2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级(上)期中数学-解析版

5．已知点A （1，n ）在抛物线223y x x =+-上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐 标为……………………………………………………………………………………… 【 】．（A ） ()0,3- （B ） ()2,3-- （C ） ()3,0- （D ）()1,06．如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是………………………………………………………………【 】．（A ）51- （B ）51+ （C ）51- （D ）51+ 7．如图3，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为…………………………………………………………………………………【 】． （A ）（3，3） （B ）（4，3） （C ）（3，1） （D ）（4，1）8．已知二次函数2()y a x m n =-+的图象经过(0,5)、(10,8)两点．若0a <，010m <<，则m 的值可能是……………………………………………………………【 】．图3图2图1图4（A ）2 （B ）8 （C ）3 （D ）5 9．如图4，过点O 作直线与双曲线ky x=（k ≠0）交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE=AF ．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是……………………………………………………【 】． （A ）S 1=S 2 （B ）2S 1=S 2 （C ）3S 1=S 2 （D ）4S 1=S 2 10．如图5，△ABC 中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD=AG ，DG=6，则点F 到BC 的距离为…………………………………………………………【 】． （A ）1 （B ）2 （C ）1226- （D ）626- 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．若12a b =，则a bb += ． 12．如图6，A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，ABP ∆的面积为2，则这个反比例函数的关系式为 ．13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x…-1123…y … 10 5 2 1 2 …则当y ＜5时，x 的取值范围是 ．图5图614．如图7，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分 面积相等，则ADAB= ． 15．数学老师在小黑板上出道题目:已知二次函数132++-=k x x y ，试添加一个条件，使它与x 轴交点的横坐标之积为2.学生回答：①二次函数与x 轴交点是（1,0）和（2,0）；②二次函数与x 轴交点是（-1,0）和（-2,0）；③二次函数与y 轴交点是（0,2）；④二次函数与y 轴交点是（0,3）． 则你认为学生回答正确的是 （填序号）． 三、解答题（本大题共7小题，共70分）16．（8分）已知：如图8，△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 1的坐标是 ；（2）△A 1B 1C 1的面积是 平方单位．17．（8分）已知抛物线2(3)2y a x =-+经过点（1，-2）．（1）求a 的值；图8图7（2）若点A （m ，y 1）、B （n ，y 2）（m ＜n ＜3）都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．18．（8分）如图9，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD=∠C ，AB=6，AD=4，求线段CD 的长．19．（10分）如图10, 已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=. 我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 、2y ，若21y y ≠，取1y 、2y 中的较大值记为M ；若21y y =，记21y y M ==. （1）当x 取何值时，有21y y M ==； （2）当x 取何值时，有1y M =； （3）当x 取何值时，有2y M =.图10图920．（10分）如图11，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 S 2+S 3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．21．（12分）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一周内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y 套． （1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，周销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一周内获得最大利润？最大利润是多少？学校： 班级： 姓名： 第 考场 座位号：图1122．（14分）我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点. 例如，对于函数y=-x+1，令y=0，可得x=1，我们就说x=1是函数y=-x+1的零点.己知函数y=x 2-2(m+1)x-2(m+2) (m 为常数) .（1）当m=-1时，求该函数的零点； （2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且321121-=+x x ，求此时的函数解析式，并判断点(n+2，n 2-10)是否在此函数的图象上.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B 9．B 10．D 二、填空题（第小题4分，共20分）11y =三、解答题（共70分）16．（1）作图（略），（1，0）…………………………………………………………4分（2）10……………………………………………………………………………… 8分17．（1）∵抛物线2(3)2y a x =-+经过点（1，-2），∴ 22(13)2a -=-+，解得a=-1；………………………………………… 4分（2）∵ 函数2(3)2y x =--+的对称轴为x=3，∴ A （m ，y 1）、B （n ，y 2）（m ＜n ＜3）在对称轴左侧， 又∵ 抛物线开口向下，∴ 对称轴左侧y 随x 的增大而增大，∵ m ＜n ＜3，∴ y 1＜y 2．…………………………………………………… 8分 18．在△ABD 和△ACB 中，∠ABD=∠C ，∠A=∠A ，4分8分 19．（1）由12y y =，可行，242x x x -+=，解得10x =，22x =所以当10x =或2时，有21y y M ==； …………………………………… 4分 （2）由图象可知，当02x <<时，1M y =；…………………………………… 7分 （3）由图象可知，当0x <或2x >时，2M y =…………………………………… 10分 20．（1）123S S S =+．……………………………………………………… 4分 （2）△BCD ∽△CFB ∽△DEC ．………………………………………………7分 可任选一对，如：△BCD ∽△DEC ；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD ， 又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD ∽△DEC ．……………………………10分21 4分 （2）根据题意可得，(4480)14000x x -+=，解得，x 1=70，x 2=50（不合题意舍去）， ∴当销售价为70元时，周销售额为14000元．…………………………………8分 （3）设一周内获得的利润为w 元，根据题意，得w=（x-40）（-4x+480）=-4x 2+640x-19200=-4（x-80）2+6400， 当x=80时，w 的最大值为6400∴当销售单价为80元时，一周内获得最大利润，最大利润是6400元．……12分 22．（1）∵四边形ABCD 为矩形，D 为BC 中点，B （-4，6），∴D （-2，6）．将4x =-代入反比例解析式得：3y =，则E （-4，3）；……………6分（2）设F （0，y ），如图所示，连接DF ，AF ， ∵∠OAF=∠DFC ，△AOF ∽△FDC ，∴OF CD OA CF=，即246y y =-， 解得：y 1=2，y 2=4，则F 坐标为（0，2）或（0，4）．………………12分23．（1）当1m =-时，该函数为22y x =-，令0y =，可得2x =±.∴当1m =-时，该函数的零点为2x =和2x =-.………………4分（2）令0y =，得[][]222(1)42(2)4(2)10m m m ∆=-+--+=++>∴无论m 取何值时，方程22(1)2(2)0x m x m -+-+=总有两个不相等的实数根，即无论m取何值，该函数总有两个两个零点. ………………………………8分 （3）根据题意，得，122(1)x x m +=+，122(2)x x m =-+， ∵321121-=+x x ，∴121223x x x x +=，即2(1)22(2)3m m +=-+，解得1m =. ∴函数的解析式为246y x x =--.∴配方得，2(2)10y x =--，把2x n =+代入可得210y n =-.∴点)102(2-+n n ，在函数246y x x =--的图象上. …………………14分。

2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．，2，3D．2，3，4，5 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．3．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．2D．4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7C．8D．96．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．30二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是．8．若sinα＝cos60°，则锐角α＝．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan A＝，那么cos B＝．10．化简：3（）﹣2（）＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tan A＝，则AC＝．12．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC 上，当AE＝cm时，使得△ADE与△ABC相似．14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是cm．（结果保留整数）16．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为．17．如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝．18．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为．三.解答题（本大厦共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG ＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE ⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．，2，3D．2，3，4，5【分析】对于四条线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案即可．【解答】解：A、1×3≠1×2，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；B、1×4≠2×3，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；C、×3＝×2，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意；D、2×5≠3×4，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意．故选：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴tan B＝＝，故选：C．3．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．2D．【分析】过点C（2，1），作CD⊥x轴于D，则OD＝2，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：则OD＝2，CD＝1，在Rt△OCD中，tanα＝＝．故选：B．4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴，A正确；∴，B错误；∴，C错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；故选：A．5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7C．8D．9【分析】由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，即可判定△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，∴，∴CD＝．故选：A．6．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是4：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两个三角形的相似比是2：3，∴它们面积的比是（）2＝，故答案为：4：9．8．若sinα＝cos60°，则锐角α＝45°．【分析】根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵sinα＝cos60°＝×＝，∴α＝45°．故答案为：45°．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan A＝，那么cos B＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．【解答】解：∵tan A＝，∴∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠B＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴cos B＝．故答案为：．10．化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tan A＝，则AC＝6．【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：∵tan A＝，∴＝，即＝，解得，AC＝6，故答案为：6．12．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，∵PC＝8，∴BP＝4，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP＝∠CPQ，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴QC＝，故答案为：．13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC 上，当AE＝或1.5cm时，使得△ADE与△ABC相似．【分析】分两种情形利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：有两种情形：如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝（cm），当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，∴△ADE′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE′＝1.5（cm），故答案为或1.5．14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是10．【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，∴AC＝2÷＝6．在Rt△ADC中，AD＝＝＝10．故答案为：10．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是185cm．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为0.618分别求出咽喉至肚脐的长度，肚脐至足底的长度，计算即可．【解答】解：设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为：185．16．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．利用▷ABC的面积先求出BD，在Rt△BCD中求出∠ACB的正弦．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由题图知：AB＝2，BC＝＝2，AC＝＝2．∵S△ABC＝AB×CE＝AC×BD，∴×2×2＝×2×BD，∴BD＝．在Rt△BCD中，sin∠ACB＝＝＝．故答案为：．17．如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝2：1：3．【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF＝AB，证明△CHE∽△CDB，根据相似三角形的性质得到CH＝DH，证明△EGH∽△AGD，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵E，F分别为CB、CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴△CHE∽△CDB，∴＝＝＝，∴CH＝DH，∵AD＝DB，∴＝，∵EF∥AB，∴△EGH∽△AGD，∴＝＝，∴DG：GH：CH＝2：1：3，故答案为：2：1：3．18．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为．【分析】根据相似三角形的判定与性质与正方形的性质找出相似三角形并根据相似比求解即可．【解答】解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，∴△MDN∽△NEQ，∴＝，∴DN＝＝2，在△MDN和△PBQ中，，∴△MDN≌△PBQ（ASA），∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，∴DM＝＝，∴每个小正方形的面积为，故答案为：．三.解答题（本大厦共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝+3＝．20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．【分析】根据勾股定理求出斜边c，再根据tan A＝，求出∠A，最后根据∠A+∠B＝90°，求出∠B即可．【解答】解：由勾股定理得，c＝＝＝＝12，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，即：c＝12，∠A＝30°，∠B＝60°；21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知＝，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3，∴＝＝．又∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG ＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．【分析】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可．【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，∴△BCG∽△EDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14，∴这座建筑物的高BC为14米．23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE ⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，求得∠1＝∠2，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DAG＝DAE＝45°，根据相似三角形的性质得到AD2＝CD•DG，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，∵CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ACF+∠ACB＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠B＝∠ACF，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF；（2）证明：∵∠DAE＝90°，作AG平分∠DAE，∴∠DAG＝DAE＝45°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠DAG＝∠ACB，∵∠ADG＝∠CDA，∴△DAG∽△DCA，∴，∴AD2＝CD•DG，由（1）知，△ABD≌△ACF，∴AF＝AD，∴AF2＝DG•DC．24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．【分析】（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE＝AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．【解答】解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，∴，∵AE＝x，BC＝y，AB＝4，AD＝1∴BE＝4﹣x，∴，∴y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（2）∵DE⊥EC，∴∠DEC＝90°，又∵DF＝FC，∴DC＝2EF＝2×2.5＝5，过D点作DH⊥BN于H，则DH＝AB＝4，∴Rt△DHC中，HC＝＝＝3，∴BC＝BH+HC＝1+3＝4，即y＝4，∴﹣x2+4x＝4解得：x1＝x2＝2，∴AE＝2；（3）△BCE的周长不变．理由如下：C△AED＝AE+DE+AD＝4+x，BE＝4﹣x，设AD＝m，则DE＝4﹣m，∵∠A＝90°，∴DE2＝AE2+AD2即，（4﹣m）2＝x2+m2∴，由（1）知：△AED∽△BCE，∴∴∴△BCE的周长不变．25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据反比例函数中k＝xy进行解答即可；（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE＝k2﹣k+1，根据S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE 可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．【解答】解：（1）若点E与点P重合，则k＝1×2＝2；（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，∵PF⊥PE，∴S△FPE＝PE•PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1，∴四边形PFGE是矩形，∴S△PFE＝S△GEF，∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE＝•k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1，∵S△OEF＝2S△PEF，∴k2﹣1＝2（k2﹣k+1），解得k＝6或k＝2，∵k＝2时，E、F重合，∴k＝6，∴E点坐标为：（3，2）；（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，∵∠MHF＝∠EBM＝90°，∠HMF＝∠MEB，∴△FHM∽△MBE，∴＝，∵FH＝1，EM＝PE＝1﹣，FM＝PF＝2﹣k，∴＝，BM＝，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，∴（1﹣）2＝（）2+（）2，解得k＝，此时E点坐标为（，2），②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，∵FQ＝1，EM＝PF＝k﹣2，FM＝PE＝﹣1，∴＝，BM＝2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，∴（k﹣2）2＝（）2+22，解得k＝或0，但k＝0不符合题意，∴k＝．此时E点坐标为（，2），∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．。

