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2019-2020年高三下学期期初考试 数学 含答案bytian一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上。
）1、设,{|1}U R A x x ==<，则U C A = 2、计算3i i += （i 为虚数单位）3、一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁 的共有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职 工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人。
4、如图是一个算法的流程图，最后输出的S =5、若以连续掷两次骰子得到的点数,m n 分别作为点P 的横、纵坐标， 则点P 到直线4x y +=的概率为6、函数()2sin 3cos f x x x =+的极值为7、抛物线24y x =上任一点到定直线:1l x =-的距离与他到定点F 的距离相等，则定点F 的坐标为8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n =，则数列{}n a 的公差d =9、函数()xf x e =可以表示成一个奇函数()g x 与一个偶数()h x 之和，则()g x = 10、圆C 过点(2,0),(4,0)A B ，直线l 过原点O ，与圆C 交于,P Q 两点，则OP OQ ⋅=11、已知非零向量,,a b c 满足20,x a xb c x R ++=∈，记24b a c ∆=-⋅，下列说法正确的是 （只填序号）①若0∆=，则x 有唯一解；②若0∆>，则x 有两解；③若0∆<，则x 无解； 12、定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4fx f x+=，且在[]0,2上()(1),01sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<<⎩， 则2941()()46f f +=13、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中国从上往下数第i 行，从左往右第j 个数，如428a =，若2015ij a =， 则i j +=14、在平行四边形ABCD 中，60,1,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点，且AP =，若(,)AP AB uAD u R λλ=+∈，则λ的最大值为三、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是正方形，侧棱PD ⊥底面A B C D ，1PD DC ==，点E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。
2019-2020年高三二模文科数学试卷含解析本试卷第一部分共有8道试题。
一、单选题（共8小题）A．B．C．D．1. 复数=（）【考点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：D【答案】D2. 过点（2,0）且圆心为（1,0）的圆的方程是（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】由题知：所以圆的方程是：即。
故答案为：B【答案】B3. 在不等式组表示的平面区域内任取一个点，使得的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型【试题解析】作图：所以故答案为：C【答案】C4. 已知点在抛物线上，它到抛物线焦点的距离为5，那么点的坐标为（）A．(4, 4)，（4，-4）B．（-4,4），（-4,-4）C．（5，），（5，）D．（-5，），（-5，）【考点】抛物线【试题解析】抛物线中，准线方程为：x=-1．因为P它到抛物线焦点的距离为5，所以P到准线的距离为5，所以所以故答案为：A【答案】A5. 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】若是奇函数，则有所以成立；反过来，不成立，对任意的x才是奇函数，只有一个，不能说明是奇函数。
故答案为：A【答案】A6. 将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则函数为（）A．B．C．D．【考点】三角函数图像变换【试题解析】将函数的图象向左平移个单位得到：故答案为：D【答案】D7. 已知，那么（）A．B．C．D．【考点】对数与对数函数【试题解析】因为所以。
故答案为：C【答案】C8. 下表为某设备维修的工序明细表，其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一个工序将这个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图，如图，那么图中的1,2,3,4表示的工序代号依次为（）A．E，F，G，G B．E，G，F，GC．G，E，F，F D．G，F，E，F【考点】函数模型及其应用【试题解析】由设备维修的工序明细表知：D后可以是E,G;因为G 后是H,所以4是G, 1是E。
绝密★启用前2019-2020年高三下学期期初开学联考数学试卷含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1． 已知集合{}{}1,0,1,02A B x x =-=<<，则A B = ▲ ．2． 已知(1)2i z i +⋅=-，那么复数z = ▲ .3． 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．4． 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于▲ ．5．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．6.如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ．7.已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量（第5题）（ 第6题 ）AB CP DEF 第8题图a ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ．8.如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别 在棱P A ，PB ，PC 上，满足PD ＝PF ＝1，PE ＝2，则三棱锥P – DEF 的体积是 ▲ ．9.在ABC ∆中，3,4,5AB AC BC ===，O 点是内心，且12AO AB BC =λ+λuuu r uu u r uu u r，则=+21λλ ▲ ．10.已知锐角A ，B 满足tan(A ＋B )＝2tan A ，则tan B 的最大值是 ▲ ．11.如图，点F A ,分别是椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的上顶点和右焦点，直线AF 与椭圆交于另一点B ，过中心O 作直线AF 的平行线交椭圆于D C ,两点，若CD AB =则椭圆的离心率为 ▲ .12.已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是 ▲ .13.已知函数32log , 03()1108, 333x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d ，满足()()()f a f b f c f ===，其中d c b a >>>，则abcd 取值范围是 ▲ ．14.设实数a ，x ，y ，满足⎩⎨⎧x ＋y ＝2a －1，x 2＋y 2＝a 2＋2a －3，则xy 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：15.