，从感性到理性的探究过程，体验数学公式的推导过程。
培养了学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
【教学重难点】教学重点：诱导公式的推导以及诱导公式的应用教学难点：诱导公式的推导和化归思想的应用。
诱导公式的推导既是难点又是重点，因为它体现了较强的数形结合思想的应用，同时，化归思想在诱导公式的应用中复杂多变，这也增加了学习难度。
【教法学法】教法：启发探究、问题推动基于学生认知水平，学生就图像的对称性的发现并不感到困难，但困难在于怎样利用三角函数定义和对称性去推导一个个诱导公式，并用精确的数学语言描述出来，这里就需要老师以问题形式推动，引导学生积极动脑，主动参与知识的探究活动。
《三角函数的诱导公式(第一课时)》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质．前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数值的定义，在此基础上，继续学习这三组公式，为以后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等打好基础，它体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，诱导公式在本章中起着承上起下的作用．诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求[ 0~2 ) 角的三角函数值问题．诱导公式的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到普通的数学归纳思维形式．这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义．利用三角函数的定义借助单位圆，特殊是观察角的终边的对称性与角的终边上与单位圆的交点的对称性，推导出诱导公式．相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识．(1)学习内容分析：本节课基于任意角的三角函数值定义和诱导公式一的基础上，进一步学习三角函数的诱导公式，使学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法.(2) 学生情况分析：学生理解和掌握了任意角的三角函数值的定义，并学习了诱导公式一，对诱导公式的结构特征有了初步的认识.同时学生比较熟悉几何图形的对称性，具备一定的看图实图能力，但还不能够把单位圆的性质与三角函数联系起来，对于数形结合与归纳转化推导公式的思想方法还需要加强训练.根据《普通高中新课程标准》的要求和教学内容的结构特征，依据学生的心理规律和素质教育的要求，结合学生的认知水平，制定本节课的教学目标如下：(1)知识与技能目标：通过本小节的学习要使学生理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题；(2)过程与方法目标：借助单位圆中的对称关系，启示学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力；(3)情感与价值观目标：让学生在分析问题，解决问题的过程中体验成功的欢跃，培养学生的自信心．根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，采用以下教法与学法指导：(1)教法：本节课涉及到的公式比较多，为使学生有效掌握和运用公式，我采用教师引导、学生自主探索的教学方法；(2)学法：指导学生通过公式的推导过程，体味数形结合思想、转化与化归的思想. 通过解题分析，对学生进行公式运用与记忆的指导.(3)教学手段：教学中采用多媒体演示，增强教学直观性．本节课的教学过程设计以新课标为依据，遵循教师为主导、学生为主体的原则．如何将的三角函数求值转化为[0~2)角三角函数求值问题？【问题 1】求9角的正弦、余弦、正切值．4【回顾】终边相同的角的同一三角函数值相等，即：sin(+ 2k ) = sincos(+ 2k ) = cos (公式一)tan(+ 2k ) = tan，其中(k = z)公式一的用途：把求任意角的三角函数值转化为求[0~2)范围的角的三角函数值问题． 我们对 0~ "2))|范围内角的三角函数值很熟悉． 若把[0~2 " ) 内角的三角函数值转化为0~ "2))| 的三角函数值，那末任意角的三角函数值就可以求出，这就是我们这节课要解决的问题．【问题 2】角 a 与a +2k " (k = z) 的三角函数值为什么相等呢？(让学生回到定义去解决问题)【回顾】【思量】两个角的终边还有哪些特殊的对称关系？1)终边相同2)终边关于原点对称 3)终边关于 x 轴对称4)终边关于 y 轴对称【设计意图】 复习旧知，提出问题，调动学生探索问题的积极性．三角函数的值是由角 的终边的位置决定的，因此考虑从终边的位置关系提出问题，通过思量问题、解决问题 的过程，让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的 特定位置关系转化为三角函数值之间的关系．a 与a + 2k " (k = z) (角之间的数量关系)终边位置相同 (形的关系)终边上(对应)点的坐标(数量关系)三角函数值间的关系(数量关系)【】如何利用已学知识推导出角几 + α 与角α 的三角函数之间的关系．1)角α 与角几 +α 的终边具有什么样的位置关系?2)相应地，角α 与角几 +α 的终边上点P,P ,的坐标具有什么关系? 3) (进而有)角α 与角几 +α 的三角函数值有什么关系?4)设 P(x, y) ，则 P ,(x, y) ，有三角函数的定义得：sin α = y; cos α = x;tan α = yxsin(几 +α ) = sin α得诱导公式二： cos(几 +α ) = cos αtan(几 +α ) = tan αsin(几 +α ) = y; cos(几 +α ) = x;tan(几 +α ) = yx进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系．【】类比公式二探索路线，利用对称推导出 α ， 几 α 与α 的三角函数值之间的关系．1)角 α 与角α 的终边有什么关系？三角函数值有何关系？yP(x, y)几+ ααox.yP(x, y)sin(α ) = sin ααcos(α ) = cos α (公式三) tan(α ) = tan αP (x, y)2)角几 α 与角α 的终边有什么关系？三角函数值有何关系？上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式．：α +2k .几(k z) ， α ，几 士 α 的三角函数值，等于α 的同名函数值，前面加之一个把α 看成时原函数值的符号．从两个角的终边关于原点对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题研究方法 普通化．利用公式求下列三角函数值:(1) cos 225 ； (2) sin11几3； (3) sin( 16几3)；(4) cos(2040 ).【】这是直接运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．让学生观察题目中的角的范围，对照公式找出哪个公式适合yP(x, y)几 ααxP(x, y)osin(几 α ) = sin αcos(几 α ) = cos α (公式四) tan(几 α ) = tan αxαo解决这个问题．利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数， 普通可按下列步骤进 行:用公式任意负角的 三角函数用公式一锐角 三角函数上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法．P27 练习 1、2 题请同学板演，展示学生的学习成果，暴露学生浮现的问题及时总 结、改正．这是直接运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．1)简述数学的化归思想：2)三个诱导公式的记忆： α3)三个诱导公式的作用4)求任意角的三角函数值的步骤为：引导学生对本课内容进行归纳小结，深刻领略诱导公式的实质与作用． 课本 P29 习题 1．3A 组 1，2；角 一 α 的终边与α 有什么关系？它们的三角函数值有何关系？2巩固本课所学内容，强化基本方法与技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质．课下探索为下节课推导诱导公式五、六做准备，同时也让学生尝试类比推导的 方法．任意正角的 三角函数0~2 的角的三角函数用公式 二或者四 三或者一(1)学生不能够很好地把单位圆的性质与三角函数联系起来，需要教师的引导；(2)通过师生共同探索得到公式二，并引导学生自主探索公式三、四，可以激发学生的学习热情，并体验尝试成功的欢跃；(3)课堂气氛活跃，突出学生的自主性与积极性，效果较好．(终边相同) 总结(终边关于原点对称)学生板演点评(终边关于 x 轴对称 )(终边关于 y 轴对称)。
高中数学教案：三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式（一）一、指导思想与理论依据数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。
所以，在教学中，不但要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。
