七年级数学下册 5.1.2 垂线教案 (新版)新人教版

新人教版七年级下5.1.2垂线学案一、课前自主学习： （一）填空题：1.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.2.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.3.如图（1），直线AB ，CD 相交于点O ，若∠EOD =40°，∠BOC =130°，那么射线OE 与直线AB 的位置关系是 .4.如图（2），如果想要把河水引到水池C 中可过点C 画AB 的垂线段CD ，然后沿CD 开渠，则能使所开的渠最短，这种设计的理论依据是 .5.如图（3），,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．6.如图（4）将一个长方形纸片一角斜折，使顶点A 落在A ′处，BC 为折痕，BD 平分∠A′BE ，则∠CBD = .（二）选择题：7、如图（5）所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB ;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 8.（6）如图，CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，下列说法正确的是（ ） A.α的余角只有∠B B. α的邻补角只有∠DAC C. ∠ACF 是α的余角 D. α与∠ACF 互补9.（7）如图，∠PQR=138°，SQ ⊥QR ，QT ⊥PQ ，则∠SQT 等于（ ） A.42° B.64° C48° D.24°O ED C BAB A αF ED C B A P R TS Q A /E D CB A DC B A OED C B A （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）10.如图（8）所示，直线EO ⊥CD ，垂足为点O ，AB 平分∠EOD ，则∠BOD 的度数为（ C ） A.120° B.130° C135° D140° （三）解答题11.如图（9）所示，已知DO ⊥BO ，OA ⊥CO ，OE 是∠COD 的平分线，∠AOB=120°，求∠DOE 的度数.课前自主学习答案：1.互相垂直，有且只有，垂线段最短；2.点到直线的距离；3.垂直；4.垂线段最短；5.6，8，10，4.8；6.90°；7.C ；8.D ；9.A ；10.C ；11.30°. 课堂互动探究（1）知识要点梳理 知识点一：垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

《垂线》教案学习目标：1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。

学习重点：垂线的定义及性质。

学习难点：垂线的画法学具准备：相交线模型，三角尺，量角器学习过程：一、学前准备1、预习疑难：。

2、填空：①如果∠α与∠ β互为余角，∠ α＝37°，那么∠ β＝。

②已知∠ 1 与∠ 2 互为余角，∠ 1 与∠ 3 互为余角，那么∠ 2 与∠ 3 的关系是。

二、探索与思考（一）垂线的定义C1、观察思考：转动相交线模型，观察两条直线所成的夹角的变化。

当夹角变化到°时，就是我们今天要研究的两条直线垂直。

A O B2、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线就互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫D做。

3、符号表示：①如果直线 AB、CD互相垂直，记作AB⊥ CD，垂足为 O。

② 由两条直线垂直，可知四个角为直角。

记为∵AB⊥CD（已知）∴∠ AOD＝ 90°（垂直定义）由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直。

记为∵∠AOD＝90°（已知）∴ AB⊥ CD（垂直定义）4、总结：①垂直是相交。

是相交的一种特殊情况。

②垂直是一种相互关系，即a⊥ b，同时 b⊥ a③ 当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直。

5、生活中的垂直关系：日常生活中，两条直线互相垂直很常见，你能举出几个例子吗？（二）垂线的性质一1、垂线的画法有两种：利用或者。

2、探究：完成教材 4 页探究问题。

3、垂线性质：。

4、对应练习：教材 5 页练习 1、 2（在书上完成）（一）垂线的性质二1、思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田2、探究：上面思考问题可以转化为数学问题：P 处，如何挖渠能使渠道最短？“已知直线 l 和直线外一点P，连接点P 到直线 l 上各点 O，A1，A2，A3，其中 PO⊥ l（我们称 PO 为点 P 到直线 l 的垂线段）。