（本小题满分14分）设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知C ＝π3，a cos A =b cos B ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN的最大值及此第11题图时α的取值．16.（本小题满分14分）在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点，1BC BB =． （1）求证：1A C ∥平面1AB D ；（2）试在棱1CC 上找一点M ，使1MB AB ⊥．17.（本小题满分14分）如图，2015年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30︒，已知S(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60︒的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18.（本小题满分16分）（第15题）ABDCMNPαC 1B 1C在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32． （1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．（ⅰ）若k ＝1，求△OAB 面积的最大值；（ⅱ）若P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值．19. (本题满分16分)设函数()()2ln 1f x x b x =++.（1）若x =1时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311......31211)1(n＜k f nk ++++∑=都成立.20．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．高三数学参考答案一、填空题 1．{1}2．1i --3．534．3+ 5．406．4 7．23π 8．6 9．56 10． 24 11. 21 12．12+13．（21,24） 14．[114－322，114＋322]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由a cos A ＝b cos B 及正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，又A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，所以有A ＝B 或A ＋B ＝π2． ………………… 2分又因为C ＝π3，得A ＋B ＝2π3，与A ＋B ＝π2矛盾，所以A ＝B ，因此A ＝π3． …………………4分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM ＝PC ·sin ∠PCM ＝2sin α；在Rt △PNC 中，PN ＝PC ·sin ∠PCN ＝ PC ·sin(π－∠PCB )＝2sin[π－(α＋π3)]＝2sin (α＋π3)，α∈(0，2π3).……………… 6分所以，PM ＋PN ＝2sin α＋2sin (α＋π3)＝3sin α＋3cos α＝23sin(α＋π6).……………… 10分因为α∈(0，2π3)，所以α＋π6∈(π6，5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12，1]，即23sin(α＋π6)∈(3，23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM ＋PN 取得最大值23．…………… 14分16．（1）证明：连接1A B ，交1AB 于点O , 连接OD . ∵O 、D 分别是1A B 、BC 的中点，60°αPNM CDBA（第15题）∴1A C ∥OD ． ………3分 ∵1A C ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ， ∴1A C ∥平面1AB D ． ………6分 （2）M 为1CC 的中点． ………7分 证明如下：∵在正三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，∴四边形11BCC B 是正方形．∵M 为1CC 的中点，D 是BC 的中点，∴1B BD BCM ∆≅∆， ………9分 ∴1BB D CBM ∠=∠，1BDB CMB ∠=∠． 又∵112BB D BDB π∠+∠=，12CBM BDB π∠+∠=，∴1BM B D ⊥． ………11分∵ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵平面ABC ⊥平面11BB C C , 平面ABC 平面11BB C C BC =，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面11BB C C ． ∵BM ⊂平面11BB C C ，∴AD ⊥BM ． ………13分 ∵1ADB D D =，∴BM ⊥平面1AB D ． ∵1AB ⊂平面1AB D ，∴1MB AB ⊥． ………14分18.（本小题满分16分）C 1B 1C解（1）由题设可知a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，故b ＝1．因此，a ＝2，b ＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ，0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k ＝1，则直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －m x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得 54x 2－2mx ＋m 2－1＝0．解之得x 1＝2(2m －1－m 2)5， x 2＝2(2m ＋1－m 2)5， 从而有，x 1＋x 2＝8m5， x 1· x 2＝4(m 2－1)5，而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，因此，∣AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2(x 1+x 2)2－4 x 1·x 2＝452·5－m 2， 点O 到直线l 的距离d ＝∣m ∣2，所以，S △OAB ＝12×|AB |×d ＝255－m 2×|m |，因此，S 2△OAB ＝425( 5－m 2)×m 2≤425·(5－m 2＋m 22)2＝1．………………… 6分又－2≤m ≤2，即m 2∈[0，4]．所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝52， m ＝±102时，S △OAB 取得最大值1．………………… 8分(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k (x －m ).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1． 将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝8mk 21＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2．………………… 10分所以，P A 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）. …………………14分因为P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关， 所以有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12．