所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。
所以本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。
在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。
二．教材分析三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教A 版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）．本节是第一课时, 教学内容为公式（二）、（三）、（四）. 教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）. 同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求. 为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位.三．学情分析本节课的授课对象是本校高一( 1)班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容.四．教学目标(1) . 基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；(2) . 水平训练目标：能准确使用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及实行简单的三角函数求值与化简；(3) . 创新素质目标：通过对公式的推导和使用，提升三角恒等变形的水平和渗透化归、数形结合的数学思想，提升学生分析问题、解决问题的水平；(4) . 个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，使用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观．五．教学重点和难点1. 教学重点理解并掌握诱导公式.2. 教学难点准确使用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式.六．教法学法以及预期效果分析“授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师, 我们不但要传授给学生数学知识, 更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这个目的, 要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究. 下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析.．教法数学教学是数学思维活动的教学，而不但仅是数学活动的结果，数学学习的目的不但仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提升人的思维品质.在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.2 .学法“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推动的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情. 如何能让学生水准的消化知识，提升学习热情是教者必须思考的问题.在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题共同探讨解决问题简单应用重现探索过程练习巩固.让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习.3. 预期效果本节课预期让学生能准确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.七．教学流程设计（一）创设情景1 .复习锐角300,450,60 0的三角函数值；。
教案教学目标一、知识与技能1．牢记诱导公式.2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．学法与教学用具学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板．教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(π2到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究新知1.诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？1（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标． （3）任意角α与180α+呢？结论：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,P x y P x y--，由正弦函数、余弦函数的定义可知： sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二：sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-．用弧度制可表示如下：sin(π-sin αα+=）；cos(π-cos αα+=）；tan(πtan αα+=）．2. 诱导公式三：思考：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-； （2）任意角α与α-的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=． 说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-．3. 诱导公式四： sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．2说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-． 用弧度制可表示如下：s i n (πs i n αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）．4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系．结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π2-α的终边与角α的终边关于直线y =x 对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有sin α=y ，cos α=x ；sin(π2-α) = x ， cos(π2-α) = y ． 从而得到诱导公式五：sin(π2-α) = cos α， cos(π2-α) = sin α．由于π2+α =π-(π2-α)，由公式四及五可得 公式六sin(π2+α) = cos α， cos(π2+α) =- sin α．公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式. 三、例题讲解3例1 求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-． 解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=sin(18060)sin 60=+=-32=-． （2）43π43πcos()cos 66-=7π7πcos(6π)cos66=+= ππcos(π)cos 66=+=-32=-． 例2 已知：tan 3α=，求2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-的值.解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例3 化简sin(π)sin(π)()sin(π)cos(π)n n n n n αααα++-∈+-Z ．解：①当2n k k =∈Z ，时， 原式sin(2π)sin(2π)2sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα++-==+-．②当21,n k k =+∈Z 时，原式sin[(21)π]sin[(21)π]2sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα+++-+==-++-+例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2πtan()3α-的值． 解：因为2πππ()33αα-=-+， 所以，2ππcos()cos[π()]33αα-=-+=πcos()3α-+＝-m .由于π2π63α<<所以42ππ032α<-<于是22π2πsin()1cos ()33αα-=--=21m -. 所以，2πsin()2π3tan()32πcos()3ααα--=-=m m 21-- 四、课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第29页习题1．3B 组第1、2题.。