5.1.2 垂线【课标解读】本节课的课标要求是理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

【教材分析】两条直线互相垂直作为两条直线相交的特殊情形，在理论和实践上都有特殊的用途，与它有关的概念和结论是后期学习“图形与几何”的基础，也是学习“平面直角坐标系”的直接基础。

【学情分析】在前面学段的学习中，学生已经接触了垂直的定义和垂线的画法，也经历过将图形语言翻译成符号语言的过程，因此学生在此对将垂直的图形语言翻译成符号语言的理解以及作垂线并不困难。

【教学目标】知识与能力：1.理解垂线的概念及表示、垂线的性质和点到直线的距离等概念.2.在理解概念的基础上，会用三角尺或量角器画垂线，掌握点到直线的距离的测量方法.3.正确使用几何符号、几何语言，逐步熟悉一步推理的格式．数学思考：通过作图，把抽象的几何知识转化为具体的平面模型，提高了学生动手动脑的能力，同时更加清晰地认识到点到直线的所有线段中，垂线段最短问题解决：提高学生观察理解能力、几何语言能力、画图能力、抽象思维能力，以及运用知识解决实际问题的能力．情感态度：通过创设情境，利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会．【重点难点】重点：垂线的概念、画法和垂线的两个性质难点：垂线的画法【教学课时】1课时【教学过程】一、回顾问题1：如图，(1)∠AOC的对顶角是哪个角，这两个角的关系怎样？(2)∠AOC的邻补角有几个，是哪几个角？问题2：如图5－1－53，当∠AOC＝90°时，∠AOD，∠DOB，∠BOC各等于多少度？为什么？直线AB，CD的位置关系怎样？二、创设情境导入新课教师出示相交线的模型，演示模型，学生观察思考：固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a，b所成的角α是如何变化的？三、实践探索，交流新知1．垂线的定义(1)如上图，直线a不动，当直线b转到什么位置时，两条直线互相垂直？(2)转动木条b时，它和不动的木条a互相垂直的位置有几个？(3)当a，b相交有一个角是直角时，其他三个角呢？通过模型展示及学生交流应使学生明白：当b的位置变化时，α从锐角变为钝角，其中α是直角是特殊情况．其特殊之处还在于：当α是直角时，它的邻补角、对顶角都是直角，即a，b相交所成的四个角都是直角，都相等．引导学生概括垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．辨析：“互相垂直”与“垂线”：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名．如果说两条直线“互相垂直”，则其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”．2．垂线的符号表示垂直用符号“⊥”来表示，“⊥”读作“垂直于”．如图，直线AB垂直于直线CD，垂足为O，则记为AB ⊥CD，垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号．3．用垂线的定义进行推理(1)如上图，你能说出由什么条件能知道AB与CD互相垂直吗？板书：∵∠BOC＝90°(已知)，∴AB⊥CD(垂直的定义)．(2)如果AB⊥CD，那么可得到什么结论？(填空)∵AB⊥CD于点O(已知)，∴________________(垂直的定义)．4.课堂练习判断以下两条直线是否垂直：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；③两条直线相交，有一组邻补角相等；④两条直线相交，对顶角互补．如图，已知一条直线l，画出它的垂线：作图工具：直尺、三角板．垂线的作图方法：如图5－1－57，把直尺放在直线上，三角板的直角边紧靠直尺上面，然后移动三角板到需要画垂线的位置，画出所需垂线，最后标注字母和直角符号，直线a就是直线l的垂线．口诀：一放二靠三移四画五标学生练习画图：(1)经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB的直线．这样的垂线能画出多少条？根据垂线的画法，按照一放二靠三移四画五标的作图方法完成．(2)如图5－1－38，经过直线AB外一点P，分别在两图中画出过点P垂直于直线AB的直线，这样的垂线分别能画出多少条？【探究3】垂线的性质由上述画图操作，师生探究，得到一个关于垂线的基本事实：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．如图5－1－60，点A是直线l外一点，AB与直线l垂直，点B为垂足，点A到直线l上各点的距离长短不一，我们可以发现其中最短的线段应该是AB.线段AB叫做点A到直线l的垂线段．性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．【探究4】点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图5－1－39，线段AB 的长度叫做点A到直线l的距离．思考：在体育课中，怎样正确量出跳远的成绩？四、开放训练，体现应用例1 ①直线AB垂直于CD，垂足为O，则直线AB与直线CD的位置关系是______，记作______，此时，∠AOD＝∠______＝∠______＝∠______＝90°.②过一点有且只有______条直线与已知直线垂直．③画一条线段或射线的垂线，就是画它们____________________的垂线．④直线外一点到这条直线的__________________，叫做点到直线的距离．例2 如图，分别过点P作AB的垂线例3 如图，过点P作AB的垂线．例4 如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M，N是分别位于公路两侧的村庄．例5①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置；②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段，距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？分析：①当汽车距离M最近时，相当于过点M画直线AB的垂线，垂足就是P点的位置，同理，过点N画直线AB的垂线，垂足就是Q点的位置；②可以观察图形发现，当处于AP路段时距离两村庄都越来越近，在处于PQ路段时距离M越来越远、距离N越来越近．例5 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；(2)若∠1＝14∠BOC ，求∠AOC 和∠MOD 的度数．教师重点关注学生对待已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解．五、课堂总结(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说．六、课堂作业七、课堂反思。