所以，k 的值为±12. …………………16分19.解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f / (1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意； （2）∵,12212)(2/+++=++=x bx x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数， ∴f / (x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f / (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2 +2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立, 即b ≥-2x 2 -2x = 21)21(22++-x 恒成立,由此得b ≥21;若f / (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2 +2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3 = x 2 – ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2+2x - 1)1(31123+-+-=+x x x x ， ∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2 – ln(x+1) ＜x 3恒成立. 故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3.. ∵()1,0,,k N k +∈∴∈+∞取,1k x =则有311(),f k k< ∴33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=,故结论成立。
2019-2020年高三下学期开学考试数学含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1.复数（是虚数单位）的虚部是__________．2.从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 ．3.若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为______________．4.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________.5.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<-+=10,2tan 01|,)1(log |)(3x x x x x f π，则= ． 7.已知：关于的不等式有解，：或 , 则是的条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 8.已知，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ． 9.已知是椭圆的左、右焦点，弦过，若的周长为8，则椭圆的离心率为 ．10.设，实数满足23603260x mx y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，若，则实数的取值范围是 ．11.在矩形中，为矩形内一点，且，，则的最大值为 ． 12.数列中，，为数列的前n 项和，且对，都有． 则的通项公式= ．13.不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则__________．14.对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭．如果函数（）在上封闭，那么实数的取值范围是______________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）已知()322sin()sin(),x 2f x x x x R ππ=++-∈. （1）求函数的单调增区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为,且,,求边上的高的最大值.16．（本小题满分14分）正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，且平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17．（本小题满分15分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.18．（本小题满分15分）已知椭圆的下顶点为，到焦点的距离为.（1）设Q是椭圆上的动点，求的最大值；（2）若直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当，且满足时，求面积的取值范围．19.（本小题满分16分）函数，其中为实常数. （1）讨论的单调性；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，设33331433221)(,131211)(nn n h n n g -++++=++++= ( ).是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找出的一个值，并证明；若不存在，说明理由. ()20．（本小题满分16分）已知数列满足：*11*3(3,),4(3,)n n n n n a a n N a a a a a n N +⎧->∈==⎨-≤∈⎩. （1）若，求数列的前项和的值；（2）求证：对任意的实数，总存在正整数，使得当（）时，成立.数学Ⅱ（附加题）21．（本小题满分10分）已知，求矩阵．22．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长．23．（本小题满分10分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)．设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)； (2)当E (ξ1)<E (ξ2)时，求p 的取值范围． 24．（本小题满分10分） 已知数列满足：，，且． 记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素； （Ⅱ）求集合的元素个数的最大值．参考答案1. 2. 10 3. 4.3 5. 6. 1 7. 必要不充分条件 8. 9. 10. -3≤m ≤611. 12. 13. 14.15. (1)整理得， ……3分 增区间为)](1211,125[Z k k k ∈++ππππ ……6分(2),,32323,20,23)32sin(πππππ<-<-∴<<=-A A A ……9分 11sin 223a h AB AC π∴⨯⨯=⨯⨯ ，……10分 由余弦定理及基本不等式可知，，此时所以BC 边的最大值为.……14分 16. （1）正方形中，，又平面，平面， 所以平面．…………………………7分（2）因为平面，且平面，所以，又正方形中，，且，平面，所以平面,又平面，所以平面平面．…………………………14分17. （1）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有：T 1(x )＝＝，……2分 T 2(x )＝，……4分， T 3(x )＝，……6分其中x ，kx ，200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数. ……7分（2）完成订单任务的时间为＝max { T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{0<x <,x ∈N*}. 