2020-2021初三数学上期中试卷附答案(1)一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x的方程25x bx +=的解为（ ）． A ．10x =，24x = B ．11x =，25x = C ．11x =，25x =- D ．11x =-，25x =3．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°5．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0；④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．（1，-5） B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）7．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ） A ．2020 B ．2019C ．2018D ．20178．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ） A ．m ＝3，n ＝2 B ．m ＝﹣3，n ＝2 C ．m ＝2，n ＝3 D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 9．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202010．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．811．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CDB ．AB=BCC ．AC ⊥BDD ．AC=BD二、填空题13．关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a 的取值范围是___________14．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C=_______度．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．18．如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，若3080BAC CBD ∠︒∠︒＝，＝，则BCD ∠的度数为______．19．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为¼BB'，则图中阴影部分的面积为_____．20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．三、解答题21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有名，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22．在2017年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠CDA=23，求CD的长．24．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？25．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：A 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形； B 选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形； C 选项中既是中心对称图形又是轴对称图形； D 选项中是中心对称图形又是轴对称图形. 故选B ．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．D解析：D 【解析】 【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 则−2b a =−2b=2，解得：b=−4，∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x1=5，x2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.3．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理4．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，5．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴y1＞y2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣2ba=﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确； ∵抛物线的顶点在x 轴的上方， ∴244ac b a-＞0，④错误；故选B.6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根， ∴α+β＝1、α2﹣α＝2018， 则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3 ＝2018﹣2+3 ＝2019， 故选：B ． 【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答． 【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称， ∴m ＝﹣3，n ＝2． 故选：B ． 【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，把x a =代入方程，得22019a a +=，再由根与系数的关系，得到1a b +=-，即可得到答案． 【详解】解：∵设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根， ∴把x a =代入方程，得：22019a a +=， 由根与系数的关系，得：1a b +=-，∴222()201912018a a b a a a b ++=+++=-=； 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，正确求出代数式的值．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答． 【详解】∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13， ∵图形的面积是12cm 2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm 2； 故答案为B ． 【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12bx a =-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.12．D解析：D 【解析】 【分析】四边形ABCD 的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等． 【详解】 添加AC=BD ，∵四边形ABCD 的对角线互相平分， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC=BD ，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， ∴四边形ABCD 是矩形， 故选D ． 【点睛】考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．二、填空题13．<a<-2【解析】【分析】【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0解得：a ＞−设f （x ）=ax2-3x-1如图∵实数根都在-1解析：94-<a<-2 【解析】 【分析】 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2-3x-1=0的两个不相等的实数根 ∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0， 解得：a ＞−94设f （x ）=ax 2-3x-1，如图，∵实数根都在-1和0之间，∴-1＜−32a -＜0， ∴a ＜−32， 且有f （-1）＜0，f （0）＜0，即f （-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f （0）=-1＜0，解得：a ＜-2，∴−94＜a ＜-2， 故答案为−94＜a ＜-2． 14．【解析】试题分析：解：连接OD ∵CD 是⊙O 切线∴OD ⊥CD ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD ∴AB ⊥OD ∴∠AOD=90°∵OA=OD ∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考解析：【解析】试题分析：解：连接OD ．∵CD 是⊙O 切线，∴OD ⊥CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴AB ⊥OD ，∴∠AOD=90°，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．15．【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a0c=3即可设出解析式【详解】解：根据题意可知a0c=3故二次函数解析式可以是【点睛】本题考查了二次函数的性质属于简单题熟悉概念是解题关键解析：223,y x =-+【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a <0,c=3,即可设出解析式.【详解】解：根据题意可知a <0,c=3,故二次函数解析式可以是2y 2x 3,=-+【点睛】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=64，即（1-x ）2=0.64，解得x 1=1.8，x 2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．【解析】【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；23 解析：34【解析】【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=3 4 .故其概率为：34．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出的度数再由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】∵四边形ABCD是内接四边形故答案为：70°【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质熟知圆内接四边形的对角互补解析：70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出BAD∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】80CBD∠︒Q＝，80CAD CBD∴∠∠︒＝＝．．30BAC∠︒Q＝3080110BAD∴∠︒+︒︒＝＝．∵四边形ABCD是Oe内接四边形，180********BCD BAD∴∠︒∠︒︒︒＝﹣＝﹣＝．故答案为：70°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．19．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C计算即可详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C此时点A′在斜边解析：3 2π【解析】分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出，，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，连接DB、DB′，则2212=5+，2222=22+∴S阴=905253 1222222=36042（）ππ⨯-⨯÷-÷-.故答案为53 42π-．点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm母线长5cm 根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算解析：15π．【解析】【分析】【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²．故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥的计算．三、解答题21．（1）40；画图见解析；（2）108°，15%；（3）23．【解析】【分析】（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B 组有：40×25%=10（人）． 频数分布直方图补充如下：故答案为40；（2）C 组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，E 组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%； （3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为812=23． 22．14【解析】【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】根据题意画出树状图如下：一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P =14． 考点：列表法与树状图法．23．（1）证明见解析；（2）4.【解析】分析：（1）连接OD，如图，先证明∠CDA=∠ODB，再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，则∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由于∠CDA=∠ODB，则tan∠CDA=tan∠ABD=23，根据正切的定义得到tan∠ABD=23ADBD=，接着证明△CAD∽△CDB，由相似的性质得23CD ADBC BD＝＝，然后根据比例的性质可计算出CD的长．详（1）证明：连接OD，如图，∵OB=OD，∴∠OBD=∠BDO，∵∠CDA=∠CBD，∴∠CDA=∠ODB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CDA=∠ODB，∴tan∠CDA=tan∠ABD=23，在Rt△ABD中，tan∠ABD=23 ADBD=，∵∠DAC=∠BDC，∠CDA=∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴23 CD ADBC BD＝＝，∴CD=23×6=4．点睛：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．24．（1）6;（2）40或400【解析】【分析】（1）设通道的宽x 米，由图中所示可得通道面积为2×28x+2(52-2x)x ，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a 值即可.【详解】（1）设通道的宽x 米，根据题意得：2×28x+2(52-2x)x+640=52×28， 整理得：x 2-40x+204=0，解得：x 1=6，x 2=34(不符合题意，舍去).答：通道的宽是6米.（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位， 根据题意得：(200+a)(64-10a )=14400， 整理得：a 2-440a+16000=0，解得：a 1=40，a 2=400.答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.25．（1）证明见解析；（2）6πcm 2．【解析】【分析】连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）求出∠COB 的度数，求出∠A 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数，根据切线的判定推出即可； （2）证明△CDM ≌△OBM ，从而得到S 阴影=S 扇形BOC ．【详解】如图，连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC ∥BD ，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC ⊥AC ，∵OC 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由（1）知，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ．∵AC ∥BD ，∴OC ⊥BD ．由垂径定理可知，MD=MB=1 2BD=33．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=33cos303MB︒==6．在△CDM与△OBM中3090CDM OBMMD MBCMD OMB︒︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△CDM≌△OBM（ASA），∴S△CDM=S△OBM∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC=2606360π⋅=6π（cm2）．考点：1．切线的判定；2.扇形面积的计算．。

