费马原理ppt课件

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费马原理

d (QOP) n1 x n2 ( p x) 0 n sin i n sin i 1 1 2 2 2 2 dx h1 x 2 h2 ( p x) 2
则易知当i’=i时，QO+OP为光程最短的路径。
§4 费马原理
Q
第一章光和光的传播
h1
i1

x
p x n1
O
折射定律
过Q、P点作与Σ面垂直的平面Π 平面Π内的光程比该平面外的光程短

Q’ M
h i2 2
P
P’
n2
2
QP p
2
(QOP ) n1QO n2OP n1 h1 x 2 n2 h2 ( p x) 2

2

l
光程差
l n2l2 n1l1
§4 费马原理
二费马原理的表述
第一章光和光的传播
（1）定义：两点间的实际路径就是光程(或所需传播时间)平稳的路径极小值(常见)
(QP ) ndl 0
( L)
P
Q
极大值(个别) 常数值(物—象等光程性)
l1
（2）由费马原理推导几何光学三定律
① 直线传播定律 ② 反射定律
Q
N l 2
M l3
介质1 n1
介质2 介质3 n2 n3
P
③ 折射定律
§4 费马原理
第一章光和光的传播
• （1）光的直线传播定律在均匀介质中，两点间光程最短的路径是直线。
§4 费马原理
第一章光和光的传播
Q点发出的光经反射面Σ到达P点 P’ 是 P 点关于 Σ 面的对称点。直线QP’与反射面Σ交于O点。 P，Q，O三点确定平面Π。

费马点的应用举例课件

和通信。
05
CATALOGUE
费马点在经济学中的应用
金融市场中的费马点
投资组合优化
费马点理论可以应用于投资组合优化，通过计算不同资产之间的费马点，投资者可以确定最佳的资产配置策略，以实现风险和收
益的平衡。
股票价格预测
股票价格受到多种因素的影响，但费马点理论可以用于分析历史价格数据，预测未来的股票价格
财务资源配置
企业可以利用费马点理论来优化财务资源配置，确保资金流向最具有盈利潜力的项目或领域。
THANKS
感谢观看
航空航天中的费马点
飞行器设计
在飞行器设计中，费马点可以用于优化飞行器的结构和布局，提高飞行器的性能和稳定性。例如，在飞机设计中，利用费马点理论可以确定最佳的机翼位置和角度，以最大化飞机的升力和稳定性。
卫星轨道设计
在卫星轨道设计中，费马点可以用于优化卫星轨道的位置和高度，提高卫星观测和通信的效率和精度。例如，在地球同步卫星轨道设计中，利用费马点理论可以找到最佳的轨道位置和高度，以实现稳定的地球同步观测
通过分析供应链中的费马点，企业可以优化物流和运输策略，降低成本并提高效率。
资源分配中的费马点
人力资本管理
物资采购
在人力资源管理中，费马点理论可以用于分析员工的工作效率和绩效，以及制定最佳的人才招聘和培训计划。
在物资采购中，通过分析供应商之间的费马点，企业可以确定最佳的采购策略，以实现成本效益最大化。
费马点的性质
01
02
03
唯一性
对于任意三角形ABC，费马点是唯一的。
稳定性
费马点是相对稳定的，即使三角形ABC发生微小变化，费马点仍然会接近原来的位置。

《尔马Fermat定理》课件

03
费马定理的推论
圆锥曲线上的费马定理
总结词
圆锥曲线上的费马定理指出，对于任何圆锥曲线，其上的任意一点到曲线的焦点的距离与该点到曲线的准线的距离之比等于该曲线的离心率。
详细描述
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。费马定理在圆锥曲线上同样适用，并且离心率是圆锥曲线的一个重要几何参数，它决定了曲线的形状和大小。
代数曲线上的费马定理
总结词
代数曲线上的费马定理指出，对于任何非退化的代数曲线，其上的任意一点到曲线的奇点的距离的平方等于该点所在直线的斜率的四次方。
详细描述
代数曲线是由多项式方程定义的平面曲线，奇点是曲线上使导数不存在的点。费马定理在代数曲线上同样成立，并且斜率是决定曲线形状的重要参数。
欧拉定理与费马定理的关系
定理证明
总结词
费马定理的证明需要用到代数和几何的知识，包括代数基本定理、无穷递降法和反证法等。
详细描述
费马定理的证明过程比较复杂，需要用到代数和几何的知识。其中，代数基本定理是证明过程中最关键的一步，它证明了任何n次多项式在模n意义下取值都是0，那么这个多项式必定等于0。无穷递降法和反证法也被应用到证明过程中，最终证明了费马定理的
正确性。
定理应用
总结词
费马定理在数论、代数和几何等领域有广泛的应用，例如在解方程、证明不等式和解决几何问题等方面都有重要的应用。
详细描述
费马定理的应用非常广泛，在数论中它可以用来证明一些数学猜想，如费马大定理和小定理等。在代数中它可以用来解方程和证明不等式，如在解一元二次方程和证明一些代数恒等式时可以用到费马定理。在几何中它可以用来解决一些几何问题，如证明一些几何命题和解决几何作图问题等。
THANKS