垂线【教课目的】知识技术目标1.理解垂线、垂线段的观点，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.2.掌握点到直线的距离的观点，并会胸怀点到直线的距离.3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识正确使用几何符号，几何语言进行推理，逐渐熟习一步推理的格式.过程性目标1. 培育提升学生察看、理解能力，几何语言能力，绘图能力，抽象思想能力. 运用知识解决实质问题能力.2.经过创建情境，利用变式训练，多种教课手段来激发学生学习兴趣，给学生创建成功的时机，使他们爱学、会学、学会 .感情态度目标培育学生辩证唯心主义思想及不停发现研究新知识的精神.【重点难点】重点：会用两直线垂直的定义判断两条直线垂直和点到直线的距离的观点.难点：用定义判断两条直线垂直及作图.【教课过程】一、创建情境1. 这是两幅草坪的图案. 在绿色的草坪上，画着两条交错的道路. 你感觉甲、乙两图哪幅更美丽、更均匀.这是什么原由？演示自制教具，这两条订交线有没有特别地点？什么状况下它们的地点特别？图甲是两条直线订交的一种特别状况，它在生活、生产实质中应用比较广，你有没有见过？2.学生察看教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线，思虑这些给大家什么印象？在学生回答以后，教师指出：“垂直”两个字对大家其实不陌生，但是垂直的意义，垂线有什么性质，我们不必定都认识，这但是我们要学习的内容.二、新知研究研究点 1：垂线的定义及记法学生察看课本P3 图 5.1-4思虑：固定木条a，转动木条b，当 b 的地点变化时，a，b 所成的角α 是如何变化的？此中会有特别状况出现吗？当这类状况出现时，a， b 所成的四个角有什么特别关系？【教师在组织学生沟通中，应使学生理解：当 b 的地点变化时，角α 从锐角变成钝角，此中∠α是直角是特别状况. 其特别之处还在于：当∠α是直角时，它的邻补角，对顶角都是直角，即a、b 所成的四个角都是直角，都相等. 】重点概括： 1. 定义：两条直线订交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线就相互垂直. 此中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2.符号表示：①假如直线 AB， CD相互垂直，记作 AB⊥ CD，垂足为 O.②由两条直线垂直，可知四个角为直角. 记为因为 AB⊥ CD(已知 ) ，因此∠ AOD=90°( 垂直的定义).. 记为因为∠ AOD=90°( 已知) ，由两条直线交角为直角，可知两条直线相互垂直因此 AB⊥ CD(垂直的定义 ).【微点拨】①垂直是订交的一种特别状况.②垂直是一种相互关系，即a⊥b，同时 b⊥ a.③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直状况时，是指它们所在的直线相互垂直 .研究点 2：垂线的画法及性质【研究】 ( 教材 P4 研究 ) 并指引学生思虑：这样画出的为什么是已知直线的垂线？【做一做】学生自主解决研究中的问题.在学生娴熟地画出各条垂线以后，提出：(1)过 P 点作 AB 的垂线有没有？(2)过 P 点作 AB 的垂线有几条？重点概括： 1. 用三角板画垂线的基本方法：重申用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画线.2.垂线的性质公义：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【微点拨】①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“独一”②“过一点”的点在直线外，或在直线上都能够③画射线和线段的垂线 . 过已知点，画已知线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，有时需要对线段加以延伸，作延伸线的垂线 .研究点 3：垂线段的定义、性质及点到直线的距离【思虑】教材 P5( 思虑 ) 在浇灌时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短？【研究】如图，连结直线 l 外一点P与直线 l 上各点O，A1，A2，A3，，此中PO⊥ l (我们称PO为点P到直线 l 的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，PA3的长短，这些线段中，哪一条最短？重点概括： 1. 垂线段定义 .连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，这个点与垂足之间的线段叫垂线段.2.