2021-2022学年上海市徐汇区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（）x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大3．下列命题中是假命题的是（）A．若＝，＝，则＝B．2（﹣）＝2﹣2C．若＝﹣，则∥D．若||＝||，则＝4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．b2﹣4ac＞0D．a+b+c＜05．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（）（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinαB．a•cosα+b•cosαC．a•sinα+b•cosαD．a•cosα+b•sinα二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果＝，那么的值等于．8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约厘米．9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是．10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝．11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为．12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝．13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM ＝．15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为．16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为．18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为（只需写出一种情况即可）．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos A的值．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．（1）求证：；（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P 坐标．25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；②若EF＝CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，∴sin A＝＝，故选：B．2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（）x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；C．当x＝时，函数有最小值为﹣＜6，故C选项符合题意；D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．故选：C．3．下列命题中是假命题的是（）A．若＝，＝，则＝B．2（﹣）＝2﹣2C．若＝﹣，则∥D．若||＝||，则＝【分析】根据相等向量，平行向量，向量的乘法等知识，一一判断即可．解：A、若＝，＝，则＝，正确，本选项不符合题意．B、2（﹣）＝2﹣2，正确，本选项不符合题意．C，若＝﹣，则∥，正确，本选项不符合题意．D、若||＝||，则＝，模相等，向量不一定相等，错误，本选项符合题意．故选：D．4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．b2﹣4ac＞0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向即可判断A；根据对称轴的位置即可判断B；根据抛物线与x轴的交点情况即可判断C；结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，即可判断D．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A正确；∵对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴b＜0，故B不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0；故C正确；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，即a+b+c＜0，故D正确；故选：B．5．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（）（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证明△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得出答案．解：①∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴BO：OE＝OC：OD＝2：1，∴对△BOD和△COE来说不存在两组对边成比例，故△BOD和△COE不一定相似，故①错误．②∵DE∥BC，∴S△BCD＝S△BCE，∴S△BOD＝S△COE，故②正确；③∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，∴，，∴，∵，∴；故③正确；④由③可知．故④错误．故选：B．6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinαB．a•cosα+b•cosαC．a•sinα+b•cosαD．a•cosα+b•sinα【分析】作AE⊥OB交OB的延长线于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解直角三角形可求出点A到OC的距离．解：如图，作AE⊥OB交OB的延长线于点E，∵OC⊥OB，∴∠AEB＝∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝∠BCO＝α，∵＝cos∠ABE＝cosα，∴BE＝AB•cosα＝a•cosα，∵＝sin∠BCO＝sinα，∴OB＝BC•sinα＝b•sinα，∴OE＝BE+OB＝a•cosα+b•sinα，∵AE∥OC，∴点A、点E到OC的距离相等，∴点A到OC的距离等于a•cosα+b•sinα，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果＝，那么的值等于．【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．解：由＝，得a＝．当a＝时，＝＝＝，故答案为：．8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约7厘米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离．解：设图上距离为x厘米，则1：5000000＝x：35000000，所以x＝7（厘米）．上海与南京的图上距离约7厘米．故答案为7．9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是y＝2x2+3．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．解：二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，得：y＝2x2+3．10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝1：．【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比．解：由勾股定理得：＝100米，∴坡度i＝＝1：．故答案为：1：．11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为12．【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．解：把原点（0，0）代入解析式，得﹣12+m＝0，解得，m＝12，故答案为：12．12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．解：原式＝2×+1﹣2×﹣＝+1﹣1﹣＝0．故答案为：0．13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＞y2（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．【分析】将x＝﹣3和x＝0分别代入函数解析式求得y的值，然后比较大小．解：当x＝﹣3时，y1＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+5＝20，当x＝0时，y2＝5，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM＝2﹣2．【分析】根据PM为MN、PN比例中项得出PM2＝MN×PN，再把MN＝4代入，即可求出答案．解：∵PM为MN、PN比例中项，∴PM2＝MN×PN，∵MN＝PM+PN＝4，∴PM2＝4×（4﹣PM），解得：PM＝2﹣2（负数舍去），故答案为：2﹣2．15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为12．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG ＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为：12．16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝．【分析】根据三角形法则求得和，结合图形易求，然后求比值．解：∵，∴＝﹣＝﹣．∵＝，，∴＝﹣＝+﹣＝﹣＝（﹣）．∴＝﹣＝﹣﹣（﹣）＝﹣＝（﹣）．∴＝．故答案是：．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为（﹣，）．【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE ＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），即可得到3m2＝1，解得m的值，即可求得A的坐标．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE，∴，∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），∴OD＝m2，OE＝9m2，∴ED＝8m2，而CE＝3CD，∴CD＝2m2，OC＝3m2，∴C（0，3m2），∵点C的坐标为（0，1），∴3m2＝1，∴m2＝，∴﹣m＝﹣，∴A（﹣，）．故答案为：（﹣，）．18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为（只需写出一种情况即可）．【分析】根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，得出方程组，解方程组即可．解：如图2所示，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y＝2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x＝（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即较短的那条长为．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos A的值．【分析】过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，利用等腰三角形的性质得出BE，进而利用三角形的面积得出BD，进而解直角三角形即可．解：过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝3，∴AE＝，∴三角形ABC的面积＝AC•BD＝BC•AE，即，∴AD＝，∴cos A＝＝．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，进而得出答案．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）向左平移2﹣（﹣1）＝3个单位，平移后抛物线的顶点为（﹣1，1）落在直线y＝﹣x上，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1．也可以向下平移三个单位得到顶点落在y＝﹣x上．21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．【分析】（1）根据平行线分线段成比例推出，从而推出，则有EF∥BD；（2）根据平行线的性质得到∠DFE＝∠ADB、△CEF∽△CBD，∠FDE＝∠A、△DFE ∽△ADB从而根据相似三角形的性质推出，．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，∴，∵CD2＝CF•CA，∴，∴，∴EF∥BD；（2）∵EF∥BD，∴∠DFE＝∠ADB，△CEF∽△CBD，∴，∵DE∥AB，∴∠FDE＝∠A，∴△DFE∽△ADB，∵，∴．22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．【分析】（1）当∠ANB＝45°时，根据等腰三角形的性质可得∠NMB＝90°．再根据等腰直角三角形的性质和三角函数可得BN的长度，根据CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN即可求解；（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．根据三角函数可得BN＝2BE＝12cm，CB＝AN＝20cm，依此即可作出判断．解：（1）当∠ANB＝45°时，∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝45°，∴∠NMB＝180°﹣∠ANB﹣∠B＝90°．在Rt△NMB中，sin∠B＝，∴BN＝＝＝12cm．∴CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN＝（20﹣12）cm．（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝30°在Rt△BEM中，cos∠B＝，∴BE＝MB cos∠B＝（AN﹣AM）cos∠B＝6cm．∵MB＝MN，ME⊥CB，∴BN＝2BE＝12cm．∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，∴倾斜角不可以小于30°．23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．（1）求证：；（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．【分析】（1）先由AC2＝AD•AB得到△ADC∽△ACB，从而得到∠ADC＝∠ACB，然后结合AE⊥BC，AF⊥CD得到∠AFD＝∠AEC＝90°，从而得证△AFD∽△AEC，最后利用相似三角形的性质得证结果；（2）先由AF⊥CD、AF平分∠DAG得到DF＝FG，然后得到△GFA∽△GEC，得到EG：FG＝EC：FA，结合（1）中的△AEC∽△AFD得到AE：AF＝EC：FD，从而得证结果．【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•AB，∴AC：AB＝AD：AC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴∠ADC＝∠ACB，＝，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFD＝90°，∴△AFD∽△AEC，∴＝，∵＝，∴＝．（2）∵AF⊥CD，AF平分∠DAG，∴DF＝GF，∠AFG＝∠GEC＝90°，∵∠AGF＝∠AGE＝90°，∴△CGE∽△AGF，∴＝，∵由（1）得，△AEC∽△AFD，∴＝，∴：＝：，化简得，＝，∵DF＝GF，∴．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P 坐标．【分析】（1）由点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1，代入即可；（2）由于点C是直线y＝x+1和抛物线对称轴x＝1的交点，确定出点C的坐标，再根据△BCD∽△ABC得到BC2＝CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标即可；（3）设直线DE交y轴于F，连接BF，先证明∠OBF＝∠CBF＝45°，即∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，再证明tan∠DBF＝＝3，接下来连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，设HD＝x，则GH＝3x，由DF＝4x＝3得x＝，可求G（0，），此时求出DG解析式，再与抛物线联立即可求得P的坐标．解：（1）∵点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴＝1，∴对称轴为x＝1，∴B（1，0）；（2）∵直线y＝x+1与此抛物线的对称轴x＝1交于点C，∴C（1，2），∴BC＝2，∵∠DEB＝45°，∠xBA＝45°，∴∠BCD＝∠CBA＝135°，∵∠BDC＝∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴BC2＝CD×AB，∴CD＝2，设点D（m，m+1），∵C（1，2），∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2＝（2）2，∴m＝3或m＝﹣1（舍），∴D（3，4），∵点D在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，∴9a+3b﹣1＝4，∵4a+2b﹣1＝﹣1，∴a＝，b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1；（3）如图，设直线DE交y轴于F，连接BF，∵直线CD：y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，∴F（0，1），E（﹣1，0），∴OF＝1＝OB，OE＝OF＝1，∴∠OBF＝∠CBF＝45°，∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，∵∠CFB＝∠OEF+∠OBF，∴∠CFB＝90°，∵BF＝＝，FD＝＝3，∴tan∠DBF＝＝3，∴tan∠PDC＝3，连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，∴tan∠PDC＝＝3，设HD＝x，则GH＝3x，∵∠GFH＝∠OFE＝45°，∴GH＝FH＝3x，∴DF＝4x＝3，解得x＝，∵GF＝＝3x，∴GF＝，∴GO＝+1＝，∴G（0，），设直线PD：y＝kx+，代入点D（3，4），得k＝，∴直线PD：y＝x+，令y＝x+＝x2﹣x﹣1，整理得10x2﹣17x﹣39＝0，解得x＝3或，∴P的坐标为（，）．25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；②若EF＝CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．【分析】（1）①先证明△ABC∽△ECD，再证明△CAF∽△DEF，△AFE∽△CFD，推导出∠FAE＝∠B，得AE∥BC；②由△AFE∽△BFC，得，依次求出AB、AE、AF、BF的长，再根据勾股定理求出CE的长，再求出BD的长；（2）分三种情况讨论，一是PE＝CE，可证明△PAD≌△CBD，求出AP的长，在Rt△EAC中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是PC＝EC，可证明BD＝BC＝6，则AE＝AP＝AD＝4，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是PE＝PC，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线BA没有交点．【解答】（1）①证明：如图1，∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，∴△ABC∽△ECD，∴∠B＝∠ECD，∵∠CAF＝∠DEF，∠AFC＝∠EFD，∴△CAF∽△DEF，∴，∴AF•DF＝EF•CF，，∵∠AFE＝∠EFD，∴△AFE∽△CFD，∴∠FAE＝∠ECD，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BC．②如图1，∵EF＝CF，∴，∵△AFE∽△BFC，∴，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∴AE＝BC＝×6＝3，AF＝AB＝×10＝，BF＝AB＝×10＝，∵∠EAC＝180°﹣∠ACB＝90°，∴CE＝＝，∴EF＝CE＝，CF＝CE＝，∴DF＝×，解得DF＝，∴BD＝BF﹣DF＝﹣＝．（2）如图2，PE＝CE，∵DE⊥PC，∴PD＝CD，∵AP∥BC，∴∠P＝∠BCD，∠PAD＝∠B，∴△PAD≌△CBD（AAS），∴AP＝BC＝6，∴CE＝PE＝AE+6，∵AE2+AC2＝CE2，∴AE2+82＝（AE+6）2，∴AE＝，∵AE∥BC，∴，∴，∴BF＝；如图3，PC＝EC，∵AC⊥PE，∴AP＝AE，∠ACE＝∠ACP，设DE交AC于点G，∵∠CEG＝∠DAG，∠CGE＝∠DGA，∴△CEG∽△DAG，∴∠ACE＝∠ADE＝∠ACP，∵∠BDC+∠ADE＝90°，∠BCD+∠ACP＝90°，∴∠BDC＝∠BCD，∴BD＝BC＝6，∵∠ADP＝∠BDC，∠P＝∠BCD，∴∠ADP＝∠P，∴AE＝AP＝AD＝10﹣6＝4，∵△FAE∽△FBC，∴，∴，∴BF＝30；如图4，PE＝PC，则∠AEC＝∠DCE，∵∠CAE＝∠EDC＝90°，CE＝EC，∴△ACE≌△DEC，∴∠ACE＝∠DEC＝∠BAC，∴CE∥AB，∴射线CE与射线BA没有交点，综上所述，BF的长为或30．。

2020-2021上海市初三数学上期中模拟试题(附答案)一、选择题1．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130° 2．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）3．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．6．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)7．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 8．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．199．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 10．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 212．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．15．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<o o，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.17．已知点C 在以AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB ＝10，BC ：AC ＝3：4，阴影部分的面积为_____．18．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．19．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm20．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．三、解答题21．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣5，1），B （﹣2，2），C （﹣1，4），请按下列要求画图：（1）将△ABC 先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）画出与△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，并直接写出点A 2的坐标．23．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？24．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．25．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