易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数，注意到T 2(x )＝·T 1(x )，于是①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时，＝max { T 1(x )，T 3(x )}＝max {，}，由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当＝时，取得最小值，解得x ＝，由于44<<45，而＝T 1(44)＝，＝T 3(45)＝，∵<，∴当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为＝. ……10分②当k >2时，T 1(x )>T 2(x )，由于k 为正整数，∴k ≥3，此时，≥＝.记T(x )＝，＝max {T 1(x )，T(x )}，易知，T(x )是增函数，则＝max { T 1(x )，T 3(x )}≥max { T 1(x )，T(x )}＝＝max {，}， 由函数T 1(x )，T(x )的单调性知，当＝时，取最小值，解得x ＝，由于36<<37，而＝T 1(36)＝>，＝T(37)＝>，此时，完成订单任务的最短时间大于.……12分③当k <2时，T 1(x )<T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时， ＝max { T 2(x )，T 3(x )}＝max {，}，由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当＝时，取最小值，解得x ＝，类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.……14分综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68. ……15分18. （1）易知，所以椭圆的方程为 ；设，则11)y =-≤≤．∴当时，． ……………………5分（2）依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为（）． ∵直线即与圆O:相切，∴有：得．……………………7分 又∵点A 、B 的坐标（，）、（，）满足： 消去整理得022)2(222=-+++n mny y m ，由韦达定理得，．其判别式8)2(8)2)(2(44222222=+-=-+-=∆n m n m n m ， 又由求根公式有．∵==21212121))((y y n my n my y y x x +++=+=+--=++++=2223)()1(222221212m m n n y y mn y y m ．…………………12分 222)(21sin ||||21→→→→→→∆⋅-⋅=∠=OB OA OB OA AOB OB OA S AOB=+-+=|)()(|211221y n my y n my 2222)2(122||21++⋅=+∆⨯=m m m n ． ∵，且．∴． ……………………15分19. 解：（1）定义域为221(0,),()a x af x x x x-'+∞=-+=， ① 当时，0,0,()0x x a f x '>∴->∴>，在定义域上单增；……2分②当时，当时，，单增；当时，，单减。
2019-2020年高三下学期期初数学试题一、填空题1．（3分）函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是2．（3分）（2011•海淀区二模）如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D，若AD=3，BD=2，且D为OC的中点，则CD的长为．3．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，c=4，A=60°则b=1或3．4．（3分）（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是[30°，150°]．5．（3分）与直线l垂直的向量称为直线l的一个法向量，直线2x+4y+3=0的一个法向量为=（1，2）6．（3分）已知函数，则f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大时的切线方程为．，7．（3分）（xx•湖北模拟）如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP=30°．8．（3分）关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①由f （x1）=f （x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②若x1，x2∈（﹣，），且2f（x1）=f（x1+x2+），则x1＜x2；③函数的图象关于点（﹣，0）对称；④函数y=f （﹣x）的单调递增区间可由不等式2kπ﹣≤﹣2x+≤2kπ+（k∈Z）求得．正确命题的序号是②③．9．（3分）（xx•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．10．（3分）平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是12．11．（3分）函数f（x）=x3﹣4x2+5x+2的单调减区间为（1，）．12．（3分）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴的长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆方程为．13．（3分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．14．（3分）下列说法中，正确的序号是②①．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题②．已知x∈R，则“x2﹣2x﹣3=0”是“x=3”的必要不充分条件③．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题④已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．二、解答题15．设函数f（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2，g（x）=x3﹣x2，试比较f（x）与g（x）的大小．16．一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平（无砝码）将假银元找出来吗？写出解决这一问题的算法．17．求圆心在x﹣y﹣4=0上，并且经过两圆C1：x2+y2﹣4x﹣3=0和C2：x2+y2﹣4y﹣3=0的交点的圆方程．18．已知函数f（x）=sin2（x）﹣sin（x）•cos（x）（Ⅰ）求f（x）的最大值及此时x的值；（Ⅱ）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）的值．=219．（xx•天河区一模）已知A（1，1）是椭圆=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率．20．（xx•南充模拟）已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（a m）＜g（a m+1）成立，求m的最大值．的方程为：．。