三角函数的诱导公式一、教学目标：（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题；（3）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；（4）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学重点：用联系的观点发现并证明诱导公式．教学难点: 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．教学设想一．问题引入：角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。
求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα，ta n(α+2kπ) = tanα(k∈Z) 。
(公式一)二．尝试推导由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。
反过来呢？问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π-α) = sin α，cos(π-α) = - cos α，（公式二）tan(π-α) = - tan α。
因为与角α 终边关于y 轴对称是角π-α，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
于是，我们就得到了角π-α 与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。
三．自主探究问题：两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α 与角α 的终边关于x 轴对称，有：sin(-α) = -sin α，cos(-α) = cos α，（公式三）tan(-α) = -tan α。
高中数学必修四导学案1.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的诱导公式（小结）【学习目标】1.理解正弦、余弦和正切的诱导公式；2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；3.会解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.预习课本P23---26页，理解记忆下列公式【新知自学】知识梳理：公式一：公式二：公式三：公式四：记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；公式五：公式六：记忆方法：“正变余不变，符号看象限”；注意：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；感悟：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：(1)______________；(2)________________；(3)_______________对点练习：1.化简的结果是（）A．B．C．D．2.sin（－）=_______________3．若，则=________题型一：利用诱导公式求值例1.计算:.变式1.求值：题型二：利用诱导公式化简例2.化简：（）．变式2.化简：题型三：利用诱导公式证明三角恒等式例3.在△ABC中，求证:.变式3.在△ABC中，求证:【课堂小结】知识----方法---思想【当堂练习】1．求下列三角函数值：（1）；（2）；2.已知tanα=m，则3.若α是第三象限角，则=_________．4.化简【课时作业】1．设，且为第二象限角，则的值为（）A．B．－C．D．－2．化简：得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)3．下列三角函数值：①；②；③；④；⑤（其中）．其中函数值与的值相等的是（）A．①②B．①③④C．②③⑤D．①③⑤4.设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cosCB．sin（A+B）=sinCC．tan（A+B）=tanCD．sin=sin5.已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A.B.—C.D.—6.已知值7.已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，则的值是．8.若，则。
三角函数的诱导公式教材：在北师大版普通高中课程标准实验教科书必修4中，单位圆与正弦、余弦函数的内容约4课时，下面笔者从教学背景分析、教学设计分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面谈谈“三角函数的诱导公式”这节课的教学设计.一、教学背景分析（一）教材的地位和作用本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用.承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容.同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉，这些构成了学生的知识基础.诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想.（二）目标定位诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大.我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示.第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解.第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法.第四，积累数学经验，为学生认识任意角的三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备.二、教学设计分析在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？笔者最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑.（一）尊重教材的编写方式从对教材的分析来看，北师大版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式.教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套.（二）切合学生的认知水平利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理.同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果.三、教学环境分析根据教学内容和学生实际情况，确定选择使用多媒体教室.四、教学目标分析（一）知识与技能1.能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式.2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题.（二）过程与方法1.经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力.2.通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感、态度、价值观1.通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.2.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.五、教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式.π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出.教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”.六、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件.七、教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题.（一）问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题.【问题1】求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系.即有sin(α+k·360°) = sinα，cos(α+k·360°) = cosα， (k∈Z)tan(α+k·360°) = tanα.这组公式用弧度制可以表示成sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα， (k∈Z) (公式一)tan(α+2kπ) = tanα.【设计意图】前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求.于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系.