2020-2021上海上海第中学九年级数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．4 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150° 3．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( ) A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1106．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 7．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．28．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间9．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 10．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ）A ．m ＝3，n ＝2B ．m ＝﹣3，n ＝2C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，1BC =，''A B C 由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ． 4312．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.14．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________． 15．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=16．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为__．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，O 是ABC 的外接圆，30C ∠=，2AB cm =，则O 的半径为________cm ．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数销售价格 不超过30件单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元23．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x 天的成本 y（元/件）与 x （天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售， 第 x 天该产品的销售量 z （件）与 x （天）满足关系式 z ＝x +15．（1）第 25 天，该商家的成本是 元，获得的利润是 元；（2）设第 x 天该商家出售该产品的利润为 w 元．①求 w 与 x 之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？24．如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12cm ，点D 从点A 出发沿边AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC （点E 、F 分别在AC 、BC 上）．设点D 移动的时间为t 秒．（1）试判断四边形DFCE 的形状，并说明理由；（2）当t 为何值时，四边形DFCE 的面积等于20cm 2？（3）如图2，以点F 为圆心，FC 的长为半径作⊙F ，在运动过程中，当⊙F 与四边形DFCE 只有1个公共点时，请直接写出t 的取值范围．25．解方程：2411231x x x -=+--【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：根据题意可得：△=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式． 2．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD ，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，3．C解析：C【解析】【分析】把x 1代入方程ax 2+2x+c=0得ax 12+2x 1=-c ，作差法比较可得．【详解】∵x 1是方程ax 2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax 12+2x 1+c=0，即ax 12+2x 1=-c ，则M-N=（ax 1+1）2-（2-ac ）=a 2x 12+2ax 1+1-2+ac=a （ax 12+2x 1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N ＜0，∴M ＜N ．故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310．故选：A．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．6．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D7．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0． 8．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+-()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．9．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，∴m ＝﹣3，n ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110164c b a ++=， ∴即14是方程N 的一个根，故不符合题意； C 、∵方程M 有两根符号相同， ∴两根之积c a＞0， ∴a c ＞0，即方程N 的两根之积＞0， ∴方程N 的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根也可以是x ＝－1，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a −b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a=−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 14．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为 解析：-1【解析】试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，得，230.a -+=解得： 1.a =-故答案为 1.-15．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1+x 2-x 1x 2=1-a ，∴-=1-a ，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．16．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析：33【解析】连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯=30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×32=33，故答案为：33.17．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰解析：1 6【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16，故答案为：16． 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9，故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r 则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】 解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r ，则2πr=6π，则r=3． 故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算． 20．2【解析】【分析】作直径AD 连接BD 得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB 发现等边△AOB）【详解】作直径AD 连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A解析：2【解析】【分析】作直径AD ，连接BD ，得∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，则AD =4．即圆的半径是2．（或连接OA ，OB ，发现等边△AOB ．）【详解】作直径AD ，连接BD ，得：∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，∴AD =4，即圆的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．三、解答题21．(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.【解析】【分析】（1）根据题意设平均增长率为未知数x ，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y ，再根据题意建立方程式求解.【详解】(1)设平均增长率为x ，则2201)28.8x （+=解得：10.220%x == 2 2.2x =-(舍)·答：年平均增长率为20%(2)设每碗售价定为y 元时，每天利润为6300元()6y -[300+30(25-y )]=6300·解得：120y = 221y =·∵每碗售价不超过20元，所以20y =.【点睛】本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，熟练掌握方程式的实际运用是本题解题关键.22．王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x 件，则每件商品的价格为：[40﹣（x ﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x ﹣30）×0.5]=1400，解得：x 1=40，x 2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．23．（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润．（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式；②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入得：20306070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）则第25天的利润为：（80−35）×40＝1800（元）； 故答案为：35，1800；（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；当20＜x≤60时，2[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++，∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，∴当x=20时，w=50×20+750=1750（元）， 当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）∵1806＞1750，∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．24．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣＜t ＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE 是平行四边形；（2）设点D 出t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，利用BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，求出此时t 的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形；（2）如图1中，设点D 出发t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，根据题意得， DE ＝AD ＝2t ，BD ＝12﹣2t ，CF ＝DE ＝2t ，又∵BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积， ∴2t （12﹣2t ）＝20，t 2﹣6t +5＝0，（t ﹣1）（t ﹣5）＝0，解得t 1＝1，t 2＝5；答：点D 出发1秒或5秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，在Rt △DFB 中，∵∠B ＝90°，AD ＝DF ＝CF ＝2t ，BD ＝BF ＝12﹣2t ，∴2t 2（12﹣2t ），∴t ＝12﹣2，由图象可知，当12﹣2＜t ＜6时，⊙F 与四边形DFCE 有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0，解得：x 1＝－4，x 2＝1．经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝．2．计算：＝．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．已知行列式，则＝．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．二、选择题（共4小题）.13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．参考答案一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤2}．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}2．计算：＝．解：＝＝﹣．故答案为：﹣．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝1﹣2i．解：∵＝i，∴＝i，∴z＝＝＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是（x∈R）．解：函数f（x）＝x3，反函数为（x∈R）．故答案为：（x∈R）．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1．解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．6．已知行列式，则＝3．解：∵＝1×﹣2×+3×＝3×，∴＝3，故答案为：3．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45＝x+32，x＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝8．解：数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，q＝＝＝．所以a1（）＝3，解得a1＝4，S n＝，则＝＝＝8．故答案为：8．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，基本事件总数n＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m＝＝36，则每个项目都有该校教师参加的概率为p＝＝．故答案为：．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．解：设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），c2＝a2﹣3，过原点O且倾斜角为60°的直线方程为，联立，消去y得，，∴，∵，∴，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，y0）＝0，∴，化简整理得，a4﹣6a2﹣3＝0，解得，∴，∴椭圆C的长轴长为．故答案为：．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝12．解：连接BM，BN，因为AB为直径，所以∠AMB＝∠ANB＝90°，又因为AB＝5，AM＝3，BN＝2，∴BM＝＝4；∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣•+•＝||•||cos∠ABM﹣||•||•cos∠ABN＝﹣＝42﹣22＝12．故答案为：12．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．解：如图，由条件可得△PAB为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，因为D为BC的中点，所以AD＝，由于PA2+AD2＝PD2，所以∠PAD＝90°，∠PAB ＝90°，则PA⊥底面ABC，球心O到面ABC的距离为OE＝AH＝1，AE＝，所以球O的半径OA＝＝，所以球的体积为V＝＝．故答案为：．二、选择题13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．解：对于A，当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故选项A错误；对于B，因为（a+b）2≥0，所以a2+b2+2ab≥0，则a2+b2≥﹣2ab，故选项B正确；对于C，当a＜0，b＜0时，不等式不成立，故选项C错误；对于D，当a＝0，b＝﹣1时，不等式不成立，故选项D错误．故选：B．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．解：f（x）＝sin x+a cos x＝（sin x•+cos x•），设cosθ＝，sinθ＝，则tanθ＝a，即f（x）＝sin（x+θ），∵f（x）的图象关于直线对称，∴+θ＝kπ+，k∈Z，则θ＝kπ+，k∈Z，∵a＝tanθ＝tan（kπ+）＝tan＝1，故选：A．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）解：当n＝1，2，3，4，…时，f（n）＝的函数值为：1，0，1，0，…对于A：f（2）﹣f（1）＝﹣1，故A不成立；对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；对于C：n为偶数，则αf（n）＝1，f（n+1）+αf（n）＝1；n为奇数，则αf（n）＝α，f（n+1）+αf（n）＝α；∴C正确；对于D：αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；故选：C．16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣，所以函数f（x）的图象如图．g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点，即函数f（x）与函数y＝x+b有三个交点，当直线y＝x+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，即＝x+b有2个相等的实数根，即x2+bx﹣1＝0有2个相等的实数根．由△＝0求得b＝，数形结合可得g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点时，实数b满足﹣＜b＜，故此式要求的b的集合为（﹣，）．再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k﹣，4k+），k∈Z，故选：C．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．解：（1）由∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，得BC＝，∴．由三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，得，解得CC1＝6．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（，，0），B1（0，，2），C1（0，0，2）．，．设平面C1B1D的法向量为，由，取z＝1，得．平面A1B1C1的法向量．记二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为θ，则cosθ＝．∴二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为arccos．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．解：（1）当a≠2时，f（1）＝a﹣1，f（﹣1）＝a﹣3，故f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），于是f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；当a＝2时，f（x）+f（﹣x）＝2a﹣﹣＝2a﹣4＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故此时f（x）为奇函数；（2）由f（x）为奇函数，由（1）可得a＝2，则f（x）＝2﹣，由不等式f（x）≥，可得u≤2•3x﹣，可令3x+1＝t，t∈[4，244]，（因为x∈[1，5]），故u≤2（t﹣1）﹣＝2（t+）﹣6，由于函数φ（t）＝2（t+）﹣6的导数φ′（t）＝2（1﹣）＞0，可得φ（t）在[4，244]递增，所以φ（t）min＝φ（4）＝3，因此不等式在x∈[1，5]上恒成立时，u的最大值为3．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．解：（1）如图，连结OP，设NP＝3a，则MN＝2a，OM＝，因为OP2＝PN2+ON2，则有，解得，所以此国旗的面积为＝（m2）；（2）设∠POB＝α，则PN＝，OM＝，所以，故此国旗的面积为，整理可得，其中，因为，故，所以当且仅当时，，故组成的红旗图案的最大面积为（m2）．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．解：（1）由题意可知：准线方程x＝﹣1，则﹣＝﹣1，则p＝2，∴抛物线的标准方程为：y2＝4x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x＝t，代入y2＝4x得，A（t，2），B（t，﹣2），则•＝t2﹣4t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k≠0），则l的方程为x＝my+t，联立，整理得：y2﹣4ky﹣4t＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2＝t2．•＝x1x2+y1y2＝t2﹣4t，综上，•的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2＝（x﹣t）2+（2﹣0）2＝x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），由二次函数的性质可知：当对称轴x＝t﹣2＜0，即0＜t＜2时，当x＝0时，丨PT丨取最小值，最小值为t，当t﹣2≥0时，即x＝t﹣2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）＝．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．解：（1）若{a n}是“D1型”数列，可得a m、a m+1、a m+2成等比数列，即有{a n}为等比数列，设公比为q，q＞0，且，可得q2＝，即q＝，则＝＝＝2；（2）若{a n}是“D2型”数列，可得a m、a m+2、a m+4成等比数列，可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，当n为奇数时，a n＝1；当n为偶数时，a n＝2，当n为偶数时，前n项和S n＝+＝2﹣1+；当n为奇数时，前n项和S n＝+2﹣1；（3）证明：{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”1列，可得当m≥4时，a m﹣3，a m﹣1，a m+1，a m+3成等比数列；a m﹣3，a m，a m+3也成等比数列．从而当m≥4时，a m2＝a m﹣3a m+3＝a m﹣1a m+1．所以当n≥4时，a m2＝a m﹣1a m+1，即＝，即＝．当n≥4时，设q＝．当1≤m≤3时，m+3≥4，从而由（*）式知a m+32＝a m a m+6，故a m+42＝a m+1a m+7，从而＝•＝q2，因此＝q对任意n≥1都成立．故数列{a n}为等比数列．。