2019-2020年高三下学期期初幵学联考试题数学文含答案考试说明：本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120 分钟.(1) 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；(2) 选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；⑶请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.11 .若集合，B二｛ y | y =2 - ，0 ：：：x叮｝，则等于(x(A) (B) (C) (D)2•己知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是()(A) (B) (C) (D)3. 在中，角A, B, C对应边分别是a, b, c,…则等于()(A) (B) (C) (D)4. 若关于的方程在区间(0, 1)上有解，则实数m的取值范围是()(A) (B) (C) (D)5. 是虚数单位，复数，则( )(A) (B) 2 ( C) (D) 16. 过点(-1,0)作抛物线的切线，则其中一条切线方程为()(A) (B) (C) (D)7. 扇形周长为10,则扇形面积的最大值是()(A) (B) (C) (D)& 已知是等差数列，，则过点的直线斜率是( )(A) (B) (C) (D)9•下列关于函数的命题正确的是( )(A) 函数在区间上单调递增(B) 函数的对称轴方程是()(C) 函数的对称中心是()()(D) 函数以由函数向右平移个单位得到10 •下表是某厂1〜4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份1234用水量 4.543 2.5由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则等于()(A)5.1(B)5.2 (C)5.25 (D)5.411.己知点P在直线上，点Q在直线上，中点且，则的范围是()(A)(B)(C)(D)12.已知双曲线的左、右焦点分别为.P为双曲线右支上任意一点，的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)第口卷(非选择题共90分)本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答•第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.13 •椭圆()的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点与圆的位置关系是____________14..执行如图所示的程序框图，其输出结果是__________________15•从1,2 , 3,4,5中不放回依次取两个数。
2019～2020学年第二学期高三期初考试数学Ⅰ正棱锥的侧面积公式：S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 是正棱锥底面的周长，h ′为斜高．锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 是底面面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A ð＝ ▲ ． 【答案】{}2,32． 复数3i i +（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ．【答案】－33． 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ．【答案】94． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．【答案】25 5． 函数()22log 43y x x =+-的定义域为 ▲ ．【答案】()1,4-6． 劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ． 【答案】3107． 已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线()22102y x a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】 28． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S = ▲ ． 【答案】－429． 已知α是第二象限角，且sin α=，()tan 2αβ+=-，则tan β= ▲ ． 【答案】34-10．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2＋y 2＝1上，若直线0x y +=上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是 ▲ ． 【答案11．设m 为实数，若函数f (x )＝x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数，对任意的x 1，x 2∈112m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，总有12()()4f x f x -≤，则m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[]46，12．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，2DE EB =u u u r u u u r，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AE AC ⋅=u u u r u u u r ▲ ．【答案】229（第12题）AD13．若实数y x ,满足：y x <<0，则yx xx y y +--22的最小值为 ▲ ．【答案14．若函数2|ln |,0,()1,0x a x x f x x ax x -->⎧⎪=⎨++⎪⎩≤恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(,1)(2,)-∞-+∞U【解】（1）当0e a x <≤时，()ln f x x x a =--+，因为)(x f 递减，()0a a f e e =-<，0→x 时，+∞→)(x f ，所以)(x f 在],0(ae-有1个零点；当a x e >时，()ln f x x x a =-+-，因为xxx f -='1)(， ①1a e ≥，即0a ≥时，)(x f 在(,)a e +∞上递减，所以()()0a a f x f e e <=-<，即)(x f 在(,)a e +∞没有零点；②1a e <，即0a <时，)(x f 在(,1)a e 上递增，在),1(+∞上递减，因为()0a a f e e =-<，(1)1f a =--，所以10a -<<时，)(x f 在(,)a e +∞没有零点；1a =-时，)(x f 在(,)a e +∞有1个零点；1a <-时，)(x f 在(,)a e +∞有2个不同的零点．（2）当0≤x 时，2()1f x x ax =++，当2a <时，)(x f 在]0,(-∞上没有零点；当2a =时，)(x f 在]0,(-∞有1个零点；2a >时，)(x f 在]0,(-∞有2个不同的零点．综上，当1a <-或2a >时)(x f 恰有三个不同的零点．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证： （1）BC ∥平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．【证】（1）因为AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，所以AD ∥BC ． ……………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以BC ∥平面ADD 1A 1．