垂线段的性质：连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短，可简单说成：垂线段最短.3.点到直线的距离定义 .直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.例题解说例如图，直线AB， CD订交于点 O，OE⊥ AB，∠ AOD=125°，求∠COE的度数 .分析∵∠ AOD=∠ BOC，∴∠ BOC=∠AOD=125°.∵OE⊥ AB，∴∠ BOE=90°，∴∠ COE=∠BOC-∠BOE=125° - 90°=35°三、检测反应1.判断以下语句能否正确 ( 正确的画“√”，错误的画“×”)(1) 两条直线订交，如有一组邻补角相等，则这两条直线相互垂直. ()(2)若两条直线订交所组成的四个角相等，则这两条直线相互垂直.()(3)一条直线的垂线只好画一条.()(4)平面内，过线段 AB外一点有且只有一条直线与AB垂直 .()(5)连结直线 l 外一点到直线l 上各点的 6 个线段中，垂线段最短.()(6)点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离.() (7) 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离.()2.选择题(1)如图，点 P 为直线 m外一点，点 P 到直线 m上的三点 A，B，C 的距离分别为 PA=4 cm，PB=6 cm，PC=3 cm，则点 P 到直线 m的距离为()A.3 cmB. 小于 3 cmC. 不大于 3 cmD.以上结论都不对(2)如图， AC⊥ BC于点 C， CD⊥ AB 于点 D， DE⊥BC于点 E，能表示点到直线 ( 或线段 ) 的距离的线段有()A.3条B.4条C.7条D.8条3.解答题(1) 按要求绘图：如图，过 A 点作 CD⊥ MN，过 A点作 PQ⊥EF 于点 B.(2)已知： OA⊥ OC，∠ AOB∶∠ AOC=2∶3. 求∠ BOC的度数 .(3)已知：如图，三条直线 AB， CD， EF订交于点 O，且 CD⊥ EF，∠ AOE=70°，若 OG均分∠ BOF.求∠ DOG.四、本课小结1.垂线的定义的理解(1)在垂直的定义中重申只有一个角是直角就能够了，不用说四个角都是直角，因为其余三个角能够推出来 .(2)说到垂线必定是两条直线的地点关系.(3)定义拥有两重性，可做正反双方面推理.2.垂线的画法，重申画线段的垂线，有时需延伸线段，垂足是在延伸线上.3.垂线的两个性质，第一个性质是绘图的依照.4.点到直线的距离的观点 .五、部署作业讲堂作业：课本第5页练习 2 第 8页第3，4，5 题课后作业：课本第8页第 6，10， 11，12题第 10 页察看与猜想六、板书设计七、教课反省垂线是小学阶段所学的初步几何知识之一，也是学生最难接受和掌握的知识之一 . 如何使学生掌握这一知识重点 .我没有按课本上的观点和定理说教，而是从实质生活中提出问题，指引学生借助生活经验和已有知识 . 让学生认识并知道生活中的垂线. 经过学生着手操作认识垂线的特色. 我是从以下几点进行教课的.1.学生着手引出垂线，我在讲这一课以前让学生自制学具，也就是用两根本条或硬纸条制成能旋转的活动角.让学生将准备好的学具放在桌面上，旋转此中的一根，使此中一个角成直角，再量一量其余三个角，看是不是都是直角 . 由此引出两条直线订交成直角时，这两条直线叫做相互垂直，此中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足.2. 学画垂线先学画过直线上随意一点画它的垂线，再学过直线上给定的一点画垂线，最后学过直线外一点画这条直线的垂线. 这样由易到难，顺序渐进，便能瓜熟蒂落. 指导学生画已知直线的垂线应注意以下几点：( ①用三角板的一条直角边与已知直线重合，再沿着另一条直角边画直线 . ②画垂线时应先重合边后重合点.) 本节课学生因为对垂线早有接触，大多数学生学习时较轻松特别是作垂线、垂线的一些简单推理掌握得很好. 在指引学生自主学习、自主建构获取悉识的同时，向学生浸透分类、比较的数学思想，经过数学思想的浸透，培育学生擅长掌握知识之间的内在联系，全面而灵巧地思虑问题，让学生获取可连续发展的动力.不足之处：讲堂上时间分派不当( 前松后紧 ) 致使部分学生对知识的实质运用不够灵巧、部分题目在教师的点拨下才能达成 . 针对讲堂出现的这些问题，只好在课后对部分特别的学生进行指导、纠正，激发他们的学习兴趣，让他们喜爱学习数学. 而我在进一步伐换学生的踊跃性方面也做得不够好，讲堂氛围略显得沉闷 . 假如能对学生收集一些垂直的有关实例实时评论，并多渠道地对学生的表现展开竞赛，成效会更好.。

