3.3.1 几何概型

分析：随机射箭，射落在箭靶 内任何一点是等可能的，且箭 所在的位置有无限多个，符合 几何概型。
射中黄心的概率等于黄心 的面积与箭靶的面积的比，即 两者直径之比的平方。
图3.3-2
例3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一 个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有 这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
考：还有其它方法吗？
探究规律：

几何概型公式（1）：
公式（1）： P(A)=
构成事件 A 的区域长度 全结果所构成的区域长度
练习1（口答）
一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒， 黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。 当你到达路口时，看见下列三种情况的 概率各是多少？

例2:如图，在边长为2的正方形中随机撒一粒 豆子，则豆子落在圆内的概率是________。
分析：随机撒一粒豆子，豆子落在 正方形内任何一点是等可能的，且 豆子所在的位置有无限多个，符合 几何概型。 求解：利用几何概型求出豆子撒在 圆内的概率为：
圆的面积 ＝ 正方形的面积 4
探究规律：
几何概型公式（2）：
公式（2）： P(A)=
构成事件 A 的区域面积 全结果所构成的区域面积
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 那么射中黄心的概率是多少?
• 几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.

={（x，y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8 }，这是 一个正方形区域，面积为1.
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
事件A表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区 域A={（x，y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8， y≥x }，
即图中的阴影部分，面积为 1 1 1 1 7 222 8
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. 你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的 概率为多少？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
试验的全部结果所构成的区域为
转动时指针落在白色部分的概率.
P( A) 1 2
引例3：在500ml的水中有一个草履虫，现从
中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发
现草履虫的概率.
P( A) 1 250
建构数学 如果每个事件发生的概率只与构成该事件
区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机 数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近 似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.
思考：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数， 如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何 一个值，如何产生[a，b]上的均匀随机数？
首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀 随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换：
练习2：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到

图中每一块方砖除颜色外完全相同，
小猫分别在卧室和书房中自由地走来
走去，并随意停留在某块方砖上。在
哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概
率大？
与面积成比
例
问题情境2.
卧 室
书 房
问题情境3
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,
用一个小杯从这杯水中取出0.1升,
求小杯水中含有这个细菌的概率.
分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会
有限性
基本事件个数
的无限性
知识串联：两种概型 概率公式的联系
古典概型概率计算公式:
P(A)= A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
几何概型概率计算公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积)
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积)
四、例题讲解
例1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开 收音机
且是等可能的．我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X称为[0，60]
上的均匀随机数.
例2.
抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须
将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离
的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为
3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖，许
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等
可能发生的概率类型。
2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关
的题目,几何概型的概率公式.
P( A)
构成事件A的区域长度（面积或体积）
全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3.注意理解几何概型与古典概型的区别。
4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，

解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，
且等可能性． 2．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部
位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米
刻度处的概率为( B )
A.23
B．13
C.16
D．14
解析：由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻
1．几何概型的定义与特点 (1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 __长__度__(_面__积__或__体__积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有_无__限__多__个__；②每个结果发生的 可能性_相__等___．
度处的概率为 P＝2－3 1＝31.
3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落 1
到阴影部分的概率为___π_____．
解析：设圆的半径为 R，则圆的面积为 S＝πR2，阴影的面积 S 阴＝21·2R·R＝R2，故所求概率 P＝SS阴＝πRR2 2＝π1 .
探究点一 与长度有关的几何概型
225 ＝2225，故所求概率为 P＝4200＝392.
(1)数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直 观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符 合条件的点集问题)去解决． (2)与面积有关的几何概型的概率公式 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其 概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积.
本例中，若将“x∈[－5，5], x0∈[－5，5]”分 别改为“x∈[0，5], x0∈[0，5]”，则概率为多少？ 解：当任取一点 x0∈[0，5]时，f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为 x0 ∈[0，2]，故由几何概型概率计算公式可得，所求概率 P＝25－－00 ＝25.