……………6分（2）由（1）知AD ∥BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，……………8分在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以DD 1⊥BC ，……………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ， 所以BC ⊥平面BDD 1B 1，……………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．……………14分16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin B ＝b sin2A ． （1）求角A ；（2）若a ＝5，△ABC的面积为ABC 的周长．【解】（1）由a sin B ＝b sin2A 及正弦定理，得sin A sin B ＝2sin B sin A cos A ，…………2分因为sin A ＞0，sin B ＞0，所以1cos 2A =， …………4分又()0,πA ∈，所以π3A =． …………7分（2）由△ABC的面积为1sin 2bc A =又π3A =，所以8bc =． …………9分(第15题)BACDD 1B 1A 1C 1在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos b c bc A a +-=， 因为a ＝5，所以2233b c +=，所以()249b c +=， …………12分 所以12a b c ++=，即△ABC 的周长为12． …………14分17．(本小题满分14分)如图1，已知正方形铁片A B C D ''''边长为2a 米，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD （两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底面ABCD ，O 为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD 的边长为2x 米． （1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S ； （2）请写出正四棱锥的体积V 关于x 的函数，并求V 的最大值．【解】在图1中连接OH 交BC 于点H ′，因为正方形ABCD 边长为2x ，所以HH ′＝a －x . 在图2中，OH ′＝x ，PH ′＝a －x ， 由勾股定理得，正四棱锥的高2分（1F A'（第17题图1）（第17题图2）6分 所以，正四棱锥的全面积4SBC ABCD S S S ∆=+正方形8分10分 则234()410f x a x ax '=-32(25)ax a x =-，…………12分()20,5a x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间()20,5a 上递增；当()2,52a a x ∈时，()0f x '<，()fx 在区间()2,52a a 上递减．()f x取得最大值，此时3max 2()5a V V =立方米． (14)分答：（1时，V 取最大值为33m ． 18．(本小题满分16分)已知椭圆221193y x C +=：，椭圆()2222210y x C a b a b+=>>：经过椭圆C 1的左焦点F 和上FD下顶点A ，B ．设斜率为k 的直线l 与椭圆C 2相切，且与椭圆C 1交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 2的方程；（2）①若4OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求k 的值；②求PQ 弦长最大时k 的值．【解】（1）由题意可知，椭圆C 1的左焦点(0)F ，上下顶点(0,A，(0,B ，…………2分所以椭圆C 2的左顶点为(0)F，上下顶点(0,A，(0,B ，所以a =b =所以椭圆C 2的方程为22163y x +=．…………4分（2）设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆C 2：22163y x +=方程联立，消去y 得，()222124260k xkmx m +++-=，因为直线l 与椭圆2C 相切，所以()()2222216412260k m k m ∆=-+-=， 整理得，22630k m +-=， （★）…………6分直线l 与椭圆C 1的方程联立得，()222136390k x kmx m +++-=， 其中()()2222213641339360k m k m k ∆=-+-=>． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22121222263918,131313km m k x x x x k k k -+=-==+++．…………8分 ①因为4OP OQ ⋅=u u u r u u u r，所以12124x x y y +=，即12121212()()x x y y x x kx m kx m +=+++221212(1)()k x x km x x m =++++222222218(1)61313k k k m m k k+=-+++ 22153413k k+==+，所以k = …………12分②由①知12PQ x -==， …………14分 设2131k t +=>，则PQ ==． 所以当1k =±时，PQ 16分 19．(本小题满分16分)已知函数22e ()2x f x x mx=++，其中0m <≤e 为自然对数的底数． （1）当0m =时，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在12,x x (12x x ≠)，使得12()()0f x f x ''==，证明：12()()1f x f x ⋅>． 【解】因为0m <≤220x mx ++>对x ∈R 恒成立，所以()f x 定义域为R ，且()2222e (2)(2)()2x x m x m f x xmx ⎡⎤+-+-⎣⎦'=++，…………2分（1）当0m =时，(0)1f =，()()2222e 22()2x x x f x x-+'=+，所以(0)1f '=，所以()f x 在0x =处的切线方程为：10x y -+=．…………4分 （2）令()0f x '=得，2(2)(2)0x m x m +-+-=， （※）①当2(2)4(2)(2)(2)0m m m m ∆=---=+-≤，即22m -≤≤时，又0m <≤ 所以02m ≤≤时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；…………6分 ②当0∆>，解得2m <-或2m >，又0m <≤2m <<由方程（※）解得，1x =，2x =， 当12(,)(,)x x x ∈-∞+∞U 时，()0f x '>，()f x 的递增区间是12(,),(,)x x -∞+∞； 当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 的递减区间是12(,)x x ．综上，当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，无递减区间；当2m <<()f x的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是．…………9分（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-，所以12122211222e 2e ()()22x x f x f x x mx x mx ⋅=⋅++++， 因为2(2)2i i x m x m =-+-，1,2i =，代入上式得1212122e 2e()()22x x f x f x x m x m ⋅=⋅++12124e (2)(2)x x x m x m +=++ 12212124e 42()x x x x m x x m +=+++22224e 4e 8e (8)m mm m -==--，…………12分 令224()(8)x e g x e x =-，2x << 则()()22222224e (28)4e (4)(2)()0e 8e 8xxx x x x g x xx+-+-'==>--，所以()g x 在(2,上单调递增，所以()(2)1g x g >=，即证得12()()1f x f x ⋅>．