第一章_费马原理1-1(10)

（传光束）（传像束）
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤
(c) 光通信优点： 1) 低损耗窗玻璃几千分贝/公里光学玻璃 500分贝/公里雨后清澄的大气 1分贝/公里石英光纤 0.2分贝/公里
liyuhong
2) 信带宽、容量大、速度快 3) 电气绝缘性能好无感应无串话 4) 重量轻线径细可绕性好 5) 耐火耐腐蚀可用在许多恶劣环境下 6) 资源丰富价格低
δ min + α
2
由折射定律可得
n=
liyuhong
sin
δ +α
min
sin
α
2 2
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤 2. 光学纤维(optical fibers)
(a) 原理
光进入光学纤维后,多次在内壁上发生全内反射, 光从纤维的一端传向另一端.
liyuhong
光学纤维:中央折射率大,表层折射率小的透明细玻璃丝.
35
A
B
(3) 光程为最大值
M
D D′ M′
A
B
liyuhong
§1-2 几何光学/费马原理
(4) 光程为拐点
A
B
由于实际光线相应于光程拐点这种情况在实际中较少遇到；费马原理也常粗略地表示为：空间中两点间的实际光线路径，与其他相邻的可能路径相比较，其光程（或传播时间）取极值——光程（时间）极值原理
3
§1-1 几何光学/基本规律 1-1-1 几何光学的实验定律
1. 光的直线传播(rectilinear propagation)定律在均匀的各向同性透明介质中，光沿直线传播。现象： (1) 投影(shadow);

费马大定理PPT课件

• 4、欧拉
• 1707年4月5日～1783年9 月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用 “函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人
• 首先证明了n=3时无解
5、索菲·热尔曼出身巴黎一个殷实的商
人家庭，从小热爱数学，但不为家庭所鼓励。身为女性，热尔曼的故事显出了当时女性求学的困难和自卑。她总不想别人知道她女性的身分，常以假名和其他数学家通信。
证明大概无解
• 阿基米德（公元前287年—公元前212
年），古希腊哲学家、数学家、物理学家。出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德到过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。
费马大定理
THE LAST PROBLEM
• 1、毕达哥拉斯 • 公元前六世纪数学家 • 提出：勾股定理
公元前5世纪，发生了史上第一宗毕达哥拉斯凶案。希帕索斯因为发现无理数的真相，而撼动了整个毕达哥拉斯哲学大厦的根基，结果遭到无情的谋杀…
• 2、欧几里德
• 亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330 年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学宅,看见一位老人在地上埋头作几何图形(还有一种说法他在沙滩上画图),可阿基米德却对他的到来没有反应，

费马定理

10
三.费马原理的应用
光程最小即为路程最短,根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向.若路径AB的光程取极值,则其逆路径BA
的光程也取极值——包含了光的可逆性.
11
光程为极值的例子
6
1.均匀介质中光程
l nl
2.如果光从A点出发,经过 k 种不同的均匀介质
而到达B点,则总光程为：
l1
A v1
l2 v 2
l3 v 3
li v i
lk v k
B
l ni li
i 1
k
7
3.若由A到B充满着折射律连续变化的介质, 则光由A到B的总光程为
[ L]

B
A
实像和虚像
1.单心光束：凡具有单个顶点的光束.
发散单心光束
会聚单心光束
16
光线经反射或折射后,如果光束的单心性没有 2.像：
被破坏,即虽然光线的方向改变了,但光束中仍
能找到一个顶点,这个顶点就叫做发光点的像.
实像
反射和折射后实际光线的汇聚点.
虚像
反射和折射后实际光线的反向延长线的汇聚点.
17
复习
几何光学的基本实验定律
1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光在两种介质分解面的反射定律和折射定律 3.光的独立传播定律和光路可逆原理
1
§1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理.
光
程
费马原理的表述费马原理的应用
2
一. 光程
定义：
l nl