2020-2021学年上海市徐汇中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝（2x﹣1）2B．y＝（x+1）2﹣x2C．y＝ax2D．y＝2x+32．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，下列各式正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）4．（4分）已知，那么下列等式中不正确的是（）A．3x＝2y B．C．D．5．（4分）下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C．两个全等三角形一定相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似6．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＞0D．a+b+c＜0二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝厘米．8．（4分）已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向．9．（4分）抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标是．10．（4分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为．11．（4分）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线．12．（4分）如果与单位向量的方向相反，且长度为5，用单位向量表示，则＝．13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是．14．（4分）已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE 为4，那么△DEF的周长是．15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是．16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为12，DE＝5，AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点P、M、Q，则PM：MQ＝．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D、E分别在BC、AC 上，且BD＝CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CE⊥BD于点E，点F是AB的中点，则EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知，a﹣b+2c＝14，求a，b，c的值．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（4，﹣1），B（1，2）（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）该抛物线对称轴与抛物线交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．21．（10分）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE•OC．22．（10分）如图已知：梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD的中点，直线BE、CD交于点F．（1）若FD＝4，，求线段DC的长；（2）如果AB2＝AG•AC，求证：BG•BE＝BC•DE．23．（12分）已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12cm，高AH＝8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF＝2：3时，求这个矩形零件的面积；（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）在抛物线上有一点E，且点E在C′的左侧，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若△EFM与△MON相似，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P（C′点除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，写出点P坐标，不存在，写出理由．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．2020-2021学年上海市徐汇中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝（2x﹣1）2B．y＝（x+1）2﹣x2C．y＝ax2D．y＝2x+3【解答】解：A、y＝（2x﹣1）2＝4x2﹣4x﹣1是二次函数，故本选项符合题意；B、y＝（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；C、y＝ax2当a等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意；D、y＝2x+3是一次函数，故本选项不合题意．故选：A．2．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，下列各式正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴，所以选项C正确；将A选项与正确结论比较，可知选项A错误；由AB∥CD，可得，所以选项B错误；由AB∥CD，可得，所以选项D错误，故选：C．3．（4分）抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，∴m＝3，∴解析式y＝（x﹣3）2+1，∴顶点坐标为：（3，1），故选：A．4．（4分）已知，那么下列等式中不正确的是（）A．3x＝2y B．C．D．【解答】解：A、∵，∴3x＝2y，故本选项正确；B、由可得＝，故本选项正确；C、由得3x＝2y，∵可得3（x+2）＝2（y+3），整理得3x＝2y，故本选项正确；D、∵，∴＝，故本选项错误．故选：D．5．（4分）下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C．两个全等三角形一定相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似【解答】解：两个等边三角形，三角相等，一定相似，A是真命题；有一个锐角相等的两个直角三角形，三角相等，一定相似，B是真命题；全等三角形是特殊的相似三角形，C是真命题；有一个锐角相等的两个等腰三角形，其它两角不一定相等，不能判定这两个三角形相似．故选：D．6．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＞0D．a+b+c＜0【解答】解：由图象的开口向上，可得a＞0，由x＝﹣＞0，可得b＜0，由二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴于正半轴可得c＞0，当x＝1时，y＝a+b+c，由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知a+b+c＜0．∴不正确的是b＞0．故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝2厘米．【解答】解：∵线段a和b的比例中项为c，∴a：c＝c：b，即4：c＝c：3，∴c＝2（cm）．故答案为2．8．（4分）已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向向上．【解答】解：y＝a（x+m）2的对称轴为直线x＝﹣m，∵顶点在y轴的右侧，∴﹣m＞0，m＜0，∵am＜0，∴a＞0，开口方向向上，故答案为向上．9．（4分）抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标是（2，5）．【解答】解：∵y＝3x2﹣12x+17＝3（x﹣2）2+5，∴抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标为（2，5），故答案为（2，5）．10．（4分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为y＝﹣2x2．【解答】解：根据题意，把x＝0，y＝0代入，得m2﹣9＝0，解，得m＝±3，又二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，∴m+1＜0，m＜﹣1，∴m＝﹣3，∴函数解析式为y＝﹣2x2，故答案为：y＝﹣2x2．11．（4分）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．【解答】解：∵点A（﹣6，3），B（2，3）纵坐标都是3，∴此抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2．故答案为x＝﹣2．12．（4分）如果与单位向量的方向相反，且长度为5，用单位向量表示，则＝﹣5．【解答】解：∵与单位向量的方向相反，且长度为5，∴＝﹣5．故答案是：﹣5．13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是5．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB＝＝15，则斜边AB上的中线为：，∴重心G到C点的距离是：×＝5，故答案为：5．14．（4分）已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE为4，那么△DEF的周长是13．【解答】解：∵△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝18，∴△ABC的周长是12+9+18＝39．∵△ABC∽△DEF，AB的对应边DE为4，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝12：4＝3，∴△DEF的周长是39÷3＝13．故答案为13．15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是1或﹣1．【解答】解：令x＝0，则y＝3，即点C的坐标是（0，3），则OC＝3．①如图1，点A、B均在x轴的正半轴上时．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，则ax2+bx+3＝0，∴1，3的该方程的两个根，∴3＝，解得，a＝1；②如图2，当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴上时．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，则ax2+bx+3＝0，∴﹣1，3的该方程的两个根，∴﹣3＝，解得，a＝﹣1；综合①②知，a的值是1或﹣1．故答案是：1或﹣1．16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为12，DE＝5，AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点P、M、Q，则PM：MQ＝5：19．【解答】解：如图，连接AQ，QE，PE，延长AE交BC的延长线于N，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝13，∵PQ垂直平分AE，∴AP＝PE，AQ＝EQ，EM＝AM＝AE＝，设PD＝x，在Rt△PDE中，则AP＝PE＝12﹣x，在Rt△PDE中，由勾股定理得：PE2＝PD2+DE2，∴（12﹣x）2＝x2+52，解得：x＝，即PD＝，∴AP＝12﹣＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴△ADE∽△NCE，∴＝＝，∴＝＝，∴CN＝，EN＝，∴NM＝EN+EM＝+＝，∵AD∥BC，∴△APM∽△NQM，∴＝，∴＝＝，即PM：MQ＝5：19，故答案为5：19．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D、E分别在BC、AC 上，且BD＝CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为1．【解答】解：延长DF交AC于G，设BD＝CE＝x，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵点C关于DE的对称点为F，∴EF＝CE＝x，∵DF∥AB，∴∠A＝∠EGF，∴△ABC∽△EGF，∴，∴，∴GE＝，∴CG＝GE+CE＝，∵DF∥AB，∴，∴，∴x＝1，∴BD＝1，故答案为：1．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CE⊥BD于点E，点F是AB的中点，则EF＝．【解答】解：在BD上截取BH＝CE，连接FE，∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDE∽△BDC，∴，∴CE＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点F是AB的中点，∴AF＝CF＝BF，∠A＝∠ACF＝∠BCF，∴∠FCE+∠DCE＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCE＝∠CBD，在△CEF与△BHF中，，∴△CEF≌△BHF（SAS），∴FE＝FH，∠BFH＝∠EFC，∵FC⊥BE，∴∠HFE＝90°，∴△EFH是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣BH﹣DE＝，∴FE＝EH×，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知，a﹣b+2c＝14，求a，b，c的值．【解答】解：设＝k∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a﹣b+2c＝14，∴2k﹣3k+8k＝7k＝14，解得：k＝2，∴a＝4，b＝6，c＝8．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（4，﹣1），B（1，2）（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）该抛物线对称轴与抛物线交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）把A（4，﹣1），B（1，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得m＝4，n＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣1；抛物线的对称轴为直线＝﹣＝2；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，﹣1），B（1，2）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则直线AB与x轴的交点坐标为（3，0），而C（2，0），所以△ABC的面积＝×（3﹣1）×2+×（3﹣1）×1＝3．21．（10分）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE•OC．【解答】证明：（1）∵OD＝2OA，OC＝2OB，∴．（2分）又∠AOB＝∠DOC，（2分）∴△AOB∽△DOC．（2分）（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．∴∠ABO＝∠DCO．（1分）∵AB∥DE，∴∠ABO＝∠EDO．（1分）∴∠DCO＝∠EDO．（1分）∵∠DOC＝∠EOD，∴△DOC∽△EOD．（1分）∴．（1分）∴OD2＝OE•OC．（1分）22．（10分）如图已知：梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD的中点，直线BE、CD交于点F．（1）若FD＝4，，求线段DC的长；（2）如果AB2＝AG•AC，求证：BG•BE＝BC•DE．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE＝ED，∴，∴FD＝4，∴FC＝12，∴DC＝8；（2）∵AB2＝AG•AC，∴，∵∠BAC＝∠BAC，∴△BAG∽△CAB，∴∠ABG＝∠BCA，∵AD∥BC，∴∠AEG＝∠EBC，∴△BAE∽△CGB，∴，∴BG•BE＝AE•BC，∵AE＝ED，∴BG•BE＝ED•BC．23．（12分）已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12cm，高AH＝8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF＝2：3时，求这个矩形零件的面积；（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．【解答】解：（1）∵矩形零件的两边EF：GF＝2：3，∴设EF＝2x，GF＝3x，∵FG∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，则＝，解得：x＝2，则EF＝4cm，FG＝6cm，故这个矩形零件的面积为：24cm2；（2）∵BC＝12cm，高AH＝8cm，∴S△ABC＝×12×8＝48（cm2），∵矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9，∴矩形零件DEFG的面积为：48×＝（cm2），设EF＝acm，则FG＝cm，∵由（1）得：＝，∴＝，解得：a1＝，a2＝，当EF＝a＝，则FG＝8，此时EF：GF＝：8＝1：3；当EF＝a＝，则FG＝4，此时EF：GF＝：4＝4：3．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）在抛物线上有一点E，且点E在C′的左侧，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若△EFM与△MON相似，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P（C′点除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，写出点P坐标，不存在，写出理由．【解答】解：（1）如图1，∵四边形OABC是矩形，且A（3，0），C（0，1），∴B（3，1），由旋转得A′（0，3），C（﹣1，0），且四边形OA′B′C′是矩形，∴B′（﹣1，3），设直线BB′的解析式为y＝kx+m，则，解得，∴直线BB′的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝；当y＝0时，则0＝x+，解得x＝5，∴M（5，0），N（0，），把M（5，0）、N（0，）、C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x+．（2）如图1，设E（x，x2+2x+），则F（x，0），∵∠MFE＝∠MON＝90°，且△EFM∽△MON，∴或，若，则＝，整理得x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝﹣2，x2＝5（不符合题意，舍去），∴E（﹣2，﹣）；若，则＝，整理得x2＝25，解得x1＝﹣5，x2＝5（不符合题意，舍去），∴E（﹣5，﹣20），综上所述，点E的坐标为（﹣2，﹣）或（﹣5，﹣20）．（3）如图2，作OQ⊥MN于点Q，延长OQ到点G，使GQ＝OQGR⊥y轴于点R，作射线MG交抛物线于点P，∵MN垂直平分OG，∴GM＝OM，∴∠PMN＝∠OMN，∵∠MON＝90°，ON＝，OM＝5，∴MN＝＝，∴×OQ＝××5＝S△MON，解得OQ＝，∴OG＝2OQ＝2，∵∠OQM＝90°，∴∠ROG＝90°﹣∠QOM＝∠OMN，∵∠ORG＝∠MON＝90°，∴△ROG∽△OMN，∴＝＝＝＝，∴RG＝×＝2，OR＝×5＝4，∴G（2，4），设直线MP的解析式为y＝px+n，则，解得，∴直线MP的解析式为y＝x+，由，得，（不符合题意，舍去），∴P（，）．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【解答】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB∥CD，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴＝＝，＝，∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴＝，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF∥BC，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由＝得，＝，∴BN＝，∴y＝＝＝，如图3，当3＜x＜4.5时，由＝得，＝，∴CN＝，∴y＝＝；（3）如图4，∵EG∥AB，∴＝＝，∴CG＝CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，当BM＝BE＝5时，9﹣2x＝5，∴x＝2，如图5，当EM＝EB＝5时，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x，如图6，当EM＝BM时，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝，sin∠MBH＝sin∠BEG＝＝，∴BM＝＝＝，∴9﹣2x＝，∴x＝，综上所述：x＝2或或．。