…………16分20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 和2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都是等差数列，11a =．数列{}n b 满足11122n n i n i i a b n ++-==--∑．（1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：{}n b 是等比数列；（3）是否存在首项为1，公比为q 的等比数列{}n c ，使得对任意,2n n ∈*N ≥，都有1n n n a c b -≤≤成立？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为数列{}n a 是等差数列，设{}n a 的公差为d ，则1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，n *∈N ，…………………………………2分因为2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以222321,,23a a a 成等差数列，即222321223a a a ⨯=+，221(1)1(12)3d d +=++，解得1d =，当1d =时，n a n =，此时22na n n n n==是等差数列.故n a n =．……………………………………………………………4分（2）由11122nn i n i i a b n ++-==--∑，即11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--L ， ①所以21212(1)23n n n b b nb n b n +++++++=--L ， ②②-①得，112121n n n b b b b ++++++=-L ， ③………………6分 所以，2212121n n n b b b b +++++++=-L ， ④④-③得，122n n b ++=，即3n ≥时，12n n b -=， ………………8分在①中分别令12n =，得，121,2b b ==，也适合上式， 所以12n n b -=，n *∈N ， 因为21=+nn b b 是常数，所以}{n b 是等比数列． ………………10分 （3）设存在1-=n n q c 对任意,2n n *∈N ≥，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈N ≥，显然1q >，由112n n q --≤可知，12q <≤， ………………12分 由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n --≥，,2n n *∈N ≥. 设ln (),1x f x x x =≥，因为21ln ()x f x x-'=， 所以当(1,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 递增；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减. ………………14分 因为ln 2ln 3(2)(3)23f f =<=，所以ln 3ln 3q ≥，解得q ，综上可得，存在等比数列{}n c ，使得对任意N ,2n n *∈≥，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，其中公比q 的取值范围是. ………………16分2019～2020学年第二学期高三期初考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵．【解】由题意，λ＝2是矩阵M 的一个特征值，所以2=M αα，所以0112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………2分 所以2a b ==，………………4分 由方程22()402f λλλλ-==-=-．所以2λ=或2λ=-，所以M 的另一个特征值－2．………………6分 又因为02240-⨯=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．………………………10分B ．选修4—4：极坐标与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线lt 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】解法一：直线l的普通方程为1x =+，………………3分由4cos 0ρθ-=，即24cos 0ρρθ-=，化为直角坐标方程即22(2)4x y -+=，………………6分由圆心到直线的距离得到12d ==，………………8分所以AB ===10分解法二：把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得到221(12)()42t +-+=，即230t -=，………………3分所以1212t t t t +=⋅=6分所以12||||AB t t =-==10分 C ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥． 【证】因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，…………………3分又⋅++)(133221x x x x x x 2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭≥，…………………8分所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛． （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中女教师的人数，求X 的概率分布和数学期望．【解】（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为11221141242228C C C C C C +=种. ……………………………4分（2）X 的可能取值为0，1，2，3．224222541(0)10C CP X C C ===， 11221141242222547(1)15C C C C C C P X C C +===， 111122412242225411(2)30C C C C C C P X C C +===， 124222541(3)15C CP X C C ===．故X 的概率分布为：X 0 1 2 3 P1107151130115……………………………8分所以7()5E x =． ……………………………10分23．（本小题满分10分）对于给定正整数n ，设nnnx a x a x a a x ++++=-Λ2210)1(，记01nn kk S a ==∑．（1）计算1234S S S S ，，，的值； （2）求n S ．【解】（1）0111111101=-=+=a a S ；231121*********=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ． …………………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤， 因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………………8分 所以∑==nk kn a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=． …………………10分 （或写成是偶数是奇数n n n n S n ⎪⎩⎪⎨⎧++=,222,0）。