费马原理(共5张PPT)

① 直线传播定律 ② 反射定律
③ 折射定律
Q 介质1 介质2 介质 P
n1
n2 3 n3
§4 费马原理
第一章光和光的传播
• 〔1〕光的直线传播定律
•
在均匀介质中，两点间光程最短的
途径是直线。
§4 费马原理
第一章光和光的传播
那么易知当i’=i时，QO+OP为光程最短的途径。常数值(物—象等光程性) 在均匀介质中，两点间光程最短的途径是直线。过Q、P点作与Σ面垂直的平面Π 在一样时间内光在真空中传播的间隔常数值(物—象等光程性) P’是P点关于Σ面的对称点。过Q、P点作与Σ面垂直的平面Π
§4 费马原理
第一章光和光的传播
§4 费马原理
一光程
在一样时间内光在真空中传播的间隔
折射率和路程的乘积
m
(QP) ni li i1
l1 N l2 M l3
Q 介质1 介质2 介质 P
n1
n2 3 n3
物理意义:可以经过比较两个振动的光程来调查两个振动的步伐〔相位〕差别。
位相差 2 l
Q点发出的光经反射面Σ到达P点
P’是P点关于Σ 面的对称点。
直线QP’与反射面 Σ交于O点。
P，Q，O三点确定平面Π。
那么易知当i’=i时，QO+OP为光程最短的途径。
§4 费马原理
第一章光和光的传播
Q
h1 i1 x
px n1
Q’
O P’
折射定律
过Q、P点作与Σ面垂直的平面Π
光程差 l n2l2n1l1
§4 费马原理
第一章光和光的传播
二费马原理的表述
〔1〕定义：两点间的实践途径就是光程(或所需传播时

光学第一章 - 费马原理与变折射率光学

(t)
(t+t) (t ) (t+t) (t ) (t+t)
相控阵雷达
相位控制阵列雷达 Phased Array Radar
惠更斯原理导出折射定律
i1
c v1 n1
i2
c v2 n2
入射角为i1的平面波，波前为ABC
i1 v1 n1 v2 n2
A A’ C B
B0 B’
C’
CC ' C→C’ 的时间： t v 1
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。 30岁时迷恋上数学，直到他 64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为 “业余数学家之王”。费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论 —— 数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。
i

2
0
L(QP)
光程与时差 QP的传播时间：
N
P
li t t P tQ ti i i vi
M Q
介质中光速用真空光速和折射率代替： 1 1 t ni li L(QP) 或 L(QP) ct c i c

费马原理与变折射率光学 ppt课件

§1.4 费马原理(描述光线传播行为的一个原理）
一、表述
n(r) l
实际光线的传播路径,与邻近
P
各种可能的虚拟路径相比较,具有Leabharlann l0什么特别的“品性”
Q
光线沿光程平稳值的路径而传播。
极小常值见
P
Q
n rds—平稳极值大个值别
l0
常数物—像
二、数学表达式
LQPQ Pn rdsL(l) l
§1.5 费马原理与成像一、推论：物像之间各条光线的光程是相等的——物像等光程性。
同心光束：各光线本身或其沿长线交于同一点的光束。
物点Q 像点Q′
同心光束同心光束
同心光束的共轭变换
等光程是指L(QM1N1Q′)=L(QM2N2Q)=‥ ‥ ‥ 即: L(QMiNiQ′)=const。与i无关。可取反证法证之
被称为泛函or程函，eikonal。通俗道，“函数的函数”.“平稳值”满足变分为零
P
Q nds 0 l
对“变分”可认为它就是函数的微分。
二、数学表达式
LQPQ Pn rdsL(l) l
被称为泛函or程函，eikonal。通俗道，“函数的函数”.“平稳值”满足变分为零
P
Q nds 0 l
n2 c n1 v2
n c v
n c f00 v f
在线性介质的光场中，扰动的时间频率仅由光源来决定，与介质无关。f~光源的本征频率。
n 0
例：一光源发射的一束光，在空气中波长为 600nm，看起来为橙色。问：当这个光源置于水中时这束光的波长是多少：潜水员观察到的这束光呈何颜色：
λ=600nm×3/4=450nm
C