2020-2021上海中国中学九年级数学上期中试题带答案一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 2．函数y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，1） 3．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④ 4．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）5．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 6．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +< 7．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7 8．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 9．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A ．15cmB ．12cmC ．10cmD ．20cm10．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 12．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）A ．AB=CDB ．AB=BC C ．AC ⊥BD D ．AC=BD 二、填空题13．已知：如图，CD 是O e 的直径，AE 切O e 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，20A ∠=o ，则DBE ∠=________度．14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．15．关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3＝0有实数根，则k 应满足的条件是_____. 16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．18．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．19．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²．20．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．三、解答题21．如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ∆，连接DE.（1）如图1，求证：CDE ∆是等边三角形；（2）如图2，当6<t<10时，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.22．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w （元）与售价x （元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w （元）最大？最大利润是多少？23．已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AC·AD=AB·AE ； （2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．24．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣5，1），B （﹣2，2），C （﹣1，4），请按下列要求画图：（1）将△ABC 先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．B解析：B【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

上海徐汇中学2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)一、选择题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ）A ．2210x x+= B ．220x x --= C ．2320x xy -= D ．240y -= 2．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则ADE ABC 的面积的面积＝（ ）A ．13B ．14C ．16D ．194．若25x y =，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．755．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．45°6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，ABAD=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）A ．12AE EC = B ．2ECAC= C ．12DE BC = D ．2ACAE= 7．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 内部8．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝12x B ．y ＝2x 2-1C ．y ＝23x +D ．y ＝x 2＋1x＋1 9．已知a 是方程x 2+3x ﹣1＝0的根，则代数式a 2+3a+2019的值是( ) A ．2020B ．﹣2020C ．2021D ．﹣202110．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．5611．方程2210x x --=的两根之和是（ ） A ．2-B ．1-C ．12D ．12-12．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）A ．3B ．234C 1433D 223313．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>14．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x…134 …y … 2 4 2 ﹣2…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间15．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=1x﹣2实数根的情况是（）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根二、填空题16．已知tan（α+15°）=33，则锐角α的度数为______°．17．O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与O的位置关系是______. 18．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．20．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为_________．21．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为_____．22．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________23．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD 和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．24．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.25．如图，直线y=12x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在直线AB 上，且点C 的纵坐标为﹣1，点D 在反比例函数y=k x 的图象上，CD 平行于y 轴，S △OCD =52，则k 的值为________．26．如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一个动点（不与点A 、B 重合），且AC+BC=8，若AB=m （m 为整数），则整数m 的值为______．27．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，E 、F 分别为AC 、AD 上两动点，连接CF 、EF ，则CF ＋EF 的最小值为_____．28．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．29．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．30．若把一根长200cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．三、解答题31．某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？ 32．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：表中数据a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．33．如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.（1）求证：△DAC∽△EBC；（2）求△ABC与△DEC的面积比．34．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？35．小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？四、压轴题36．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？37．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=13BCAB=，可设BC=x，则AB=3x，…．【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=35，求sin2β的值．38．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE，连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF（1）若BAPα∠=，直接写出ADF∠的大小（用含α的式子表示）.（2）求证：BF DF⊥.（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明.39．如图，已知抛物线234y x bx c=++与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．40．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A.2210x x+=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程, 故选B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2．D解析：D 【解析】 【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x 的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解. 【详解】 解：根据题意得， a-1=1,2+m=2, 解得，a=2,m=0, ∴a-m=2. 故选：D. 【点睛】本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.3．D解析：D 【解析】 【分析】由DE ∥BC 知△ADE ∽△ABC ，然后根据相似比求解． 【详解】 解：∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC.又因为DE＝2，BC＝6，可得相似比为1:3.即ADEABC的面积的面积=2213：=19.故选D.【点睛】本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．4．D解析：D【解析】【分析】由已知可得x与y的关系，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵25xy=，∴25x y =，∴2755y yx yy y++==.故选：D.【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.5．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，∴∠BAO=∠ABO=35°，∴∠O=180°-35°×2=110°，∴∠C=12∠O=55°．故选：C．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.6．D【解析】【分析】 只要证明AC AB AE AD =，即可解决问题． 【详解】解:A.12AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD =不成比例，故不能判定 B. 2EC AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB AD =，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；12DE BC = D. 2AC AB AE AD==，可得DE//BC ， 故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．D解析：D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d 的范围，进而得出d 与r 的数量关系，即可判断点P 和⊙O 的关系..【详解】解：∵关于x 的方程x 2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d ≥0，解得d ≤1，∵⊙O 的半径为r=1,∴d ≤r∴点P 在圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r 时，点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.8．B解析：B【分析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A. y＝12x是正比例函数，不符合题意；B. y＝2x2-1是二次函数，符合题意；C. yD. y＝x2＋1x＋1不是二次函数，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．9．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得a2+3a的值，然后再代入求值即可.【详解】解：根据题意，得a2+3a﹣1＝0，解得：a2+3a＝1，所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020.故选：A.【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键10．B解析：B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21=63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算. 11．C解析：C【解析】【分析】利用两个根和的关系式解答即可.【详解】两个根的和=1122b a ， 故选：C.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式， 1212,b c x x x x a a+=-=. 12．C解析：C【解析】【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，∴易证AE ⊥BC ，∵A 、C 关于BD 对称，∴PA ＝PC ，∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝∵BC ∥AD ，∴AD PD BE PB= ＝2， ∵BD＝ ∴PD＝23⨯= ∴点H 的横坐标b， ∴a +b＝33=； 故选C ．【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．14．D解析：D【解析】【分析】根据表中的对应值，求出二次函数2y ax bx c =++的表达式即可求解．【详解】解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴二次函数表达式为232y x x =-++∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；令0y =，得2320x x -++=，解得：13172x +=，23172x -= ∵31710--＜＜，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．15．C解析：C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点 所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意. 二、填空题16．15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan （α+15°）=∴α+15°=30°,故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，解析：15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan（α+15°）∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．17．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的解析：相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，∵4＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.18．【解析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，∴R解析：【解析】【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，90=25180R∴R=20，225515 .故答案为：【点睛】本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.19．【解析】【分析】作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.【解析：3 2【解析】【分析】作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,∵E 是AB 的中点，M 是BD 的中点，AD=2，∴EM 为△BAD 的中位线，∴112122EM AD , 在Rt △ACB 中，AC=4,BC=3，由勾股定理得，AB=2222435AC BC +=+=∵CE 为Rt △ACB 斜边的中线，∴1155222CE AB , 在△CEM 中，551122CM ,即3722CM ， ∴CM 的最大值为32 .故答案为：32. 【点睛】 本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM 为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.20．【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO 与AB 的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.【详解】解：解析：8179【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.【详解】解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，∴△CEF≌△DBF，∴BF=EF=12BE=12，∵BF∥AD，∴△BOF∽△AOD，∴11248 BO BFAO AD===，∴89AO AB=，∵221417 AB=+=，∴8179 AO=.故答案为：817【点睛】本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.21．【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的410【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵5AB=2，∴BE=1，∴222BM BE+=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AM ME FN AN=，242xx=-，解得：x=4 3∴22410AD DF+=故答案为4103．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，22．x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．解析：x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．23．（，2）．【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=解析：（32，2）．【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=x2，∴x=52，∴BE=ED=52，AE=AD-ED=32，∴点E坐标（32，2）．