部审人教版七年级数学下册教学设计《5.1.2 垂线》1一. 教材分析人教版七年级数学下册第五章第一节《垂线》是学生在学习了平面几何基本概念和直线、射线、线段知识的基础上进行学习的。

这部分内容主要让学生了解垂线的定义、性质和应用，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

教材通过丰富的现实情境和直观的图形，引导学生探索、发现并证明垂线的性质，进而运用垂线解决相关问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何基本概念，对直线、射线、线段有一定的了解。

但由于年龄和认知水平的限制，学生在空间想象能力和逻辑推理能力方面还有待提高。

此外，学生可能对垂线的实际应用场景认识不足，需要通过实例和操作来进一步理解垂线。

三. 教学目标1.知识与技能：掌握垂线的定义、性质和应用，能运用垂线解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、探索和证明，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生团结协作、勇于探究的精神。

四. 教学重难点1.重点：垂线的定义、性质和应用。

2.难点：垂线性质的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过现实情境和直观的图形，引发学生的兴趣和思考。

2.引导发现法：引导学生观察、操作、探索和证明，培养学生的发现能力和推理能力。

3.实践操作法：让学生动手操作，增强对垂线概念的理解。

六. 教学准备1.教具：直尺、三角板、多媒体设备。

2.学具：每人一套几何画板、练习本。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过现实生活中的实例，如建筑物、电线杆等，引导学生思考：什么是垂直？垂直有什么特点？进而引入本节课的主题——垂线。