1.2 费马原理

光程[l]取极小值
z0 有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y12 x x1 ( x x1 ) 2 y12 i i
13

n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y 2 2 x x2 ( x x2 ) 2 y2 2 sin i
(n1 L1 n2 L2 ) 0 y
物理科学与信息工程学院 15
分别将L1和L2代入上式可得：
n1 y n2 y n1 (n1 L1 n2 L2 ) 0 (1) y L1 L2 P (n1 L1 n2 L2 ) x x x x1 x x2 n2 B n1 n2 0 (2) L1 L2
i ,
物理科学与信息工程学院 2
一、光程光程定义: 光在介质中的光程 L 为介质的折射率与光在介质中所走的几何路程之积. L ns 因此,光在介质中走过的光程，等于以相同的时间在真空中走过的距离.
若由A到B充满着折射率连续变化的介质，则光由A到B B 的总光程为
B
L nds
A
（分母大于零）

n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2 n1 z ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2
0 0
入射线和反射线应在xoy平面内.
12
M ( x,0, z) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
B
所用时间为 t 1
nds c
A
A
物理科学与信息工程学院 3
二、费马原理
1658年法国数学家、物理学家费马（P. Fermat
1601-1665) 概括了光线传

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9
由光程取极值:
(n1l1 n2l2 ) 0 (n1l1 n2l2 ) 0
y
x
(n1l1 n2l2 ) n1 y n2 y 0
y
l1 l2
(n1l1 n2l2 ) x
n1
x
x1 l1
n2
x2 l2
x
0
x
x1 l1
sin i1
x2 l2
x
sin i2
n1 sin i1 n2 sin i2
10
4. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的光程也取极值——包含了光的可逆性。
11
例一一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
M
A1 N
12
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F N
分析：
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
抛物线性质
P1F P1Q1 P2F P2Q2 则 A1P1 P1F A2P2 P2F
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知，光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平行光束。
13
例二折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
波，试求界面的形状。（ n1 > n2 ）
z sC
P A M
Q Q
n1 O O
n2 N N
14
z
P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 )
1
15
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
椭圆的几何参量：
中心 [n2d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a2 b2 2n2d /(n1 n2 ) 偏心率e n2 1
n2 N N
解：S 发出的球面波经面折射后成平
面波，各折射光线路径是等光程。
P(x, z) n1SP n2PQ n1SO
上式化为 n1(x2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d
(x d 2n12
n2d )2 n1 n2 /(n1 n2 )2
(n1
z2 n2 )d 2 /(n1
换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
B
[l] A ndl 0
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
3
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点
4
三.费马原理的应用 1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
[l]
n1z
n1z
0
z
(x x1)2 y12 z 2
(x x2 )2 y22 z2
z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M (x,0, z) M (x,0,0)
AM MB AM M B 光程[l]取极小值
7
z0
有 n1(x x1) n1(x2 x)
(x x1)2 y12
2. 光程等于光在介质中通过真实路程所需时间内,在真
空中所能传播的路程。
1
◆ 分区均匀介质:
k
[l] 1 k
[l] nili
i 1
, t c
c i1 nili
◆ 连续介质:
[l] ndl (l)
2
二.费马原理的表述及讨论
空间中两点间的实际光线路径是所经历光程的平稳路径
平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时，相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶或二阶以上的无限小量。
n1
16
(x x2 )2 y22
x x1
sin i
(x x1)2 y12
x x2
sin i
(x x2 )2 y22
i i
8
3. 由费马原理导出折射定律
P(x, y,0) A(x1,0, z1) B(x2 ,0, z2 )
[ APB ] n1l1 n2l2 l1 z12 (x x1)2 y2 l2 z22 (x x2 )2 y2
费马原理的解释描述光线传播行为的原理
一.光程
在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l
与该介质的折射率 n 的乘积： [l] nl
n c [l] l
c
l t [l]
c
1. 通过光程，可直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一定几何路程所需要的时间。
t [l] nl [l] ct cc
5
2. 由费马原理导出光的反射定律
6
AB的光程为
[l] n1AM n2M B n1 (x x1)2 y12 z2 n1 (x x2 )2 y22 z2
光程取极值
[l] x 1
n1(x x1)
(x x1)2 y12 z 2
n1(x x2 )
0
(x x2 )2 y22 z2