同时，首先考虑α+2kπ（k∈Z）与α的三角函数值之间的关系，有助于学生理解三角函数被看成刻画现实世界中周期性变化的数学模型的确切含义.（二）尝试推导如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系.由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等.反过来呢？如果两个角的三角函数值相等，它们的终边一定相同吗?比如说：【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π-α) = sinα，cos(π-α) = -cosα，（公式二）tan(π-α) = -tanα.【设计意图】对问题2的提问方式的设计主要是考虑到我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等.事实上问题2可以看成是“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相同”的逆命题，即“若两个角的正弦值相同，则两个角的终边相同”.但这里是以问题的形式提出的，实际上教会了学生一种自己研究问题的方法.〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的?因为与角α终边关于y 轴对称是角π-α，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.于是，我们就得到了角π-α与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.【设计意图】阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图.（三）自主探究 如何利用对称推导出π+ α，- α与α的三角函数值之间的关系.刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y 轴对称的角π-α与角α的三角函数值之间的关系，下面我们还可以研究什么呢？【问题3】两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α与角α的终边关于x 轴对称，有：sin (-α) = -sin α，cos (-α) = cos α，（公式三）tan (-α) = -tan α.角π +α与角α终边关于原点O 对称，有：sin (π +α) = -sin α，cos (π +α) = -cos α，（公式四）tan (π +α) = tan α.上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式.【设计意图】从两个角的终边关于y 轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题2研究方法一般化.（四）简单应用例：求下列各三角函数值： (1) ； (2) 2cos 3π；（3） . 7sin()6-π31cos 6-π【设计意图】初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.（五）回顾反思【问题4】回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过程中，你有哪些体会?知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学思想.具体可以表示如下：【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获.这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重公式规律的总结和记忆.（六）分层作业1.阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；2.必做题：课本20页A组1， 6，21页B组 1；3.选做题：（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？【设计意图】分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力.阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯.而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系.（七）板书设计。
1.3 三角函数的诱导公式整体设计教学分析本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题. 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用.公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在.课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习.三维目标1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(2π到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.推进新课新知探究提出问题 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1. β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180βββa a a 提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?②它们与单位圆的交点的位置关系如何?③任意角α与180°+α呢?活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么?②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用思路1例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin 311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-; (2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π)=-(-sin 3π)=23; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 变式训练利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2;(2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23. 例2 2007全国高考,1cos330°等于( )A.21B.21- C.23 D.23- 答案:C变式训练化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21 ++++-+= 70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--. 例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)21--sin45°+cos120° =cos45°21-22-+cos(180°-60°) =2221-22--cos60°=-1. 点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----. 分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+---- =)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+---- =θθθθθsin cos cos sin tan =tan θ=右边. 所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1—3.解答:1.(1)-cos 94π;(2)-sin1;(3)-sin 5π;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)21;(2)21;(3)0.642 8;(4)23-. 点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值. 3.(1)-sin 2αcos α;(2)sin 4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题1.3 A 组2、3、4.设计感想一、有关角的终边的对称性(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.(2)角α的终边与角-α的终边关于x 轴对称.(3)角α的终边与角π-α的终边关于y 轴对称.二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”(2)公式中的α是任意角.(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.基本步骤是:任意负角的三角函数−−−→−公式三或一相应的正角的三角函数−−→−公式一0到2π角的三角函数−−−→−四公式二、锐角的三角函数−−→−查表三角函数. 