2. 呈现（10分钟）教师利用多媒体展示垂线的定义和性质，引导学生观察、思考并总结垂线的特点。

同时，教师通过几何画板演示垂线的性质，让学生直观地理解垂线。

3. 操练（10分钟）教师布置练习题，让学生运用垂线的性质解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.1 相交线5.1.2 垂线(第一课时)教学反思教学目标1.理解垂线的概念.2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重难点重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.难点：过一点作已知直线的垂线.课前准备相交线模型、多媒体课件教学过程导入新课导入一：教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？学生回答，老师纠正.教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))导入二：教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))设计意图通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣.探究新知探究点一：认识垂线和垂直教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？学生：当b 的位置变化时，a，b 所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b 转动的过程中，当a ，b 所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a 与b 所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？图2学生：另外三个角也是90°.教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a 与b 互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子.学生发言，教师肯定.教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角.教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.设计意图垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解.教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号.教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O ，就可记为“AB ⊥CD ，垂足为O ”.(教师板书)图3教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？学生：∠AOD＝90°.教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论.学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义).教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？学生：垂直.教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC ＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义).设计意图教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感.探究点二：垂线的画法及性质教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？学生：三角尺、量角器中存在直角.教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示.(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(1) (2)图4学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考：1.垂线的画法：第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠；第二步：过，即三角尺的另一条直角边过；第三步：画，即画出垂线.2.(1)与直线l垂直的直线能画条.(2)经过直线上一点能画条直线与已知直线垂直.(3)经过直线外一点能画条直线与已知直线垂直.教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空.教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达.学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计意图在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点.新知应用例1 判断下列语句是否正确？(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( )(2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( )(3)一条直线的垂线只能画一条.( )(4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( )答案：(1)正确(2)正确(3)错误(4)错误师生活动教师读题，学生抢答.设计意图考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解..或线段AB的垂线.图5师生活动找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评.(1) (2) (3)图6教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.设计意图训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.D4.B5.C6.D7. 垂直 AB ⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD ⊥OE.理由：∵ OD 平分∠BOC ，∴ ∠COD ＝12∠BOC.∵ OE 平分∠AOC ，∴ ∠COE ＝12∠AOC. ∴ ∠EOD ＝∠COD+∠COE＝12(∠BOC+∠AOC)＝12×180°＝90°，即OD ⊥OE.10.解：(1)∠AOD ＝120°.(2)∠AOD ＝110°.(3)猜想∠AOD 与∠BOC 互补.理由如下：如题图①，∵ ∠AOD ＝∠AOC+∠COD ＝∠AOC+90°，∠BOC ＝∠AOB-∠AOC ＝90°-∠AOC ，所以∠AOD+∠BOC ＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补.(见导学案“课后提升”)参考答案1.解：∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠DOE ＝∠BOE. ∵ ∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1，∴ ∠AOD ∶∠DOE ∶∠BOE ＝4∶1∶1.又∵ ∠AOB ＝180°，∴ ∠DOE ＝∠BOE ＝180°×16＝30°，∴ ∠COB ＝∠COD-∠DOE-∠BOE ＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF 平分∠COB ，∴ ∠COF ＝∠BOF ＝12∠COB ＝60°，∴ ∠AOF ＝∠AOB-∠BOF ＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种)2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示.课堂小结1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线.3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化.布置作业教材第8页习题5.1第3，4，5题板书设计。

人教版七年级数学下册5.1.2.1《垂线》教学设计一. 教材分析人教版七年级数学下册5.1.2.1《垂线》是学生在学习了平面几何基本概念的基础上进一步探究垂直线性质的重要内容。

本节内容通过探究两条直线垂直的性质，让学生理解并掌握垂线的定义及其基本性质，为后续学习直线、平面几何等知识打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何基本概念，对平面几何有了一定的认识。

但学生在学习垂线时，可能对垂线的定义和性质理解不够深入，需要通过大量的实例和练习来巩固。

此外，学生可能对实际生活中的垂线现象有所了解，但如何将生活中的经验转化为几何知识，仍需要教师的引导。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂线的定义，理解并能够运用垂线的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重难点：垂线的定义及其性质。

2.突破策略：通过丰富的教学资源和实例，引导学生观察、思考、交流，从而深入理解垂线的性质。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入垂线概念，激发学生学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、思考、交流，培养学生解决问题的能力。