故答案为：（32，2）．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．24．3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．25．【解析】【分析】【详解】试题分析：把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y 轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：把x=2代入y=12x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．解：∵点C在直线AB上，即在直线y=12x﹣2上，C的横坐标是2，∴代入得：y=12×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，∵CD∥y轴，S△OCD=52，∴12CD×OM=52，∴CD=52，∴MD=52﹣1=32，即D的坐标是（2，32），∵D在双曲线y=kx上，∴代入得：k=2×32=3．故答案为3．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．26．6或7【解析】【分析】因为直径所对圆周角为直角，所以ABC的边长可应用勾股定理求解，其中，且AC+BC=8，即可求得，根据基本不等式，可得的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可解析：6或7【解析】【分析】 因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中222AB =AC BC +，且AC+BC=8，即可求得22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥2AB 的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可得出AB 可能的长度．【详解】 解：∵直径所对圆周角为直角，故ABC 为直角三角形，∴根据勾股定理可得，222AB =AC BC +，即22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，又∵AC+BC=8，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥∴0<AC BC 16⋅≤，代入22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅∴232AB 64≤≤，同时AB 要满足整数的要求，∴AB=6或7或8，但是三角形三边关系要求，任意两边之和大于第三边，故AB ≠8， ∴AB=6或7，故答案为：6或7．【点睛】本题主要考察了直径所对圆周角为直角、勾股定理、三角形三边关系、基本不等式，解题的关键在于找出AB 长度的范围． 27．【解析】【分析】作BM⊥AC 于M ，交AD 于F ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM ，根据对称性质求出BF ＝CF ，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥BM，即可得出答案 解析：245【解析】【分析】作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD ⊥BC ，根据三角形面积公式求出BM ，根据对称性质求出BF ＝CF ，根据垂线段最短得出CF ＋EF ≥BM ，即可得出答案．【详解】作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C关于AD对称，∴BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF＋EF＝BF＋EF≥BF＋FM＝BM，即CF＋EF≥BM，∵S△ABC＝12×BC×AD＝12×AC×BM，∴BM＝642455 BC ADAC，即CF＋EF的最小值是245，故答案为：245．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．28．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.29．【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、解析：1 4【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，所以恰好能搭成一个三角形的概率＝14．故答案为14．【点睛】本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．30．1250cm2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm和（200﹣x）cm两部分，则两个正方形的边长分别是cm，cm，再列出二次函数，求其最小值即可．【详解】如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣解析：1250cm 2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，则两个正方形的边长分别是4x cm ，2004x -cm ，再列出二次函数，求其最小值即可． 【详解】如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，列二次函数得：y ＝（4x ）2+（2004x -）2＝18（x ﹣100）2+1250， 由于18＞0，故其最小值为1250cm 2， 故答案为：1250cm 2．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．三、解答题31．（1）20%；（2）8640万元.【解析】【分析】（1）设平均增长率为x,根据题意可得2018年投入的资金是5000(1+x)万元，2019年投入的资金是5000(1+x) (1+x)万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.（2）相当于数字7200增长了20%，列式计算.【详解】解：（1）设两年间每年投入资金的平均增长率为x ，根据题意得，5000(1+x)2=7200解得，x 1=0.2=20%，x 2= -2.2（不符合题意，舍去）答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；（2）根据题意得，7200（1+20%）=8640万元.答：在2020年预计需投入8640万元.【点睛】。

2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在1：1000000的地图上，A，B两地之间的距离是3cm，则A，B两地的实际距离为()A. 3kmB. 30kmC. 300kmD. 3000km2.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，过C作⊙O的切线CD，切点为D，连接AD.若⊙O的半径为6，tanC=3，则线段AC的4长为()A. 10B. 12C. 16D. 203.如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=4，AB=6，则sinA等于()A. √22B. √32C. 45D. 354.如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为()A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF//BD交AB于点F，过点E作EG//AC交CD于点G，下列结论错误的是()A. EF BD =CG GDB. AC EG =AD DEC. BF AF =DG GCD. EG AC +EF BD =16. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BC 边上，且CE =2BE ，连接AE 交BD 于点G ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，连接OF 并延长，交BC 于点M ，过点O 作OP ⊥OF 交DC 于占N ，S 四边形MONC =94，现给出下列结论：①GE AG =13；②sin∠BOF =3√1010；③OF =3√55；④OG =BG ；其中正确的结论有( )A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. △的三条边长分别为3、4、5，与△相似的△Ａ′Ｂ′Ｃ′的最长边的长是15，则△Ａ′Ｂ′Ｃ′最短边的长为_________．8.计算：(−12)−1+2sin60°+|9−√3|=______． 9. 如图，AC 是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD 为坡面的斜坡，小明在A 点观察点D 的俯角为30°，在A 点观察点B的俯角为45°，若坡面BD 的坡度为1：√3，则BD 的长为______．10. 如图4，AD//BC ，AC 、BD 相交于点O ，且S △AOD ：S △BOC =1：4.设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示)11.△ABC中，tanB=2，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，3则△ABC面积的所有可能值为______．12.如图，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个______ ．13.如图，E为平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AE的延长线交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：______．14.在半径为1的⊙O中，弦AB长√2，弦AC的长为√3，则∠BAC的度数为______ ．15.已知某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，则较长的一边长为______．16.在△ABC中，AB=AC，点E是AC中点，点D是BC上一点，连接DE，∠AED=45°，连接AD，∠BAD=2∠CDE，tan∠BAD=3，EF⊥AB，EF=4，则BD=______．417.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，则DE=______．18.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A2019B2019C2019D2019四条边上的整点共有______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）19.如图，从点A(0,2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4,3)，求这束光从点A到点B所经过路径的长．四、解答题（本大题共6小题，共66.0分）)−1+2cos60°20.计算|−1|−(3−π)0+√16+(−1221.图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中画出一个以AB为一边的等腰△ABC，使点C在格点上，且面积为15；2(2)在图②中画出一个以AB为一边的等腰△ABD，使点D在格点上，且tan∠DAB=3，并直接写出△ABD底边上的高．22.如图，在菱形中ABCD中，∠ABC=60°，点F为AD边上一点，连接BF交对角线AC于点G．(1)如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；(2)如图2，已知点E为AB边上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC=60°，CH=2BH，求证：AH⊥CE．23.如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取BF⏜的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．(1)求证：△HBE∽△ABC；(2)若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．24.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点P在△ABC的内部．(1)如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cosα=______，△PMN周长的最小值为______；(2)如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=√2，PB=√10，PC=1，求△ABC的面积；(3)若PA=m，PB=n，PC=k，且k=mcosα=nsinα，直接写出∠APB的度数．25.如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,−2)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移√5个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．。

上海市徐汇区徐汇中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果:1:2x y=，那么下列各式中不成立的是（）A．32x yy+=；B．12y xy-=；C．21yx=；D．1213xy+=+【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意分析可知：A中，131,,22x y x x x yy y y y++=+=⇒=，故不选A；B中，111122y x xy y-=-=-=，故不选;C中，1221x yy x=⇒=；D中，1213xy+≠+，故选D考点：代数式的运算点评：本题属于对代数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解2．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么△B的余弦值（）．A．扩大2倍B．缩小2倍C．大小不变D．不能确定.【答案】C【解析】【分析】由于△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角B的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角B的余弦函数值也不变．【详解】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角B的大小没改变，所以锐角B的余弦函数值也不变．故选：C．【点睛】本题考查了余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．3．如图,已知AB△CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为()A ．:1:2BO CO =B ．:1:2CO BC = C ．:3:2AD DO = D ．:1:2AB CD =【答案】B【解析】【分析】 根据AB△CD ，易证△AOB△△DOC ，利用对应边成比例即可解答．【详解】解：△AB△CD ，△△AOB△△DOC△:2:1:AB B C CD O O ==，故A 、D 选项正确；B 、△:1:2BO CO =，△:2:1CO DO =△():2:122:3CO BC =+=，故本选项错误．C 、△:1:2AO DO ＝，△():1223:2AD DO =+=:，故本选项正确；故选：B ．【点睛】本题主要考相似三角形对应边比例，需要熟练运用比例的性质．4．将抛物线23y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．23(2)y x =-+B ．232y x =-+C ．23(2)y x =--D ．232y x =--【答案】A【解析】【详解】解：△抛物线23y x =-向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），△所得抛物线的解析式为23(2)y x =-+．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．5．若二次函数21y ax bx =-+的图像经过一、二、三象限，则下列结论正确的是（ ）．A ．24a b >B ．0a <C ．0b >D ．1a b ->-．【答案】D【解析】【分析】二次函数21y ax bx =-+的图像经过一、二、三象限,则此二次函数开口向上,与y 轴交于(0,1),对称轴在y 轴左侧,按此分析各选项即可;【详解】解: 21y ax bx =-+的图像经过一、二、三象限△二次函数开口向上,即0a ＞,故B 错;二次函数与x 轴有两个交点,即240b a ->,故A 错;对称轴在y 轴左侧,即2b a --＜0,又0a ＞可得0b ＜,故C 错; 当x =1时,y ＞0,△a-b +1＞0,即1a b ->-,故D 对．故答案为:D【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键．6．如图，点A （1，7），B （1，1），C （4，1），D （6，1），若△CDE 与△ABC 相似，那么在下列选项中，点E 的坐标不可能．．．是（ ）．A ．（6，2）B ．（6，3）C ．（6，5）D ．（4，2）．【答案】B【解析】【分析】 分C 、D 为直角顶点的情况进行考虑即可判断．【详解】解：△AB =6，BC =3 △3162BC AB == △若C 为直角顶点 则当212CD CE CE ==或122CE CE CD ==时，△CDE 与△ABC 相似 △CE =4或CE =1△点E 的坐标为(4，5)或(4，2)△若D 为直角顶点 则当212CD DE DE ==或122DE DE CD ==时，△CDE 与△ABC 相似 △DE =4，DE =1△点E 的坐标为(6，5)或(6，2)而当E 为(6，3)时，CE =DE =3，1CE CD=，△CDE 与△ABC 不相似 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是分类讨论．二、填空题7．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a =12，c =3，那么b =___________．【答案】6【解析】【分析】根据线段比例中项的概念，可得a ：b ＝b ：c ，可得b 2＝ac ，故b 的值可求．【详解】解：线段b 是线段a 、c 的比例中项，即a ：b ＝b ：c ，△b 2＝ac =36，故线段b 的长为6（负值舍去）故答案为：6．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b ＝c ：d （即ad ＝bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．8．计算：(2)(2)m n m n --+-=_________．【答案】0【解析】【分析】去括号然后合并同类项即可．【详解】(2)(2)220m n m n m n m n --+-=-++-=故答案为：0．【点睛】本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号、合并同类项，注意：当括号前是“－”时，去掉括号后，括号里的各项要变号．9．如果抛物线2(4)y k x k =++的开口向下，那么k 的取值范围是_________________．【答案】k ＜-4【解析】【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数4+k ＜0．【详解】因为抛物线y =（4+k ）x 2+k 的开口向下，所以4+k ＜0，即k ＜﹣4．故答案为k ＜﹣4．【点睛】本题考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）来说，当a ＞0时，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）开口向上；当a ＜0时，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）开口向下．10．如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．【答案】1：2【解析】【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成．【详解】△相似三角形面积的比等于相似比的平方△两个相似三角形的相似比为1：2△两个相似三角形周长的比等于相似比△两个三角形周长的比等于1：2故答案为：1：2【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键．11．二次函数26=++图像上的最低点的横坐标为______．y x x m【答案】-3【解析】【详解】根据二次函数的性质，当x的值取对称轴时，对应的顶点坐标为最低点坐标．解：二次函数的对称轴为x=-3．故答案为-3．12．已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=20cm，AP>BP，那么AP=______cm．【答案】）【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的）叫做黄金比．【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝20，则AP＝＝．故答案为．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键13．已知抛物线26y x x =+，点A （2，m ）与点B （n ，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m+n 的值等于______．【答案】-4【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，从而求出m 和n 的值，即可得出结论．【详解】解：抛物线26y x x =+的对称轴为直线x=6321-=-⨯ △点A （2，m ）与点B （n ，4）关于该抛物线的对称轴对称， △232n +=-，m=4 解得n=-8△m+n=-4故答案为：-4．【点睛】此题考查的是抛物线的对称性的应用，求出抛物线的对称轴并利用抛物线的对称性求出m 和n 的值是解题关键．14．已知在△ABC 中，△C =90°，BC =8，AB =10，点G 为重心，那么tan GCB ∠的值为____． 【答案】34##0.75 【解析】【分析】连接CG 并延长交AB 于点D ，根据重心的定义可知CD 是Rt △ABC 的中线，求出CD 、BD 的长度，过点D 作DE △BC 于点E ，根据等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线的性质可求得CE 、DE 的长度，从而由正切的定义即可求得结果．