即负化正,大化小,化为锐角再查表.(设计者：沈献宏)第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.推进新课新知探究提出问题终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系?活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系. 教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.图3讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为(x,y),由于角2π-α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称,角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称,因此点P 2的坐标是(y,x),于是,我们有sin α=y,cos α=x, cos(2π-α)=y,sin(2π-α)=x. 从而得到公式五:提出问题能否用已有公式得出2π+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式? 活动:教师点拨学生将2π+α转化为π-(2π-α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为2π+α可以转化为π-(2π-α),所以求2π+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.讨论结果:公式六提出问题你能概括一下公式五、六吗?活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.讨论结果:2π±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一—六都叫做诱导公式.提出问题学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括? 讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2k π+α(k∈Z ),π±α,-α(可看作0-α).其中2k π,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是2π±α,23π-α.其中2π,23π是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.示例应用思路1例1 证明(1)sin(23π-α)=-cos α;(2)cos(23π-α)=-sin α. 活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.证明:(1)sin(23π-α)=sin[π+(2π-α)]=-sin(2π-α)=-cos α; (2)cos(23π-α)=cos[π+(2π-α)]=-cos(2π-α)=-sin α. 点评:由公式五及六推得23π±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到212+k π(k∈Z )的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用. 例2 化简.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ 活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.解:原式=)]2(4sin[)]sin()[sin()cos ()]2(5cos[)sin )(cos )(sin (a a a a a a a a +++----+---ππππππ =)2sin()]sin ([sin )cos ()]2cos([cos sin 2a a a a a a a +------ππ=a a cos sin -=-tan α. 思路2 例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x; (2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.证明:(1)f(sinx)=f[cos(2π-x)]=cos[17(2π-x)]=cos(8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x. (2)f(cosx)=f[sin(2π-x)]=sin[n(2π-x)]=sin(2πn -nx)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-,,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n x 故所求的整数n=4k+1(k∈Z ). 点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练已知cos(6π-α)=m(m≤1),求sin(32π-α)的值. 解:∵32π-α-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α). ∴sin(32π-α)=sin ［2π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m. 点评:(1)当两个角的和或差是2π的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来. (2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.例2 已知sin α是方程5x 2-7x-6=0的根,且α为第三象限角, 求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +∙--∙-∙-∙+ππππππ的值.活动:教师引导学生先确定sin α的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁. 解:∵5x 2-7x-6=0的两根x=2或x=53-, ∵-1≤x≤1,∴sin α=53-. 又∵α为第三象限角,∴cos α=2sin -1-=54-. ∴tan α=43. ∴原式=)sin (sin )tan (tan )cos ()cos (2a a a a a a -∙-∙∙-∙-=tana=43 点评:综合运用相关知识解决综合问题.变式训练 若函数f(n)=sin6πn (n∈Z ),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________. 解:∵=sin 6πn (6πn +2π)=sin 6)12(π+n , ∴f(n)=f(n+12).从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］ =2+3.例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害.解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=-(asin α+bcos β),∵f(2 003)=-1,∴asin α+bcos β=1.∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)=asin α+bcos β=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asin α+bcos β=1,它是联系已知和未知的纽带.知能训练课本练习4—7.4.5.(1)-tan 52;(2)-tan79°39′;(3)-tan 365;(4)-tan35°28′.6.(1)23(2)22-;(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5)3;(6)-0.647 5.7.(1)sin 2α;(2)cos 2α+a cos 1 课堂小结本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度.作业1.课本习题1.3 B 组2.2.求值:sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°.答案:44.5.设计感想1.本节设计指导思想是:在教师引导下放手让学生自主探究.因为公式多,学生容易记混,所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉,在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式.通过学生的自主探究、推导公式,培养学生独立思考、知难而上的科学态度,更进一步地体会数学的奇特美、对称美.激发学生强烈的探究欲望,培养学生会学习的良好品质.2.用口诀记忆公式:①π±α,-α,2k π+α的三角函数公式为:“函数名不变,符号看象限.” ②2π±α,23π±α的三角函数公式为:“函数名改变,符号看象限.”其中α看成锐角. 3.用类比的方法学习本节课的基础知识,用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明.。