3.实践操作法：让学生动手操作，加深对垂线性质的理解。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔、垂线模型等。

2.学具准备：学生用书、练习册、铅笔、直尺等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的一些垂线现象，如房檐、电线等，引导学生关注垂直线。

提问：你们在生活中还见过哪些垂线现象？让学生分享自己的观察结果，从而引出垂线概念。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现垂线的定义和性质，引导学生观察、思考。

提问：垂线有哪些性质？如何判断两条直线是否垂直？让学生分组讨论，分享自己的见解。

3.操练（10分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。

第五章 5.1.2垂线知识点1：垂直的定义1. 垂直:直线a,b相交于点O(如图),当有一个夹角为90°时,称直线a,b互相垂直,记作a⊥b 或b⊥a.在图中我们用⊥作为表示两条直线互相垂直的标识,它们相交的交点O叫做垂足.日常生活中,如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.2. 垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.如图,过直线l外一点P,作PO⊥直线l,垂足为O,则线段OP叫做点P到直线l的垂线段.知识点2：垂线的画法1. 垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,这是我们必须掌握的基本作图之一.那么如何才能画出呢?具体地说来,可以有下面的三种方法:(1)利用三角板;(2)利用量角器;(3)利用直尺和圆规.运用(1)或(2)两种工具作图时可以按下面的步骤操作:①一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线(或是将量角器的0°线与已知直线重合);②二过:使三角板的另一直角边经过已知点(或是使量角器的90°线经过这一点);③三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线(或者是沿量角器90°线所在直线画出).如图所画的PQ就是直线AB的垂线.2. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度,叫做点到直线的距离,在上图中,PQ的长度就是点P到直线AB的距离.注意：(1)垂线、垂线段的垂足都要作垂直符号;(2)垂线段和表示距离的线段要画出端点,而垂线则可向两方延伸;(3)作线段(射线)的垂线时,如果垂足在其延长线(反向延长线)上,则应将其延长(或反向延长),并且用虚线表示.知识点3：垂线的性质性质(1):在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可以在直线上,也可以在直线外;“有”表示存在,“只有”则表示唯一,意思是说,肯定有一条并且不能多于一条.性质(2):连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.考点1:利用垂直定义求角度的大小【例1】如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠EOD∶∠BOD=3∶1,求∠COE的度数.解:∵OE⊥AB,∴∠EOB=∠AOE=90°.∵∠EOD∶∠DOB=3∶1,∴∠BOD=∠EOB=×90°=22.5°.又∵∠AOC=∠BOD=22.5°,∠COE=∠AOC+∠AOE,∴∠COE=22.5°+90°=112.5°.点拨：垂直是两条直线的位置关系,而90°是一个角的大小,垂直定义建立起两直线垂直与90°的角之间的联系.由于∠COE=∠AOC+∠AOE,∠AOE=90°,因此只需求出∠AOC即可,又因为∠AOC=∠BOD,故将求∠AOC的度数转化成求∠BOD的度数,又由于∠EOD∶∠BOD=3∶1,∠EOD+∠BOD=90°,从而可求出∠BOD的度数.考点2:垂线段与点到直线的距离的应用【例2】点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=2 cm,则点P 到直线m的距离( )A.为4 cmB.为2 cmC.小于2 cmD.不大于2 cm答案:D点拨：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度,虽然垂线段最短,但是在PA,PB,PC 中并没有说明PC是垂线段,所以垂线段的长可能小于2 cm,也可能等于2 cm.考点3:垂线段与点到直线的距离的应用【例3】如图,点A表示小明家,点B表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短?请画出行走路线.解:如图,连接AB,作BM垂直河边于点M.折线A-B-M即为所求.点拨：从点A到点B的最短路线是线段AB,理由是“两点之间,线段最短”;从点B到河边的最短路线是点B到河边的垂线段,理由是“垂线段最短”.。