【详解】连接CG 并延长交AB 于点D ，则由重心的定义可知CD 是Rt △ABC 的中线 △点D 是AB 的中点△△ACB =90゜△BD =CD在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：6AC=过点D作DE△BC于点E，则E点是BC的中点△142CE BC==，DE是Rt△ABC的中位线△116322DE AC==⨯=在Rt△DE C中，3 tan4DEGCBCE∠==故答案为：3 4【点睛】本题考查了三角形的重心，锐角三角函数的定义，三角形的中位线定理等知识，掌握三角形的重心是三边中线的交点，并作出辅助线构造出直角三角形是关键．15．如图，点D是BC中点，AM=MD,BM的延长线交AC于点N，求AN:NC的值______．【答案】12【解析】【分析】过D作DE△AC交BN于点E，则由△DEM△△ANM易得DE=AN，由△BDE△△BCN可得12DE NC=，从而可求得结果．【详解】解：如图，过D作DE△AC交BN于点E △△DEM△△ANM△DE DM AN AM=△M是AD的中点△AM=DM△DE=AN△DE△AC△△BDE△△BCN△DE BD CN BC=△点D是BC中点△12 BD BC=△12 DE NC=△12 AN NC=△1:2 AN NC=故答案为：12【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，构造平行线得到相似三角形是关键．16．如图矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么BC边上的高的长是____cm.【答案】4【解析】【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，先根据矩形的性质可得2cm,3cm DG EF FG DE ====，再设cm AM x =，根据三角形的面积公式、矩形的面积公式建立方程，解方程即可得．【详解】解：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，矩形DEFG 中，3cm,2cm DE EF ==，2cm,3cm,,,MN DG BC DG EF FG EF D BC FG E E D ∴=⊥⊥====，AN FG ∴⊥，6cm BC =，3cm BD CE BC DE ∴+=-=，设cm AM x =，则(2)cm AN x =-，ABC AFG BDG CEF DEFG S S S S S =+++，11112222BC AM FG AN DG BD EF CE DE EF ∴⋅=⋅+⋅+⋅+⋅， 即111163(2)22322222x x BD CE ⨯=⨯-+⨯+⨯+⨯， 整理得：33(2)362x x =-++， 解得4x =，即4cm AM =，则BC 边上的高的长是4cm ，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键．17．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A B C D 、、、都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则OA OC=______．【解析】【分析】 延长CD 交正方形网格于点E ，则点E 也是格点，由勾股定理可分别求得CE 与AB 的长，易得△AOC △△BOE ，由相似三角形的性质即可求得结果．【详解】解：延长CD 交正方形网格于点E ，则点E 也是格点，如图由勾股定理可得CE AB △AC △BE△△AOC △△BOE △OB OE OA OC= 即11OB OE OA OC +=+ △AB CE OA OC=△OA AB OC CE ===【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理、证明三角形相似是关键．18．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点分别是A （-1，0），B （3，0）,C （0，2），已知动直线y =m （0<m <2）与线段AC 、BC 分别交于D 、E 两点，而在x 轴上存在点P ，使得△DEP 为等腰直角三角形，那么m 的值等于 _____． 【答案】43或1 【解析】【分析】分两种情况考虑：DE =EP (或DP )，△DEP (或△EDP )=90°；PD =PE ，△DPE =90°，根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质即可求得m 的值．【详解】解：△若DE =EP (或DP )，△DEP (或△EDP )=90゜如图，设DE 交y 轴于点F△DE △AB△△CDE △△CAB △DE CF AB OC= 即DE OC AB CF =△A （-1，0），B （3，0）,C （0，2）△OA =1，OB =3，OC =2△AB =OA +OB =4△△DEP =90°，DE △AB△OF =EP =DE =m ，2CF OC OF m =-=-△由DE OC AB CF =得：24(2)m m ⨯=⨯- 解得：43m =△若PD =PE ，△DPE =90°如图，取DE 的中点G ，连接PG ，则PG △DE ，且EG =PG =DG△DE △AB△PG △AB△PG =m△DE =2DG =2m△DE △AB△△CDE △△CAB △DE CF AB OC= 即DE OC AB CF =△224(2)m m ⨯=⨯-解得：m =1故答案为43或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，涉及分类讨论，三角形相似是关键．三、解答题19．计算：2cos60cot30tan 45sin30tan60︒+︒︒-︒︒．【答案】 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：2cos60cot30tan 45sin30tan60︒+︒︒-︒︒11=2122=1⨯+- 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 20．如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE //BC ，12AD DB =，四边形DBCE 的面积为16.（1）如果向量AB a =，AC b =，请用a 、b 表示向量ED = ． （2）求△ABC 的面积．【答案】（1）1133a b -；（2）18． 【解析】【分析】（1）根据题意先表示出CB ，然后根据13ED CB =，即可表示出向量ED ； （2）设△ADE 的面积为x ，则△ABC 的面积=x +16，再由△ADE △△ABC ，根据面积比等于相似比平方可得出x 的值，继而得出△ABC 的面积．【详解】解：（1）△AB a =，AC b =，△CB AB AC =-，又△DE //BC ，12AD DB =， △12AE EC =， △13AD AE AB AC ==，又△DAE BAC ∠=∠，△ADE ABC △△∽， △13DE AE BC AC ==， △13ED CB =， △()()11113333ED AB AC a b a b =-=-=-． （2）设△ADE 的面积为x ，则△ABC 的面积=x +16，△ADE ABC △△∽， △219ADE ABC S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，即1169x x =+， 解得：x =2，△x +16=2+16=18，△△ABC 的面积为18．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，平面向量的表示方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定，平面向量的表示方法．21．已知一个二次函数的图像经过(0,3)(4,3)(1,0)A B C 、、三点（1）求这个二次函数的解析式．（2）求tan△BAC 的值.【答案】（1）y ＝x 2−4x ＋3；（2）tan △BAC ＝3【解析】【分析】（1）设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，利用待定系数法列式计算出a 、b 、c 的值，从而得解；（2）过点C 作CM △AB 于点M ，先求出点M 的坐标，然后根据三角形函数的定义列式进行计算即可．【详解】解：（1）设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，△316430c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，△二次函数的解析式为y ＝x 2−4x ＋3；（2）如图，过点C 作CM △AB 于点M ，△点M 的坐标为（1，3），△tan △BAC ＝331CM AM ==． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，正确的画出图象是解题的关键．22．已知如图，AD BE CF ，它们依次交直线a ，b 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F.（1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长.（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长.【答案】（1）DE 的长为9；（2）BE 的长为11；【解析】【分析】（1）由果6AB =，8BC =，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到6=14DE AB DF AC =，然后将已知条件代入即可求解； （2）过D 作DH△AC ，分别交BE,CF 于H ，说明四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到:2:5DE DF =，最后代入已知条件求解即可．【详解】（1）△6AB =，8BC =，△AC=AB+BC=14△ADBE CF △6=14DE AB DF AC = △662191414DE DF ==⨯= (2)过D 作DH△AC ，分别交BE,CF 于H.△AD BE CF△四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，△CH=BG=AD=9△FH=CF-DH=5△:2:5DE DF =△:2:5GE HF = △225255GE HF ==⨯= △BE=BG+GE=9+2=11.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.23．如图，已知ABC 中，AB AC =，点E F 、在边BC 上，满足EAF C ∠=∠求证：（1）2BF CE AB ⋅= （2）22=AE CE AF BF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明△ABF△△ECA，得到AB BFCE AC=，即可得出结论；（2）证明△AEF△△BAF，得到AF EFBF AF=，即2AF BF EF=⨯，同理△AEF△△CEA，得到AE EFCE AE=，即2AE CE EF=⨯，即可得到结论．【详解】（1）△AB=AC△△B=△C△EAF C∠=∠△B EAF∠=∠，△AEC=△B+△BAE=△EAF+△BAE=△BAF △△ABF△△ECA△AB BF CE AC=△2BF CE AB AC AB==即结论成立．（2）△B EAF∠=∠，△AFE=△BF A △ △AEF△△BAF△AF EF BF AF=即2AF BF EF=⨯同理：△AEF△△CEA△AE EF CE AE=即2AE CE EF=⨯△22= AE CE AF BF【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质；证明三角形相似是解题的关键．24．如图，抛物线2y x2x3=-++与x轴相交于A B、两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.（1）求线段DE的长．（2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且BEG与COE相似，请直接写出点（3）设点P 为x 轴上的一点，且tan 4DAO DPO αα∠+∠=∠=，时，求点P 的坐标.【答案】（1）2；（2）(1,4)-或21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）(19,0)或(17,0)- 【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，从而易得OB =OC ，由EF △OB 即可求得EF 的长，从而求得DE 的长；（2）设点G 的坐标为(1，x )，分两种情况考虑：△COE △△EGB 和△COE △△EBG ，根据相似三角形的性质即可求得x 的值，从而可求得点G 的坐标；（3）分两种情况考虑：点P 在点A 的右侧和点P 在点A 的左侧；当点P 在点A 的右侧时，由D (1，4)，则tan 4DOF ∠=，得出△α =△DOF ，然后根据三角形外角的性质可求得△DPO =△ADO ，进而可得△ADP △△AOD ，由相似三角形的性质可求得OP 的长，从而求得P 点的坐标；当点P 在点A 的左侧时， 作点P 关于抛物线对称轴的对称点P '，则点P '也满足题意．【详解】（1）当2y x x =-++23=0时，解方程得：1213x x =-=， △抛物线2y x x =-++23与x 轴的交点坐标分别为A （-1，0）、B (3，0)△OB =3△在2y x x =-++23中，当x =0时，3y =△抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0，3)△OC =3△2223(1)4y x x x =-++=--+△抛物线的顶点坐标为D (1，4)△DF =4，OF =1△OB =OC =3，OC △OB△△OCB =△OBC =45°△EF △OB△△FEB =△OBC =45°△EF =BF =OB -OF =3-1=2△DE =DF -EF =4-2=2（2）设点G 的坐标为(1，x )在Rt △OBC 及Rt △FBE 中，由勾股定理得：BC =BE =△CE BE BE =-=△若△COE △△EGB 则有OC EG CE BE=，△GEB =△OCE =45° 即OC ∙BE =CE ∙EG△点G 只能在点E 下方△由（1）可得点E 的坐标为(1，2)△EG =2-x△3)x ⨯=-解得：x =-4即点G 的坐标为(1，-4)△若△COE △△EBG 则有OC BE CE EG=，△BEG =△OCE =45° 即OC ∙EG =CE ∙BE△点G 只能在点E 下方△EG =2-x△3(2)x ⨯-=解得：23x = 即点G 的坐标为21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述，满足条件的点G 的坐标为(1,4)-或21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）△如图，当点P 在点A 的左侧时，连接DP 、DA 、DO△tan 4DF DOF OF∠==，tan 4α= △△DOF =△α=△DAO +△DPO ，△DOF =△PDO +△DPO△△DAO =△PDO△△OAD △△ODP △OA OD OD OP=，即2OD OA OP = △22211617OD OF DF =+=+=△OA =1△OP =17△点P 的坐标为(-17，0)△当点P 在点A 的右侧时，作点P (-17，0)关于抛物线的对称轴的对称点P '，则DP O DPO '∠=∠△DAO DP O α'∠+∠=∠此时点P '满足题意，且其坐标为(19，0)综上所述，满足条件的点P 的坐标为(19,0)或(17,0)-【点睛】本题考查了求二次函数与x 轴的交点、顶点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求得三角形相似是关键．注意分类讨论．25．如图，矩形ABCD 中，AB =4，点E 是边AD 的中点，点F 是对角线BD 上一动点，△ADB =30°.连结EF ，作点D 关于直线．．EF 的对称点P .（1）若EF △BD ，求DF 的长;（2）若PE △BD ，求DF 的长;（3）直线PE 交BD 于点Q ，若△DEQ 是锐角三角形，请直接写出DF 长的取值范围.【答案】（1）3；（2）2或6；（3）26DF <<-68DF <．【解析】【分析】（1）根据已知条件可求出AD =Rt EFD 中即可求出DF ；（2）作点D 关于直线EF 的对称点P ，P 分两种情况当P 在BD 下方时根据等腰三角形的性质即可求出DF ，P 在BD 上方时根据等腰三角形的性质即可求出DF ；（3）作点D 关于直线EF 的对称点P ，P 分两种情况△P 在BD 下方时根据等腰三角形的性质可求出DF ，当PE △BD 时DF 最小，当PE △AD 时，DF 最大，△P 在BD 上方时根据等腰三角形的性质可求出DF ，当PE △BD 时DF 最小，当PE △AD 时，DF 最大，；【详解】解：（1）如图1，矩形ABCD 中，90BAD ∴∠=︒，30ADB ∠=︒，4AB =，AD ∴=点E 是AD 中点，△DE =EF BD ⊥，△△EFD 为直角三角形，△DE =30ADB ∠=︒△cos DF ADB DE ∠==3DF ∴=．（2）第一种情况，如图2，则60PED ∠=︒，由对称性可得，EF 平分PED ∠，30DEF ∴∠=︒，30DEF EDF ∴∠=∠=︒△DEF 是等腰三角形，过点F 作FM △EDDM =EM =12DE ，△在Rt △DMF 中，DM =30ADB ∠=︒△2DF =第二种情况，如图3，延长PE 交BD 于M△PE BD ⊥△△EMD =90°△30ADB ∠=︒△60DEM ∠=︒△120PED ∠=︒，△点D 关于直线EF 的对称点P△FE 垂直平分PD 交PD 于H△△HED =60°，△HDE =30°△△HDF =60°△△EFD =30°△DEF 是等腰三角形，△FE 垂直平分DF△在Rt △DME 中，DE =30ADB ∠=︒△3DM =△26DF DM ==．△6DF =．综上：DF 的长为2或6（3）△DEQ 是锐角三角形△当PE △BD 时DF 最小，当PE △AD 时，DF 最大由（2）可得当90DQE ∠=︒时，2DF =（如图2）或6（如图3）． 当90DEQ ∠=°时，第△种情况，如图4，EF 平分PED ∠，45DEF ∠=︒，过点F 作FM AD ⊥于点M ，设EM a =，则FM a =，DM =，a +=3a ∴=6DF =-26DF ∴<<-第△种情况，如图5，EF 平分AEQ ∠，45MEF ∠=︒，过点F 作FM AD ⊥于点M ，设EM a =，则FM a =，DM =，a -=3a ∴=6DF =+6238+>，DF 最大值为8， 68DF ∴<．综上：26DF <<-或68DF <．【点睛】 本题考查四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，翻折对称等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，画出几何示意图，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

2021-2022学年上海市徐汇区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为．( )A. 513B. 1213C. 512D. 1252.如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是( )x…−2013…y…6−4−6−4…A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x轴无交点C. 这个函数的最小值小于−6D. 当x>1时，y的值随x值的增大而增大3.下列命题中是假命题的是( )A. 若a⃗=b⃗ ，b⃗ =c⃗，则a⃗=c⃗B. 2(a⃗−b⃗ )=2a⃗−2b⃗C. 若a⃗=−12b⃗ ，则a⃗//b⃗ D. 若|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=b⃗4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP=1，则下列结果不正确的是( )A. a<0B. b>0C. b2−4ac>0D. a+b+c<05.如图，△ABC中，DE//BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为( )(1)△BOD∽△COE；(2)S△BOD=S△COE；(3)S△DOES△DOB =ADAB；(4)S△DOES△BOC =(ADDB)2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =α，则点A 到OC 的距离等于( )A. a ⋅sinα+b ⋅sinαB. a ⋅cosα+b ⋅cosαC. a ⋅sinα+b ⋅cosαD. a ⋅cosα+b ⋅sinα二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 如果a 5=b 3，那么a−ba+b的值等于______． 8. 上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约______厘米．9. 将二次函数y =2(x −1)2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是______． 10. 某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i =______． 11. 如果二次函数y =−3(x −2)2+m 的图象经过坐标原点，那么m 的值为______． 12. 计算：2cos30°+tan45°−2sin30°−cot30°=______．13. 若点A(−3,y 1)、B(0,y 2)是二次函数y =x 2−2x +5图象上的两点，那么y 1与y 2的大小关系是______(填y 1>y 2、y 1=y 2或y 1<y 2).14. 已知P 为线段MN 上一点，且PM 为MN 、PN 比例中项，若MN =4，则PM =______． 15. 已知在△ABC 中，∠BAC =90°，点G 是△ABC 的重心，若AG =4，则BC 的长为______． 16. 如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，如果AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25a ⃗ +35b ⃗ ，那么BMMC=______．17.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为(0,1)，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且BC=3AC，则点A的坐标为______．18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线(如图1所示).如图2，已知在△ABC中，AC=2，BC=3，∠C= 2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为______(只需写出一种情况即可)．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。